高中文科數(shù)學知識點精編——函數(shù)

1、高中文科數(shù)學知識點精編函數(shù)一、函數(shù)的概念：1. 映射：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：AB來說，則應滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。2. 函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有

2、唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域函數(shù)的三要素：定義域、對應關系、值域.3.如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等.4.函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.二、定義域的求法：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時，列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、

3、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1；(5) 指數(shù)為零，底不可以等于零；(6) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合；(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.三、值域的求法: 1.函數(shù)的值域是由其對應法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域2.函數(shù)值域的常用方法：(1)觀察法：通過對函數(shù)定義域、性質的觀察，結合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。(2)配方法：(二次或四次) 轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征

4、來求值；常轉化為含有自變量的平方式與常數(shù)的和，型如：的形式，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的最值。(3)換元法：代數(shù)換元法通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的；三角代換法可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉化為三角函數(shù)的最值問題，化歸思想。(4)分離常數(shù)法：對某些分式函數(shù)，可通過分離常數(shù)法，化成部分分式來求值域。(5)反求法：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍；常用來解，型如：(6)判別式法：若函數(shù)y=f（x）可以化成一個系數(shù)含有y的關于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，則在a（y）0時，由于x、y為實數(shù)，故必須有=b2（y）4a（y）·c（

5、y）0，從而確定函數(shù)的最值，檢驗這個最值在定義域內有相應的x值。(7)最值法：對于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間a,b內的極值，并與邊界值f(a)，f(b)作比較,求出函數(shù)的最值，可得到函數(shù)y的值域。(8)基本不等式法：轉化成型如：，利用基本不等式公式來求值域。(9)單調性法：函數(shù)為單調函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調性求值域。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調遞增，在區(qū)間b，c上單調遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調遞減，在區(qū)間b，c上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)(10)數(shù)形結合：根據(jù)函數(shù)

6、圖象或函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結合的方法來求值域。(11)構造法：根據(jù)函數(shù)的結構特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結合。(12)導數(shù)法：利用導數(shù)求值域。四、解析式的求法：1. 待定系數(shù)法：已知函數(shù)圖象，確定函數(shù)解析式，或已知函數(shù)的類型且函數(shù)滿足的方程時，常用待定系數(shù)法。2. 函數(shù)性質法：如果題目中給出函數(shù)的某些性質（如奇偶性、周期性），則可利用這些性質求出解析式。 3. 圖象變換法：若給出函數(shù)圖象的變化過程，要求確定圖象所對應的函數(shù)解析式，則可用圖象變換法。 4. 換元法：5. 配湊法：6. 賦值（式）法：五、函數(shù)圖象：1.定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數(shù)

7、值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數(shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 2.畫法：（1）描點法：（2）圖象變換法：常用變換方法有三種： 平移變換、伸縮變換、對稱變換3.區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間（3）區(qū)間的數(shù)軸表示六、函數(shù)的單調性：1. 定義：設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在

8、區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調增區(qū)間.如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質2. 圖象的特點：如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.3. 函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法：(1)定義法： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配

9、方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）； 下結論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）(2)圖象法(從圖象上看升降)4.函數(shù)單調性的常用結論：(1)若均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則在這個區(qū)間上也為增（減）函數(shù)；(2)若為增（減）函數(shù)，則為減（增）函數(shù)；(3)若與的單調性相同，則是增函數(shù)；若與的單調性不同，則是減函數(shù)；其規(guī)律：“同增異減”(4)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反；(5)常用函數(shù)的單調性解答：比較大小、求值域與最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象；(6)函數(shù)的單調區(qū)間只能是定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成并集。七、函

10、數(shù)的奇偶性：1. 定義：一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)2. 具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征:偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱3. 判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；確定f(x)與f(x)的關系；作出相應結論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)4. 函數(shù)奇偶性的常用結論：（

11、1）如果一個奇函數(shù)在處有定義，則，如果一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則（反之不成立）（2）兩個奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。（3）一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。（4）兩個函數(shù)和復合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該復合函數(shù)就是偶函數(shù)；當兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復合函數(shù)是奇函數(shù)。（5）若函數(shù)的定義域關于原點對稱，則可以表示為，該式的特點是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。（6）若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.（7）多項式函數(shù)的奇偶性多項式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.八、

12、函數(shù)的對稱性：1.函數(shù)自對稱：（1）關于軸對稱的函數(shù)（偶函數(shù)）的充要條件是（2）關于原點對稱的函數(shù)（奇函數(shù)）的充要條件是（3）關于直線對稱的函數(shù)的充要條件是（4）函數(shù)滿足時，函數(shù)的圖象關于直線對稱。（注：特別地，當a=b=0時，該函數(shù)為偶函數(shù)）（5）函數(shù)滿足時，函數(shù)的圖象關于點（，）對稱。（注：當a=b=c=0時，函數(shù)為奇函數(shù)）2.兩個函數(shù)的圖象對稱性：（1）與關于軸對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。（2）與關于軸對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。（3）與關于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。（4）與關于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。（5）關于點對稱

13、。換種說法：與若滿足，即它們關于點對稱。（6）與關于直線對稱。（7）與關于直線對稱。九、函數(shù)的周期性：1定義：一般地，對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做函數(shù)的周期。2函數(shù)周期性的性質：（1）對于非零常數(shù)A，若函數(shù)滿足，則函數(shù)必有一個周期為2A。（2）對于非零常數(shù)A，函數(shù)滿足，則函數(shù)的一個周期為2A。（3）對于非零常數(shù)A，函數(shù)滿足，則函數(shù)的一個周期為2A。3.對稱性和周期性之間的聯(lián)系：（1）函數(shù)有兩根對稱軸x=a，x=b時，那么該函數(shù)必是周期函數(shù)，且對稱軸之間距離的兩倍必是函數(shù)的一個周期。（2）函數(shù)滿足和（ab）時，函數(shù)

14、是周期函數(shù)。（函數(shù)圖象有兩個對稱中心（a，）、（b，）時，函數(shù)是周期函數(shù)，且對稱中心距離的兩倍，是函數(shù)的一個周期。）（3）函數(shù)有一個對稱中心（a，c）和一個對稱軸）（ab）時，該函數(shù)也是周期函數(shù)，且一個周期是十、一次函數(shù)：形如的函數(shù)十一、二次函數(shù)：1. 一般式：2. 頂點式：3. 零點式：十二、反比例函數(shù)：形如的函數(shù)1. 我們常用分離常數(shù)的方法將一個分式型函數(shù)轉化為反比例函數(shù)來研究：或：十三、“對號”函數(shù)：形如的函數(shù)1. 一般地，對于函數(shù)（）當時，函數(shù)在及上為增函數(shù)，在及上為減函數(shù)函數(shù)的值域是（）當時，函數(shù)在及上都是增函數(shù)，值域為十四、指數(shù)函數(shù)：1. 根式的概念：如果，且，那么叫做的次方根當是

15、奇數(shù)時，的次方根用符號表示；當是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數(shù)沒有次方根式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)當為奇數(shù)時，為任意實數(shù)；當為偶數(shù)時，2. 根式的性質：；當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時， 3. 分數(shù)指數(shù)冪的概念：規(guī)定：1） ； 2）； n個3）正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)4. 分數(shù)指數(shù)冪的運算性質： （注）上述性質對r、R均適用。5. 指數(shù)函數(shù)：函數(shù)名稱0101指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象 定義域值域過定點圖象過定點，

16、即當時，奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內，越大圖象越高；在第二象限內，越大圖象越低十五、對數(shù)函數(shù)：1. 對數(shù)：定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作；2）以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，記作基本性質：1）真數(shù)N為正數(shù)（負數(shù)和零無對數(shù)）；2）對數(shù)恒等式：，3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：運算性質：如果，那么1）加法：2）減法：3）數(shù)乘：4）換底公式：； 2. 對數(shù)函數(shù)：函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶

17、單調性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內，越大圖象越靠低；在第四象限內，越大圖象越靠高十六、冪函數(shù)：1. 冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)2. 冪函數(shù)的圖象3. 冪函數(shù)的性質圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點 單調性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增函數(shù)如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內，圖象

18、無限接近軸與軸奇偶性：當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)當（其中互質，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù)，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方十七、復合函數(shù)：1. 定義：設y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若A B，則y關于x函數(shù)的y=fg(x)叫做函數(shù)f與g的復合函數(shù)，u叫中間量.2. 定義域：(1)已知的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：實際上是已知中間變量的的取值范圍，即，通過解不等式求得的范圍，即為的定義

19、域。(2)已知的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：實際上是已知直接變量的取值范圍，即。先利用求得的范圍，則的范圍即是的定義域。3. 值域：關鍵是由里向外，逐層解決。4. 解析式：(1)已知求復合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。(2)已知求的常用方法有：配湊法和換元法。1、配湊法就是在中把關于變量的表達式先湊成整體的表達式，再直接把換成而得2、換元法就是先設，從中解出（即用表示），再把（關于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得5. 單調性：（1）引理證明：已知函數(shù).若在區(qū)間 ）上是減函數(shù)，其值域為(c，d)，又函數(shù)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復合函數(shù)在區(qū)間 ）上是增函

20、數(shù).（2）復合函數(shù)單調性的判斷：復合函數(shù)的單調性是由兩個函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成一個圖表：增 減 增 減 增 減 增 減 減 增 以上規(guī)律還可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）復合函數(shù)的單調性判斷步驟：1、確定函數(shù)的定義域； 2、將復合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：與。3、分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調性；4、若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復合后的函數(shù)為增函數(shù)；若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調性相異（即一個是增函數(shù)，而另一個是減函數(shù)），則復合后的函數(shù)為減函數(shù)。6. 奇偶性：（1）若內函數(shù)為偶函數(shù)，那么復合函數(shù)的奇偶性與外函數(shù)無關，必為偶函數(shù)；（2）若內與外函數(shù)都為奇函數(shù)，那么復合函數(shù)也是奇函數(shù)；（3）若內函數(shù)為奇函數(shù)，外函數(shù)為偶函數(shù)，那么復合函數(shù)必為偶函數(shù)。除以上類型外，其它類復合函數(shù)的奇偶性和須嚴格按函數(shù)奇偶性定義來判斷。十八、抽象函數(shù)：1. 定義：所謂抽象函數(shù)問題，是指沒有具體地給出函數(shù)的解析式，只給出它的一些特征或性質。解決這類問題常涉及到函數(shù)的概念和函數(shù)的各種性質，因而它具有抽象性、綜合性和技巧性等特點。2. 幾類常見的抽象函數(shù)：序號抽象函數(shù)滿足條件代表函數(shù)1正比例函數(shù)（）2指數(shù)函數(shù)（）3或對數(shù)函數(shù)（）4或冪函數(shù)5余弦函數(shù)6正切函數(shù)