淺談小船渡河的最值問題

1、“小船渡河”的最值問題 在高一物理（必修2）的教學(xué)過程種，有關(guān)“小船渡河”問題的講解是學(xué)生理解的難點(diǎn)，當(dāng)然也是教學(xué)的重點(diǎn)。這類題目主要研究：船怎樣行駛，渡河時(shí)間、渡河位移最短。在物理教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生是死記硬背記住結(jié)論，有時(shí)還混淆，其主要原因是他們不能理解運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律與渡河問題的關(guān)系。下面就這個(gè)問題我談?wù)勛约阂恍┎怀墒斓慕虒W(xué)方法。例如有這樣一道題：一條寬為d的河，水流速度為V水，船在靜水中的速度為V船，那么（1）船怎樣渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間為多少？ （2）若V水 V船，怎樣渡河位移最小，最小位移為多少？（3）若V水 V船，怎樣渡河位移最小，最小位移為多少？ 圖1 在求船渡河時(shí)間

2、最短問題之前，學(xué)生首先應(yīng)復(fù)習(xí)合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：等時(shí)性、獨(dú)立性、等效性、運(yùn)算法則為平行四邊行定則，然后畫圖講解，(如圖1) 由于渡河時(shí)間t=S船/V船= S水/V水= S合/V合，而船渡河的分位移容易求，所以利用t=S船/V船計(jì)算簡單，從船運(yùn)動(dòng)的分位移圖中可知，當(dāng)船頭垂直正對(duì)岸開動(dòng)時(shí)，船的分位移S船最短，渡河時(shí)間最短。 關(guān)于船渡河位移最短的問題，學(xué)生首先應(yīng)知道船渡河的位移，是指船的實(shí)際位移，即合位移，即和合速度在一條直線上。合位移的方向大致有三種，沿河岸上游、垂直河對(duì)岸、沿河岸下游，顯然合位移為河寬時(shí)，渡河位移最短，如圖2，而合位移方向即是合速度方向，假設(shè)水速方向向右，由三角形定則可知，船速

3、方向應(yīng)斜向上游某一角度，而且由幾何關(guān)系知，船速只有大于水速時(shí)，合速度才可能指向正對(duì)岸，最短位移才可能為河寬。此時(shí)cos = V水/ V船,從而求出。 圖2 圖3 當(dāng)水速大于船速時(shí)，由三角形定則可知，兩個(gè)分速度應(yīng)該首尾相接，合速度由第一個(gè)矢量的始端指向第二個(gè)矢量的末端，在船頭方向不斷變化的過程中，就像以水速末端為圓心，以船速為半徑畫的圓一樣，合速度的首部始終落在該圓上，由合速度的方向即為合位移方向可知，當(dāng)合速度方向如圖3所示，即從水速始端做圓的切線時(shí)，合位移為最短。此時(shí)船速與合速度垂直，船速方向仍應(yīng)斜向上游某一角度，cos=V船 / V水，可求出，由幾何關(guān)系可求最短位移Smin=d/ cos=d

4、 V水/ V船。 另外，我們還應(yīng)該清楚：把一個(gè)合運(yùn)動(dòng)分解為的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)之間具有相對(duì)獨(dú)立性，即兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)之間互不干擾。因此，當(dāng)船頭垂直河岸渡河時(shí)，其時(shí)間最短，而且無論水流速度如何變化，船渡河時(shí)間都為d/V船，因?yàn)樵诖^方向上的分位移不變，船速不變，所以分運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不變，也就是渡河時(shí)間不變。當(dāng)然，值得注意的是，當(dāng)船以最短時(shí)間渡河時(shí)，其渡河位移不會(huì)最短。 “小船渡河”問題是運(yùn)動(dòng)合成與分解知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，只有深刻理解運(yùn)動(dòng)合成與分解的意義，充分掌握合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系和特點(diǎn)，才能去解開“小船渡河”問題中困擾我們的死結(jié)，讓物理知識(shí)凸顯出生活的樂趣，使物理的學(xué)習(xí)更加輕松。1如圖所示，在不計(jì)滑輪摩擦和

5、繩子質(zhì)量的條件下，當(dāng)小車勻速向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體M的受力和運(yùn)動(dòng)情況是 A. 繩的拉力等于M的重力 B. 繩的拉力大于M的重力C. 物體M向上勻速運(yùn)動(dòng) D. 物體M向上加速運(yùn)動(dòng)【解析】設(shè)繩子與水平方向的夾角為，將小車的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，沿繩子方向的速度等于M的速度，根據(jù)平行四邊形定則得，車子在勻速向左的運(yùn)動(dòng)過程中，繩子與水平方向的夾角減小，所以M的速度增大，M做變加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有，知拉力大于重力，BD正確2兩根光滑的桿互相垂直地固定豎直平面內(nèi)。上面分別穿有一個(gè)小球。小球a、b間用一細(xì)直棒相連如圖。釋放后兩球都開始滑動(dòng)。當(dāng)細(xì)直棒與豎直桿夾角為時(shí)，兩小球?qū)嶋H速度大小之比vavb等于A. sin1 B. cos1 C. tan1 D. cot1【解析】速度的合成與分解，可知，將兩球的速度分解，如圖所示，則有：va cos=vbsin ，而 ，那么兩小球?qū)嶋H速度之比va：vb=sin：cos=tan：1，故C正確，ABD錯(cuò)誤4如圖所