求三角形內(nèi)一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和的最小值

1、求三角形內(nèi)一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值.解：由題意三角形ABC為直角三角形，以直角頂點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸建立坐標(biāo)系（如圖）則C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B為旋轉(zhuǎn)中心，將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)60°至BP'C'，連接PP'、CC'、AC'則BPP'，BCC'均為等邊三角形所以PB=PP'，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'AC

2、9;而C'（2，-23）所以AC'=（0-2）²+（3+23）²=（25+123）.即PA+PB+PC的最小值等于AC'的長(zhǎng)（25+123）.2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值.解：過(guò)A作ADBC于D，設(shè)BC=x，則CD=21-x 由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x）²，解得x=6，AD=8，DC=15以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，DA為y軸建立坐標(biāo)系（如圖）則A（0，8）B（-6，0）C（15，0）

3、以C為旋轉(zhuǎn)中心，將CPB繞點(diǎn)C逆時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)60°至CP'B'，連接PP'、BB'、AB'則CPP'，CBB'均為等邊三角形所以PC=PP'，PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'AB'而B(niǎo)'（9/2，-213/2）所以AB'=（0-9/2）²+（8+213/2）²=（415+1683）.即PA+PB+PC的最小值等于AB'的長(zhǎng)（415+1683）.【 補(bǔ)充說(shuō)明】（1）如圖，以ABC的三邊為邊，分別向外作

4、等邊三角形BCD、ACE、ABF，連接AD、BE、CF，則（1）AD、BE、CF交于一點(diǎn)P，且APB=APC=BPC=120°，（2）P到A、B、C三頂點(diǎn)距離的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。證明：AF=AB，F(xiàn)AC=BAE，AC=AEAFCABECF=BE同理可證BCFBDA，CF=ADAD=BE=CF. AFCABEAFC=ABEBPF=BAF=60°，BPC=120° 同理可證APB=APC=120° APB=APC=BPC=120°至于P到三頂點(diǎn)距離之和為何最小上面兩題已明。（2）給出三個(gè)點(diǎn)，怎樣用尺規(guī)作圖，使某一點(diǎn)P到這三點(diǎn)的距離之和最短解：如果三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，P點(diǎn)為居中的那個(gè)點(diǎn)如果三個(gè)點(diǎn)能組成三角形，這里的點(diǎn)P就是著名的“費(fèi)馬點(diǎn)”這時(shí)的一般結(jié)論是：當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120度的時(shí)候，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)；如果三個(gè)內(nèi)角都小于120度，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是使得費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾