淺談微分方程模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1、淺談微分方程模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用摘要：從實際問題出發(fā)，研究如何應(yīng)用數(shù)學(xué)工具來分析具體的經(jīng)濟(jì)問題，并進(jìn)而影響決策。關(guān)鍵字：經(jīng)濟(jì)問題；處理決策；數(shù)學(xué)模型前言：當(dāng)今社會，隨著經(jīng)濟(jì)的全球化和世界金融市場的不斷發(fā)展，各國越來越意識到在經(jīng)濟(jì)的騰飛中產(chǎn)生的問題的嚴(yán)重性。前不久的英國石油公司在墨西哥灣的原油泄漏，導(dǎo)致附近海域的生態(tài)直線下降。最近美國出臺的第二輪量化寬松的貨幣政策引來各國的一直聲討。再比如最近中國股市的瘋狂和十一月十二日股市的跳水。各種經(jīng)濟(jì)問題的處理，或者決策的產(chǎn)生，都越來越離不開一種工具數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型。一、數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型及其重要性 數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型可以按變量的性質(zhì)分成兩類,即概率型和確定型。概率型的模

2、型處理具有隨機(jī)性情況的模型,確定型的模型則能基于一定的假設(shè)和法則,精確地對一種特定情況的結(jié)果做出判斷。由于數(shù)學(xué)分支很多,加之相互交叉滲透,又派生出許多分支,所以一個給定的經(jīng)濟(jì)問題有時能用一種以上的數(shù)學(xué)方法去對它進(jìn)行描述和解釋。具體建立什么類型的模型,既要視問題而定,又要因人而異。要看自己比較熟悉精通哪門學(xué)科,充分發(fā)揮自己的特長。 數(shù)學(xué)并不能直接處理經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的客觀情況。為了能用數(shù)學(xué)解決經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的問題,就必須建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模是為了解決經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的問題而作的一個抽象的、簡化的結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)刻劃?；蛘哒f,數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模就是為了經(jīng)濟(jì)目的,用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、

3、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的刻劃。而現(xiàn)代世界發(fā)展史證實其經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度與數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模的密切關(guān)系。數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模促進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展;帶來了現(xiàn)實的生產(chǎn)效率。在經(jīng)濟(jì)決策科學(xué)化、定量化呼聲日漸高漲的今天,數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模更是無處不在。如生產(chǎn)廠家可根據(jù)客戶提出的產(chǎn)品數(shù)量、質(zhì)量、交貨期、交貨方式、交貨地點等要求,根據(jù)快速報價系統(tǒng)與客戶進(jìn)行商業(yè)談判。 二、構(gòu)建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的一般步驟 1.了解熟悉實際問題,以及與問題有關(guān)的背景知識。2.通過假設(shè)把所要研究的實際問題簡化、抽象,明確模型中諸多的影響因素,用數(shù)量和參數(shù)來表示這些因素。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和技巧來描述問題中變量參數(shù)之問的關(guān)系。一般情況下用數(shù)學(xué)表達(dá)式

4、來表示,構(gòu)架出一個初步的數(shù)學(xué)模型。然后,再通過不斷地調(diào)整假設(shè)使建立的模型盡可能地接近實際,從而得到比較滿意的結(jié)論。3.使用已知數(shù)據(jù),觀測數(shù)據(jù)或者實際問題的有關(guān)背景知識對所建模型中的參數(shù)給出估計值。4.運(yùn)行所得到的模型。把模型的結(jié)果與實際觀測進(jìn)行分析比較。如果模型結(jié)果與實際情況基本一致,表明模型是符合實際問題的。我們可以將它用于對實際問題進(jìn)一步的分析或者預(yù)測;如果模型的結(jié)果與實際觀測不一致,不能將所得的模型應(yīng)用于所研究的實際問題。此時需要回頭檢查模型的組建是否有問題。問題的假使是否恰當(dāng),是否忽略了不應(yīng)該忽略的因素或者還保留著不應(yīng)該保留的因素。并對模型進(jìn)行必要的調(diào)整修正。重復(fù)前面的建模過程,直到建

5、立出一個經(jīng)檢驗符合實際問題的模型為止。一個較好的數(shù)學(xué)模型是從實際中得來,又能夠應(yīng)用到實際問題中去的。 三、應(yīng)用實例 如果研究的問題具有動態(tài)演化特點，即任一個時刻的狀態(tài)與前一個時刻的狀態(tài)有關(guān)，則可通過前后狀態(tài)關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型。如果模型是研究狀態(tài)本身演化特性，稱為動態(tài)分析模型這類模型通常含有未知函數(shù)(狀態(tài)演化函數(shù))的導(dǎo)數(shù)或不同 “時點”關(guān)系或其累積效果關(guān)系含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程；含未知函數(shù)兩期以上關(guān)系的方程稱為差分方程；含未知函數(shù)累計效應(yīng)的方程為積分方程微分、差分方程模型的建立通常采用微元分析法或前提假設(shè)法微元分析法是在微小的時間間隔內(nèi), 考查函數(shù)改變量的關(guān)系, 再讓時間間隔無限小(微分

6、)或取時間間隔為一個單位(差分)得到方程；最后給出考查初期所處狀態(tài), 得到含初始條件的微分 (差分) 方程模型。微元分析必須建立在正確的科學(xué)定律或經(jīng)濟(jì)原理之上，才能正確反映問題變化的本質(zhì)。如果問題的定律或原理不十分清楚，僅知道某些增減關(guān)系，這時只能通過對問題作出一定的假設(shè)，根據(jù)假設(shè)建立方程就是前提假設(shè)法結(jié)果要進(jìn)行檢驗湖水污染問題某湖湖水容量為 V=1012 m3，上游下游各有一年流量為 Q=1011m3 的河水流進(jìn)流出該湖。20年前, 上游建了某工廠,生產(chǎn)中使用某有害物質(zhì)。近來發(fā)現(xiàn)湖水中這種有害物質(zhì)濃度已達(dá)0.03毫克/m3，河水污染濃度達(dá)到了0.05 毫克/m3. 環(huán)保部門提出該工廠整改，

7、并擬處罰款。該廠辯稱: 過去排放廢水從未使河水污染超過環(huán)保要求的0.001,只是最近疏忽, 才使河水污染, 請求從輕發(fā)落。試建立數(shù)學(xué)模型對湖水污染問題作出分析。分 析湖水的污染由河水的污染引起，并且，任意時刻湖水污染程度都與上一個時刻的污染程度及新引起污染有關(guān)，有動態(tài)特征，建立動態(tài)數(shù)學(xué)模型。符號：V湖水容量；Q河水流量；t考察問題的時刻。模型假設(shè)1. 河水是湖水的唯一水源；2. 湖水容量不變；3. 河水進(jìn)入湖中立刻與湖水充分混合；4. 不考慮湖水河水的自凈化作用；5. 污染物全部溶解在河水、湖水中；6. 不考慮雨水、蒸發(fā)等作用對湖水的影響；7. 污染物在河水、湖水中分布均勻.建立模型模型求解污

8、水處理分析 某廠擬修建生物治污水池，已知該微生物是依賴于污水中的污染物生存，同時消耗分解污染物，試建立數(shù)學(xué)模型分析如何設(shè)計水池合適？(污水中污染物濃度103102克/m3，流量10m3/h,環(huán)保要求5×104克/m3)問題分析1. 微生物靠污水生存，而分解污染物，微生物增加，污染物減少，污染物減少，又降低微生物生存能力，因此，當(dāng)水池容積一定時，微生物、污染物含量經(jīng)一段時間后必然達(dá)到穩(wěn)定，穩(wěn)定后污染物、微生物含量決定了污水治理效果。故，應(yīng)從微生物、污染物含量出發(fā)討論水池容積與治理效果關(guān)系。2. 任一時刻微生物、污染物含量顯然與前一時刻含量有關(guān)，即任一時刻狀態(tài)與前一時刻狀態(tài)有關(guān)，故問題是

9、一個動態(tài)分析問題。3. 污染濃度越高，微生物繁殖的就越快，分解掉的污染物速度也就越快，即單位時間、單位微生物分解污染物的多少與污水濃度正相關(guān)。微生物增加量也與污水濃度正相關(guān)。模型假設(shè)：1. 進(jìn)出水流量保持不變，且從進(jìn)水到出水經(jīng)過較長時間；(即池內(nèi)微生物和污染物可以達(dá)到平衡)2. 單位時間內(nèi)，每單位微生物分解掉單位濃度污染物數(shù)量為常數(shù)(記為k1)；3. 單位時間內(nèi)，每單位微生物在單位濃度污染物中繁殖數(shù)量為常數(shù)(記為k2)；4.單位時間內(nèi)，每單位微生物中死亡的數(shù)量為常數(shù)(記為k3)。符號：V容積；Q流量；a 流進(jìn)的污染物濃度。建立模型這是一個非線性方程, 不易求解析解. 利用數(shù)學(xué)軟件可以求數(shù)值解。

10、這時需要通過實驗，先確定幾個比例系數(shù)。求出數(shù)值解，通過作圖得變化曲線。實測： k1=0.1,k2=1.26,k3=105這個水池若按三米深建造，則需占地5000多m2。為了節(jié)約土地考慮能否建造多級生物降解池？代入k1,k2,k3,a,Q，分別取u1=5×103，u2=5×104(環(huán)保要求), 解得 V1=1590 m3，V2=1447 m3 如此以來大大節(jié)約了占地面積。經(jīng)濟(jì)增長分析 國民收入通常分為消費(fèi)和儲蓄兩部分，儲蓄用于投資，可以增加生產(chǎn)，生產(chǎn)增加后消費(fèi)、儲蓄增加，又可以反過來促進(jìn)生產(chǎn),試建立數(shù)學(xué)模型分析這種關(guān)系。問題分析產(chǎn)出轉(zhuǎn)化儲蓄，儲蓄化為投資，投資增加產(chǎn)出，任一時

11、刻產(chǎn)出都與前一時刻產(chǎn)出狀態(tài)有關(guān)，因此是一個動態(tài)問題。關(guān)鍵是儲蓄投資產(chǎn)出關(guān)系，符號說明：記國民收入為Y(t) (產(chǎn)出), 消費(fèi)為C(t), 儲蓄為I(t), k為邊際資本產(chǎn)出比 (即單位邊際產(chǎn)出所需資本) ；s 為邊際儲蓄傾向(單位產(chǎn)出產(chǎn)生的儲蓄)；1s為邊際消費(fèi)傾向(單位產(chǎn)出用于消費(fèi)的量)；基本假設(shè)：1. 產(chǎn)出增長率與資本投入成正比；2. 儲蓄全部用于投資；3. 消費(fèi)、儲蓄比例不變；4. 產(chǎn)出增長速度與儲蓄成正比。建立模型： 上述模型是一個簡單模型。只考慮了自發(fā)投資，即消費(fèi)剩余,而實際上消費(fèi)增加也會刺激投資(稱為引致投資)，進(jìn)而刺激生產(chǎn)。假設(shè)引致投資與消費(fèi)增長率成正比，則得到新的經(jīng)濟(jì)增長模型。

12、方程特解為：經(jīng)濟(jì)增長分析2 馬克思將經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)分為生產(chǎn)資料部類與消費(fèi)資料部類兩大部類。我國建國后提出了主要經(jīng)濟(jì)力量，全力發(fā)展重工業(yè)的發(fā)展戰(zhàn)略. 建立數(shù)學(xué)模型分析兩部類經(jīng)濟(jì)增長比例關(guān)系。 基本假設(shè)：1. 二部類(生活資料)的終產(chǎn)品全部被消費(fèi)；2. 只考慮兩種生產(chǎn)要素：資本Ki勞動力Li，并且兩部類生產(chǎn)要素可以自由流動，勞動力工資相同，工資總額為消費(fèi)品產(chǎn)量；3. 各部類資本與勞動力比值 Ki/Li =ai 為常數(shù)(稱資本強(qiáng)度)；勞動力與產(chǎn)量的比值 Li/xi=bi 為常數(shù) (稱勞動力投入系數(shù)) ；資本與產(chǎn)量的比值 Ki/xi=aibi 為常數(shù)(稱資本投入系數(shù))；4. 勞動力以固定增長率 n 增長；5

13、. 資本變化速度等于第一部類(生產(chǎn)資料)產(chǎn)值x1；6. 不考慮價格因素。其他符號：L,K分別為總勞動力和總資本；W=x2 /L為工資率；記 xi(t) 為i部類終產(chǎn)品.模型求解：a1=a2時，由L=L0ent>dsolve(diff(L(t),t)=n*L(t),L(0)=L0,L(t);解的說明：由x2>0，得 n<1/a1b1 。即當(dāng) a1=a2 時，要保證經(jīng)濟(jì)發(fā)展，勞動力增長率不能超過資本產(chǎn)出率( 資本投入系數(shù)的倒數(shù))。這時，經(jīng)濟(jì)保持按比例均衡增長。當(dāng) a1<>a2 時，有方程得：結(jié)果分析：1. 均衡增長(兩部類比例不變)的充要條件是B1=B2=0，即 K0

14、=a2L0/1(a1a2)b1n，K0、L0為初始值；或 a1=a2，n<1/a1b1 。 均衡增長解：xi=Aie nt；2. 要保證各部類經(jīng)濟(jì)增長逐漸穩(wěn)定在均衡增長解，則要a2>a1;3. 要保持經(jīng)濟(jì)增長率與勞動力增長同步，則要 n>1/b1(a1a2); 即隨時間的推移，兩部類的生產(chǎn)差距會不斷拉大，形成嚴(yán)重的比例失調(diào)。2 期貨商品市場動態(tài)均衡模型211 商品市場均衡在沒有期貨市場的情況下, 本文假定生產(chǎn)者使用適應(yīng)性預(yù)期來形成其價格預(yù)期。Nerlovian 模型并沒有討論投資行為, 而本文討論的是可儲存商品(如白糖, 大豆等) , 所以必須對Nerlovian 模型進(jìn)行改

15、進(jìn)。Peck (1976)在分析商品市場投機(jī)行為時, 對Nerlove 的模型進(jìn)行了擴(kuò)展, 引入了存貨方程。在沒有期貨市場的情況下, 本文的模型跟Peck (1976) 類似。在線性的假設(shè)下, 以下所有變量都采取離差形式:Dt = a Pt (需求方程)Yt = bPet(供給方程)Pet+ 1 - Pt = g It (存貨方程)It = It - 1 + Yt - Dt (市場出清)Pet+ 1 - Pet= ( Pt - Pet) (適應(yīng)性預(yù)期)由上述公式, 可推出商品市場均衡價格二階齊次差分方程:Pt + 1 = 1 - + ( gb +) - 1- 1 + gaPt +1 - - 1

16、 + gaPt - 1對于不同的特征根, 上述二階齊次方程有不同的解,如果是復(fù)根, 即:1 - + ( gb +) - 1- 1 + ga2+ 41 - - 1 + ga< 0 ,則: Pt =- (1 - )- (1 - ) + gat( A1 cost + A2 sint)其中A1 , A2 為常數(shù), 由初始條件決定, 是參數(shù)的函數(shù)。由于a < 0 , g > 0 , 所以0 <- (1 - )- (1 - ) + ga< 1 ,這說明Pt 是趨于0 的, 由于Pt 是離差形式, 所以, 在沒有期貨市場的情況下, 商品價格趨于其長期均衡值。212 期貨商品市場

17、均衡如果在有期貨市場的情況下, Peck (1976) 還假定生產(chǎn)者會繼續(xù)按照適應(yīng)性預(yù)期來產(chǎn)生價格預(yù)期, 這就顯得不再合理了。因為期貨市場的存在會給商品市場帶來新的信息, 這些信息必然會影響到生產(chǎn)者的預(yù)期, 從而改變其生產(chǎn)計劃。Pindyck (2001) 比較詳細(xì)地論述了期貨價格,現(xiàn)貨價格以及價格預(yù)期之間的關(guān)系。首先, 活躍的套利活動會使得套利者無利可圖, 所以按照無套利原則, 現(xiàn)貨價格與期貨價格必須滿足以下關(guān)系:t , t + 1 = (1 + rt + 1 ) Pft - Ft , t + 1 + kt + 1 其中, 為了方便區(qū)分, Pft 為存在期貨交易下的現(xiàn)貨商品價格, t , t

18、 + 1為便捷性收入(convenience yield) , 指商品持有者為了能方便地使用商品(不用到市場上去交易) 而愿意支付的價格。rt + 1 為市場無風(fēng)險利潤率, Ft , t + 1 是t + 1期交割的遠(yuǎn)期合約價格, kt + 1為儲存貨物所需的成本。其次, t + 1 期價格Pt + 1f 是不確定, 而收入也是有風(fēng)險且預(yù)期收入必須等于t + 1 Pft , t + 1 是商品的風(fēng)險調(diào)整折現(xiàn)率( risk - adjusted discount rate for the commodity) 。所以有:Pet+ 1 - Pft +t , t + 1 - kt + 1 =t +

19、1 Pft 合并和, 我們得到:Ft , t + 1 = Pet+ 1 + ( rt + 1 - t + 1 ) Pft 為了分析簡便, 本文假定rt + 1 , t + 1 不隨時間變化, 改為r , 。由此:Ft , t + 1 = Pet+ 1 + ( r - ) Pft 由于商品的需求相對比較穩(wěn)定, 商品的期貨多受商品的供給影響, 即受產(chǎn)量Yt + 1 與存貨It 的影響, 本文假定這種影響是線性的:Ft , t + 1 = d1 It + d2 Yt + 1 其中, 合并, 式, 我們得到:Pet+ 1 = Ft , t + 1 - ( r - ) Pft = d1 It + d2

20、Yt + 1 - ( r - )Pft 即市場參與者(包括生產(chǎn)者、消費(fèi)者和投機(jī)者) 對市場價格的預(yù)期可以由期貨價格減去風(fēng)險補(bǔ)償來決定。從式可以看出, 在信息對稱的假設(shè)下期貨市場的存在會改變市場參與者的價格期望形成機(jī)制, 市場參與者除了得到過去價格波動信息之外, 他們還能得到商品供給方面的信息, 這部分信息都可以通過競爭產(chǎn)生的期貨價格來體現(xiàn)。本文將式形成的價格預(yù)期稱為“競爭性價格預(yù)期”。競爭價格預(yù)期能很好地反映期貨市場的價格發(fā)現(xiàn)功能。接下來我們可以討論期貨商品市場的均衡了:Dt = a Pft (需求方程)Yt = bPet(供給方程)Pet+ 1 - Pft = g It (存貨方程)It =

21、 It - 1 + Yt - Dt (市場出清)Pet+ 1 = d1 It + d2 Yt + 1 - ( r - ) Pft (競爭性價格預(yù)期)求解上述方程, 可以得到:Pet+ 1 =g ( r - ) + d1d1 + ( d2 b - 1) gPft =Pft , Pft =- 1 +bg- 1 + agPt - 1f ,由于, d2 b - 1 < - 1 , - 1 < r - < 0 , 所以, 0 <<1 , 式類似于Muth (1961) 的理性預(yù)期假設(shè), 文中指出如果投機(jī)行為對短期價格波動的影響越大, 值就越接近于1 , 相反影響越小就越接近于0 。顯然當(dāng)存在期貨市場時, 值會非常接近于1 。實際上競爭性價格預(yù)期要比理性預(yù)期具有更加豐富的內(nèi)容, 而且更能體現(xiàn)期貨市場價格發(fā)現(xiàn)功能的本質(zhì): 市場參與者不只能根據(jù)過去的價格的變化去調(diào)整