第四節(jié)二重積分的應(yīng)用

1、第三節(jié)一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉(zhuǎn)動慣量四、物體的轉(zhuǎn)動慣量 五、物體的引力五、物體的引力 重積分的應(yīng)用 2022-4-272022-4-271. 能用重積分解決的實際問題的特點能用重積分解決的實際問題的特點所求量是所求量是 對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性 從積分定義出發(fā)從積分定義出發(fā) 建立積分式建立積分式 用微元分析法用微元分析法 (元素法元素法) 分布在有界閉域上的整體量分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點解題要點 畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計算要簡便定出積

2、分限、計算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法用重積分解決問題的方法 一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為則其體積為( , )d dDVf x yx y,),(Dyx1:221yxzS任一點的切平面與曲面任一點的切平面與曲面222:yxzS所圍立體的體積所圍立體的體積 V . 解解: 曲面曲面1S的切平面方程為的切平面方程為202000122yxyyxxz它與曲面它與曲面22yxz的交線在的交線在 xoy 面上的投影為面上的投影為1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12200()

3、()xxyy00cos,sinxxryyr令2(記所圍域為記所圍域為D ),(000zyx在點在點Drrrdd2例例1. 求曲面求曲面rr dd10320MAdzdn二、曲面的面積二、曲面的面積xyzSo設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積則面積 A 可看成曲面上各點可看成曲面上各點),(zyxM處小切平面的面積處小切平面的面積 d A 無限積累而成無限積累而成. 設(shè)它在設(shè)它在 D 上的投影為上的投影為 d ,dcosd A22(0,0,1) (, 1)cos1( , )( , )xyxyfffx yfx yd),(),(1d22yxfyxfAyx(稱為面積元素稱為面

4、積元素)則則Mnd故有曲面面積公式故有曲面面積公式221( , )( , ) dxyDAfx yfx y221 ()()d dDzzAxyxy若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有則有zyD即即xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程為隱式若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxF則則則有則有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且且yxdd例例2. 設(shè)半徑為設(shè)半徑為 r的球，其球心在半徑為的球，其球心在半

5、徑為a 的定球面上的定球面上.求求r的值，的值，使得半徑為使得半徑為 r的球的位于定球內(nèi)部的部分的面積最大。的球的位于定球內(nèi)部的部分的面積最大。解解:兩球的交線為兩球的交線為建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系.42222221 ()()d drxyrazzAxyxy2222+xyza2222+xyzar222zarxy2222222=2arxyaa422rra42222222d drxyrarrAyxxy222zarxy222222,xyxyzzrxyrxy42222200ddrrarr322rra234rrAra 43ra4()30rAa43ra三、平面薄板的質(zhì)量、質(zhì)心與形心三、平面薄板的質(zhì)量、質(zhì)心與形心

6、設(shè)平面有設(shè)平面有n個質(zhì)點個質(zhì)點,(,),kkxy其質(zhì)量分別其質(zhì)量分別, ),2, 1(nkmk由力學(xué)知由力學(xué)知, 該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo),11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyy設(shè)設(shè)平面薄板平面薄板占有區(qū)域占有區(qū)域 D ,( , ),x y有連續(xù)密度函數(shù)有連續(xù)密度函數(shù)分別位于分別位于為為為為將將 D 分成分成 n 小塊小塊,(,),kk 將第將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點塊看作質(zhì)量集中于點例如例如,11(,)(,)nkkkkknkkkkx 令各小區(qū)域的最大直徑令各小區(qū)域的最大直徑,0DDD( , )d d( , )d d=m( , )d dx yxyx yxyxx y

7、xxxy系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo)系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點的質(zhì)點,即得即得此質(zhì)點此質(zhì)點在第在第 k 塊上任取一點塊上任取一點(,),kk 同理可得( , )Kx y則得形心坐標(biāo)則得形心坐標(biāo)：()d dDS DxyDD( , )d dy( , )d dx yxyx yxyyDd dy()DyxySDd dx()DxxyS2 2、形心坐標(biāo)形心坐標(biāo)DyxxAxdd1DyxyAydd1 當(dāng)積分區(qū)域為規(guī)則圖形（面積與形心坐標(biāo)很容易得當(dāng)積分區(qū)域為規(guī)則圖形（面積與形心坐標(biāo)很容易得到）時，可用到）時，可用面積與形心坐標(biāo)表示二重積分。即面積與形心坐標(biāo)表示二重積分。即ybAxaAdybx

8、dadbyaxDDD)(注：重積分計算的注：重積分計算的基本技巧基本技巧 1 1、利用對稱性、利用對稱性 4例例3. 求位于兩圓求位于兩圓sin2rsin4r和和的質(zhì)心的質(zhì)心. 2D解解: 利用對稱性可知利用對稱性可知0 x而而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之間均勻薄片之間均勻薄片0dsin3143212oyxC例例4. 計算二重積分計算二重積分,dd)35(Dyxyx其中其中D 是由曲是由曲044222yxyx所圍成的平面域所圍成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐標(biāo)為其形心坐標(biāo)為:面積為

9、面積為:9ADyxxIdd5923) 1(5ADyxydd3積分區(qū)域積分區(qū)域線線形心坐標(biāo)形心坐標(biāo)2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx35四、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量四、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量位于位于(x , y) 處的處的微元微元 因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和, 故故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算. 平面薄片平面薄片,面面密度為密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( xDyo2y2xDyyxyxIdd),( 2( , )xdIyx y d2Imdrraddsin0302例例7.求半徑為求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑的均勻半圓薄片對其直徑解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圓薄片的質(zhì)量半圓薄片的質(zhì)量221aM 2212oxyDaa的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量.例例9.設(shè)一設(shè)一薄片由曲線薄片由曲線密度為密度為2,1,0yxxyxyx圍成，其面圍成，其面求該薄板對求該薄板對