大學物理：2第二講 電場強度計算續(xù)、高斯定理

1、yxoxz1例例3 3：半徑為半徑為R的圓環(huán)均勻帶電（總電量為的圓環(huán)均勻帶電（總電量為q ），求圓），求圓環(huán)中心軸線上距離環(huán)心為環(huán)中心軸線上距離環(huán)心為x的的p點處的場強。點處的場強。解：解：分割帶電體，取分割帶電體，取cos/x r304qxEir20cos24Rr/20cos4LdlEEr0E/cossindEdEdEdE220044dqdldErr: dldqdl2qRrRdldE/dEdEp2討論：討論：1.1.圓環(huán)中心電場為零圓環(huán)中心電場為零無論帶電體形狀如何，在離其足夠遠處均可視為無論帶電體形狀如何，在離其足夠遠處均可視為點電荷。點電荷。rxpoxyzRExRpo202.: 4pqx

2、REix223/204()qxEiRx0:0oxEorxxp3例例4 4：半徑為半徑為R的簿圓盤均勻帶電，面電荷密度為的簿圓盤均勻帶電，面電荷密度為 。求中心軸線上一點求中心軸線上一點 p處的電場強度。處的電場強度。解：解：將圓盤分割成許多帶將圓盤分割成許多帶電細圓環(huán)，其電量電細圓環(huán)，其電量細圓環(huán)電場細圓環(huán)電場223/2223/20024()2()rxdrrxdrrxrx 223/204()dqxdErx2dqdsrdr pEldr4無限大均勻帶電平板電場無限大均勻帶電平板電場等效于無限大平板電場等效于無限大平板電場討論：討論：xxpolpEr02E2. 0 x 02E1. R 220(1)2

3、xEiRx22223/200()22()Rxd rxEdErx223/202()rxdrdErx5推論推論兩帶等量異號均勻分布電荷兩帶等量異號均勻分布電荷的無限大平行的無限大平行板的空間電場分布（板的空間電場分布（電荷面密度電荷面密度 ）：證明：證明：( (兩板之間兩板之間) )( (兩板外側(cè)兩板外側(cè)) )00 E02020200E 0E xxpo6例：例：電荷面密度為電荷面密度為+ 的的無限大均勻帶電平板，其中無限大均勻帶電平板，其中部有一寬為部有一寬為a的細狹縫，求的細狹縫，求x軸上一點軸上一點p處的電場強度。處的電場強度。 解：解：用補償法用補償法p點電場為帶點電場為帶+ 的無限大的無限

4、大均勻帶電平板電場與帶均勻帶電平板電場與帶- 的無限長均勻帶電直線電的無限長均勻帶電直線電場之和，即場之和，即EEE000(1)222axxaEE7擴展：擴展：若上題中，無限大均勻帶電平板中間有一半若上題中，無限大均勻帶電平板中間有一半徑為徑為R的圓洞，求的圓洞，求x軸上一點軸上一點 p處的電場強度。處的電場強度。 提示：提示：用補償法用補償法EEE板板孔孔xxpoE板板E孔孔8解：解：例：例：半徑為半徑為R、圓心角為、圓心角為 0的一段圓弧上均勻分布有電的一段圓弧上均勻分布有電量量q，求圓心，求圓心o處的電場強度。處的電場強度。根據(jù)對稱性知根據(jù)對稱性知o處電場：處電場：建立如建立如圖坐標圖坐

5、標00qqdqdlRddR22044dqqdEdRRcosxxEEdEdE0yyEdE0022020cossin(/ 2)4(/ 2)xEEdEqRxyRo0dqdEdEdEdEoxy9例：例：半徑為半徑為R的半圓型均勻帶電線，其上半部電量為的半圓型均勻帶電線，其上半部電量為-Q，下半部電量為，下半部電量為+Q，求圓心，求圓心o處的電場強度的大小處的電場強度的大小和方向。和方向。解：解：根據(jù)上例結(jié)果知，上下兩部分產(chǎn)生的電場大小相根據(jù)上例結(jié)果知，上下兩部分產(chǎn)生的電場大小相等，相對于等，相對于 y 軸對稱。軸對稱。方向沿正方向沿正 y 方向。方向。222cos4yQEEER 0 xE 2sin(/

6、4)4(/4)QEER-+REEE10曲線上每一點切線方向代表該點電場強度的方向。曲線上每一點切線方向代表該點電場強度的方向。垂直通過某點處單位面積的電力線數(shù)目（稱電力垂直通過某點處單位面積的電力線數(shù)目（稱電力 線數(shù)密度）等于該點的電場強度值：線數(shù)密度）等于該點的電場強度值：一、電場線一、電場線（電場強度的圖示法電場強度的圖示法）5-3 5-3 電場線、電通量、高斯定理電場線、電通量、高斯定理電場線特征電場線特征起始于正電荷或無窮起始于正電荷或無窮遠，終止于負電荷或無窮遠。遠，終止于負電荷或無窮遠。任何兩條電力線不相交。任何兩條電力線不相交。電力線疏密的不同，反映出場強強弱的不同。電力線疏密的

7、不同，反映出場強強弱的不同。 endEdSEdsed n11二、電通量二、電通量通過某一曲面的電力線數(shù)，叫做通過某一曲面的電力線數(shù)，叫做通過該曲面的電通量。記為通過該曲面的電通量。記為“ e”.電通量的計算電通量的計算通過閉合曲面的電通量通過閉合曲面的電通量規(guī)定：規(guī)定：曲面正法線由曲面指向外曲面正法線由曲面指向外 eSE dS eSE dS edE dS endEdSEdssEdsqs12解：解：球面上的電場強度球面上的電場強度例：例：點電荷點電荷q位于球面內(nèi)球心處，求通過該球面的位于球面內(nèi)球心處，求通過該球面的電通量。電通量。220044qqRR204SqdSR204eSSqE dSdSR

8、204qErREqsR13在電場中，穿出任一閉合曲面的電通量在電場中，穿出任一閉合曲面的電通量 e e等于該曲等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以 0 0，而與閉合面外，而與閉合面外的電荷無關(guān)，即的電荷無關(guān)，即三、高斯定理三、高斯定理例：在右圖情況下例：在右圖情況下123401()qqqqeSE dS 01 eiSSE dSq 面面內(nèi)內(nèi)S6q5q4q3q2q1q141. 1.僅有一個點電荷僅有一個點電荷點電荷在點電荷在S面內(nèi)：面內(nèi)：點電荷在點電荷在S面外：面外：證明：證明：0eSE dS 0SqE dSeSE dS EqsEqns12121212nnnn knS

9、SSnnn kSSSE dSEdSEdSEdSEdSEdS152. 2. S面內(nèi)有面內(nèi)有n個電荷；個電荷；S面外有面外有 共共 個電荷。個電荷。101niiq20q10q12()n kSEEEdSeSE dS 00 0nqS6q5q4q3q2q1q1, nnkk16S面內(nèi)、外所有電荷面內(nèi)、外所有電荷在在S面上產(chǎn)生的場強面上產(chǎn)生的場強S面內(nèi)電荷代數(shù)和面內(nèi)電荷代數(shù)和討論討論高斯定理是說明靜電場基本性質(zhì)的方程高斯定理是說明靜電場基本性質(zhì)的方程 靜電場是有源場靜電場是有源場當當S面內(nèi)只有正電荷面內(nèi)只有正電荷,從從S面內(nèi)發(fā)出正通量面內(nèi)發(fā)出正通量;正電荷稱為源頭，負電荷稱為負源頭（尾閭）。正電荷稱為源頭，

10、負電荷稱為負源頭（尾閭）。當當S面內(nèi)只有負電荷面內(nèi)只有負電荷,有通量進入有通量進入S面內(nèi)。面內(nèi)。0,e 0,e 01eiSSE dSq 內(nèi)內(nèi)Eqs而電場而電場E則是則是S面內(nèi)、外所有電荷在面內(nèi)、外所有電荷在S面上各點所面上各點所 產(chǎn)生的總場強。產(chǎn)生的總場強。 公式中，公式中， qi只是只是S面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和。面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和。17四、利用高斯定理計算具有對稱性的電場四、利用高斯定理計算具有對稱性的電場適用條件：適用條件： 所作的高斯面上，電場強度處處相等或者分區(qū)域所作的高斯面上，電場強度處處相等或者分區(qū)域相等，則相等，則并且并且S是一個簡單易求的曲面，因而：是一個簡單易求的曲面，因而：

11、此類電場通常具有軸對稱、球?qū)ΨQ性或為均勻場。此類電場通常具有軸對稱、球?qū)ΨQ性或為均勻場。01cosiSSqEdS內(nèi)內(nèi)01cosiSSSqE dSEdS內(nèi)內(nèi)18例例1 1：求電量為求電量為q，半徑為，半徑為R 的均勻帶電球殼在空間的均勻帶電球殼在空間各點產(chǎn)生的電場。各點產(chǎn)生的電場。解：解：由對稱性可知，該球殼產(chǎn)生的由對稱性可知，該球殼產(chǎn)生的電場以球心電場以球心o為中心作球?qū)ΨQ分布為中心作球?qū)ΨQ分布.1. 1.球外電場：球外電場：作半徑作半徑r的高斯球面的高斯球面依高斯定理：依高斯定理：或或30( )4qE rrr20( )4qE rrr01SEdSq01cos0iSSEdSq內(nèi)內(nèi)01iSSE d

12、Sq內(nèi)內(nèi)()Rr ERoqrERoq192. 2. 球內(nèi)電場：球內(nèi)電場：在球內(nèi)作半徑在球內(nèi)作半徑r的高斯球面的高斯球面球內(nèi)、外電場分布：球內(nèi)、外電場分布：球殼外電場等效于電量集中球殼外電場等效于電量集中 于球心的點電荷的場。于球心的點電荷的場。r200 0 4rREqrRrr 0E010iSSE dSq內(nèi)內(nèi)(0)rRREro20例例2 2：求電量為求電量為q，半徑，半徑R的均勻帶電球體的電場分布。的均勻帶電球體的電場分布。 解：解：球內(nèi)、外電場均為球?qū)ΨQ分布。球內(nèi)、外電場均為球?qū)ΨQ分布。1. 1. 球外電場：球外電場：對球面對球面S運用高斯定理得運用高斯定理得2. 2.球內(nèi)電場：球內(nèi)電場：作半

13、徑為作半徑為r的高斯球面的高斯球面SS面外的電荷對面外的電荷對S面的電通量貢獻為零。面的電通量貢獻為零。對對S面運用高斯定理得面運用高斯定理得30001143rrSqEdSVr(0)rR20 ()4qErRrr 0/SEdSqqRoSroqRrS212030 4( ) 04qrRrrE rqrrrRR 30 (0)4qrErrRR2330144(4/3)3qErrR30143SEdSrERorox22例例3 3：求電荷面密度為求電荷面密度為+ + 的的無限大帶電平板的電場。無限大帶電平板的電場。 由對稱性分析可知，該電場以帶電平板為對稱由對稱性分析可知，該電場以帶電平板為對稱面，在其兩側(cè)作面對

14、稱分布，且電場垂直于平板。面，在其兩側(cè)作面對稱分布，且電場垂直于平板。解：解：EEabcd23作垂直于帶電板的高斯圓柱面，依高斯定理有作垂直于帶電板的高斯圓柱面，依高斯定理有0|2xEix0 2E22012ESS2233202E SE SES12311223301iSSSSSqE dSEdSEdSEdS內(nèi)內(nèi)2S3S1SoxE1S1SEnE2S3Snrro24例例4 4：求無限長均勻帶電求無限長均勻帶電圓柱體的電場分布，設(shè)其圓柱體的電場分布，設(shè)其單單位長度電量為位長度電量為 。解：解：1. 1.對稱性分析對稱性分析從橫切平面看：從橫切平面看：沿軸向看沿軸向看結(jié)論：結(jié)論：電場無軸向分量，而在橫向具

15、電場無軸向分量，而在橫向具有軸對稱性。同一半徑有軸對稱性。同一半徑r上各點上各點場強相等，方向沿徑向。場強相等，方向沿徑向。ororEpprE252. 2. 以軸線為中心，在帶電圓柱體外作半徑為以軸線為中心，在帶電圓柱體外作半徑為r、高為、高為 l的圓柱形高斯面的圓柱形高斯面S，則，則 柱外電場等效于軸線處的無限長帶電直線的場。柱外電場等效于軸線處的無限長帶電直線的場。由高斯定理得由高斯定理得0()2ErRrr 00112iSErlql內(nèi)內(nèi)2SEdSE SErl側(cè)側(cè)側(cè)側(cè)SSSSE dSE dSE dSE dS上上下下側(cè)側(cè)S上上S下下S側(cè)側(cè)lr263. 3. 在圓柱內(nèi)作半徑為在圓柱內(nèi)作半徑為r、高為