中南大學系統(tǒng)可靠性分析與評價ppt作業(yè)答案

1、習題習題1：一組元件的故障密度函數為：一組元件的故障密度函數為：0.25( )0.25()8f tt式中：式中：t為年。為年。求：累積失效概率求：累積失效概率F(t)，可靠度函數，可靠度函數R(t)，失效率，失效率(t)，平均壽命，平均壽命MTTF，中位壽命中位壽命T(0.5)和特征壽命和特征壽命T(e-1)。習題習題2：已知某產品的失效率為常數，已知某產品的失效率為常數，(t)=(t)=0.25=0.251010-4-4/h/h。求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠壽命，平均的可靠壽命，平均壽命壽命MTTF，中位壽命，中位壽命T(0.5)和特征壽和特征壽命命T(e-1)。習題習題3：50個在

2、恒定載荷運行的零件，個在恒定載荷運行的零件，運行記錄如下表：運行記錄如下表：求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的可靠度；(2)100h和和400h的累積失效概率；的累積失效概率；(3)求求10h和和25h時的失效時的失效概率密度；概率密度；(4)求求t=25h和和t=100h的失效率。的失效率。時間時間h1025501001502504003000失效數失效數n(t)42375343累積失效數累積失效數n(t)4691621242831仍舊工作數仍舊工作數N-n(t) 4644413429262219習題習題1 1：一組元件的故障密度函數為：一組元件的故障密度函數為：0.

3、25( )0.25()8f tt式中：式中：t為年。求：累積失效概率為年。求：累積失效概率F(t)，可靠度函數，可靠度函數R(t)，失效率，失效率(t)，平均壽命，平均壽命 ，中位壽命，中位壽命T(0.5)和特征壽命和特征壽命T(e-1)。答案解：解：20222000.25( )( )0.25()160.25( )1( )1 0.2516( )2 0.25( )( )8 20.1250.25( )(1 0.25)16tF tf x dxttR tF tttf tttR tttR t dttt dt 8200.25(1 0.25)2.66716tt dt年上式中不知道上式中不知道是多少，但有是多

4、少，但有R()=0R()=0，即：，即： 20.251 0.25016tt解得解得t t1 1=t=t2 2=8=8年，表明年，表明8 8年后元件將全年后元件將全部失效部失效20.5Rr為中位壽命，即：0.250.5=1-0.25r+16解得解得r r1 1=2.243=2.243年年(r(r2 2=13.66=13.66年年88年舍去年舍去) )。20.368Rr為特征壽命，即：0.250.368=1-0.25r+16解得解得r r1 1=3.147=3.147年年(r(r2 2=12.85=12.85年年88舍去舍去) )。習題習題2 2：已知某產品的失效率為常數，已知某產品的失效率為常數

5、，(t)=0.25(t)=0.251010-4-4/h/h。求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠壽命，平均壽命的可靠壽命，平均壽命 ，中，中位壽命位壽命T(0.5)和特征壽命和特征壽命T(e-1)。解：解：0( )( )1ln( )tt dttR teetR t 4414001(0.99)ln(0.99)4020.25 101(0.5)ln(0.5)27725.60.25 101()ln(0.368)400000.25 101( )40000tththt ehR t dtedth 可靠性壽命中位壽命特征壽命平均壽命：習題習題3 3：5050個在恒定載荷運行的零件，運行記錄如下表：個在恒定載荷運

6、行的零件，運行記錄如下表：求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的可靠度；(2)100h和和400h的累積失效概率；的累積失效概率；(3)求求10h和和25h時的失效概率密度；時的失效概率密度；(4)求求t=25h和和t=100h的失效率。的失效率。時間h1025501001502504003000失效數n(t)42375343累積失效數n(t)4691621242831仍舊工作數N-n(t) 4644413429262219解：解：(100)34(100)0.6850( 400)22(400)0.4450(100)(100)16/500.32(400)(400)28/500

7、.56Nn tRNNn tRNnFNnFN3333(10)2(10)2.67 10 /50(25 10)(25)3(25)2.4 10 /50(50 25)(25)3(25)2.7 10 /(25)44(50 25)(100)5(100)2.9 10 /(100)34(150 100)nfhN tnfhN tnhNntnhNnt要點：要點：f(t)f(t)、 (t)(t)是研究是研究t t時間后單位時間的失效產品數，時間后單位時間的失效產品數， f(t) f(t) 是除是除以試驗產品總數，以試驗產品總數，(t)(t)是除以是除以t t時仍正常工作的產品數。注意單位。時仍正常工作的產品數。注意單

8、位。 習題習題4：一設備從以往的經驗知道，平均無故障時一設備從以往的經驗知道，平均無故障時間為間為20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修復，假定該天方能修復，假定該設備發(fā)生故障時間及修復時間服從指數分布。設備發(fā)生故障時間及修復時間服從指數分布。求：求：(1)該設備該設備5天和天和15天的可靠度各為多少天的可靠度各為多少?；(2)該設備的穩(wěn)態(tài)有效度為多少該設備的穩(wěn)態(tài)有效度為多少?1MTTR如果維修時間服從指數分布，有0( ),1( )tR teMTBFR t dt如果服從指數分布提示：提示：習題習題4答案：答案：一設備從以往的經驗知道，平均無故障時間一設備從以往的經驗知道，平均無故障

9、時間為為20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修復，假定該設備發(fā)生天方能修復，假定該設備發(fā)生故障時間及修復時間服從指數分布。故障時間及修復時間服從指數分布。求：求：(1)該設備該設備5天和天和15天的可靠度各為多少天的可靠度各為多少?；(2)該設備該設備的穩(wěn)態(tài)有效度為多少的穩(wěn)態(tài)有效度為多少?解：解：(1)該設備平均無故障時間時間為該設備平均無故障時間時間為20天，即天，即MTBF=20因因MTBF=1/，=1/20；同理平均修復時間為同理平均修復時間為2天，天，MTTR=1/，=1/2R(5)=exp(- t)=exp(-5/20)=0.779R(15)=exp(- t)= exp(

10、-15/20)=0.472(2)A= /(+)=0.909或或A=MTBF/(MTBF+MTTR)=20/22=0.909 穩(wěn)態(tài)有效度定義穩(wěn)態(tài)有效度定義( )UMTBFAAUDMTBFMTTR 可工作時間可工作時間不能工作時間習題習題6 61knXbaaqqknn=0設離散型隨機變量 的分布律為P(X=k)=pk=1,2,3, ，則b, 必須滿足什么條件？提示：等比級數：(aq)習題習題7 711212311()(1),1,2,3,(01)()()11,| 1,| 1(1)(1)knnnnXP XkppkpE XD Xxnxxn xxxx設隨機變量 的分布律為：求：均值和方差。習題習題6 61

11、knXbaaqqknn=0設 離 散 型 隨 機 變 量的 分 布 律 為 P(X=k)=pk=1,2,3,， 則 b, 必 須 滿 足 什 么 條 件 ？提 示 ： 等 比 級 數 ： (aq)解：必須滿足兩個條件解：必須滿足兩個條件: (1)pk 0； (2)1kkp 01,2,3,0(1)11111kkkkpbkbbbbki=1i=1i=0因對所有的成立，故必須b0且。又1=pb且必須0 1故和0 1為該分布律的滿足條件習題習題7 711212311()(1),1,2,3,(01)()()11,| 1,| 1(1)(1)knnnnXP XkppkpE XD Xxnxxn xxxx設隨機變

12、量 的分布律為：求：均值和方差。1111212221112132122222()()(1)11(1)(1 (1)()()(1)1 12(1)(1 (1)211()() ()kkkkkkkkkkE XkP XkkpppkppppE Xk P Xkk pppppkppppppD XE XE Xppp 解：解：習題習題8 81233xxxxxX已知離散型隨機變量X的分布函數為：0, 0.2, 1F( )=0.5, 21, 求 的分布律。習題習題9 9 一架飛機有三個著陸輪胎，如果不多于一個輪胎爆破，一架飛機有三個著陸輪胎，如果不多于一個輪胎爆破，飛機能安全著陸。試驗表明，每一千次著陸發(fā)生一次輪飛機能

13、安全著陸。試驗表明，每一千次著陸發(fā)生一次輪胎爆破。用二項分布求飛機安全著陸的概率。胎爆破。用二項分布求飛機安全著陸的概率。習題習題1010 某一大型網絡系統(tǒng)的平均故障是每三個月一次，設系統(tǒng)某一大型網絡系統(tǒng)的平均故障是每三個月一次，設系統(tǒng)故障服從泊松分布，求一年發(fā)生故障服從泊松分布，求一年發(fā)生5次以上故障的概率。次以上故障的概率。習題習題8 81233xxxxxX已知離散型隨機變量X的分布函數為：0, 0.2, 1F( )=0.5, 21, 求 的分布律。解：解：X的可能取值為的可能取值為F(x)分段點，由分布函數分段點，由分布函數F(x)的表達式的表達式可知，可知，X的可能取值為的可能取值為1

14、,2,3；而；而F(x)是一跳躍函數，是一跳躍函數，X的分的分布律為：布律為：P(X=1)=F(1)-F(0)=0.2-0=0.2P(X=2)=F(2)-F(1)=0.5-0.2=0.3P(X=3)=F(3)-F(2)=1-0.5=0.5習題習題9 9 一架飛機有三個著陸輪胎，如果不多于一個輪胎爆破，一架飛機有三個著陸輪胎，如果不多于一個輪胎爆破，飛機能安全著陸。試驗表明，每一千次著陸發(fā)生一個輪飛機能安全著陸。試驗表明，每一千次著陸發(fā)生一個輪胎爆破。用二項分布求飛機安全著陸的概率。胎爆破。用二項分布求飛機安全著陸的概率。解：解：333321/10000.001()(1)0.001 0.999(

15、)()()0.9993 0.001 0.9990.99999kkn kkkkpP XkC ppCPPP安全著陸沒有一個輪胎爆破一個輪胎爆破習題習題1010 某一大型網絡系統(tǒng)的平均故障是每三個月一次，設系統(tǒng)某一大型網絡系統(tǒng)的平均故障是每三個月一次，設系統(tǒng)故障服從泊松分布，求一年發(fā)生故障服從泊松分布，求一年發(fā)生5次以上故障的概率。次以上故障的概率。解：=4 /年，有：一年發(fā)生5次故障的概率是：1-F(5)=1-P(X5) =1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5) =1-e-4-4e-4-42e-4/2-43e-4/3!- 44e-4/4!-45e-4

16、/5! =1-0.01832-0.07326-0.14653-0.19537- =1-0.78514=0.2148644()!kP Xkek解解習題習題1111 彩色電視機的平均壽命為彩色電視機的平均壽命為15000小時，假設其服從指小時，假設其服從指數分布，如果我們每天使用數分布，如果我們每天使用2小時，小時，5年的可靠度和年的可靠度和10年年的可靠度各為多少？的可靠度各為多少？ 1150003650730052 365 536500.7840.6147te - t1-150001-15000彩色電視機平均壽命 =15000小時，且服從指數分布，其失效率 =1/15000可靠度為R=e年工作

17、時間為：小時10年工作時間為：7300小時5年可靠度R(36500)=e10年可靠度R(7300)=e習題習題12122已知隨機變量X的服從N(5,10 )的正態(tài)分布。(1)寫出該隨機變量的分布密度函數，可靠度函數和失效率函數；(2)計算P(0X20)正交表： (0.5)=0.6915； (1.5)=0.93322220.005(5)20.005(5)1()(1)( )exp0.0422( )1()1(0.10.5)( )0.04( )( )1(0.10.5)(2)()( )( )()()205(20)()(1.5)0.933210(0)tttf tetR ttf tetR ttP aXbba

18、xX 分布密度函數可靠度函數失效率函數05()( 0.5)1(0.5)10.69150.308510(020)(20)(0)0.99320.30850.6247PX 解解習題習題1313 某城市日電能供應服從對數正態(tài)分布，某城市日電能供應服從對數正態(tài)分布，=1.2，=0.5，供應量以供應量以GWh計算。該城市發(fā)電廠最大供電量為計算。該城市發(fā)電廠最大供電量為9GWh/d。求該城市電力供應不足的概率。求該城市電力供應不足的概率。 (1.99)=0.97671.999 1.21.990.5( )1.99+ )11(1.99)1 0.97670.0233xf xf xxf xx +1.99-解：城市電

19、力供應不足就是用電負何超過9GWh/d的概率，lnln令z=設城市日用電分布密度函數為在正態(tài)分布圖上所圍成的面積就是電力供應不足的概率。電力供應不足概率為：( )d( )d設隨機變量設隨機變量X服從均值為服從均值為1，方差為，方差為4的正態(tài)分布，的正態(tài)分布，且且Y=1-3X，求，求E(Y)和和D(Y)。習題習題14 經室內試驗，測定某工程巖石抗拉強度分別為：經室內試驗，測定某工程巖石抗拉強度分別為：10.3 15.2 8.4 12.2 18.5 7.8 11.2 13.6求該批巖石抗拉強度的均值，方差，標準差，變異求該批巖石抗拉強度的均值，方差，標準差，變異系數，系數，2階原點矩，偏度系數和峰

20、度系數。階原點矩，偏度系數和峰度系數。習題習題15 設隨機變量設隨機變量X服從均值為服從均值為1，方差為，方差為4的正態(tài)分布，的正態(tài)分布，且且Y=1-3X，求，求E(Y)和和D(Y)。習題習題14 2()( )( )()( )()( )( )()( )E X YE XEYEkX ckE XcDX YDXDYDkX ck Dx 2()1()4( )(1 3)1 3 ()1 32( )(1 3)3()9 436XE XD XE YEXE XD YDXD X 解：因 服從均值為1，方差為4的正態(tài)分布，故，習題習題15 經室內試驗，測定某工程巖石抗拉強度分別為：經室內試驗，測定某工程巖石抗拉強度分別為

21、：10.3 15.2 8.4 12.2 18.5 7.8 11.2 13.6 求該批巖石抗拉強度的均值，方差，標準差，變異系數，求該批巖石抗拉強度的均值，方差，標準差，變異系數，2階原點矩，偏度系數和峰度系數。階原點矩，偏度系數和峰度系數。28811282213833133111(1) ()12.15(2)()()11.1388(3)()3.3362(4)/()3.3362/12.150.27461(5)()() =158.7581(6)c( )() =18.15,8/1iiiixxxiiiixE XxD XxE XD XE XmE xxE xE xxE Xc解：二階原點矩:偏度系數:3484

22、4144428.15/3.33620.491(7)c( )()285.658/285.65/3.33622.3058iixE xE xxE Xc峰度系數:習題習題16:16:現有現有n n個相同的元件，其壽命為個相同的元件，其壽命為F(t)=1-eF(t)=1-e- -t t，組成并聯(lián)系統(tǒng)，試求該，組成并聯(lián)系統(tǒng)，試求該系統(tǒng)的故障率。系統(tǒng)的故障率。習題習題17:17:假設一串聯(lián)系統(tǒng)由假設一串聯(lián)系統(tǒng)由n n個個MTTF=1000h(MTTF=1000h(指數分布指數分布) )的相同元件組的相同元件組成，試求當成，試求當n=1,n=2,n=3,n=5,n=10n=1,n=2,n=3,n=5,n=10

23、時，時，系統(tǒng)的系統(tǒng)的MTTFMTTF，并畫出元件個數與平均，并畫出元件個數與平均壽命的關系圖。壽命的關系圖。習題習題16:16:現有現有n個相同的單元，其壽命不可靠度函數為個相同的單元，其壽命不可靠度函數為F(t)=1-e-t，組成并聯(lián)系統(tǒng)，試求系統(tǒng)的故障率。，組成并聯(lián)系統(tǒng)，試求系統(tǒng)的故障率。11( )(1)( )( )(1)( )(1)( )1( )1 (1)t ntt ntt nt nnF tef tF tn eef tn eetF te解：組成 個并聯(lián)系統(tǒng)后，壽命的累積失效概率為失效概率密度為：系統(tǒng)故障率為：習題習題17:17:假設一串聯(lián)系統(tǒng)由假設一串聯(lián)系統(tǒng)由n n個個MTTF=1000

24、h(MTTF=1000h(指數分布指數分布) )的相同元件組成，試求當的相同元件組成，試求當n=1,n=2,n=3,n=5,n=10n=1,n=2,n=3,n=5,n=10時，時，系統(tǒng)的系統(tǒng)的MTTFMTTF，并畫出元件個數與平均壽命的關系圖。，并畫出元件個數與平均壽命的關系圖。111(1)1000(2)500(3)333(5)200(10)100niinnhnhnhnhnh1解 ： 由 MTTF=1000=， 得=0.001/h串 聯(lián) 系 統(tǒng) 的 平 均 壽 命 為 ：習題習題18:18:試比較下列五個系統(tǒng)的可靠度，設備單元的可試比較下列五個系統(tǒng)的可靠度，設備單元的可靠度相同，均為靠度相同，

25、均為R R0 0=0.99=0.99(1)(1)四個單元構成的串聯(lián)系統(tǒng)；四個單元構成的串聯(lián)系統(tǒng)；(2)(2)四個單元構成的并聯(lián)系統(tǒng)；四個單元構成的并聯(lián)系統(tǒng)；(3)(3)四中取三儲備系統(tǒng)；四中取三儲備系統(tǒng)；(4)(4)串串- -并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)(N=2(N=2，n=2)n=2)(5)(5)并并- -串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)(N=2(N=2，n=2)n=2)習題習題19:系統(tǒng)的可靠性框圖如下圖所示，系統(tǒng)的可靠性框圖如下圖所示，R1=R2=0.9，R3=R4=0.8，R5=R6=0.7，R7=R8=0.6求系統(tǒng)的可靠度。求系統(tǒng)的可靠度。56172348習題習題18:18:設各單元可靠度相同，均為設各單元可靠

26、度相同，均為R R0 0=0.99=0.990444144041443/4()004003334 3400(1)( )( )0.9606(2)( )11( )1 (1)1(3)( )( )1( )( )1( )( ) 1( )iiiiniin iiiiGni miRtR tRRtR tRRtC R tR tC R tR tC R tR t 個串聯(lián)個并聯(lián)四個單元串聯(lián)構成的串聯(lián)系統(tǒng)四個單元構成的并聯(lián)系統(tǒng)四中取三儲備系統(tǒng)444 4400342 20220( ) 1( )4 0.99 (1 0.99) 1 0.991.9994(4)(2,2)( )1 1( )1 1 0.99 0.9996(5)(2,

27、2)( )1 1( ) 1 1 0.99 0.9998mnmnCR tR tmnRtRtmnRtR t 串-并聯(lián)并-串聯(lián)串并聯(lián)系統(tǒng)并串聯(lián)系統(tǒng)(6)比較:(略)習題習題19:系統(tǒng)的可靠性框圖如下圖所示，系統(tǒng)的可靠性框圖如下圖所示，R1=R2=0.9，R3=R4=0.8，R5=R6=0.7，R7=R8=0.6求系統(tǒng)的可靠度。求系統(tǒng)的可靠度。56172348解：R78=1-(1-R7) (1-R8)=1-0.4*0.4=0.84 R34=R3*R4=0.8*0.8=0.64 R56=R5*R6=0.7*0.7=0.49 R3456=1-(1-R34)*(1-R56)=1-(1-0.64)*(1-0.

28、49)=0.8164R總= R78*R3456*R2*R1=0.84*0.8164*0.9*0.9=0.5555習題習題20 一臺機械設備上的某一零件，經長期使用一臺機械設備上的某一零件，經長期使用表明，平均失效率為常數表明，平均失效率為常數=0.00001/小時，但這小時，但這種零件庫存僅一件種零件庫存僅一件(庫存期間不失效庫存期間不失效)，若希望，若希望繼續(xù)工作繼續(xù)工作50000小時，試求其成功的概率小時，試求其成功的概率。習題習題2020 一臺機械設備上的某一零件，經長期使用一臺機械設備上的某一零件，經長期使用表明，平均失效率為常數表明，平均失效率為常數=0.00001/小時，但這小時，

29、但這種零件庫存僅一件種零件庫存僅一件(庫存期間不失效庫存期間不失效)，若希望，若希望繼續(xù)工作繼續(xù)工作50000小時，試求其成功的概率。小時，試求其成功的概率。0.000010.00001 50000( )( )(1)50000(50000)(1)(10.00001*50000)0.9098ttttR teeR tt eRt ee解：該零件失效率為常數，其可靠度函數為：根據兩個相同單元完全可靠的旁聯(lián)系統(tǒng)計算公式：小時的可靠度為：習題習題21ABDCFE已知下圖中每個部件的可靠度為已知下圖中每個部件的可靠度為R，求，求系統(tǒng)的可靠度。系統(tǒng)的可靠度。習題習題21已知下圖中每個部件的可靠度為已知下圖中每個部件的可靠度為R，求，求系統(tǒng)的可靠度。系統(tǒng)的可靠度。解：(1)當單元C正常時，系統(tǒng)的可靠性與D無關，相當于AB、EF并聯(lián)再串聯(lián)，形成一個K系統(tǒng)。此時系統(tǒng)可靠度為：P(K|C)=RABREF=1-(1-R)2 1-(1-R)2 (2)當C單元失效時，系統(tǒng)相當于BDF組成一個串聯(lián)系統(tǒng)，此時系統(tǒng)可靠度為：P(K|C)=RBRDRF=R3 系統(tǒng)可靠度為：P(K)= P(K|C)RC+ P(K|C)(1-RC)= 1-(1-R)