回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1、第第8 8章章 回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) Orthogonal Regression Designn正交設(shè)計(jì)：優(yōu)方案只能限制在已定的水平上，而不是一定正交設(shè)計(jì)：優(yōu)方案只能限制在已定的水平上，而不是一定試驗(yàn)范圍內(nèi)的最優(yōu)方案試驗(yàn)范圍內(nèi)的最優(yōu)方案 n回歸正交設(shè)計(jì)（回歸正交設(shè)計(jì)（orthogonal regression design） ：可以在因素的試驗(yàn)范圍內(nèi)選擇適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)點(diǎn)可以在因素的試驗(yàn)范圍內(nèi)選擇適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)點(diǎn)用較少的試驗(yàn)建立回歸方程用較少的試驗(yàn)建立回歸方程能解決試驗(yàn)優(yōu)化問題能解決試驗(yàn)優(yōu)化問題不適合非數(shù)量性因素不適合非數(shù)量性因素8.1 一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果分析一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)

2、果分析 n建立試驗(yàn)指標(biāo)（建立試驗(yàn)指標(biāo)（y）與）與m個(gè)試驗(yàn)因素個(gè)試驗(yàn)因素x1，x2，xm之間的之間的一次回歸方程一次回歸方程n例：例：m3時(shí)，時(shí)，一次回歸方程：一次回歸方程： yab1x1b2x2b3x3b12x1x2b13x1x3b23x2x3其中其中x1，x2，x3表示表示3個(gè)因素；個(gè)因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用表示交互作用若不考慮交互作用，為三元一次線形回歸方程：若不考慮交互作用，為三元一次線形回歸方程： yab1x1b2x2b3x38.1.1 一次回歸正交設(shè)計(jì)的基本方法一次回歸正交設(shè)計(jì)的基本方法 （1）確定因素的變化范圍）確定因素的變化范圍 以因素以因素xj為例為例：n

3、設(shè)設(shè)xj 的變化范圍為的變化范圍為xj1， xj2 nxj1為為xj的下水平的下水平 nxj2為為xj的上水平的上水平 n xj0為為xj的零水平：的零水平： xj0 (xj1 xj2)/2n因素因素xj的變化間距的變化間距j：j上水平上水平 零水平零水平xj2xj0j= (xj2 xj1)/2 （2）因素水平的編碼）因素水平的編碼zj：因素：因素xj的編碼的編碼 ，稱為規(guī)范變量，稱為規(guī)范變量 xj：自然變量：自然變量 上水平上水平xj2的編碼的編碼 ：zj21 下水平下水平xj1的編碼：的編碼：zj11 零水平零水平xj0的編碼：的編碼：zj00 0jjjjxxzn 編碼（編碼（coding

4、）：將因素）：將因素xj的各水平進(jìn)行線性變換：的各水平進(jìn)行線性變換：n編碼目的：編碼目的：使每因素的每水平在編碼空間是使每因素的每水平在編碼空間是“平等平等”的，規(guī)范變量的，規(guī)范變量zj的取值范圍都是的取值范圍都是1，1編碼能將試驗(yàn)結(jié)果編碼能將試驗(yàn)結(jié)果y與因素與因素xj（j1，2，m）之間）之間的回歸問題，轉(zhuǎn)換成試驗(yàn)結(jié)果的回歸問題，轉(zhuǎn)換成試驗(yàn)結(jié)果y與編碼值與編碼值z(mì)j之間的回歸問之間的回歸問題題 （3）一次回歸正交設(shè)計(jì)表）一次回歸正交設(shè)計(jì)表n將二水平的正交表中將二水平的正交表中“2”用用“1”代換代換 ，例：，例：n回歸正交設(shè)計(jì)表的特點(diǎn)：回歸正交設(shè)計(jì)表的特點(diǎn)：任一列編碼的和為任一列編碼的和為0

5、 任兩列編碼的乘積之和等于任兩列編碼的乘積之和等于0 （4）試驗(yàn)方案的確定）試驗(yàn)方案的確定可參考正交設(shè)計(jì)的表頭設(shè)可參考正交設(shè)計(jì)的表頭設(shè)計(jì)方法計(jì)方法交互作用列的編碼等于表交互作用列的編碼等于表中對(duì)應(yīng)兩因素列編碼的乘中對(duì)應(yīng)兩因素列編碼的乘積積 n零水平試驗(yàn)（中心試驗(yàn)零水平試驗(yàn)（中心試驗(yàn) ）n 表頭設(shè)計(jì)表頭設(shè)計(jì) ：8.1.2 一次回歸方程的建立一次回歸方程的建立 n總試驗(yàn)次數(shù)為總試驗(yàn)次數(shù)為n ： nmcm0mc：二水平試驗(yàn)次數(shù)：二水平試驗(yàn)次數(shù)m0：零水平試驗(yàn)次數(shù)：零水平試驗(yàn)次數(shù)n一次回歸方程系數(shù)的計(jì)算：一次回歸方程系數(shù)的計(jì)算：常數(shù)項(xiàng)：常數(shù)項(xiàng)：a一次項(xiàng)系數(shù)：一次項(xiàng)系數(shù)：bj 交互項(xiàng)系數(shù)：交互項(xiàng)系數(shù)：

6、bjk11niiayyn1njiiijcz ybm j1，2，m 1()nkjiiikjcz zybmjk, k1，2，m1 n說明：說明：求得的回歸系數(shù)直接反映了該因素作用的大小求得的回歸系數(shù)直接反映了該因素作用的大小 回歸系數(shù)的符號(hào)反映了因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響的正負(fù)回歸系數(shù)的符號(hào)反映了因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響的正負(fù) 8.1.3 回歸方程及偏回歸系數(shù)的方差分析回歸方程及偏回歸系數(shù)的方差分析 8.1.3.1 無零水平試驗(yàn)時(shí)無零水平試驗(yàn)時(shí) 平方和：平方和：n總平方和：總平方和：2221111()()nnnTyyiiiiiiSSLyyyyn2jcjSSm b2kjckjSSm bRSSSSSS一次項(xiàng)交互項(xiàng)e

7、TRSSSSSSn一次項(xiàng)偏回歸平方和一次項(xiàng)偏回歸平方和 ：n交互項(xiàng)偏回歸平方和：交互項(xiàng)偏回歸平方和：n回歸平方和回歸平方和 ：n殘差平方和殘差平方和 ：自由度自由度 ndfTn1 n各種偏回歸平方和的自由度各種偏回歸平方和的自由度1 n回歸平方和的自由度回歸平方和的自由度 ：Rdfdfdf一次項(xiàng)交互項(xiàng)eTRdfdfdfn殘差自由度：殘差自由度：n不考慮交互作用時(shí)不考慮交互作用時(shí):dfR=m，dfe=n-m-1。均方均方F檢驗(yàn)：檢驗(yàn)：n回歸方程顯著性檢驗(yàn)回歸方程顯著性檢驗(yàn)n偏回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)偏回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn) ：判斷因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)的影響程度判斷因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)的影響程度可直接從回歸

8、方程中剔除這些一次和交互項(xiàng)可直接從回歸方程中剔除這些一次和交互項(xiàng)經(jīng)檢驗(yàn)不顯著的因素或交互作用應(yīng)歸入殘差，重新檢驗(yàn)經(jīng)檢驗(yàn)不顯著的因素或交互作用應(yīng)歸入殘差，重新檢驗(yàn)例例8-1： （1）因素水平編碼）因素水平編碼 （2）正交表的選擇和試驗(yàn)方案的確定）正交表的選擇和試驗(yàn)方案的確定 （3）回歸方程的建立）回歸方程的建立 m00，nmc8 計(jì)算表計(jì)算表計(jì)算各回歸系數(shù)計(jì)算各回歸系數(shù)寫出寫出y與規(guī)范變量與規(guī)范變量zj的回歸方程的回歸方程根據(jù)偏回歸系數(shù)絕對(duì)值大小，確定因素和交互作用主次根據(jù)偏回歸系數(shù)絕對(duì)值大小，確定因素和交互作用主次根據(jù)偏回歸系數(shù)正負(fù)，得到各因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響方向根據(jù)偏回歸系數(shù)正負(fù)，得到各因素

9、對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響方向（4）方差分析）方差分析（5）回歸方程的回代：得到試驗(yàn)指標(biāo)）回歸方程的回代：得到試驗(yàn)指標(biāo)y與自然變量與自然變量xj的回歸的回歸方程方程8.1.3.2 有零水平試驗(yàn)時(shí)有零水平試驗(yàn)時(shí) n目的：進(jìn)行回歸方程的失擬性（目的：進(jìn)行回歸方程的失擬性（lack of fit）檢驗(yàn)）檢驗(yàn) （要求（要求m02 ）n失擬性檢驗(yàn)：為了檢驗(yàn)一次回歸方程在整個(gè)研究范圍內(nèi)的失擬性檢驗(yàn)：為了檢驗(yàn)一次回歸方程在整個(gè)研究范圍內(nèi)的擬合情況擬合情況n失擬性檢驗(yàn)步驟：失擬性檢驗(yàn)步驟： 設(shè)設(shè)m0次零水平試驗(yàn)結(jié)果為次零水平試驗(yàn)結(jié)果為y01，y02，y0m0 重復(fù)試驗(yàn)誤差：重復(fù)試驗(yàn)誤差：n平方和：平方和： 000222

10、1000011101()()mmmeiiiiiiSSyyyym101edfm11LfTReeeSSSSSSSSSSSS1Lfeedfdfdfn重復(fù)試驗(yàn)誤差的自由度：重復(fù)試驗(yàn)誤差的自由度：回歸方程失擬部分：回歸方程失擬部分：n失擬平方和失擬平方和 ：n失擬平方和自由度：失擬平方和自由度：n對(duì)于給定的顯著性水平對(duì)于給定的顯著性水平（一般?。ㄒ话闳?.1） n當(dāng)當(dāng)FLfF（dfLf，dfe1）時(shí)，就認(rèn)為回歸方程失擬不顯）時(shí)，就認(rèn)為回歸方程失擬不顯著，失擬平方和著，失擬平方和SSLf是由隨機(jī)誤差造成的，所建立的回是由隨機(jī)誤差造成的，所建立的回歸方程是擬合得很好歸方程是擬合得很好n例例8-2 11LfL

11、fLfeeSSdfFSSdf失擬檢驗(yàn)失擬檢驗(yàn) ：8.2 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)二次回歸正交組合設(shè)計(jì) n回歸方程的建立：回歸方程的建立：根據(jù)最小二乘法原理得到正規(guī)方程組根據(jù)最小二乘法原理得到正規(guī)方程組求解正規(guī)方程組，得回歸系數(shù)求解正規(guī)方程組，得回歸系數(shù)要求：試驗(yàn)次數(shù)回歸方程的項(xiàng)數(shù)要求：試驗(yàn)次數(shù)回歸方程的項(xiàng)數(shù)n回歸正交組合設(shè)計(jì)：在一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上回歸正交組合設(shè)計(jì)：在一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上再增加一些特定的試驗(yàn)點(diǎn)，通過適當(dāng)?shù)慕M合形成試驗(yàn)方再增加一些特定的試驗(yàn)點(diǎn)，通過適當(dāng)?shù)慕M合形成試驗(yàn)方案案 8.2.1 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)表二次回歸正交組合設(shè)計(jì)表 （1）二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案

12、）二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案n二元二次回歸方程：二元二次回歸方程：221 122121211 1222yab xb xb x xb xb xn試驗(yàn)方案試驗(yàn)方案n正交組合設(shè)計(jì)的三類試驗(yàn)點(diǎn)及次數(shù)：正交組合設(shè)計(jì)的三類試驗(yàn)點(diǎn)及次數(shù)：二水平試驗(yàn)：二水平試驗(yàn)：全實(shí)施：全實(shí)施：mc2m 1/2實(shí)施：實(shí)施：mc2m11/4實(shí)施：實(shí)施：mc2m2 星號(hào)試驗(yàn)：星號(hào)試驗(yàn)：與原點(diǎn)（中心點(diǎn)）的距離都為與原點(diǎn)（中心點(diǎn)）的距離都為 m2m 零水平試驗(yàn)：零水平試驗(yàn)：各因素水平編碼都為零時(shí)的試驗(yàn)各因素水平編碼都為零時(shí)的試驗(yàn) 試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)m0 n 二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)（2） 三元二次回歸正交

13、組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案三元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案 n三元二次回歸方程：三元二次回歸方程：2221 12 23 312 1 213 1 323 2 311 122 233 3y a bxbxbxb xxb xxb x xb xb xb x n試驗(yàn)方案試驗(yàn)方案n 三元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)三元二次回歸正交組合設(shè)計(jì) （3）星號(hào)臂長度與二次項(xiàng)的中心化）星號(hào)臂長度與二次項(xiàng)的中心化 星號(hào)臂長度星號(hào)臂長度n星號(hào)臂長度星號(hào)臂長度與因素?cái)?shù)與因素?cái)?shù)m，零水平試驗(yàn)次數(shù)，零水平試驗(yàn)次數(shù)m0及二水平試及二水平試驗(yàn)數(shù)驗(yàn)數(shù)mc有關(guān)有關(guān)n的確定的確定公式計(jì)算公式計(jì)算0(2)2cccmmm mm 參考表參考表8-18m0因素?cái)?shù)因

14、素?cái)?shù)m234（1/2實(shí)施）實(shí)施）45（1/2實(shí)施）實(shí)施）511.0001.2151.3531.4141.5471.59621.0781.2871.4141.4831.6071.66231.1471.3531.4711.5471.6641.72441.2101.4141.5251.6071.7191.78451.2671.4711.5751.6641.7711.84161.3201.5251.6231.7191.8201.89671.3691.5751.6681.7711.8681.94981.4141.6231.7111.8201.9142.00091.4571.6681.7521.8681.

15、9582.049101.4981.7111.7921.9142.0002.097二次回歸正交組合設(shè)計(jì)二次回歸正交組合設(shè)計(jì)值表值表 二次項(xiàng)的中心化二次項(xiàng)的中心化 n對(duì)二次項(xiàng)的每個(gè)編碼進(jìn)行中心化處理對(duì)二次項(xiàng)的每個(gè)編碼進(jìn)行中心化處理 ： (二次項(xiàng)編碼二次項(xiàng)編碼)(二次項(xiàng)編碼算術(shù)平均值二次項(xiàng)編碼算術(shù)平均值)2211njijijiizzzn試驗(yàn)號(hào)試驗(yàn)號(hào)z1z2z1 z2z12z22z1z21111111/31/32111111/31/33111111/31/34111111/31/35100101/32/36100101/32/37010012/31/38010012/31/39000002/32/3二

16、元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)編碼表二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)編碼表 8.2.2 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的應(yīng)用二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的應(yīng)用 （1）基本步驟）基本步驟 因素水平編碼因素水平編碼 n試驗(yàn)因素的水平被編為試驗(yàn)因素的水平被編為，1，0，1，n變化間距：變化間距：j上水平零水平零水平下水平上水平零水平零水平下水平0jjjxx 規(guī)范變量規(guī)范變量zj自然變量自然變量xjx1x2xm上星號(hào)臂上星號(hào)臂x1x2xm上水平上水平1x12x101x22x202xm2xm0m零水平零水平0 x10 x20 xm0下水平下水平1x11x101x21x202xm1xm0m下星號(hào)臂下星號(hào)臂x1x2xm變化間距變化間距j12

17、m因素水平的編碼表因素水平的編碼表 確定合適的二次回歸正交組合設(shè)計(jì)確定合適的二次回歸正交組合設(shè)計(jì) n參考表參考表8-22因素?cái)?shù)因素?cái)?shù)m選用正交表選用正交表表頭設(shè)計(jì)表頭設(shè)計(jì)mcm2L4（23）1，2列列22443L8（27）1，2，4列列23864（1/2實(shí)施）實(shí)施）L8（27）1，2，4，7列列241884L16（215）1，2，4，8列列241685（1/2實(shí)施）實(shí)施）L16（215）1，2，4，8，15列列24116105L32（231）1，2，4，8，16列列253210正交表的選用正交表的選用 試驗(yàn)方案的實(shí)施試驗(yàn)方案的實(shí)施 回歸方程的建立回歸方程的建立 n常數(shù)項(xiàng)：常數(shù)項(xiàng)：a11niia

18、yynn一次項(xiàng)偏回歸系數(shù)一次項(xiàng)偏回歸系數(shù)bj ：121njiiijnjiiz ybzn 交互項(xiàng)偏回歸系數(shù)交互項(xiàng)偏回歸系數(shù)bkj ：121()()nkjiiikjnkjiiz zybz zn 二次項(xiàng)偏回歸系數(shù)二次項(xiàng)偏回歸系數(shù)bjj ：121()()njiiijjnjiizybz回歸方程顯著性檢驗(yàn)回歸方程顯著性檢驗(yàn) 總平方和：總平方和： 2221111()()nnnTiiiiiiSSyyyyn221njjjiiSSbz 交互項(xiàng)偏回歸平方和：交互項(xiàng)偏回歸平方和：221()nkjkjkjiiSSbz z 二次項(xiàng)偏回歸平方和：二次項(xiàng)偏回歸平方和：221()njjjjjiiSSbz 一次項(xiàng)偏回歸平方和：一次項(xiàng)偏回歸平方和：n 平方和：平方和： 回歸平方和：回歸平方和： 殘差平方和：殘差平方和： eTRSSSSSSRSSSSSSSS一次項(xiàng)二次項(xiàng)交互項(xiàng)n自由度：自由度：dfTn1各種偏回歸平方和的自由度：各種偏回歸平方和的自由度：1 回歸平方和的自由度：回歸平方和的自由度： Rdfdfdfdf一次項(xiàng)二次項(xiàng)交互項(xiàng) 殘差平方自由度：殘差平方自由度： eTRdfdfdfn回歸系數(shù)的檢驗(yàn)：回歸系數(shù)的檢驗(yàn)：