第4章二階非線性光學(xué)效應(yīng)(石順祥)

1、第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.1 線性電光效應(yīng)線性電光效應(yīng) 4.2 光整流效應(yīng)光整流效應(yīng) 4.3 三波混頻及和頻、三波混頻及和頻、 差頻產(chǎn)生差頻產(chǎn)生 4.4 二次諧波產(chǎn)生二次諧波產(chǎn)生 4.5 參量轉(zhuǎn)換參量轉(zhuǎn)換 4.6 參量放大與參量振蕩參量放大與參量振蕩 習(xí)題習(xí)題 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.1 線性電光效應(yīng)線性電光效應(yīng) 線性電光效應(yīng)也叫做普克爾（Pockler）效應(yīng)。 當(dāng)沒有反演中心的晶體受到直流電場或低頻電場作用時(shí), 其折射率發(fā)生與外加電場成線性關(guān)系的變化。 應(yīng)當(dāng)指出的是, 這里所說的低頻電

2、場是與光頻比較而言, 所以微波頻率也包括在內(nèi)。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 線性電光效應(yīng)是一種特殊的二階非線性光學(xué)效應(yīng)。 在這里, 作用于介質(zhì)的兩個(gè)電場， 一個(gè)是光電場, 另一個(gè)是低頻場或直流場, 在這兩個(gè)電場的作用下產(chǎn)生了二階非線性極化。 現(xiàn)在假定作用于介質(zhì)的直流場為E0、 光電場為E exp(-it)+c.c., 則根據(jù)極化強(qiáng)度的一般表示式（1.1-39）式和（1.1-40）式, 有.: ),(.: )0 ,(2: ),(2: )0 , 0()(.)()0()(20)2(00)2(0)2(000)2(0)2(00)1(0)1(cceEEcceEEEEEEtPccEeE

3、tPtititi(4.1-1) (4.1-2) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 因此, 相應(yīng)于頻率為的極化強(qiáng)度分量表示式為 .)0 ,(2)(.)0 ,(2.)(),(0)2()1(00)2(0)1(0cceEEcceEEcceEtPtititi(4.1-3) 由此可見, 直流電場的作用使得介質(zhì)對頻率為的極化率張量改變了 。 在這種情況下, 電位移矢量為 D=0E+PL+PNL=E+PNL0)2()0 ,(2E第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 或用分量形式表示為 EEEPEDeff)()0 ,(2(00)2(00(4.1-4)這里的是相對介電常數(shù)張量元素。 因

4、此, 由于直流電場的作用, 使頻率為的相對介電常數(shù)張量產(chǎn)生了一個(gè)變化量 : 0)2()0 ,(2E)(第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1. 折射率橢球幾何法描述 在第三章, 我們利用折射率橢球詳細(xì)地討論了光波在介質(zhì)中的傳播特性。 在主軸坐標(biāo)系中的折射率橢球表示式為1222222xxxzzyynx第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 由上面的討論已知, 由于直流電場E0的存在, 引起了介電常數(shù)張量的變化, 也就引起了折射率橢球方程的系數(shù)1/n2x、 1/n2y、 1/n2z發(fā)生變化。 因此, 在有直流電場存在時(shí), 應(yīng)將折射率橢球方程寫成如下一般的形式: 112121

5、2 111625242232222212xynzxnyznznynxn(4.1-6) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 當(dāng)直流電場為零, 且x、 y、 z軸分別平行于三個(gè)介電主軸時(shí), 有01,1101,1101,11062203205220220422012000000EzEEyEExEnnnnnnnnn(4.1-7) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1） KDP（KH2PO4）晶體中的線性電光效應(yīng) KDP晶體屬于42m對稱群, 其光軸取為z軸, 另外兩個(gè)對稱軸為x軸和y軸。 根據(jù)表4.1-1, 它的線性電光張量的非零元素只有41=52和63, 其矩陣形式為6

6、34141000000000000000(4.1-20) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 當(dāng)外加直流電場E0=0時(shí), KDP晶體的折射率橢球方程為 1222222eoonznynx(4.1-21) 晶體外加直流電場E0時(shí), 折射率橢球方程應(yīng)為1222262524232222212nxynzxnyznznynx(4.1-22) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 由（4.1-19）式關(guān)系, 有 3636232241522214142121, 011, 011, 01EnnEnnEnn所以, E00時(shí), KDP晶體的折射率橢球方程為 1222063041041222

7、222xyEzxEyzEnxnynxxyxeoo(4.1-23) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.1-1 坐標(biāo)變換關(guān)系 xxyz,zyO45 45 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2) 43m類晶體的線性電光效應(yīng)（橫向運(yùn)用） 43m類晶體為立方晶系類, 屬于這類晶系的晶體有CuCl、 ZnS、 GaAs、 ZnTe等。 這類晶體未加電場時(shí), 光學(xué)性質(zhì)是各向同性的, 其折射率橢球?yàn)樾D(zhuǎn)球面, 方程式為 x2+y2+z2=n20 (4.1-30) 式中, x、 y、 z取晶軸方向, 它們的線性電光張量矩陣為第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng)

8、 因此, 外加直流電場E0后的折射率橢球方程為414141000000000000000(4.1-31) 1)(200041202202202xyEzxEyzEnznynxzyx(4.1-32) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2. 麥克斯韋方程解析法描述 如前所述, 線性電光效應(yīng)是一種二階非線性光學(xué)效應(yīng), 由于直流電場的作用, 使介質(zhì)對頻率為光波的相對介電常數(shù)張量變?yōu)?)2(2)(Eeff(4.1-40) 將變化后的介電常數(shù)張量代入描述晶體光學(xué)性質(zhì)的基本方程（3.1-9）式, 得EEkkEcnDeff)(202(4.1-41) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效

9、應(yīng) 1） KDP晶體的線性電光效應(yīng) 假定外加直流電場平行于光軸（z軸）, 并且根據(jù) 42m類晶體的二階極化率張量形式zxyzxyxyzxzyxzyxyz000000000000000000000KDP晶體的有效相對介電張量元素可表示為 ozzozeffEE)2()2(22)(第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 寫成矩陣的形式為 zzxxozxyzozxyzxxeffrEE000202)()2()2(將(r)eff代入（4.1-41）式, 得 )()()(000000)()()(0002022222)2()2(zyxzyxzzzzxxozxyzozxyzxxEEEnnnEEEnkk

10、EE (4.1-42) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2） 43m類晶體的電光效應(yīng)（橫向運(yùn)用） 43m類晶體的二階非線性極化率張量的形式為 zxyzxyxyzxzyxzyxyz000000000000000000000這里的二階非線性極化率張量元素有如下的對稱性: )2()2()2()2()2()2(yxzyzxzyxzxyxzyxyz第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 假設(shè)外加直流電場的方向?yàn)閦方向, 光波在xOy平面內(nèi)沿著x、 y軸的對角線方向傳播, 因而有2/245sin2/245coskkkkyx 式中, k表示光波傳播方向的單位矢量, 所以有效相對介

11、電張量為rrzxyzzxyzreffrEE000202)(0)2(0)2(第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.1-2 4 43m晶體橫向運(yùn)用時(shí)的本征矢示意 zykxO本征矢E2本征矢E1第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.2 光光 整整 流流 效效 應(yīng)應(yīng) 若令光波電場的空間變化部分為 rkcniaeEE0(4.2-1) 式中, E0為光波電場的振幅, a為光振動(dòng)方向的單位矢量, k為光波傳播方向的單位矢量, 則由于二次非線性效應(yīng)產(chǎn)生的直流極化強(qiáng)度為aaEEEP: ),(2: ),(2)2(200)2(00(4.2-2) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階

12、非線性光學(xué)效應(yīng) 根據(jù)上面的假定, 光波在KDP晶體中傳播時(shí), 其尋常光分量有ax0, ay0, az=0, 非常光分量有ax=ay=0, az0。 又根據(jù)KDP晶體(2)的空間對稱性, 只有 中三個(gè)腳標(biāo)都不相同的元素才不為零。 所以, 如對于尋常光和非常光分別按（4.2-2）式展開, 就可以得到它們的P0 x和P0y分量皆為零, 但對P0z分量兩者不同: 非常光的P0z=0, 尋常光的P0z0。 對于尋常光來說, ),()2(yxzxyyxzyxyxzxyzaaEaaaaEP),(4),(),(2)2(200)2()2(2000(4.2-3) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng)

13、這表示在z方向有一個(gè)恒定的極化強(qiáng)度分量P0z。 假設(shè)光波的傳播方向k與晶軸x之間的夾角為, 則有cos,sinyxa將其代入（4.2-3）式, 便得 2sin),(2)2(2000zxyzEP(4.2-4) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.3 三波混頻及和頻、三波混頻及和頻、 差頻產(chǎn)生差頻產(chǎn)生 4.3.1 三波混頻的耦合方程組 由二階非線性極化強(qiáng)度的一般表示式（1.2-36）式, 可以得到三波混頻中任何一對光波所感應(yīng)的非線性極化強(qiáng)度復(fù)振幅為第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 根據(jù)（3.3-23）式, 三個(gè)頻率1、 2和3的光電場標(biāo)量復(fù)振幅E(1,z)， E(

14、2,z)和E(3,z)滿足的微分方程分別為),(),(: ),(2)(),(),(: ),(2)(),(),(: ),(2)(2121)2(03)2(1*313)2(02)2(2*323)2(01)2(zEzEPzEzEPzEzEP(4.3 - 1)(4.3 - 2)(4.3 - 3)第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) zikNLzikNLzikNLezPakidzzdEezPakidzzdEezPakidzzdE321),()(2),(),()(2),(),()(2),(333023322202221110211(4.3-4) (4.3-5) (4.3-6) 第第4章章 二階非

15、線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 式中的PNL (,z)為zkkiNLzkkiNLzkkiNLezEzEaazPezEzEaazPezEzEaazP)(212121)2(01)(131313)2(02)(232323)2(01231323),(),()()(: ),(2),(),(),()()(: ),(2),(),(),()()(: ),(2),(將（4.3-7）式（4.3-9）式分別代入（4.3-4）式（4.3-6）式, 并令第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) kziezEzEaaackidztdE),(),()()()(: ),(),(2121321)2(23233kzikz

16、iezEzEaaackidztdEezEzEaaackidztdE),(),()()()(: ),(),(),(),()()()(: ),(),(1313213)2(222222323123)2(21211 (4.3-11) (4.3-12) (4.3-13) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.3.2 曼利-羅關(guān)系 現(xiàn)將（4.3-16）式乘 , （4.3-17）式乘 , （ 4 . 3 - 1 8 ） 式 的 復(fù) 數(shù) 共 軛乘 , 再將所得三式相加, 可得),(111zEk),(222zEk),(333zEk0),(),( ),(),(),(),(323322221111d

17、zzdEzEkdzzdEzEkdzzdEzEk(4.3-19) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在得到上式時(shí)已利用了關(guān)系1+2=3。 現(xiàn)再取（4.3-19）式的復(fù)數(shù)共軛并與（4.3-19）式相加, 有常數(shù)233322222111233322222111),(),(),(0),(),(),(zEkzEkzEdzdkzEdzdkzEdzdkzEdzdk對該式積分, 得 (4.3-20) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 因?yàn)槟芰髅芏萐的表示式為202)(2)(221EkES所以（4.3-20）式可表示為 常數(shù)321SSS(4.3-21) 第第4章章 二階非線性光學(xué)

18、效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.3.3 和頻產(chǎn)生 上面給出的方程組（4.3-16）（4.3-18）是討論非線性介質(zhì)中三波(1,2,3=1+2)混頻的基本耦合波方程組。 現(xiàn)在我們首先討論和頻產(chǎn)生的情況。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1. 小信號近似理論處理 在滿足相位匹配條件下, 即k=0時(shí), 方程（4.3-18）式的解為zEEckizEeff)0 ,()0 ,(),(21)2(23233(4.3-31) 這就是在小信號近似和滿足相位匹配條件下所得到的和頻光電場E(3,z)的變化規(guī)律。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2. 大信號理論處理 在1和2入射光電場振

19、幅為E0(1,0)和E0(2,0)的情況下, （4.3-16）式（4.3-18）式的一般解為3)0 ,()0 ,()0 ,(21),()0 ,(),(10202112222110)2(213223222202122323230EEkkkZEkkcukusnEkkzEeff(4.3-35) (4.3-36) (4.3-37) 式中 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在這里, 頻率為2的光場分量已表示為入射光頻率為1 和2兩個(gè)分量中強(qiáng)度較弱的一個(gè)。 sn(u,k)是以u和k為參變量的雅可比橢圓函數(shù), 它是由第一類橢圓積分逆變換得來的。 已知第一類橢圓積分為ukdkF022sin1)

20、,(第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 該橢圓積分的逆變換sin是u和k的函數(shù), 用sn(u,k)表示, 即為雅可比橢圓函數(shù), 所以有 sn(u,k)=sin (4.3-38) 因?yàn)閟in是周期函數(shù), 所以sn(u,k)也是周期函數(shù), 而且最大值等于1。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.3-1 在相位匹配條件下, N隨z變化規(guī)律 N0p/2pz)0(2 N)0(1 N第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.3.4 差頻產(chǎn)生 1. 小信號近似理論處理 在z很小的情況下, 可以將E(3,z)和E(1,z)看作常數(shù), 在完全相位匹配條件下直接積分

21、（4.3-17）式, 可得zEEckzEeff)0 ,()0 ,(21),(1030)2(222220以及 02321(4.3-44) (4.3-45) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 式中, lM就是由（4.3-）式定義的用來表征混頻過程速率的特征長度, 用lM表示（4.3-44）式時(shí), 有2)0()(32MlzNzN(4.3 - 46)MlzzEkkzE),(),(30212322230(4.3-47) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2. 大信號理論處理 差頻光波的光子通量 的一般解形式為2N,)0()0()0(,)0()0()0()0()0()0()

22、0()(2121231313131312MMlzNNNlzNNNfNNNNzN(4.3-48) 式中, 函數(shù)f(u,k)是雅可比橢圓函數(shù)sn(u,k)和dn(u,k)之比, 即),(1),(),(),(),(22kusnkkudnkudnkusnkuf(4.3-49) (4.3-50) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.3-2 在相位匹配條件下N隨z的變化規(guī)律 N0p/2pz)0(1 N)0(3 N第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.4 二次諧波產(chǎn)生二次諧波產(chǎn)生 4.4.1 理想均勻平面波的二次諧波產(chǎn)生 1. 二次諧波產(chǎn)生 二次諧波產(chǎn)生是和頻產(chǎn)生的特殊

23、情況, 但不能簡單地將1=2代入上節(jié)對和頻產(chǎn)生討論所得到的結(jié)果中, 這是因?yàn)楫?dāng)1=2時(shí), 除由1和2產(chǎn)生和頻外, 還分別有1和2的二次諧波產(chǎn)生的過程, 但在上節(jié)討論和頻產(chǎn)生規(guī)律時(shí), 并沒有考慮這些二次諧波產(chǎn)生過程。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 對于二次諧波產(chǎn)生過程, 假設(shè)k2和k分別表示頻率為2和的光波傳播常數(shù), 則按（3.3-23）式, 二次諧波產(chǎn)生過程中的耦合方程為kzikziezEzEaaackidzzdEezEaaackidzzdE),(),2()()2()(),2(),(),()()()2(),(2),2()2(222)2(222(4.4-1) (4.4-2)

24、式中 22kkk(4.4-3) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 方括號中點(diǎn)乘的定義見（4.3-14）式。 和論證（4.3-15）式類似, 如果介質(zhì)在頻率和2處是無耗的, 則張量(2)(,)是實(shí)數(shù), 就有 ),2(),2(),()2()2()2(4.4-4) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 上式中最后一個(gè)等式已利用了極化率張量的時(shí)間反演對稱性。 因此, （4.4-1）式和（4.4-2）式中方括號相等, 并令其等于 , 即有)2(effkzieffkzieffezEzEckidzzdEezEckidzzdE),(),2(),(),(2),2()2(222)2(2

25、22(4.4-5) (4.4-6) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在上二式中消去 , 可以得到 )2(eff常數(shù)222),(),2(21zEkzEk(4.4-7) 或用能流密度表示時(shí), 可得如下關(guān)系式 常數(shù)SS2(4.4-8) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-1 相位匹配條件下二次諧波產(chǎn)生規(guī)律00.51.012E0(2, z) / E0(, 0)基波二次諧波SHlz第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2. 有效非線性光學(xué)系數(shù) 1) 有效非線性極化率 在前面求解三波混頻的耦合波方程時(shí), 引入了有效非線性極化率 。 例如, 對于頻率為

26、3的光電場有)2(eff)()()(),()()(: ),()(21321)2(2121)2(3)2(aaaaaaeff(4.4-26) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-2 o光與e光偏振在各晶軸上的投影 zko偏振e偏振yxO第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2） 有效非線性光學(xué)系數(shù) 在非線性光學(xué)中, 除了采用非線性極化率張量(2)描述非線性作用外, 習(xí)慣上, 特別是實(shí)驗(yàn)工作者, 更常采用非線性光學(xué)系數(shù)d描述非線性相互作用。 d與(2)有如下關(guān)系6: ),(2),(),(),()2(2121)2(dd(4.4-30) (4.4-31) 第第4章章

27、 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 若用d替代三波混頻耦合波方程中的(2), 同樣可以得到有效非線性光學(xué)系數(shù)deff: )()(: ),()(21213aadadeff(4.4-32) 它是一個(gè)標(biāo)量, 同樣表征了光混頻中的光波耦合。 表 4.4-1 某些晶類的dl(2)獨(dú)立分量數(shù)目( 略）. 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.4.2 高斯光束的二次諧波產(chǎn)生 假設(shè)基波TEM00模高斯光束的電場由下式表示: .)(21),(1011ccerEtrEti(4.4-42) 式中 )1()arctan(2110)1(110011121111121111),(ibrkzkiibrk

28、zikeeiEeeiEzyxE(4.4-43) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-3 高斯光束 光束軸光軸xzf晶體lmo第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1) 近場(11)、 不考慮走離效應(yīng)此時(shí), TEM00模高斯光束電場表達(dá)式可簡化為zikbrkeeEzyxE11211001),(4.4-44) 該式表明, 在近場區(qū)高斯光束的波陣面為平面, 因此可以利用平面波情況下的耦合波方程（4.4-1）進(jìn)行討論, 只是在這里應(yīng)以 代替方程中的E(1,z), 以2deff代替 。 于是, 耦合波方程為)2(eff12110brkeEkzibrkeffeeEdc

29、nidzdE1212210202(4.4-45) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在小信號近似情況下可得 2/)2/sin(2222101202121klkleeEnldiEklibrkeff(4.4-46) 基波高斯光束功率為 222)(22101021021001201020011IEcnrdrdrEcnP(4.4-47) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2221021021221222202020022)2/()2/(sin82klklPcnndlrdrdEcnPeff(4.4-48) 因此, 二次諧波產(chǎn)生效率為 2221012122122212)2/

30、()2/(sin8klklPcnndlPPeff(4.4-49) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 由（4.4-46）式可以看出, 二次諧波也是高斯光束, 它的束腰半徑w20為22101120kb(4.4-50) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2) 近場(11)、 考慮走離效應(yīng)7 為討論簡單起見, 假定滿足相位匹配條件(k=0), 并假定走離發(fā)生在xOz平面內(nèi)（見圖4.4-4）, 走離角為。 我們?nèi)灾挥懻撔⌒盘柦啤?由于考慮的是近場情況, 所以仍可采用平面波耦合方程（4.4-45）, 但是在計(jì)算晶體輸出面上的總諧波場時(shí), 積分路徑必須沿著能量傳播方向（與z

31、軸夾角為）。 在這種情況下, 晶體輸出面上某點(diǎn)B(x,y,l)的二次諧波場幅度E02(x,y,l), 應(yīng)是虛線AB上各點(diǎn)的非線性極化發(fā)射的二次諧波場的疊加。 因此, 對方程（4.4-45）式的積分為第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-4 考慮走離效應(yīng)時(shí)諧波場的積分路線 OlzAx2B(x,y,l )(x , y , z )第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 式中, x, y, z是積分路徑AB上各點(diǎn)的坐標(biāo), zdeEdcnilyxElyxbkeff0)(22102022211),(4.4-51) yyzlxx)( (4.4-52) 將（4.4-52）式代

32、入（4.4-51）, 可得 zdeEdcnilyxElybkzlxbkeff02)(2210202211211),(4.4-53) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 引入歸一化坐標(biāo)8 allbkltbkzbklxu222)(2111111(4.4-54) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 式中, la是高斯光束的走離長度, 定義為 1011kbla(4.4-55) 并且定義積分deltuFtu0)(21),(4.4-56) 則（4.4-53）式可表示為 ),(),(2112210202tulFeEdcnilyxEybkeff(4.4-57) 第第4章章 二階非線

33、性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 3) 一般情況 對于既包括雙折射引起的走離效應(yīng), 又包括高斯光束發(fā)散影響的一般情況, 不能直接采用平面波耦合波方程求解。 博伊德(Boyd)和克萊曼(Kleinman)經(jīng)過詳細(xì)證明9, 給出了遠(yuǎn)場情況下高斯光束二次諧波產(chǎn)生的效率表示式為),(811021221212BhlkPcnndPPmeff(4.4 - 62)第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 式中, B是雙折射參量, 其表示式為211)(21lkB(4.4-63) 是聚焦參數(shù), 表示式為 1bl (4.4-64) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-5 不同t值下,

34、函數(shù)F2(u,t)的變化曲線 1.00.80.60.40.2010 8 6 4 20 2t =1052.51t =0.5F 2(u, t)u第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-6 函數(shù)G(t)變化曲線7 10.001.000.100.010.11.010.0100.0G(t)a21/)2(llt第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-7 函數(shù)hm(B,)在各種B值下與的關(guān)系曲線 1.39168421B02.841010210310 110 2110 30.010.11.010hm(B, )第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.

35、4-8 函數(shù)hmm(B)與B的關(guān)系曲線 1.00.80.60.40.20021345678hmm(B)B第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 最后, 我們列出各種極限情況下的效率公式: )()()()(),(75. 4482222101021221212fafaafaffaffafaeffllllllllllllllllllllllPcnndPP(4.4-65) 式中, lf稱為高斯光束的有效焦長, 12blf(4.4-66) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.5 參參 量量 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 換換 4.5.1 參量轉(zhuǎn)換的理論分析 在實(shí)際情況中, 起頻率轉(zhuǎn)換作用的強(qiáng)光波E(

36、1)（有時(shí)稱為泵浦光）通常都比弱光波（有時(shí)稱為信號光）強(qiáng)得多, 所以在頻率轉(zhuǎn)換過程中, 泵浦光所損失或得到的功率與其總功率相比很小, 因此可忽略其強(qiáng)度的變化, 認(rèn)為E(1)為常數(shù)。 這種近似不僅適用于小的z值, 對所有的z值都適用。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 根據(jù)上面所給出的近似, 我們可以一般地求解 （4.3-17）式和（4.3-18）式。 將（4.3-17）式對z求導(dǎo), 得kzieffkzieffkeEzEckeEdzzdEckidzzEd)(),()(),(),(13)2(222213)2(2222222(4.5-1) 由（4.3-17）式可以求得 kzieffe

37、dzzdEEickzE),()(),(21)2(22223(4.5-2) 式中, lM是由（4.3-41）式定義的特征長度。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.5.2 參量上轉(zhuǎn)換 參量上轉(zhuǎn)換實(shí)驗(yàn)裝置的示意圖如圖4.5-1所示。 第一個(gè)觀察到參量上轉(zhuǎn)換的實(shí)驗(yàn)所利用的非線性晶體是KDP, 紅寶石激光器發(fā)出的激光作為泵浦光, 光脈沖的平均功率為1 kW, 信號光是用水銀燈發(fā)出的譜線, 每條譜線的功率大約為10 mW量級, 所以信號光的強(qiáng)度比泵浦光強(qiáng)度小得多（相差約105倍）。 在實(shí)驗(yàn)中盡可能使之達(dá)到相位匹配條件, 得到大約10-9 W的產(chǎn)生波功率, 可見其上轉(zhuǎn)換效率是很低的。 在

38、這樣小的轉(zhuǎn)換輸出強(qiáng)度情況下, 上轉(zhuǎn)換輸出強(qiáng)度與輸入信號強(qiáng)度之間存在著線性關(guān)系, 這種關(guān)系也正是（4.5-8）式所預(yù)示的情況。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.5-1 參量上轉(zhuǎn)換實(shí)驗(yàn)示意圖 非線性晶體輸入信號21，211，2，33部分反射鏡濾波器第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.5-2 參量上轉(zhuǎn)換過程的波矢關(guān)系 kIRvkLkIRkvIR第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.6 參量放大與參量振蕩參量放大與參量振蕩 4.6.1 參量放大 首先應(yīng)當(dāng)明確, 在激光放大器和激光振蕩器中, 增益是由原子或分子能級之間的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)提供的,

39、而在參量放大器和參量振蕩器中, 增益則是由非線性介質(zhì)中光波之間的相互作用產(chǎn)生的。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在4.5節(jié)中我們已經(jīng)知道, 參量上轉(zhuǎn)換過程中, 原來信號光(2)的強(qiáng)度 限制了從泵浦光(1)輸送到轉(zhuǎn)換光(3)的功率 。 但是在參量放大的情況下, 限制功率輸送的是泵浦光強(qiáng)度, 因而在參量放大中, 有可能輸送更大的能量。 )0(2N)(3zN第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 根據(jù)以上的說明可以看到, 在耦合波方程(4.3-16)(4.3-18)中的任何一個(gè)光電場振幅E(1,z)、 E(2,z)和E(3,z)都不能認(rèn)為是不變的, 即使是泵浦光E(3,

40、z)， 原則上也可以減小到零, 而同時(shí)信號光E(1)和空閑光E(2)得到不斷地增大。但是, 如果只限定討論z值足夠小的情況, 這時(shí)雖然信號光和空閑光已可能發(fā)生了顯著的變化, 但泵浦光還未發(fā)生顯著的減小, 則此時(shí)仍可把泵浦光E(3)看作常數(shù)。 利用這種近似, 我們可以求解方程(4.3-17)式和(4.3-16)式。 消去E(1,z)后, 可以得到E(2,z)的微分方程為第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 0),(1),(),(222222zEldzzdEkidzzEdPA(4.6-1) 式中 130)2(212122212)(21EkkcleffPA(4.6-2) 第第4章章 二階

41、非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) zkleklEEckizEPAkziPAeff21222212231)2(2222221sin211)0 ,()0 ,(),(4.6-3) 和 PAPAPAlzlkshlkNzN212222121)0()(12(4.6-4) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 再由曼利-羅關(guān)系得到 )0()0(2121NNNN常數(shù)(4.6-4) 假定開始時(shí), , 則信號光的光子通量為 0)0(2N)0(212121)()0()(1211221222NlklzlkshlkzNNzNPAPAPAPA(4.6-6) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4

42、.6.2 參量振蕩 圖4.6-1示出了一種對信號光和空閑光雙共振的參量振蕩器的原理結(jié)構(gòu)。 圖中頻率為3的激光作為參量振蕩器的泵浦光, 總的增益將使1和2光波在含有非線性晶體的光學(xué)諧振腔內(nèi)產(chǎn)生振蕩。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.6-1 雙共振參量振蕩器示意圖 激光介質(zhì)非線性晶體泵浦激光器振蕩器R1R21R3 0R1R21R3 0第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1. 參量放大基本方程的另一種形式因?yàn)閔EnhSNEnEnS200020002020)(21)(21)(21因而(n|E0()|2/)與頻率為的光子通量成正比。 令 2220)(4)(EnAE

43、n第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 就有關(guān)系 AnE21)(4.6-10) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2. 參量振蕩的自洽條件 分析參量振蕩的基本模型如圖4.6-2所示。 為簡單起見, 假定非線性晶體本身作為一個(gè)光學(xué)諧振腔, 其兩端對信號光和空閑光的反射率為R1,2=|r1,2|2, r為反射系數(shù)。 腔鏡對泵浦光是透明的。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.6-2 推導(dǎo)參量振蕩條件的模型 AaAbAcAdAe泵浦參考平面Aa第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在腔中任一平面z處的信號光可以用下面的行“矢量” 描述:

44、zikzikezAezAzA21)()()(21(4.6-21) 式中, ki=ini/c, A上面的“”表示此矢量是人為假定的。 按(4.6-17)式、 (4.6-19)式和(4.6-21)式, 在非線性晶體內(nèi)通過腔長l時(shí)的 (l)為A第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) )0()0()(2)()()()(2)()()()(21)2(0)2(0)2()2(21221121AAlshkilchelshielshielshkilcheelAelAlAlkkilkkilkkilkkiliklik(4.6-22) 如果 (z)在諧振腔內(nèi)往返一周保持不變, 就表示信號光和空閑光處于穩(wěn)定的振

45、蕩狀態(tài)。 現(xiàn)在就來推導(dǎo)參量振蕩器的振蕩條件。 A第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 3. 參量振蕩器的閾值條件 1) 雙共振參量振蕩器的閾值條件 所謂雙共振參量振蕩器, 就是對頻率為1的信號光和頻率為2的空閑光都有高Q值的振蕩器。 將(4.6-31)式和(4.6-30)式代入(4.6-29)式后, 便得到雙共振情況下的參量振蕩條件為 1)()()( 1)(1)(2102102210201RRlchRRlshRRlchRlchR即 (4.6-32) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 再利用泵浦強(qiáng)度表示式 )1)(1 ()(210RRlth(4.6-33) 23023

46、003)(21EnS(4.6-34) 及0的定義(4.6-12)式, 可以得到雙共振參量振蕩器的閾值泵浦強(qiáng)度為)1)(1 ()(2)(212)2(022132123003RRlnnnSeffth(4.6-35) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2) 單共振參量振蕩器的閾值條件 所謂單共振參量振蕩器， 是指只有一個(gè)頻率的光波（如頻率為1的信號光）在腔鏡處被反射返回形成振蕩, 而空閑光2只能在一個(gè)方向上傳播的振蕩器, 它的典型原理裝置如圖4.6-3所示。 這是一種非共線相位匹配的情況, 三個(gè)波的方向各不相同, 可以將信號光與空閑光分開來。 這樣的非共線相位匹配條件要求213kkk

47、(4.6-39) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.6-3 單共振參量振蕩器結(jié)構(gòu)示意 M1(R1)M2(R2)k1k3k2非線性晶體棱鏡棱鏡泵浦第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 根據(jù)參量振蕩器的振蕩條件(4.6-29)式, 令r2=0, 就有 1)(12021lkielchr(4.6-40) 這就是單共振參量振蕩器的閾值條件。 考慮到(4.6-30)式, 我們又可以把(4.6 - 40)式分解為相位條件mlk2211(4.6-41) 和振幅條件 1)(01lchR(4.6-42) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 由此可見, 單共振參量振

48、蕩器振蕩的相位條件(4.6-41)式與雙共振參量振蕩的相位條件(4.6-31)式是相同的, 只是對空閑光的相位2沒有限制。 對于R11的情況, 閾值條件(4.6-42)式又可寫成)1 (2)(10Rlth(4.6-43) 可見, 單共振參量振蕩器的閾值泵浦相對于雙共振參量振蕩器增大了, 且有 20012)()(Rllthth雙單(4.6-44) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4. 參量振蕩器的頻率調(diào)諧 光參量振蕩器的最大特點(diǎn)是其輸出頻率可以在一定范圍內(nèi)連續(xù)改變, 不同的非線性介質(zhì)和不同的泵浦源, 可以得到不同的調(diào)諧范圍。 當(dāng)泵浦光頻率3固定時(shí), 參量振蕩器的振蕩頻率應(yīng)同時(shí)滿

49、足頻率和相位匹配條件213213kkk(4.6-45) (4.6-46) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 若三波波矢共線, 則有 221133nnn(4.6-47) 將(4.6-45)式代入, 得 2211213)(nnn因而有 133221nnnn(4.6-48) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1) 角度調(diào)諧 在共線相位匹配的情況下, 假定頻率為3的泵浦光是非常光, 1和2光波是尋常光, 又假定晶體光軸與諧振腔軸之間的夾角為某一角度0時(shí), 在10和20處發(fā)生振蕩, 其折射率分別為n1o和n2o, 則按(4.6-47)式應(yīng)有 3n3e(0)=10n1o+2

50、0n2o (4.6-49) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)晶體使晶體相對原來的方向轉(zhuǎn)過角度, 就引起折射率n3e()變化。 為滿足相位匹配條件(4.6-47)式, 1和2必須稍有改變, 這又導(dǎo)致折射率n1o和n2o的改變。 這樣, 相對于0時(shí)的振蕩, 新舊振蕩之間有如下的改變: 33n3e(0)n3e(0)+n3n1on1o+n1n2on2o+n21010+12020+2第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 并且, 根據(jù)能量守恒條件(4.6-45)式, 有 -2=1 因?yàn)楝F(xiàn)在要求新的一組頻率滿足(4.6-47)式, 故應(yīng)有 3(n3e(0)+n3)=(20

51、+2)(n2o+n2) +(10+1)(n1o+n1) 略去n的二階小量, 并利用(4.6-45)式, 可得oonnnnn21220110331(4.6-50) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.6-4 信號光頻率1隨的變化曲線 450500600 70010001500波長 / nm024682.52.01.51.0光子能量 / eV0.60.40.200.2 0.4 0.6頻率偏移量 轉(zhuǎn)動(dòng)角度/ 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2) 溫度調(diào)諧 在非臨界相位匹配(m=90)的情況下, 可以通過改變溫度來改變光的折射率, 從而使振蕩頻率發(fā)生變化。 在這種情況下, (4.6-50)式仍然適用, 只不過折射率的改變n1、 n2和n3是由溫度變化T引起的, 且有TTnnnTnnnnTTnnTT