大物習(xí)習(xí)題答案第3章 連續(xù)物體的運(yùn)動

1、第3章 連續(xù)物體的運(yùn)動一 基本要求 1 理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量，并掌握角量與線量的關(guān)系。2 理解力矩和轉(zhuǎn)動慣量概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律。3理解角動量概念，掌握質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動情況下的角動量守恒定律。4理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能概念，能載有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的問題中正確的應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。5了解流體的特點(diǎn)，掌握理想流體的概念。6掌握理想流體的連續(xù)性方程和伯努利方程。7了解伯努利方程的應(yīng)用。二 基本概念1連續(xù)介質(zhì) 在宏觀力學(xué)的范圍內(nèi)如果能忽視物體內(nèi)部的不連續(xù)性，把物體看作質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系。2剛體 大小和形狀的變化可以忽略的連續(xù)介質(zhì)。3對定軸的力矩：力的大小與點(diǎn)到

2、力的作用線的垂直距離的（力臂）乘積。 或 =r×F 4轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動中慣性大小的物理量。對于質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量 。如果物體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，上式可寫為 。5 質(zhì)點(diǎn)的角動量 質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)O的位矢為，質(zhì)點(diǎn)m對原點(diǎn)O的角動量為 6 沖量矩 力矩和作用時間的乘積，記作。7剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量 8力矩的功 9力矩的功率 10剛體的轉(zhuǎn)動動能 11流體 處于液態(tài)和氣態(tài)的物體的統(tǒng)稱。特點(diǎn)是物體各部分之間很容易發(fā)生相對運(yùn)動，即流動性。12理想流體 絕對不可壓縮和完全沒有黏性的流體。13定常流動 流體流經(jīng)空間任一給定點(diǎn)的速度是確定的，并且不隨時間變化。在流速較低時定常流動的條件是能夠

3、得到滿足的。14流線 為了形象地描述流體的運(yùn)動, 在流體中畫出一系列曲線,使曲線上每一點(diǎn)的切線方向與流經(jīng)該點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向相同, 這種曲線稱為流線。15流管 在定常流動中,通過流體中的每一點(diǎn)都可以畫一條流線。由流線圍成的管狀區(qū)域, 就稱為流管。16流量 單位時間內(nèi)流過某一截面的流體體積, 稱為流體流過該截面的體積。三 基本規(guī)律1剛體定軸轉(zhuǎn)動角量與線量的關(guān)系 =R = R 2轉(zhuǎn)動定律 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比，。3相加性原理 對同一轉(zhuǎn)軸而言，剛體總轉(zhuǎn)動慣量等于各部分轉(zhuǎn)動慣量之和。4平行軸定理 質(zhì)量為m的剛體對過它質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量是,如果

4、有另一軸與該軸平行，兩軸之間的距離為d,那么剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量為5質(zhì)點(diǎn)的角動量定理 對同一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動量的增量6質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受的對參考點(diǎn)的合外力矩為零時，質(zhì)點(diǎn)對參考點(diǎn)的角動量為一恒矢量。7剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量。8剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律 當(dāng)剛體所受的的合外力矩為零，或者不受合外力的作用，剛體的角動量保持不變。9剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功，等于剛體的轉(zhuǎn)動動能的增量，即 。10理想流體的連續(xù)性方程 理想流體作定常流動時, 流體的速率與流管截面積的乘積是一個恒量, = 恒量。

5、11伯努利方程 作定常流動的理想流體四 難點(diǎn)解析與問題討論 1轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用與牛頓運(yùn)動定律的應(yīng)用相似。牛頓運(yùn)動定律應(yīng)用的基礎(chǔ)是受力解，而對于轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用，則不僅要進(jìn)行受力解，還要進(jìn)行力矩解。按力矩解可用轉(zhuǎn)動定律列出剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程并求解出結(jié)果。 在剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用中還常常涉及到與牛頓運(yùn)動定律的綜合。題目的復(fù)雜性相對較大，這也是大家注意的問題。 問題3.如圖所示，一輕桿（不計(jì)質(zhì)量）長度為2，兩端各固定一小球，A球質(zhì)量為2m，B球質(zhì)量為m，桿可繞過中心的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，求桿與豎直方向成角時的角加速度。 圖解 輕桿連接兩個小球構(gòu)成一個簡單的剛性質(zhì)點(diǎn)系

6、統(tǒng)。系統(tǒng)運(yùn)動形式為繞O軸的轉(zhuǎn)動，應(yīng)該用轉(zhuǎn)動定律求解                             （1） 先解系統(tǒng)所受的合外力矩。系統(tǒng)受外力有三個，即A、B受到的重力和軸的支撐作用力。軸的作用力對軸的力臂為零，故力矩為零，系統(tǒng)只受兩個重力矩作用。以順時針方向作為運(yùn)動的正方向，則A球受力矩為正，B球受力矩為負(fù)，

7、兩個重力的力臂相等為，故合力矩                 (2) 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為兩個小球（可看作質(zhì)點(diǎn)）的轉(zhuǎn)動慣量之和                        (3) 將（2）（3）式代入（1）式 有    

8、                   解得問題如圖所示，有一勻質(zhì)細(xì)桿長度為，質(zhì)量為m，可繞其一端的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。當(dāng)它自水平位置自由下擺到角位置時角加速度有多大 圖解 桿受到兩個力的作用，一個是重力，一個是O軸作用的支撐力。O軸的作用力的力臂為零，故只有重力提供力矩。重力是作用在物體的各個質(zhì)點(diǎn)上的，但對于剛體，可以看作是合力作用于重心。即桿的中心，力臂為。桿對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為。按轉(zhuǎn)動定律有 即  

9、;                     解得                      問題如圖所示，一固定光滑斜面上裝有一勻質(zhì)圓盤A作為定滑輪，輪上繞有輕繩（不計(jì)質(zhì)量），繩上連接兩重物B和C。已

10、知A、B、C的質(zhì)量均為m，輪半徑為r，斜面傾角。若輪軸的摩擦可忽略，輪子和繩子之間無相對滑動，求裝置啟動后兩重物的加速度及繩中的張力 圖解 A、B、C構(gòu)成一個連接體，A輪沿順時針方向轉(zhuǎn)動，B物體向下運(yùn)動，C物體沿斜面向上運(yùn)動。設(shè)A的角加速度為，B、C加速度的大小相等設(shè)為a，繩子中張力的大小在A、B間設(shè)為、（），在A、C間設(shè)為、（）。和不相等，否則輪A受合力矩將為零，就不可能隨繩子運(yùn)動了，這顯然不符合題意。     對滑輪A，滑輪所受的重力的力心在軸上，輪軸的支撐力也在軸上，它們的力臂均為零，故力矩也為零，所以只有繩子的張力和提供力矩，按轉(zhuǎn)動定律有 對重物B，按牛頓

11、運(yùn)動定律有 對重物C，按牛頓運(yùn)動定律有 由于輪子和繩子之間無相對滑動，A輪邊緣的切向加速度和B、C加速度的大小相等，又按角量與線量關(guān)系有 聯(lián)立以上四個方程可解得   2剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量和動能單個質(zhì)點(diǎn)對軸的角動量： 單個剛體對軸的角動量：共軸轉(zhuǎn)動剛體系統(tǒng)的角動量：定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能歸結(jié)于質(zhì)點(diǎn)系的動能，定義為組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)動能之和，即 其中為第個質(zhì)點(diǎn)的速率，是它的質(zhì)量。按角量與線量關(guān)系，其中為質(zhì)點(diǎn)到軸的距離，為剛體轉(zhuǎn)動的角速度，有 由轉(zhuǎn)動慣量的定義可知，其中的是剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量J，故有 轉(zhuǎn)動動能公式是從質(zhì)點(diǎn)動能公式推導(dǎo)而來，最終的形式也很象質(zhì)點(diǎn)動能公式。在公式的推導(dǎo)中我們看到，

12、轉(zhuǎn)動動能采用角量描述比用線量描述方便，這是由于在轉(zhuǎn)動中各質(zhì)點(diǎn)角速度相同而線速度各不相同的緣故。在已知剛體轉(zhuǎn)動慣量的情況下，上述公式計(jì)算剛體的動能是非常方便的，要求大家必須掌握。 3剛體定軸轉(zhuǎn)動的綜合應(yīng)用在一些剛體定軸轉(zhuǎn)動問題中，會涉及到角動量守恒、機(jī)械能守恒的綜合應(yīng)用。下面我們通過一些例題來予以說明。問題如圖所示，一勻質(zhì)木棒長度=1m，質(zhì)量為=10kg，可繞其一端的光滑水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。初時棒自然下垂，一質(zhì)量=0.05kg的子彈沿水平方向以速度擊入棒下端（嵌入其中），求棒獲得的角速度及最大上擺角。圖解 子彈擊入木棒的過程可以看成是繞軸做轉(zhuǎn)動，因此在碰撞過程中可以將子彈和木棒作為一個共

13、軸轉(zhuǎn)動系統(tǒng)來討論。子彈擊入木棒的過程中，軸的支撐力及重力都不提供力矩（力臂為零），故系統(tǒng)對軸O的角動量守恒。擊入前只有子彈有角動量 擊入后設(shè)棒獲得的角速度為，棒和子彈整體的轉(zhuǎn)動慣量為                       (1)擊入后系統(tǒng)的角動量為由角動量守恒定律有，即可解得棒的角速度  (2)在棒上擺的過程中只有保守力重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。以棒剛開始上擺時的狀態(tài)作

14、為棒和子彈重力勢能的零點(diǎn)，則此時系統(tǒng)只有動能，其中J和見（1）式和（2）式。棒上擺到最大角度時動能為零，系統(tǒng)只有重力勢能。棒的重力勢能為，子彈的重力勢能為。由機(jī)械能定恒定律有可解出最大上擺角4伯努利方程上式各項(xiàng)分別表示單位體積流體的壓力能、重力勢能和動能。在沿流線運(yùn)動過程中，總和保持不變即總能量守恒。顯然，流動中速度增大，壓強(qiáng)就減??；速度減小， 壓強(qiáng)就增大；速度降為零，壓強(qiáng)就達(dá)到最大(理論上應(yīng)等于總壓)。飛機(jī)機(jī)翼產(chǎn)生舉力，就在于下翼面速度低而壓強(qiáng)大，上翼面速度高而壓強(qiáng)小 ，因而合力向上。方程適用于全流場任意兩點(diǎn)之間。習(xí)題關(guān)于剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，下列說法中正確的是（ ） （A）只取決于剛體的質(zhì)量

15、,與質(zhì)量的空間分布和軸的位置無關(guān) （B）取決于剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布，與軸的位置無關(guān) （C）取決于剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的空間分布和軸的位置 （D）只取決于轉(zhuǎn)軸的位置，與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布無關(guān)解 轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動中慣性大小的物理量。對于質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量，如果物體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，轉(zhuǎn)動慣量為。所以剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量取決于剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的空間分布和軸的位置故選。幾個力同時作用在一個具有光滑固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果這幾個力的矢量和為零，則此剛體（ ） (A) 必然不會轉(zhuǎn)動 (B) 轉(zhuǎn)速必然不變 (C) 轉(zhuǎn)速必然改變 (D) 轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變 解 剛體所受幾個力的矢量和為零，合

16、外力矩可能等于零，也可能不等于零。根據(jù)剛體作定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律，可能等于零，也可能不等于零，所以轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變故選。在下列說法中，錯誤的是（ ）  A剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，其上各點(diǎn)的角速度相同，線速度則不同；   B剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律為，式中、均為對同一條固定        軸而言的，否則該式不成立；   C剛體的轉(zhuǎn)動動能等于剛體上各質(zhì)元的動能之和；   D對給定的剛體而言，它的質(zhì)量和形狀是一定的，則其轉(zhuǎn)動慣量也是唯

17、一確定        的。 解 對給定的剛體而言，它的質(zhì)量和形狀一定時，其轉(zhuǎn)動慣量還與軸的位置有關(guān)故選。        一個人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動平臺上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞 鈴水平收縮到胸前的過程中，人、啞鈴與轉(zhuǎn)動平臺組成的系統(tǒng)的（ ）（A）機(jī)械能守恒，角動量守恒；（B）機(jī)械能守恒，角動量不守恒；（C）機(jī)械能不守恒，角動量守恒；（D）機(jī)械能不守恒，角動量不守恒。解 人把此二啞鈴水平收縮到胸前的過程中，勢能不變，動能變化，所以機(jī)械能

18、不守恒，但系統(tǒng)所受合外力矩等于零，所以角動量守恒。故選。有一半徑為R的水平圓轉(zhuǎn)臺，可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為J，開始時轉(zhuǎn)臺以勻角速度0轉(zhuǎn)動，此時有一質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺中心隨后人沿半徑向外跑去，當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺邊緣時，轉(zhuǎn)臺的角速度為（ ） (A) (B) (C) (D) 解 人、水平圓轉(zhuǎn)臺組成的系統(tǒng)，在人沿半徑向外跑去的過程中所受合外力矩等于零，角動量守恒。所以有。故選?；踊\(yùn)動員繞過自身的豎直軸轉(zhuǎn)動，開始時兩臂伸開，轉(zhuǎn)動慣量為J0，角速度為0，然后她將兩臂收回，使轉(zhuǎn)動慣量減少為J0，這時她轉(zhuǎn)動的角速度變?yōu)?（ ） （A） （B）、。（C）、30 （D）、 ( )解 花樣滑

19、冰運(yùn)動員繞過自身的豎直軸轉(zhuǎn)動，所受合外力矩等于零，角動量守恒。所以有。故選。如圖所示，一光滑細(xì)桿上端由光滑鉸鏈固定，桿可繞其上端在任意角度的錐面上繞豎直軸作勻角速度轉(zhuǎn)動。有一小環(huán)套在桿的上端處。開始使桿在一個錐面上運(yùn)動起來，而后小環(huán)由靜止開始沿桿下滑。在小環(huán)下滑過程中，小環(huán)、桿和地球系統(tǒng)的機(jī)械能以及小環(huán)與桿對軸的角動量這兩個量中（ ）(A) 機(jī)械能、角動量都守恒；(B) 機(jī)械能守恒、角動量不守恒；(C) 機(jī)械不守恒、角動量守恒；習(xí)題圖(D) 機(jī)械能、角動量都不守恒. 解 在小環(huán)下滑過程中，小環(huán)、桿和地球組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)只有重力作功，和外力矩等于零，所以機(jī)械能、角動量都守恒。一均質(zhì)細(xì)桿可繞垂直它

20、且離其一端（為桿長）的水平固定軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。桿的質(zhì)量為，當(dāng)桿自由懸掛時，給它一個起始角速度，如桿恰能持續(xù)轉(zhuǎn)動而不作往復(fù)擺動則需要（已知細(xì)桿繞軸的轉(zhuǎn)動慣量，一切摩擦不計(jì)）（ ）(A) (B) (C) (D) . 習(xí)題圖解 細(xì)桿在轉(zhuǎn)動過程中，只有重力作功，故細(xì)桿和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。以為重力勢能零位置，設(shè)細(xì)桿轉(zhuǎn)動到最高位置時的角速度為，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有，要使桿恰能持續(xù)轉(zhuǎn)動而不作往復(fù)擺動則需要。由此可求得。故選。2 填空題若作用于一力學(xué)系統(tǒng)上外力的合力為零，則外力的合力矩_（填一定或不一定）為零；這種情況下力學(xué)系統(tǒng)的動量、角動量、機(jī)械能三個量中一定守恒的量是_ 解 若作用于一力學(xué)系統(tǒng)

21、上外力的合力為零，則外力的合力矩不一定為零，這種情況下力學(xué)系統(tǒng)的動量一定守恒。一均勻細(xì)直棒，可繞通過其一端的光滑固定軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動使棒從水平位置自由下擺，棒是否作勻角加速轉(zhuǎn)動_理由是_ 解 棒從水平位置自由下擺，所受的合外力矩不等于恒量，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 。飛輪半徑為0.2 m，轉(zhuǎn)速為150 ，因受制動而均勻減速。經(jīng)30秒后停止轉(zhuǎn)動，則此段時間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為_。解 飛輪轉(zhuǎn)速為150 ，即；因受制動而均勻減速，；得，飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為。如圖所示，一質(zhì)量為m，長為l的均勺細(xì)棒，繞圖示轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。其轉(zhuǎn)動慣量大小為_。習(xí)題圖解 根據(jù)連續(xù)物體地轉(zhuǎn)動慣量，可得均勺細(xì)棒對圖示轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動慣量大小為。均勻細(xì)

22、棒OA可繞通過其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。今使棒從水平位置由靜止開始自由下落，在棒擺到豎直位置的過程中，角速度變化是_，角加速度變化是_。習(xí)題圖解 棒從水平位置由靜止開始自由下落，所受的合外力矩為重力矩，重力矩不斷變小，角加速度不斷變小，角速度不斷變大。長為、質(zhì)量為的均質(zhì)桿可繞通過桿一端的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為，開始時桿豎直下垂，如圖所示?，F(xiàn)有一質(zhì)量為的子彈以水平速度射入桿上點(diǎn)，并嵌在桿中. ，習(xí)題圖則子彈射入后瞬間桿的角速度= 。解 子彈射入桿瞬間前后子彈和桿組成的系統(tǒng)角動量守恒，有，整理得。一質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓盤，求通過盤中心O并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣

23、量。解 在圓盤上以和為半徑作圓，所取得的質(zhì)量元為 根據(jù)連續(xù)物體轉(zhuǎn)動慣量的定義有題圖在邊長為的六邊形頂點(diǎn)上，分別固定有質(zhì)量都是的6個質(zhì)點(diǎn)，如圖所示。試求此系統(tǒng)繞下列轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：（1）設(shè)轉(zhuǎn)軸、在質(zhì)點(diǎn)所在的平面內(nèi)，如圖所示；（2）設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點(diǎn)所在的平面，如圖所示。解 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量有 以為軸轉(zhuǎn)動慣量 ；以為軸轉(zhuǎn)動慣量 ；習(xí)題圖以為軸轉(zhuǎn)動慣量 。一半圓形細(xì)桿，半徑為R，質(zhì)量為，求對過細(xì)桿二端AA軸的轉(zhuǎn)動慣量。解 半圓的長度為C = R，質(zhì)量的線密度為 = m/C習(xí)題圖在半圓上取一弧元ds = Rd，其質(zhì)量為dm = ds，到AA軸的距離為r = Rsin，繞此軸的轉(zhuǎn)動慣量為dJ = r2

24、dm = R3sin2d，半圓繞AA軸的轉(zhuǎn)動慣量為一長為1 m的均勻直棒可繞過其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動抬起另一端使棒向上與水平面成60°，然后無初轉(zhuǎn)速地將棒釋放已知棒對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，其中m和l分別為棒的質(zhì)量和長度求： (1) 放手時棒的角加速度； (2) 棒轉(zhuǎn)到水平位置時的角加速度 解（1）根據(jù)轉(zhuǎn)動定律棒所受的合外力矩為重力產(chǎn)生的力矩習(xí)題圖所以 （2）棒轉(zhuǎn)到水平位置時重力產(chǎn)生的力矩以初速度0將質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以傾角從坐標(biāo)原點(diǎn)處拋出。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動，不計(jì)空氣阻力，以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，計(jì)算任一時刻：（1）作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩；（2）質(zhì)點(diǎn)的角動量。解（1）質(zhì)點(diǎn)僅受重力作用

25、，質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的位矢為習(xí)題圖（2）如圖所示，一個質(zhì)量為的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子的質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為、半徑為 ,其轉(zhuǎn)動慣量為，試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時間的關(guān)系。解 受力解如圖，可建立方程： ，習(xí)題圖聯(lián)立，解得：，考慮到，有：?；颍夯颍涸O(shè)電風(fēng)扇的功率恒定不變?yōu)?，葉片受到的空氣阻力矩與葉片旋轉(zhuǎn)的角速度成正比，比例系數(shù)為，并已知葉片轉(zhuǎn)子的總轉(zhuǎn)動慣量為。（1）原來靜止的電扇通電后秒時刻的角速度；（2）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)速為多大（3）電扇以穩(wěn)定轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時，斷開電源后風(fēng)葉還能繼續(xù)轉(zhuǎn)多少角度解（1）已知，而動力矩，通電時根據(jù)轉(zhuǎn)動定律有：代入

26、兩邊積分有： ，可求得：；（2）見上式，當(dāng)時，電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)速：；（3）斷開電源時，電扇的轉(zhuǎn)速為，只有作用，那么：，考慮到，有：，得： 。有一質(zhì)量為、長為的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為m的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動。另有一水平運(yùn)動的質(zhì)量為的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞，設(shè)碰撞時間極短。已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為和，如圖所示。求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動到停止轉(zhuǎn)動的過程所需的時間。(已知棒繞點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量)解 由碰撞時角動量守恒，考慮到和方向相反，以逆時針方向?yàn)檎?，有：?xí)題圖，得：又細(xì)棒運(yùn)動起來所受到的摩擦力矩可由積分求得：，利用，有：，得：

27、。如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為；物體的質(zhì)量為，用一細(xì)繩與勁度系數(shù)的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)。求：（1）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體的速度達(dá)最大值時的位置及最大速率。解（1）設(shè)彈簧的形變量為，下落最大距離為。由機(jī)械能守恒：，有：習(xí)題圖；（2）當(dāng)物體下落時，由機(jī)械能守恒：，考慮到，有：，欲求速度最大值，將上式兩邊對求導(dǎo)，且令，有：，將代入，有：，當(dāng)m時物體速度達(dá)最大值，有：，代入數(shù)值可算出： 。如圖所示，半徑分別是和、轉(zhuǎn)動慣量分別是和的兩個圓柱體，可繞垂直于圖面的軸轉(zhuǎn)動，最初大圓柱體的角速度為，現(xiàn)在將小圓柱體向左靠近，直到它碰到

28、大圓柱體為止。由于相互間的摩擦力，小圓柱體被帶著轉(zhuǎn)動，最后，當(dāng)相對滑動停止時，兩圓柱體各以恒定角速度沿相反方向轉(zhuǎn)動。試問這種情況角動量是否守恒為什么小圓柱的最終角速度多大解 角動量守恒，因?yàn)槟Σ亮Φ牧貫?。由，有小圓柱的最終角速度為： 。習(xí)題圖如圖所示，一根長，質(zhì)量為的均勻直棒，其一端掛在一個水平光滑軸上而靜止在豎直位置，今有一子彈，質(zhì)量為，以水平速度射入棒的下端而不復(fù)出。求棒和子彈開始一起運(yùn)動時的角速度。解：由于從子彈進(jìn)入棒到二者開始一起運(yùn)動所經(jīng)過的時間極短，在這一過程中棒的位置基本不變，即仍然保持豎直，如圖所示。因此，對于木棒和子彈系統(tǒng)，在子彈沖入過程中，系統(tǒng)所受的外力(重力和軸的支持力

29、)對于軸O的力矩都是零。這樣，系統(tǒng)對軸O的角動量守恒。以和分別表示子彈和木棒開始一起運(yùn)動時木棒端點(diǎn)的速度和角速度。則角動量守恒給出習(xí)題圖 再利用關(guān)系式就可解得： 注意，在子彈射入棒的過程中，木棒和子彈系統(tǒng)的總動量并不守恒。 如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量也與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺擺錘拉到高度，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下擺，于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的高度。解：碰撞前單擺擺錘的速度為，令碰撞后直桿的角速度為，擺錘的速度為，由角動量守恒，有 （1)式中桿的轉(zhuǎn)動慣量J。在彈性碰撞過程中機(jī)械能守恒習(xí)題圖 （2)(1)(2)聯(lián)立解得 ， 按機(jī)械能守恒，擺錘達(dá)到的高度顯然為，而桿的質(zhì)心達(dá)到的高度滿足 ，由此得如圖所示，質(zhì)量為、半徑為R的圓盤，可繞一無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動。圓盤上繞有輕繩，一端懸掛質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時，其速度的大小為多少設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計(jì)。解 圓盤和物體的受力如圖，對于圓盤，根據(jù)轉(zhuǎn)動動能定律 式中為圓盤在力矩的作用下轉(zhuǎn)過的角度，0與為圓盤在開始和終了時