第2節(jié)多元函數(shù)的概念PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第第2節(jié)多元函數(shù)的概念節(jié)多元函數(shù)的概念2一、二元函數(shù)的定義與幾何意義例2在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，著名的CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù)為, LAKy L0，K0分別表示投入的勞力數(shù)量和資本數(shù)量，y表示產(chǎn)量.當(dāng)K,L的值給定時(shí)，y就有一確定值與之對(duì)應(yīng)，因此稱(chēng)y是K,L的二元函數(shù). 以上是多元函數(shù)的實(shí)例，下面給出二元函數(shù)的定義. 這里 為常數(shù)， ,A第1頁(yè)/共18頁(yè)3 設(shè)設(shè) D 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(， 變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱(chēng)稱(chēng)z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為

2、 當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng)為為多多元元函函數(shù)數(shù). 類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù) 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念. 定義, ),(yxfz Dyx ),(一、二元函數(shù)的定義與幾何意義第2頁(yè)/共18頁(yè)4二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第3頁(yè)/共18頁(yè)5xyzoxyzsin 再如,圖形如右圖.2222azyx 例如,球面.| ),(222ayxyxD 222yxaz 222yxaz 單值分支:第4頁(yè)/共18頁(yè)6解 01|3|222yxyx 22242 yxyx所求定義域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 求222)3arcsin(),(yxyxyxf 的定義

3、域例3xyo22第5頁(yè)/共18頁(yè)7設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP的的某某一一去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,如如果果存存在在常常數(shù)數(shù)A，對(duì)對(duì)0 , ,0 , ,只只要要 2020)()(0yyxx, ,恒恒有有 定義， |),(|Ayxf則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)),(),(00yxyx時(shí)以時(shí)以A為極為極限限, ,記為記為 .),(lim),(),(00Ayxfyxyx 第6頁(yè)/共18頁(yè)8證證明 .01sin)(lim2222)0 , 0(),( yxyxyx|01sin)( |2222 yxyx|1sin|2222yxyx ，22yx , 0

4、, ，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )0()0(022 yx， |01sin)( |2222yxyx證畢例4恒有無(wú)窮小乘以有界變量仍為無(wú)窮小.第7頁(yè)/共18頁(yè)9例52222)0,0(),(cos1limyxyxyx 2222)0,0(),(2/ )(limyxyxyx .21 在二元極限中，變量替換、等價(jià)無(wú)窮小替換等方法仍然可以使用.第8頁(yè)/共18頁(yè)10例6求 .lim222)0 , 0(),(yxyxyx 解由基本不等式, )(21|22yxxy 知|)(|21|2222222yxyxxyxyx |2|x 00)0 , 0(),(yx由夾逼定理，.0lim222)0 , 0(),( yxyxyx第9頁(yè)/共18頁(yè)

5、11 在一元函數(shù)的極限中在一元函數(shù)的極限中, ,0 xx 的方式可以任意； 同理的方式可以任意； 同理, ,在二元函數(shù)的極限中在二元函數(shù)的極限中, ,),(),(000yxPyxP的方式更為的方式更為復(fù)雜復(fù)雜, ,它要求它要求P以任何方式趨于以任何方式趨于0P時(shí)時(shí), , ),(yxf均趨于均趨于A. .因此因此, ,假如假如P以不同的方式趨于以不同的方式趨于0P時(shí)時(shí), ,),(yxf趨于不趨于不同的極限同的極限, ,則說(shuō)明則說(shuō)明),(yxf當(dāng)當(dāng)0PP 時(shí)無(wú)極限時(shí)無(wú)極限. . (1) 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP, 若若極極限限值值與與 k 有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言

6、言極極限限不不存存在在； 確定二重極限不存在的方法：(2) 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使 存在存在, 但兩者不相等但兩者不相等, 此時(shí)也可斷言此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP處處極限不存在極限不存在 ),(lim),(),(00yxfyxyx第10頁(yè)/共18頁(yè)12考考察察22),(yxxyyxf 當(dāng)當(dāng))0 , 0(),(yx時(shí)時(shí)的的極極限限. . 但但如如果果沿沿射射線(xiàn)線(xiàn))0( kkxy, ,則則 因因此此, ,當(dāng)當(dāng))0 , 0(),(yx時(shí)時(shí), ,22yxxy 無(wú)無(wú)極極限限. . 例7解沿 x 軸考察, ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfyyx

7、沿 y 軸考察, ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfxyx22 )0 , 0(),(limyxxykxyyx 22220limxkxkxx ，012 kk第11頁(yè)/共18頁(yè)13設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,若若 定義，),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 則則稱(chēng)稱(chēng)),(yxfz 在在),(00yx處處連連續(xù)續(xù). . 一切二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.例如，函函數(shù)數(shù)221yxz 在在1| ),( 22 yxyxD 內(nèi)連續(xù). 第12頁(yè)/共18頁(yè)14由由例例 7 知知, , 22yxx

8、y 當(dāng)當(dāng))0 , 0(),(yx時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)極極限限, , 討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的連續(xù)性例8故在故在)0 , 0(處不連續(xù)處不連續(xù). . 第13頁(yè)/共18頁(yè)15在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù). . 注意比較： 0, 00,),(2222222yxyxyxyxyxf(見(jiàn)例6)討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性例8 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf第14頁(yè)/共18頁(yè)16xyxyyx11lim)0 , 0(),( )11(11lim)0 , 0(),( xyxyxyyx111lim)0 , 0(),( xyyx.21 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.例9所以對(duì)多元初等函數(shù)來(lái)說(shuō), 可以用“代入法”求極限.yxxyyx elim)1 ,0(),(.1 例10第15頁(yè)/共18頁(yè)17二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（3）最值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界