第2節(jié)多元函數(shù)的概念PPT學習教案

1、會計學1第第2節(jié)多元函數(shù)的概念節(jié)多元函數(shù)的概念2一、二元函數(shù)的定義與幾何意義例2在西方經(jīng)濟學中，著名的CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù)為, LAKy L0，K0分別表示投入的勞力數(shù)量和資本數(shù)量，y表示產(chǎn)量.當K,L的值給定時，y就有一確定值與之對應，因此稱y是K,L的二元函數(shù). 以上是多元函數(shù)的實例，下面給出二元函數(shù)的定義. 這里 為常數(shù)， ,A第1頁/共18頁3 設(shè)設(shè) D 是是平平面面上上的的一一個個點點集集，如如果果對對于于每每個個點點DyxP ),(， 變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對對應應，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為

2、 當當2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 類似地可定義三元及三元以上函數(shù) 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念. 定義, ),(yxfz Dyx ),(一、二元函數(shù)的定義與幾何意義第2頁/共18頁4二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第3頁/共18頁5xyzoxyzsin 再如,圖形如右圖.2222azyx 例如,球面.| ),(222ayxyxD 222yxaz 222yxaz 單值分支:第4頁/共18頁6解 01|3|222yxyx 22242 yxyx所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD 求222)3arcsin(),(yxyxyxf 的定義

3、域例3xyo22第5頁/共18頁7設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(000yxP的的某某一一去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,如如果果存存在在常常數(shù)數(shù)A，對對0 , ,0 , ,只只要要 2020)()(0yyxx, ,恒恒有有 定義， |),(|Ayxf則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 當當),(),(00yxyx時以時以A為極為極限限, ,記為記為 .),(lim),(),(00Ayxfyxyx 第6頁/共18頁8證證明 .01sin)(lim2222)0 , 0(),( yxyxyx|01sin)( |2222 yxyx|1sin|2222yxyx ，22yx , 0

4、, ，時時當當 )0()0(022 yx， |01sin)( |2222yxyx證畢例4恒有無窮小乘以有界變量仍為無窮小.第7頁/共18頁9例52222)0,0(),(cos1limyxyxyx 2222)0,0(),(2/ )(limyxyxyx .21 在二元極限中，變量替換、等價無窮小替換等方法仍然可以使用.第8頁/共18頁10例6求 .lim222)0 , 0(),(yxyxyx 解由基本不等式, )(21|22yxxy 知|)(|21|2222222yxyxxyxyx |2|x 00)0 , 0(),(yx由夾逼定理，.0lim222)0 , 0(),( yxyxyx第9頁/共18頁

5、11 在一元函數(shù)的極限中在一元函數(shù)的極限中, ,0 xx 的方式可以任意； 同理的方式可以任意； 同理, ,在二元函數(shù)的極限中在二元函數(shù)的極限中, ,),(),(000yxPyxP的方式更為的方式更為復雜復雜, ,它要求它要求P以任何方式趨于以任何方式趨于0P時時, , ),(yxf均趨于均趨于A. .因此因此, ,假如假如P以不同的方式趨于以不同的方式趨于0P時時, ,),(yxf趨于不趨于不同的極限同的極限, ,則說明則說明),(yxf當當0PP 時無極限時無極限. . (1) 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP, 若若極極限限值值與與 k 有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言

6、言極極限限不不存存在在； 確定二重極限不存在的方法：(2) 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使 存在存在, 但兩者不相等但兩者不相等, 此時也可斷言此時也可斷言),(yxf在點在點),(000yxP處處極限不存在極限不存在 ),(lim),(),(00yxfyxyx第10頁/共18頁12考考察察22),(yxxyyxf 當當)0 , 0(),(yx時時的的極極限限. . 但但如如果果沿沿射射線線)0( kkxy, ,則則 因因此此, ,當當)0 , 0(),(yx時時, ,22yxxy 無無極極限限. . 例7解沿 x 軸考察, ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfyyx

7、沿 y 軸考察, ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfxyx22 )0 , 0(),(limyxxykxyyx 22220limxkxkxx ，012 kk第11頁/共18頁13設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(000yxP的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,若若 定義，),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 則則稱稱),(yxfz 在在),(00yx處處連連續(xù)續(xù). . 一切二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.例如，函函數(shù)數(shù)221yxz 在在1| ),( 22 yxyxD 內(nèi)連續(xù). 第12頁/共18頁14由由例例 7 知知, , 22yxx

8、y 當當)0 , 0(),(yx時時無無極極限限, , 討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的連續(xù)性例8故在故在)0 , 0(處不連續(xù)處不連續(xù). . 第13頁/共18頁15在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù). . 注意比較： 0, 00,),(2222222yxyxyxyxyxf(見例6)討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性例8 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf第14頁/共18頁16xyxyyx11lim)0 , 0(),( )11(11lim)0 , 0(),( xyxyxyyx111lim)0 , 0(),( xyyx.21 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.例9所以對多元初等函數(shù)來說, 可以用“代入法”求極限.yxxyyx elim)1 ,0(),(.1 例10第15頁/共18頁17二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（3）最值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界