簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成與分解PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)12021012021010coscossinsin AAAAtg )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx21xxx )cos(0 tAx)cos(21020212221 AAAAA同方向同頻率兩個(gè)同方向同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍為振動(dòng)的合成仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)。x20 x0 x10 x02010P .Aot M2A1AA2A1A一、同方向同頻率兩個(gè)一、同方向同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)的合成第1頁(yè)/共32頁(yè)討論兩個(gè)特例討論兩個(gè)特例 (1)兩個(gè)振動(dòng)同相兩個(gè)振動(dòng)同相,21020 k ,.2, 1, 0 k)cos(21020212221 AAAAA由由2121222

2、12AAAAAAA )cos(21020212221 AAAAA由由(2)兩個(gè)振動(dòng)反相兩個(gè)振動(dòng)反相212122212AAAAAAA ,)12(1020 k,.2, 1, ok如果如果21AA 則則 A=0to2TT23T2Tx合成振動(dòng)合成振動(dòng)xto2TT23T2T合成振動(dòng)合成振動(dòng)第2頁(yè)/共32頁(yè)一般情況一般情況為其他任意值，則：為其他任意值，則：)(2121AAAAA 上述結(jié)果說(shuō)明上述結(jié)果說(shuō)明兩個(gè)振動(dòng)的相位差兩個(gè)振動(dòng)的相位差對(duì)合振動(dòng)起著重要作用。對(duì)合振動(dòng)起著重要作用。合成振動(dòng)合成振動(dòng)t2TT23T2Txo第3頁(yè)/共32頁(yè)O O例例: : 兩個(gè)沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振動(dòng)合成后，產(chǎn)生一

3、個(gè)具有相同振幅的諧振動(dòng)，求原來(lái)兩個(gè)振動(dòng)的相位差。兩個(gè)沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振動(dòng)合成后，產(chǎn)生一個(gè)具有相同振幅的諧振動(dòng)，求原來(lái)兩個(gè)振動(dòng)的相位差。解：解： 21AAA AAA 213212 1A2A第4頁(yè)/共32頁(yè)例例: N個(gè)同方向，同頻率的諧振動(dòng)，若它們相位依次為個(gè)同方向，同頻率的諧振動(dòng)，若它們相位依次為 ， 2 ，,試求它們的合振幅試求它們的合振幅;并證明當(dāng)并證明當(dāng)N=2k 時(shí)的合振幅為零。時(shí)的合振幅為零。 A合合XOBCA0解：解：合振幅合振幅A2sin2 NRA 由由 OPa可看出可看出2sin20 RA2sin2sin0 NAA 分析：分析：當(dāng)當(dāng)N=2k 時(shí)的合振幅為零。時(shí)的合

4、振幅為零。請(qǐng)大家自行練習(xí)請(qǐng)大家自行練習(xí)！ N QRPab /2請(qǐng)記住這個(gè)結(jié)論！做筆記！請(qǐng)記住這個(gè)結(jié)論！做筆記！當(dāng)當(dāng)=2k 時(shí)的合振幅為最大。時(shí)的合振幅為最大。第5頁(yè)/共32頁(yè)A -仍為仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)x12A 1A 2若若 1 1= = 2 2 , ,則則 不變；不變；若若 1 1 2 2 , ,則則 變；變；-為為一復(fù)雜運(yùn)動(dòng)一復(fù)雜運(yùn)動(dòng)同方向同頻率兩個(gè)同方向同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)的合成二.同方向不同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率兩個(gè)同方向不同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)的合成第6頁(yè)/共32頁(yè) tA2cos212 t2cos21 21xxxtAx11cos tAx22cos

5、 設(shè)兩振動(dòng)振幅相同，并以它們的初相位都為零時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)設(shè)兩振動(dòng)振幅相同，并以它們的初相位都為零時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)位移位移x xt to o2TT T23T2 2T T分振動(dòng)分振動(dòng)1 1分振動(dòng)分振動(dòng)2 2合振動(dòng)合振動(dòng)122 為為一復(fù)雜振動(dòng)一復(fù)雜振動(dòng)和頻和頻差頻差頻振幅周期性變化振幅周期性變化第7頁(yè)/共32頁(yè)&著重研究著重研究相近情況相近情況拍現(xiàn)象（拍現(xiàn)象（Beat)即即 1- 2 1 or 2第8頁(yè)/共32頁(yè)toxx1x2&著重研究著重研究相近情況相近情況拍現(xiàn)象（拍現(xiàn)象（Beat)即即 1- 2 1 or 2 x tA2cos212 t2cos21 21xxx 振幅隨時(shí)間的變化非常緩慢

6、振幅隨時(shí)間的變化非常緩慢振幅調(diào)制因子振幅調(diào)制因子Amplitude modulation factor第9頁(yè)/共32頁(yè) x tA2cos212 t2cos21 振幅變化緩振幅變化緩慢慢振幅變化緩振幅變化緩慢慢 |2|12一個(gè)強(qiáng)弱變化所需的時(shí)間一個(gè)強(qiáng)弱變化所需的時(shí)間toxx1x221xxx 合振幅變化的頻率即合振幅變化的頻率即拍頻拍頻|2|1212 拍拍第10頁(yè)/共32頁(yè)手風(fēng)琴的中音簧：手風(fēng)琴的中音簧： 的兩排中音簧的頻率大概相差的兩排中音簧的頻率大概相差6到到8個(gè)赫茲，其作用就是產(chǎn)生個(gè)赫茲，其作用就是產(chǎn)生“拍拍”頻。而俄羅斯的頻。而俄羅斯的“巴揚(yáng)巴揚(yáng)”-則是單簧片的，因此沒(méi)有拍頻造成的顫音效果

7、。則是單簧片的，因此沒(méi)有拍頻造成的顫音效果。利用拍頻測(cè)速利用拍頻測(cè)速 從運(yùn)動(dòng)物體反射回來(lái)的波的頻率由于多普勒效應(yīng)要發(fā)生微小的變化，通過(guò)測(cè)量反射波與入射波所形成的拍頻，可以算出物體的運(yùn)動(dòng)速度。這種方法廣泛應(yīng)用于對(duì)衛(wèi)星、各種交通工具的雷達(dá)測(cè)速裝置中。從運(yùn)動(dòng)物體反射回來(lái)的波的頻率由于多普勒效應(yīng)要發(fā)生微小的變化，通過(guò)測(cè)量反射波與入射波所形成的拍頻，可以算出物體的運(yùn)動(dòng)速度。這種方法廣泛應(yīng)用于對(duì)衛(wèi)星、各種交通工具的雷達(dá)測(cè)速裝置中。 &拍現(xiàn)象是一種很重要的物理現(xiàn)象。拍現(xiàn)象是一種很重要的物理現(xiàn)象。第11頁(yè)/共32頁(yè))cos(1011 tAx)cos(2022 tAy)(sin)cos(21020210

8、2021222212 AAxyAyAx消去消去 得到軌道方程得到軌道方程t（橢圓方程）（橢圓方程）21AAyx 21AAyx yx質(zhì)點(diǎn)的軌跡曲線質(zhì)點(diǎn)的軌跡曲線仍為諧振動(dòng)，仍為諧振動(dòng)，但是振動(dòng)方向但是振動(dòng)方向改變了！改變了！三、兩個(gè)互相垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成12 A22 A第12頁(yè)/共32頁(yè)yx1222212 AyAx21AA 軌跡為圓軌跡為圓右旋！右旋！提問(wèn)：若提問(wèn)：若y方向振動(dòng)落后方向振動(dòng)落后x方向，則結(jié)果如何？方向，則結(jié)果如何？畫合運(yùn)動(dòng)的軌跡畫合運(yùn)動(dòng)的軌跡：可在：可在x、y方向分別選一旋轉(zhuǎn)矢量如圖。把方向分別選一旋轉(zhuǎn)矢量如圖。把小點(diǎn)小點(diǎn)按順序用曲線聯(lián)起來(lái)，即可得所求合運(yùn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。按順序

9、用曲線聯(lián)起來(lái)，即可得所求合運(yùn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。第13頁(yè)/共32頁(yè)兩個(gè)互相垂直不兩個(gè)互相垂直不同振幅同頻率同振幅同頻率簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)的合成22301020 12 A22 A2443454749與合成相反與合成相反：一個(gè)圓運(yùn)動(dòng)或橢圓運(yùn)動(dòng)：一個(gè)圓運(yùn)動(dòng)或橢圓運(yùn)動(dòng)可分解為可分解為相互垂直的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。相互垂直的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。第14頁(yè)/共32頁(yè)四、兩個(gè)互相垂直不同頻率四、兩個(gè)互相垂直不同頻率簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)的合成 如果兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)的頻率不相同，它們的合運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。下面只討論簡(jiǎn)單的情形。如果兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)的頻率不相同，它們的合運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。下面只

10、討論簡(jiǎn)單的情形。&兩振動(dòng)的頻率只有很小的差異兩振動(dòng)的頻率只有很小的差異 則可以近似地看做同頻率的合成，不過(guò)相差在緩慢地變化，因此則可以近似地看做同頻率的合成，不過(guò)相差在緩慢地變化，因此合成運(yùn)動(dòng)軌跡將要不斷地按合成運(yùn)動(dòng)軌跡將要不斷地按上圖所示上圖所示的次序，在圖示的矩形范圍內(nèi)自直線變成橢圓再變成直線等等。的次序，在圖示的矩形范圍內(nèi)自直線變成橢圓再變成直線等等。第15頁(yè)/共32頁(yè)如果已知一個(gè)振動(dòng)的周期，就可以根據(jù)李薩如圖形求出另一個(gè)振動(dòng)的周期，這是一種比較方便也是比較常用的測(cè)定頻率的方法。如果已知一個(gè)振動(dòng)的周期，就可以根據(jù)李薩如圖形求出另一個(gè)振動(dòng)的周期，這是一種比較方便也是比較常用的測(cè)定頻

11、率的方法。則合成運(yùn)動(dòng)又具有穩(wěn)定的封閉的運(yùn)動(dòng)軌跡。這種圖稱為則合成運(yùn)動(dòng)又具有穩(wěn)定的封閉的運(yùn)動(dòng)軌跡。這種圖稱為李薩如圖李薩如圖。&如果兩振動(dòng)的頻率相差較如果兩振動(dòng)的頻率相差較大，但有簡(jiǎn)單的整數(shù)比大，但有簡(jiǎn)單的整數(shù)比第16頁(yè)/共32頁(yè)五、諧振分析和頻譜五、諧振分析和頻譜 在自然界和工程技術(shù)中，我們所遇到的振動(dòng)大多不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是復(fù)雜的振動(dòng)，處理這類問(wèn)題，往往把復(fù)雜振動(dòng)看成由一系列不同頻率的間諧振動(dòng)組合而成，也就是把復(fù)雜振動(dòng)分解為一系列不同頻率的間諧振動(dòng)，這樣分解在數(shù)學(xué)上的依據(jù)是傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉積分的理論，因此這種方法稱為在自然界和工程技術(shù)中，我們所遇到的振動(dòng)大多不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是復(fù)雜的振

12、動(dòng)，處理這類問(wèn)題，往往把復(fù)雜振動(dòng)看成由一系列不同頻率的間諧振動(dòng)組合而成，也就是把復(fù)雜振動(dòng)分解為一系列不同頻率的間諧振動(dòng)，這樣分解在數(shù)學(xué)上的依據(jù)是傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉積分的理論，因此這種方法稱為傅立葉分析。傅立葉分析。（自學(xué)）（自學(xué)）第17頁(yè)/共32頁(yè) 先看一個(gè)先看一個(gè)倍頻諧振動(dòng)倍頻諧振動(dòng)的例子。下圖，兩種虛線代表兩份振動(dòng)，頻率之比為的例子。下圖，兩種虛線代表兩份振動(dòng)，頻率之比為3:1，實(shí)線代表它們的合振動(dòng)，圖（，實(shí)線代表它們的合振動(dòng)，圖（a),(b), (c)分別表示三種不同的初相位所對(duì)應(yīng)的合振動(dòng)。三種不同情況，和振動(dòng)各有不同形式，它們不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但仍然是周期運(yùn)動(dòng)，而且分別表示三種不同的初相

13、位所對(duì)應(yīng)的合振動(dòng)。三種不同情況，和振動(dòng)各有不同形式，它們不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但仍然是周期運(yùn)動(dòng)，而且合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)中的最低頻率（基頻）相等中的最低頻率（基頻）相等.第18頁(yè)/共32頁(yè) 如果分振動(dòng)不止兩個(gè)，而且它們的振動(dòng)頻率是基頻地整數(shù)倍（倍頻）則它們的合振動(dòng)仍然是周期運(yùn)動(dòng)，其頻如果分振動(dòng)不止兩個(gè)，而且它們的振動(dòng)頻率是基頻地整數(shù)倍（倍頻）則它們的合振動(dòng)仍然是周期運(yùn)動(dòng)，其頻 率等于倍頻。按規(guī)律：率等于倍頻。按規(guī)律： 如果增加合成的項(xiàng)數(shù)，就可以得到方波形的振動(dòng)：如果增加合成的項(xiàng)數(shù)，就可以得到方波形的振動(dòng)：)7cos715cos513cos31(cos)( ttttAtx 第19頁(yè)

14、/共32頁(yè) 既然一系列倍頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成是頻率等于基頻的周期運(yùn)動(dòng)，那么，與之相反，既然一系列倍頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成是頻率等于基頻的周期運(yùn)動(dòng)，那么，與之相反，任意周期性振動(dòng)都可以分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任意周期性振動(dòng)都可以分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)，各個(gè)分振動(dòng)的頻率都是原振動(dòng)頻率的整數(shù)倍，各個(gè)分振動(dòng)的頻率都是原振動(dòng)頻率的整數(shù)倍，其中與原振動(dòng)頻率一致的分振動(dòng)稱為其中與原振動(dòng)頻率一致的分振動(dòng)稱為基頻基頻振動(dòng)，其它的分振動(dòng)則依照各自的頻率相對(duì)于基頻的倍數(shù)而相應(yīng)的稱為二次、三次、振動(dòng)，其它的分振動(dòng)則依照各自的頻率相對(duì)于基頻的倍數(shù)而相應(yīng)的稱為二次、三次、諧頻振動(dòng)。諧頻振動(dòng)。這種把一個(gè)復(fù)雜的周期振動(dòng)分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)

15、之和的方法，稱為諧振分析。這種把一個(gè)復(fù)雜的周期振動(dòng)分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和的方法，稱為諧振分析。 10sincos2)(nnntbtnaatx 100cos)(nntnAAtx 第20頁(yè)/共32頁(yè) TttttxTa00d)(20各系數(shù)可由公式得各系數(shù)可由公式得 TttnttntxTa00dcos)(2 TttntttxTb00dsin)(2 其中：其中：22nnnbaA nnnbaarctan 第21頁(yè)/共32頁(yè) 為了顯示實(shí)際振動(dòng)中所包含的各個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)情況（振幅、相位），常用圖線把它表示出來(lái)。若用橫坐標(biāo)表示各諧頻振動(dòng)為了顯示實(shí)際振動(dòng)中所包含的各個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)情況（振幅、相位），常用圖線

16、把它表示出來(lái)。若用橫坐標(biāo)表示各諧頻振動(dòng) 的頻率，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的振幅，就得到諧頻振動(dòng)的振幅分布圖，稱為的頻率，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的振幅，就得到諧頻振動(dòng)的振幅分布圖，稱為振動(dòng)的頻譜振動(dòng)的頻譜。不同的周期運(yùn)動(dòng)，具有不同的頻譜，周期運(yùn)動(dòng)的各諧振成分的頻率都是基頻的整數(shù)倍，。不同的周期運(yùn)動(dòng)，具有不同的頻譜，周期運(yùn)動(dòng)的各諧振成分的頻率都是基頻的整數(shù)倍，所以它的頻譜是分立譜。所以它的頻譜是分立譜。不同樂(lè)器奏出的統(tǒng)一音調(diào)的音色不同樂(lè)器奏出的統(tǒng)一音調(diào)的音色各不相同，就是由于各種樂(lè)器所各不相同，就是由于各種樂(lè)器所包含的諧頻振動(dòng)的振幅不同所致包含的諧頻振動(dòng)的振幅不同所致。下圖表示小提琴和鋼琴同奏基。下圖表示小提琴和鋼

17、琴同奏基頻為頻為440Hz(A調(diào)）的振動(dòng)曲線和調(diào)）的振動(dòng)曲線和相應(yīng)的頻譜：相應(yīng)的頻譜：第22頁(yè)/共32頁(yè)近年來(lái)，配備有數(shù)字電子計(jì)算機(jī)的專用儀器相繼問(wèn)世，如頻率分析儀、快速傅立葉變換處理機(jī)、信號(hào)處理機(jī)等，近年來(lái)，配備有數(shù)字電子計(jì)算機(jī)的專用儀器相繼問(wèn)世，如頻率分析儀、快速傅立葉變換處理機(jī)、信號(hào)處理機(jī)等， 使用這類儀器可以在很短的時(shí)間內(nèi)完成頻譜分析。使用這類儀器可以在很短的時(shí)間內(nèi)完成頻譜分析。第23頁(yè)/共32頁(yè)在阻尼較小時(shí)，在阻尼較小時(shí)， 0，)cos(00 teAxt由由牛頓第二定律牛頓第二定律txkxtxmdddd22 令令;20 mk 2 m代入上式（代入上式（ 稱為阻尼因子）稱為阻尼因子）t

18、xFtdd （ 稱為阻尼系數(shù)）稱為阻尼系數(shù)）對(duì)于摩擦阻尼，對(duì)于摩擦阻尼， 當(dāng)當(dāng) 不太大時(shí)不太大時(shí)&阻尼振動(dòng)（摩擦阻尼，輻射阻尼）阻尼振動(dòng)（摩擦阻尼，輻射阻尼）略講自學(xué)略講自學(xué)第24頁(yè)/共32頁(yè) 阻尼振動(dòng)的特點(diǎn)：阻尼振動(dòng)的特點(diǎn)：1.1.振幅特點(diǎn)振幅特點(diǎn):振幅振幅A(t) = A0e- t振幅隨振幅隨t t衰減衰減( (因?yàn)檎駝?dòng)能量不斷損耗因?yàn)檎駝?dòng)能量不斷損耗) ) 2.2.周期特點(diǎn)周期特點(diǎn): :嚴(yán)格講，阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng)，更不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因?yàn)槲灰茋?yán)格講，阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng)，更不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因?yàn)槲灰苮 x( (t t) )不是不是t t的周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)有某種重復(fù)性。的周期函數(shù)

19、。但阻尼振動(dòng)有某種重復(fù)性。.220 式中式中稱為阻尼振動(dòng)振幅。稱為阻尼振動(dòng)振幅。)cos(00 teAxtOtxteA 0A第25頁(yè)/共32頁(yè)00220222TT 曲線曲線,為為過(guò)阻尼過(guò)阻尼振動(dòng)振動(dòng))(0曲線為曲線為臨界阻尼臨界阻尼)(0在生產(chǎn)實(shí)際中根據(jù)不同在生產(chǎn)實(shí)際中根據(jù)不同要求控制阻尼大小。要求控制阻尼大小。圖中曲線圖中曲線1,2為為阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng))(0設(shè)設(shè) 為物體相繼兩次通過(guò)極大為物體相繼兩次通過(guò)極大(或極小或極小)位置所經(jīng)時(shí)間位置所經(jīng)時(shí)間T34512xt阻尼、臨界阻尼和過(guò)阻尼：阻尼、臨界阻尼和過(guò)阻尼： 第26頁(yè)/共32頁(yè)&受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程tFtxk

20、xtxm cosdddd022穩(wěn)態(tài)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)后，后，方程的解為方程的解為對(duì)于一定的對(duì)于一定的振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)一定時(shí)，位移振幅振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)一定時(shí)，位移振幅A隨頻率隨頻率而改變。而改變。0F注意注意: :穩(wěn)態(tài)時(shí)的穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)與無(wú)阻尼自由振動(dòng)實(shí)質(zhì)受迫振動(dòng)與無(wú)阻尼自由振動(dòng)實(shí)質(zhì)有所不同有所不同。令令,20 mk 2 m)cos()cos(02200 tAteAxt22222004)( mFA頻率為外力頻率頻率為外力頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)固，與振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率無(wú)關(guān)！有頻率無(wú)關(guān)！第27頁(yè)/共32頁(yè)穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化(要注意它和無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)的區(qū)別要注意它和無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)的區(qū)別)。角頻率：角頻率：等于策動(dòng)力的角頻率等于策動(dòng)力的角頻率 。振幅：振幅：由系統(tǒng)參數(shù)由系統(tǒng)參數(shù)( 0)，阻尼，阻尼( )，策動(dòng)力，策動(dòng)力(F0， )共同決定。共同決定。 A的大小敏感于的大小敏感于 和和 0的相對(duì)大小關(guān)系，而和初始條件的相對(duì)大小關(guān)系，而和初始條件(x0、 0和和F0)無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。初相：初相：亦決定于亦決定于 0、 、F0和和 ，