人教數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)螞蟻爬行的最短路徑

1、初中數(shù)學(xué)試卷金戈鐵騎整理制作螞蟻爬行的最短路徑正方體4.如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點(diǎn)處沿著表面爬行到點(diǎn)上面的B點(diǎn)處，它爬行的最短路線是（）B. A?Q?BC. A?R?BD. A?S?BA.A?P?B解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知選A.故選A.2.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是.第6題解：如圖將正方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短”知，線段AB即為最短路線.第7題2,BC的中點(diǎn)為M,一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離解：將正方體展開，連接M、D1,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，12MD=MC+CD=1+2=3,MD1=MD2DD12=3222正方

2、體的棱長(zhǎng)為2,5 .如圖，點(diǎn)A的正方體左側(cè)面的中螞蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的卡解：如圖，AB=J(1+2f+12=廂.故選C.9 .如圖所示一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有的面均分成3M個(gè)小正方形.其邊長(zhǎng)都為1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用2.5秒鐘解：因?yàn)榕佬新窂讲晃ㄒ?，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再從各個(gè)路線中確定最短的路線.(1)展開前面右面由勾股定理得AB="(2+3)，+。=/房cm；(2)展開底面右面由勾股定理得AB=*3a+C+2)2=5cm;所以最短路徑長(zhǎng)為5cm,用時(shí)最少：5妥=2.5秒.長(zhǎng)方體10 .(200

3、9?恩施州)如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是。Cl處（解：正面和上面沿A1B1展開如圖，連接ACi,ABCi是直角三角形,ACi=AB2+BG2=q42+（1+2j=J42+32=518.（2011湃眇卜|）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞奴爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm.BD=8cm,地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少?解：如圖1,在磚的側(cè)面展開圖2上，連接AB,則AB的長(zhǎng)即為A處到B處的最短路程.解：

4、在RtAABD中，因?yàn)锳D=AN+ND=5+10=15,BD=8,所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172.所以AB=17cm.故螞蟻爬行的最短路徑為17cm.49、如圖，長(zhǎng)方體盒子(無蓋)的長(zhǎng)、寬、高分別12cm,8cm,30cm.(1)在AB中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲從D處爬到C處去吃，有無數(shù)種走法，則最短路程是多少？(2)此長(zhǎng)方體盒子(有蓋)能放入木棒的最大長(zhǎng)度是多少？D1212.如圖所示：有一個(gè)長(zhǎng)、寬都是2米，高為3米的長(zhǎng)方體紙盒，一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為米。解：由題意得，路徑一：AB=V59；路徑二：AB=1一':=5;路徑三：

5、AB=二;V59>5,5米為最短路徑.13.如圖，直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為4cm,底面是長(zhǎng)為5cm寬為3cm的長(zhǎng)方形.一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點(diǎn)B.求：(1)螞蟻經(jīng)過的最短路程；(2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一條棱)的最長(zhǎng)路程.解：(1)AB的長(zhǎng)就為最短路線.然后根據(jù)若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為VCS+3)3-F42=VS0(cm);若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為V4+3)a+5a=VT4(cm),或V+5)2+32=V90(cm)所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是VT5cm.(2)5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最長(zhǎng)路程是30cm.15.

6、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6cm,8cm,4cm.一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B.則螞蟻爬行的最短路徑的長(zhǎng)是。5解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是12cm和6cm,則所走的最短線段是由環(huán)不=6V§cm;第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是10cm和8cm,所以走的最短線段是疝再第=M54cm;第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是14cm和4cm,所以走的最短線段是的4申%/克cm；三種情況比較而言，第二種情況最短.51.圓柱形坡璃容器，高18cm

7、,底面周長(zhǎng)為60cm,在外側(cè)距下底1cm點(diǎn)S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點(diǎn)F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長(zhǎng)度。16.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)20cm、3cm、2cm.A和B是B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為cm解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20cm,寬為(2+3)X3cm,則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xcm,由勾股定理得：x2=202+(2+3)X32=252,解得x=2

8、5.故答案為25.17.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm,3cm和1cm,A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想,這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是cm。將臺(tái)階展開，如下圖，因?yàn)锳C=3<3+1X3=12,BC=5,所以AB2=AC2+BC2=169,所以AB=13(cm),所以螞蟻爬行的最短線路為答：螞蟻爬行的最短線路為13cm.13cm.圓柱21.有一圓柱體如圖，高4cm,底面半徑5cm,A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離.第2題解：AC的長(zhǎng)就是螞蟻爬行的最短距離.C,D分別

9、是BE,AF的中點(diǎn).AF=2tt?5=10.TtAD=5Tt.AC=vAD2+CD2=16cm故答案為：16cm.第3題解：AB=52122=13m623 .如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點(diǎn)A到達(dá)A1,若圓枉底面半徑為一，冗高為5,則螞蟻爬行的最短距離為解：因?yàn)閳A柱底面圓的周長(zhǎng)為2兀£=12,高為5,冗所以將側(cè)面展開為一長(zhǎng)為12,寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，對(duì)角線長(zhǎng)為通旺必=13.故螞蟻爬行的最短距離為13.24 .如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm,高AB為9cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,則螞蟻爬行的最短路程是AD解：如圖所

10、示：1由于圓枉體的底面周長(zhǎng)為24cm,則AD=24<-=l2cm.又因?yàn)镃D=AB=9cm,所以AC=15cm.解：QA=3,PBi=2,即可把PQ放到一個(gè)直角邊是4兀和5的直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：QP=:5:一最短路線問題通常是以平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短”為原則引申出來的.人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題.下面簡(jiǎn)單談一下初中數(shù)學(xué)中遇到的最短路線問題。對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。I.求三點(diǎn)距離相等時(shí)，一

11、點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離最短設(shè)計(jì)方案例1.為改善白銀市民吃水質(zhì)量，市政府決定從新建的A水廠向B、C供水站供水。已知A、B、C之間的距離相等，為了節(jié)約成本降低造價(jià)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種最優(yōu)方案，使鋪設(shè)的輸水管道最短，在圖中用實(shí)線畫出你所設(shè)計(jì)方案的線路圖。解析：可根據(jù)三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形形狀及三線合一的性質(zhì)，可求最短路線及設(shè)計(jì)圖。(1) 可設(shè)計(jì)AB+AC路徑；(2) 可設(shè)計(jì)AD+BD+CD路徑；(3)可設(shè)計(jì)AE+EB+EC路徑。通過計(jì)算比較驗(yàn)證等確定最優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案為（3）Do求一點(diǎn)，使它與其余兩點(diǎn)之和最小的方案設(shè)計(jì).l例2.為了改善農(nóng)民生活水平，提高生產(chǎn)，如圖，AB是兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)，直線m芍廣條小河，現(xiàn)準(zhǔn)方在河岸某處修建

12、一提灌點(diǎn)，準(zhǔn)備給兩農(nóng)場(chǎng)澆水，如何修建，使得提灌點(diǎn)與兩農(nóng)場(chǎng)的距離之和最請(qǐng)你在圖中）畫出設(shè)計(jì)方案圖。j解析：兩點(diǎn)之間線段最短，可利用軸對(duì)稱性質(zhì)，從而可將求兩條線段之和的最小值題善化為求:/'條線段長(zhǎng)的問題。應(yīng)用：已知三角形ABC中，/A=20度，AB=AC=20cm,MN分別為ARAC上兩點(diǎn)，求BN+MNMC的最小值。HIo求圓上點(diǎn)，使這點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離最小的方案設(shè)計(jì)例3.已知圓形花壇以及花壇外一居民區(qū)，要在花壇與居民區(qū)之間修建一條小道在圓形花壇上選擇一點(diǎn)，使其與居民區(qū)之間的距離最小。解析：在此問題中可根據(jù)圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)系可得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。應(yīng)用：一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離為9,最

13、短距離為1,則圓的半徑為多少？關(guān)于立體圖形表面的最短路徑問題，又稱繞線問題”是幾何中很富趣味性的一類向題.它牽涉的知識(shí)面廣，溝通了平面幾何、立體幾何以及平面三角的聯(lián)系，能訓(xùn)練學(xué)生的空間想象能力。而且，也很富有技巧性在此討論幾個(gè)問題，僅供參考。I。在圓柱中，可將其側(cè)面展開求出最短路程Do在長(zhǎng)方體（正方體）中，求最短路程例5.在長(zhǎng)方體盒子的A點(diǎn)有一昆蟲，在B點(diǎn)有它最喜歡吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c.則最短路程為多少.解析：將其中含有一點(diǎn)的面展開，與含另一點(diǎn)的面在同一平面內(nèi)即可，主要可以分為三種情形：(1)（3）將上表面展開與左側(cè)面在同一

14、平面內(nèi)，可得其路程為:S3=然后比較S1、S2、S3的大小，即可得到最短路程.應(yīng)用：一只蜘蛛在一塊長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體和蜘蛛相對(duì)的頂點(diǎn)Ci處蜘蛛急于捉住蒼蠅，沿著長(zhǎng)方體的表面向上爬，它要從A點(diǎn)爬到Ci點(diǎn)，它應(yīng)沿著怎樣的路線爬行，才能在最短的時(shí)間內(nèi)捉住蒼蠅？nio在圓錐中，求最短路徑問題例6.在某雜技表演中，有一形似圓錐的道具，雜技演員從A點(diǎn)出發(fā)，在其表面繞一周又回到如果繞行所走的路程最短，畫出設(shè)計(jì)方案圖。解析：將圓錐側(cè)面展開，根據(jù)同一平面內(nèi)的問題可求出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案應(yīng)用：如圖，一直圓錐的母線長(zhǎng)為QA=8,底面圓的半徑r=2,若一只小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回