人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)新幫手專題16不等式

1、16不等式（組）閱讀與思考客觀世界與實(shí)際生活既存在許多相等關(guān)系，又包含大量的不等關(guān)系，方程（組）是研究相等關(guān)系的重要手段，不等式（組）是探求不等關(guān)系的基本工具，方程與不等式既有相似點(diǎn)，又有不同之處，主要體現(xiàn)在：1,解一元一次不等式與解一元一次方程類似，但解題時(shí)要注意兩者之間的重要區(qū)別；等式兩邊都乘（或除）以同一個(gè)數(shù)時(shí)，只要考慮這個(gè)數(shù)是否為零，而不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，不但要考慮這個(gè)數(shù)是否為零，而且還要考慮這個(gè)數(shù)的正負(fù)性2.解不等式組與解方程組的主要區(qū)別是：解方程組時(shí)，我們可以對(duì)幾個(gè)方程進(jìn)行“代入”或“加減”式的加工，但在解不等組時(shí)，我們只能對(duì)某個(gè)不等式進(jìn)行變形，分別求出每個(gè)不等式

2、的解集，然后再求公共部分,通俗地說(shuō)，解方程組時(shí)，可以“統(tǒng)一思想”，而解不等式組時(shí)只能“分而治之”.例題與求解例1已知關(guān)于2x5x的不等式組3-x-5恰好有5個(gè)整數(shù)解，則t的取值范圍是（-txA、-6<t<11-11B、6"一2-11C、-6:二t-211D、-6<t<2（2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽廣東省試題）解題思路：把x的解集用含t的式子表示，根據(jù)題意,結(jié)合數(shù)軸分析t的取值范圍.【例2如果關(guān)于x的不等式（2mn）xm-5n>0的解集為10,x<一那么關(guān)于x的不等式7mx>n(m=0)的解集為（黑龍江省哈爾濱市競(jìng)賽試題）解題思路：從已知條件出

3、發(fā)，解關(guān)于x的不等式，求出m,n的值或m,n的關(guān)系.例3已知方程組'xy=2c若方程組有非負(fù)整數(shù)解，求正整數(shù)m的值.、mx+y=6（天津市競(jìng)賽試題）解題思路：解關(guān)于x,y的方程組，建立關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍.例4已知三個(gè)非負(fù)數(shù)a,b,c滿足3a+2b+c=5和2a+b3c=1,若m=3a+b7c,求m的最大值和最小值.（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：本例綜合了方程組、不等式（組）的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含一個(gè)字母的代數(shù)式表示m,通過(guò)解不等式組，確定這個(gè)字母的取值范圍，在約束條件下，求m的最大值與最小值.【例6】設(shè)x1,x2,x3,x4,x5,2,x7是自然數(shù)，x1<x2cx

4、3cx4cx5cxecx7,Xix2=x3,x2x3=x4,x3x4=乂5叢475=乂6x5+x6=x7，又x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=2010,求x1+x2+x3的最大值.(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)解題思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，尋找解題突破口【例6】已知實(shí)數(shù)a,b滿足1Ea+bW4,0WabW1,且a2b有最大值，求8a+2003b的值.解題思路：解法一：已知ab的范圍，需知一b的范圍，即可知a2b的最大值得情形.解法二：設(shè)a2b=m(a+b)+n(ab)=(m+n)a+(mn)b能力訓(xùn)練1、已知關(guān)于x的不等式2m+xW4mx1的解集是x之E那么m的值是324（“希

5、望杯”邀請(qǐng)賽試題）2、不等式組x；2b：4的解集是0<x<2,那么a+b的值為（湖北省武漢市競(jìng)賽試題）3、若a+bv0,abv0,avb,則a,a,b,b的大小關(guān)系用不等式表示為（湖北省武漢市競(jìng)賽試題）4、若方程組x+yL=m：2的解x,y都是正數(shù)，則m的取值范圍是4x5y=6m3（河南省中考試題）5、關(guān)于x的不等式ax+3a>3+x的解集為x<-3,則a應(yīng)滿足（）A、a>1B、av1Ca>1D>a<1（2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題）6、適合不等式2x13x+14之4x21的x的取值的范圍是（）7、已知不等式（mx1）（x+2）A0的解集3

6、<x<2那么m等于（）A、1B、-C、3D、-333221f18、已知a=0,下面給出4個(gè)結(jié)論：a+1>0；（2）1-a<0；1+工>11-<1,其中,aa一定成立的結(jié)論有（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)（江蘇省競(jìng)賽試題）9、當(dāng)k為何整數(shù)值時(shí)，方程組仁明63k有正整數(shù)解?（天津市競(jìng)賽試題）10、如果iX=1是關(guān)于x,y=2y的方程（ax+by12）2+|axby+q=0的解，求不等式組13x14ra>b的解集ax-3：x33x-a>011、已知關(guān)于x的不等式組b的整數(shù)解有且僅有4個(gè)：1,0,1,2那么，適合這個(gè)不等|x<J2式組的所有可

7、能的整數(shù)對(duì)（a,b）共有多少個(gè)？（江蘇省競(jìng)賽試題）B級(jí)1、如果關(guān)于x的不等式ax+3之0的正整數(shù)解為1,2,3那么a的取值范圍是（北京市”迎春杯“競(jìng)賽試題）2、若不等式組有解，則a的取值范圍是1-2x0-2（海南省競(jìng)賽試題）3、已知不等式3x-aE0只有三個(gè)正整數(shù)解，那么這時(shí)正數(shù)a的取值范圍為.（"希望杯"邀請(qǐng)賽試題）-24、已知一1<2x-1<1貝U-1的取值氾圍為.x（“新知杯”上海市競(jìng)賽試題）111cc<a+b<2c63.55、b,c的大小關(guān)系是（）右正數(shù)a,b,c滿足不等式組«a<b+c<a,則a,23511b<a

8、+c<bB、b<c<aC、c<avbD、不確定（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）6、）個(gè)整數(shù)x適合不等式|x-2000|+|x|<9999A、10000B、20000C、9999D、800007、（五羊杯"競(jìng)賽試題）已知m,n是整數(shù)，3m+2=5n+3,且3m+2>30,5n+3v40,則mn的值是（8、A、A、70不等式x>5x:22x-1已知2x13B、72x+5的解集為（r5B、x25-3x-1-x，求|x-l|十C、77D、84x+3的最大值和最小值.5D、x>2（山東省競(jìng)賽試題）（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）10、已知x,y,z是三個(gè)非

9、負(fù)有理數(shù)，且滿足3x+2y+z=5,x+yz=2,若s=2x+yz,求s的取值范圍.（天津市競(jìng)賽試題）8n7,、11、求滿足下列條件的取小正整數(shù)n,對(duì)于n存在正整數(shù)k使一<<一成乂.15nk13.,一一11112、已知正整數(shù)a,b,c滿足avbvc,且一+=1,試求a,b,c的值.abc專題16不等式（組）C提示：解不等式組得3-2t<X<20,則5個(gè)整數(shù)解為x=19,18,17,16,15.結(jié)合數(shù)軸11分析，應(yīng)滿足14<3-2t<15,故6vtw_6<t.2x<13提示：(2m-n)x>m+5n,2mn<0,m+5n452m-nm=

10、1或m=3提示：解方程組得8x二21,由6-2my=m110一,m<0,13m=45n.7x-0/口(信一1wmw0y-0,a.03a2b=5-ca=7c-3例4提示：由已知條件得嚴(yán)_5c,解得/_c3,m=3c2.由心之0"2a+b=1+3C、b=7-"cc>07c-3-037得7-11c之0,解得一<c<711c.0，故m的最大值為，最小值為117例5先用x1和x2表小x3,x4,x3=xix2|x4x?x?x12x2，x7彳導(dǎo)=x3x4=2x1-3x2，因此x6=x4xx5=3x1+5%x=x5%=5x18x2x1+x2+x3+x4+x5+x6

11、+x7=2010.于是得x2=2010T3x1=100+（1_!3為）.因?yàn)閤2是自然數(shù)，所以（-20220213一.一一x1）是整數(shù)，所以x120是10的奇數(shù)倍.又因?yàn)閤1vx2,故有三組解：x1=10,x2=94，或x1=30,x2=81，或x1=50,x2=68.因此x1+x2的最大值為50+68=118，所以xI+x2+x3的最大值為2（x+x2）=2X118=236.例6解法一,:=0wabw1，1wa+bw4，由知一4Wabw1,+得一4W-2bw0,即一2W-bw0，+得一2wa-2bw1要使a2b最大，只有a-b=1且一b=0.a=1且b=0,此時(shí)8a+2003b=8._1一5

12、Jmn=1m"2解法一：設(shè)a2b=m(a+b)+n(ab)=(m+n)a+(mn)b,知W，解得2m-n=-2'3n二一2一一1而-2.-,a3,31.3.,0-(a-b)<-,.,.a2b=-(a+b)+-(a-b當(dāng)a2b最大時(shí)，a+b=1,ab=1b=0,a=1,此時(shí)8a+2003b=8.2.11.1提示:原不等式組變形為x.4-2ab-5由解集是x：214-a=00Vx<2知b+5二0fa=2，解得b=_1故a+b=2+(1)=13.avbvbva4.5<m<725.B提示：由ax+3a>3+x得(a1)(x+3)>0,.由不等式的解

13、集為xv3知x+3v0,所以a1<0,得a<1.6.C7.B8.C9.k=2或3.10.提示：由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得a=2,b=5,原不等式組的解集為xv3.11.原不等式組等價(jià)于ax-3bb一.-x：一22，因?yàn)樵摬坏仁浇M的整數(shù)解一1,0,1,2不是對(duì)稱地出現(xiàn),-2<a<-1,2<-<332bbab所以其斛不可能是-<x-必有一Ex，由整數(shù)解的情況可知2232得a=-5,-4,-3;b=5,6.故整數(shù)對(duì)(a,b)共有2X3=6X.B級(jí)33.3.一31.-1<a<提不：由題意可知：xE.由正整數(shù)解為1,2,3知34一一,解得一1Ea<一4a

14、a4xa：-a,Na"1提示:原不等式組變形為芻由不等式組有解知一1,故a"1八八2.3.9Wav124.-11x17587155 .B提木：原不等式組變形為一ca+b+c<3c,-a<a+b+c<-a,-b<a+b+c<-b.623246 .C示：若x>2000,則(x2000)+x<9999,即2000<x<5999,共有4000個(gè)整數(shù)；若0Wxv2000，則(x2000)+xw9999.2000w9999,恒成立，又有2000個(gè)整數(shù)適合若x<0,則2000-x+(-x)W9999即3999.5Wxv0,共有3999個(gè)整數(shù)適合，故一共有4000+2000+3999=9999個(gè)整數(shù)適合.7 .D8.C提示：由原不等式得x2>(x+5)29 .提示：解不等式，得x<l,11.34,最小值為-3311I-4x_1原式=-2x-2與£x：二1，從而知最大值為4(x<4)10 .提示：s=x+2,2<s<3nk13<,即8n7/曰1511 .提不：由<-<，倚<15nk138.又n與k是都是正整數(shù)，顯然n>8,當(dāng)n取9,10,11,12,13,14時(shí)，k都取不到整