二叉樹定價(jià)模型

1、期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期權(quán)定價(jià)的另一種常用方法二叉翻_(binomialtree)模型，它假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)在下一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的價(jià)格只有上升和下降兩種可能結(jié)果，然后通過分叉的樹枝來形象描述標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)價(jià)格的演進(jìn)歷程。本章只討論股票期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型，基于其它標(biāo)的資產(chǎn)如債券、貨幣、股票指數(shù)和期貨的期權(quán)定價(jià)的二叉樹方法，請(qǐng)參考有關(guān)的書籍和資料。8.1 一步二叉樹模型我們首先通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子介紹二叉樹模型。例8.1假設(shè)一只股票的當(dāng)前價(jià)格是$20,三個(gè)月后該股票價(jià)格有可能上升到$22,也有可能下降到$18.出現(xiàn)的不同股價(jià)。由于從開始至期權(quán)到期日只考慮了一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)

2、，圖8.1表示的二叉樹稱為一步(one-step)二叉樹。這是最簡(jiǎn)單的二叉樹模型。，、日虱口人£止柑一般地，假設(shè)一只股票的當(dāng)前價(jià)格是，基于該股票的歐式期權(quán)價(jià)格為。經(jīng)過一個(gè)時(shí)間步(至到期日T)后該股票價(jià)格有可能上升到相應(yīng)確則帑忘叫J可能下降到第1cH<1力相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格為.這種過程可通過一步(one-step)二叉樹表不出來，如圖8.2 所示。我們的問題是根據(jù)這個(gè)二叉樹對(duì)該歐式股票期權(quán)定價(jià)。1/10為了對(duì)該歐式股票期權(quán)定價(jià)，我們采用無套利(noarbitrage)假設(shè)，即市場(chǎng)上無套利機(jī)會(huì)存在。構(gòu)造一個(gè)該股票和期權(quán)的組合(portfolio),組合中有股跟頭股票和1股空頭期權(quán)。如果

3、該股票價(jià)格上升到腐汕合在期權(quán)到期日的價(jià)值為；如果該月愿修下/則該組合在期權(quán)G到期日的價(jià)值為。小衣臬好麻，該組合在股票上升和下降兩種狀態(tài)下的價(jià)值應(yīng)該相等，即有由此可得(8.1)為,又注嫌消'卜上式意味著是血節(jié)點(diǎn)之間的期權(quán)價(jià)格增量與股價(jià)增量之比率。在這種情況下，該組合是無風(fēng)險(xiǎn)的。以表東無風(fēng)險(xiǎn)利率，則該組合的現(xiàn)值(thepresentvalue的當(dāng)前價(jià)值是，故有工aA-CAD尸心也品A/"-"將(8.1)代入上式，可得基于一步二叉樹模型的期權(quán)定價(jià)公式為(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我們是在無套利(noarbitrage)假設(shè)下討論歐式股票期權(quán)的定價(jià)，因此無風(fēng)險(xiǎn)利率

4、應(yīng)該滿足:d<亦即有：0<p<1,2/10股價(jià)胡,期權(quán)價(jià)值f，待定股價(jià)uS0期權(quán)僑值心股價(jià)H也期權(quán)價(jià)值fd圖冷一二叉樹現(xiàn)在回到前面的例子中，假設(shè)相應(yīng)的期權(quán)是一個(gè)敲定價(jià)為$21,到期日為三個(gè)月的歐式看漲權(quán)，無風(fēng)險(xiǎn)的年利率為12%,求該期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值。S口=20,u=已知：且121Q=1.1,d=0。r=0.12,X=21,7=0.25,2020在期權(quán)到期日，當(dāng)時(shí)廉衩4東值為而當(dāng)八ma工(m%X0)1；踹=18時(shí)，該看漲權(quán)的價(jià)值為=max(dS口-X.0)=On根據(jù)(8.3)和(8.2),可得is。鄉(xiāng)吧=0.65231.L-0.9了=尸水。不【of'23x1+(1-0.6

5、523)x0=0.633.上述期權(quán)定價(jià)公式(8.2)和(8.3)似乎與股價(jià)上升或下降的概率無關(guān)，實(shí)際上，在我們推導(dǎo)期權(quán)價(jià)值時(shí)它已經(jīng)隱含在股票價(jià)格中了。不妨令股價(jià)上升的概率為，則股價(jià)下降的概率就是，在時(shí)間的期M股票價(jià)格為E(=砂瓦+。力d吊如果我們假設(shè)市場(chǎng)是風(fēng)險(xiǎn)中性的(riskneutral),則所有證券的價(jià)格都以無風(fēng)險(xiǎn)利率增加，故有3/10于是，我們有駝%+Q-q)dSq=用”由此可得與(8.3)比較，我們發(fā)現(xiàn)：，身莫且數(shù)的含義，我們稱必風(fēng)險(xiǎn)中性狀態(tài)下股價(jià)上升的概率。8.2兩步二叉樹模型在一步二叉樹模型中，股票和期權(quán)的價(jià)格只經(jīng)過一個(gè)時(shí)間步的演化，如果初始時(shí)間距期權(quán)到期日的時(shí)間間隔太長(zhǎng)，有可能造

6、成計(jì)算誤差太大的缺陷。因此，在初始時(shí)間與期權(quán)到期日之間增加離散的時(shí)間點(diǎn)，縮短計(jì)算的時(shí)間步長(zhǎng)，有助于提高計(jì)算精度。T用=一現(xiàn)在我們將初始時(shí)間距期權(quán)到期日的時(shí)間T分成兩個(gè)相等的時(shí)間步，則每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。假設(shè)一.I.,*F只股票的初始價(jià)格是，朱中該股票的歐式期權(quán)價(jià)格為，且每經(jīng)過一個(gè)時(shí)間步，該股票價(jià)格或者增加I!IIh到當(dāng)前價(jià)格的倍產(chǎn)或i畢前價(jià)格的倍。股票和期權(quán)價(jià)格的就化由#4q可通過如圖8.3所示的二叉樹表示出來，這種含有兩個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的二叉樹稱為兩步二叉樹(Two-stepbinomialtrees)模型。我們的問題是根據(jù)這個(gè)二叉樹對(duì)該歐式股票期權(quán)定價(jià)。類似于一步二叉樹模型的期權(quán)定價(jià)方法，采用無套利(

7、noarbitrage)假設(shè)，由前向后(backward)逐步計(jì)算期權(quán)價(jià)值，我們得到4/10了吟慶“I8力+2pQ-或Q+apr(8.4)其中,(8.5)在(8.4)中，分別檢得中的IT價(jià)到達(dá)上節(jié)點(diǎn)，中間節(jié)點(diǎn)和下節(jié)點(diǎn)的概率。因此，期權(quán)的初始價(jià)值可認(rèn)為是期權(quán)在到期日的期望價(jià)值貼現(xiàn)。股階uSo期杈價(jià)值后股價(jià)u*Sq期楓價(jià)值小股僑S0f，待定股僑nd%期機(jī)馀值G例8.2假設(shè)一只股票的初始價(jià)格是利率為5%,現(xiàn)有一個(gè)基于該股票,權(quán)的價(jià)值。分析將初始時(shí)間到期權(quán)到期日的股價(jià)dS0期權(quán)價(jià)值fa股價(jià)也a黑權(quán)價(jià)值珈$50,且每過1年該股票價(jià)格或者上升20%,或者下降20%,無風(fēng)險(xiǎn)敲定價(jià)為$52且2年后到期的歐式看

8、跌權(quán)，試用二叉樹模型確定該期2年時(shí)間分成相等的兩個(gè)時(shí)間步，則股票和期權(quán)價(jià)格的演化進(jìn)程可通過圖4直觀表示出來。依題意，已知:品二50,"=1+02=12,d=l0.2=03,r=0.05,X=52,及二1,f；35T=72且在期權(quán)到期日，當(dāng)時(shí)，陵飛看跌權(quán)的價(jià)值為5/10Q=niax(y-,0)-0當(dāng)用核畜跌權(quán)的油直為以二in虱X吟。)=4當(dāng)時(shí)，'該看跌枝的價(jià)值為心=in虱X-品.0);20根據(jù)(8.5),可得005«1Qgp=-=0.6282-1.2-0.8再由(8.4),即可求得該看跌權(quán)的初始價(jià)值為f=e"°J>10,62822x0+2x0

9、,6282x(1-0,6282)x4+(1-0.6282)"x20=41923.3=2。圖也4例對(duì)應(yīng)的二叉樹模型8.3多步二叉樹模型6/10一步和兩步二叉樹模型太簡(jiǎn)單了，實(shí)際使用的二叉樹要求具有多個(gè)離散的時(shí)間步長(zhǎng)來計(jì)算期權(quán)的價(jià)值。通常從初始時(shí)間到期權(quán)到期日需要分成30或更多個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。兩步二叉樹模型的歐式股票期權(quán)定價(jià)公式容易推廣到多步二叉樹模型的情形。如果我們將初始時(shí)間距期權(quán)T=到期日的時(shí)間T分成個(gè)相3四日再戰(zhàn)則每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。令股票的初始價(jià)格為用心,且每經(jīng)過一個(gè)時(shí)間步，股價(jià)或向上增加到當(dāng)前價(jià)格的倍，如勺單尾前價(jià)格的d厘）倍，無風(fēng)險(xiǎn)利率為的，貝俗期權(quán)到期日，股票價(jià)格有種可能結(jié)辰&quo

10、t;0°''"0'它們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)中性狀態(tài)下出現(xiàn)的概率分別是：（8.6）小小品，1Td品，一，謁力品權(quán)價(jià)值，為由權(quán)的敲定價(jià)，則在無套利假設(shè)下，股票看漲權(quán)在到期日的價(jià)值為于5=m虱*看離一凡1=0工，簿股票看跌權(quán)在到期日的價(jià)值為門=max(jV-加0)1工=0.1,丁咒將該期權(quán)在到期日的期望價(jià)值貼現(xiàn)，我們即可得到期權(quán)的（初始）價(jià)值為f三/吆QpQQ-p)&*3-0(8.7)ud關(guān)于參數(shù)的取值，Cox,Ross和Rubinstein給出了由股票價(jià)格波動(dòng)率確定的公式:(T(8.8)7/108.4二叉樹模型的美式股票期權(quán)定價(jià)上面我們討論了應(yīng)用二叉樹模型給歐

11、式股票期權(quán)定價(jià)。實(shí)際上，二叉樹模型還可給美式股票期權(quán)定價(jià)。美式和歐式股票期權(quán)在到期日的價(jià)值是一樣的。不同的是，美式股票期權(quán)的定價(jià)過程要求在到期前每一個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)上判斷提早執(zhí)行(earlyexercise)是否最優(yōu)，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)值。假設(shè)股票價(jià)格經(jīng)歷了個(gè)時(shí)間步的演化到達(dá)期權(quán)到期日，且每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)為，這可用一個(gè)夔二叉樹描述(圖形省略)。若股票的初始價(jià)格為，且每舞過一個(gè)時(shí)間步，股價(jià)或向上增加到當(dāng)前價(jià)格U當(dāng)前價(jià)格的倍，無風(fēng)險(xiǎn)利率為的,個(gè)時(shí)間步后，二叉樹上產(chǎn)生個(gè)例上而下分別用值用入表示，則節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的股票價(jià)格為期權(quán)價(jià)與囪卜在節(jié)點(diǎn)處期權(quán)沒有襟早執(zhí)行，則期權(quán)價(jià)值可通過式4,工=0工#)(8.2)計(jì)算，即

12、#叫砥心+”左小狗(8.9)(8.(10)如果在節(jié)點(diǎn)處蕊)被提早執(zhí)行是最優(yōu)的，則期權(quán)價(jià)值就是提早執(zhí)行贏帚(payoff),令為期權(quán)的敲定價(jià)，對(duì)股票看漲權(quán)，有(8.(11)對(duì)股票看跌權(quán)，有顯然，美式股票期權(quán)在節(jié)點(diǎn)處的價(jià)宿應(yīng)該取中的較大者,(8.12)8/10(8.13)由于美式股票期權(quán)在期權(quán)到期日的價(jià)值是已知的，因此美式股票期權(quán)的定價(jià)應(yīng)該由前向后逐步計(jì)算，這也稱作向后推演(backwardsinduction)。先由第步兵期權(quán)到期日)的個(gè)節(jié)點(diǎn)上的“!價(jià)值通過公式(8.9)(8.13)推出第步對(duì)近1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值，依此下去，我們可以得到初始時(shí)間上的期權(quán)價(jià)值。下面通過一個(gè)例題具體介紹美式股票期權(quán)的二叉樹定價(jià)過程。例8.3若例7.2考察的股票期權(quán)是美式的，試對(duì)該美式股票期權(quán)定價(jià)。分析股票價(jià)格的演化進(jìn)程見圖8.5o與歐式股票期權(quán)一樣，在期權(quán)到期日，該美式看跌權(quán)的價(jià)值自上而下分別為工=。Q=41tdd-20(8.(12) 得根據(jù)式(8.9)小兇_0.81.2-0.8=0.6282f：=*%10.6282乂。+(1-0.6282)x4=1.4147工=不眸10.6282乂4+0-0.6282)x20=9.4636£"二