二元函數(shù)的極值

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分第三單元二元函數(shù)的極值第一節(jié)二元函數(shù)的極值一、學(xué)習(xí)目標(biāo)偏導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用就是求極值問(wèn)題.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，弄清楚二元函數(shù)極值、最值的概念，會(huì)用極值存在的必要條件求出簡(jiǎn)單二元函數(shù)的極值和最值.二、內(nèi)容講解1 .二元函數(shù)的極值多元函數(shù)極值的概念與一元函數(shù)極值的概念類似.若對(duì)（X。"。）附近的（x,y）均有f（x°,y°）f（x,y）,則稱（x。，%）是f（x,y）的極小點(diǎn)，f（x0,y。）是極小值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).2 .極值存在的必要條件若一元函數(shù)y=f（x）在x。處可導(dǎo)，且x。是極值點(diǎn)，則f'（xo）=。若二元函數(shù)

2、z=f（x，y）在（xo，y。）處可導(dǎo)，且（xo，y。）是極值點(diǎn)，則fx'（x。，y。）=。fy'（x。，y。）=。3 .二元函數(shù)最大值、最小值若z=f（x，y）在閉區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則z=f（x，y）在D內(nèi)必有最大值和最小值.若z=f（x，y）在D內(nèi)可導(dǎo)，且在D內(nèi)有唯一駐點(diǎn)（x°，y。），則z=f（x，y）在該駐點(diǎn)（x。，y。）處的值就是最大值或最小值.4 .求最大值最小值應(yīng)用問(wèn)題的步驟：127經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分(1)根據(jù)題意，建立函數(shù)關(guān)系;(2)求駐點(diǎn);如果駐點(diǎn)合理且惟一，則該駐點(diǎn)就是所求的應(yīng)用問(wèn)題的最大點(diǎn)(或最小點(diǎn)).問(wèn)題思考：二元函數(shù)的極值點(diǎn)與駐點(diǎn)之

3、間有什么關(guān)系？答案與一元函數(shù)類似,二元函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，偏導(dǎo)數(shù)不存在的極值點(diǎn)也不是駐點(diǎn).但偏導(dǎo)數(shù)存在的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn).三、例題講解/22222-；例1求函數(shù)z=(xy-2x)在圓域D=*x,y),xy-2x,上的最大值和最小值.22_o解：顯然z*,且在閉域D上連續(xù)，當(dāng)x+y=2x時(shí)，z=0,這是該函數(shù)在D上的最小值.：zcc-Z22-一2(x2y2-2x)(2x-2)=0=2(xy-2x)2y=0下面求最大值：&,y解得x=1y=0,222它是函數(shù)z=(xy-2x)在D內(nèi)部的唯一駐點(diǎn)，故是最大點(diǎn)，最大值為z(1,0)=1例2用鐵皮做一個(gè)體積為V的無(wú)蓋長(zhǎng)方體箱子，問(wèn)其尺寸為多

4、少時(shí)，才能用料最??？解：設(shè)長(zhǎng)、寬分別為x，y,則高為,表面積為xycVVVVxyxyS=xy2x2y二xy2-2128經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分Q2VS-x2V-0Sx=y-？=0Sy-X-0x,yV_匕V解得x=y=3為，此時(shí)高為xy232V答：當(dāng)長(zhǎng)、寬、高分別為3囚、短V、2時(shí)，無(wú)蓋箱子用料最省.四、課堂練習(xí)某公司可通過(guò)電臺(tái)和報(bào)紙兩種方式做銷售某種商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入R（萬(wàn)元）與電臺(tái)廣告費(fèi)用x1（萬(wàn)元）及報(bào)紙廣告費(fèi)用x2（萬(wàn)元）之間的關(guān)22系有如下經(jīng)驗(yàn)公式R=15+14xi+32x2-8、x2-2xi-10x2，在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略，使所獲利潤(rùn)最大.利

5、潤(rùn)=收入費(fèi)用。收入函數(shù)題目中已給出，費(fèi)用只有電臺(tái)廣告費(fèi)和報(bào)紙廣告費(fèi)，即為二者之和.這是一個(gè)求二元函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用題.解題思路：（1）審清題意，弄清題目已知什么？要求什么？（2）根據(jù)題意，建立函數(shù)關(guān)系.建立函數(shù)關(guān)系，要先設(shè)變量，然后根據(jù)題意，找出變量之間的等量關(guān)系，用表達(dá)式表示出來(lái)即可.一般地說(shuō)，設(shè)變量要根據(jù)題意，求什么設(shè)什么.比如，當(dāng)售價(jià)多少時(shí)，利潤(rùn)最大？就要設(shè)條件中的價(jià)格為自變量，而設(shè)結(jié)果中的利潤(rùn)為因變量；再比如，銷售量為多少時(shí)，成本最少？就要設(shè)條件中的銷售量為自變量，而設(shè)結(jié)果中的成本為因變量.（3）求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0,得到聯(lián)立方程組.（4）解聯(lián)立方程組，得到符合題意的惟一駐點(diǎn).

6、（5）由問(wèn)題的實(shí)際意義可得知，問(wèn)題存在著最值.又本題只有一個(gè)駐點(diǎn)，即可判斷此點(diǎn)即是所求的極值點(diǎn)，也是最值點(diǎn).（6）求出最值，寫出答案.五、課后作業(yè)31.要造一個(gè)容積為1000cm的長(zhǎng)方體鐵箱，應(yīng)如何選擇尺寸方可使所用材料最129經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分??？2.某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售，售價(jià)分別為P1和P2;銷量分別為q1和q2；需求函數(shù)分別為q=24-0.2P1,q2=10-0.05P2，總成本函數(shù)為C=35+40(qi+q2),試問(wèn)：廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的產(chǎn)品售價(jià)，使其獲得的總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？1.當(dāng)長(zhǎng)、寬、高均為10cm時(shí)，所用材料最省.2.當(dāng)pi=80,p

7、2=120時(shí)，可獲最大禾I潤(rùn)為605.130經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分第二節(jié)拉格朗日乘數(shù)法一、學(xué)習(xí)目標(biāo)拉格朗日乘數(shù)法是求解條件極值的有效方法之一.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值問(wèn)題，尤其是經(jīng)濟(jì)分析中較簡(jiǎn)單的條件極值問(wèn)題.二、內(nèi)容講解1 .條件極值在第4課的例2中，給定體積V,求用料最省的無(wú)蓋長(zhǎng)方盒，即求S=xy+2xh+2yh在條件xyh=V下的最小值.2 .拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)f（x，y，z）在條件4（x，y,z）二°下的條件極值，可用如下的拉格朗日乘數(shù)法：令拉格朗日函數(shù)F=f（x，y，z）,（x，y，z）求F=f（x，y，z）+/（x，y,zN4j（無(wú)條件）

8、極化下nFn-Fn:F.=0,=0,=0,=(x,y,z)=0x二y二z一，解此方程組.問(wèn)題思考：什么是條件極值問(wèn)題？常用的解決方法是什么？答箜個(gè)多元函數(shù)的條件極值問(wèn)題實(shí)際上是求該函數(shù)的最大值（或最小值）問(wèn)題，但所求的并不一定是該函數(shù)在整個(gè)定義域上的最大值（或最小值），而是求該函數(shù)在定義域中的指定區(qū)域上的最大值（或最小值），這個(gè)指定區(qū)域由條件方程給出.解決條件極值問(wèn)題常用的方法是拉格朗日乘數(shù)法.三、例題講解用拉格朗日乘數(shù)法解上節(jié)中的例2:131經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分求原題即為求S=xy+2xh+2yh在條件xyh=V下的最小值.令L=xy2xh2yh：；，(xyh-V)=y2h

9、9;yh=0,.xL=x2h：；，xh=0,y：L八八八=2x2yxy=0,.:hy2hx2h2x2y=Axyh=V,由此可得：yhxhxy解得x=y=2h,再由xyh=v,解得x=y=2h=V2V四、課堂練習(xí)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品產(chǎn)量分別為x，y(噸)，又甲、乙兩種產(chǎn)品產(chǎn)量總和為34(噸)，且其總成本為x，y的函數(shù)C=C(x，y)=6x2+10y2xy+30.求兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各為多少時(shí)，總成本最??？這是一個(gè)條件極值問(wèn)題，即求在產(chǎn)量一定的條件下成本函數(shù)的最小值.這類題的解題思路是：(1)審清題意，弄清題目已知什么？要求什么？(2)根據(jù)題意，設(shè)出變量，建立起函數(shù)關(guān)系，并找出條件函數(shù).建立函數(shù)關(guān)系

10、，要先設(shè)變量，然后根據(jù)題意，找出變量之間的等量關(guān)系，用表達(dá)式表示出來(lái)即可.一般地說(shuō)，設(shè)變量要根據(jù)題意，求什么設(shè)什么.比如，當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？就要設(shè)條件中的價(jià)格為自變量，而設(shè)結(jié)果中的利潤(rùn)為因變量；再比如，銷售量為多少時(shí)，成本最少？就要設(shè)條件中的銷售量為自變量，而設(shè)結(jié)果中的成本為因變量.132,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章多元函數(shù)的微分條件函數(shù)也要根據(jù)題意找出自變量之間的等量關(guān)系，用表達(dá)式表示出來(lái)即可.（3）寫出拉格朗日函數(shù)：F=f（x,y,z）+）2（x,y,z）其中，兒為待定的參數(shù),求=f（x，y，z）+川（x，y，z）的（無(wú)條件）極值:干干：:F；:F二（x,y，z）=0解此方程組.（x，y，

11、z）就是原來(lái)的條件極值的可能極值點(diǎn).（4）求出最值，寫出答案.五、課后作業(yè)1 .某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其出售價(jià)格分別為10元/件、9元/件.若生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x件、y件時(shí)，總費(fèi)用為400+2x+3y+0.01（3x2+xy+3y2）.問(wèn)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為多少件時(shí)，可使總利潤(rùn)最大？2 .已知某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x，y（單位：千件），利潤(rùn)函數(shù)為2 2L（x，y）=2xx8y-3y-2（單位：百萬(wàn)元），已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時(shí)，每千件均需消耗某種原料1000公斤，現(xiàn)有該原料3000公斤，問(wèn)兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少千件時(shí)，總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)為多少？3 .某公司可通過(guò)電臺(tái)和報(bào)紙兩種方式做銷售某種商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入R（萬(wàn)元）與電臺(tái)廣告費(fèi)用x1（萬(wàn)元）及報(bào)紙廣告費(fèi)用x2（萬(wàn)元）之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式22R=1514x132x2-8取2-2x1-10x2,若可使用的廣告費(fèi)用為1.5萬(wàn)元，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略，使所獲利潤(rùn)最大.4.試用拉格朗日乘數(shù)法求解：欲圍一個(gè)面積為60平方米的矩形場(chǎng)地，正面所用材料每米造價(jià)10元，其余三面每米5元