曲線的彎曲程度

1、第七節(jié)曲線的彎曲程度與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān)與曲線的弧長有關(guān)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 主要內(nèi)容主要內(nèi)容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其計(jì)算公式曲率及其計(jì)算公式 三、三、 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑 MMM 平面曲線的曲率 第三三章 一、一、 弧微分弧微分)(xfy 設(shè)在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 其圖形為 AB,弧長)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則弧長微分公式為tyxsdd22 )(xs2)(1yx

2、ysd)(1d2或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT幾何意義幾何意義:sdTM;cosddsxsinddsy若曲線由參數(shù)方程表示:)()(tyytxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、曲率及其計(jì)算公式二、曲率及其計(jì)算公式在光滑弧上自點(diǎn) M 開始取弧段, 其長為,s對(duì)應(yīng)切線,定義弧段 上的平均曲率ssKMMs點(diǎn) M 處的曲率sKs0limsdd注意注意: 直線上任意點(diǎn)處的曲率為 0 !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 轉(zhuǎn)角為例例1. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .解解: 如圖所示 ,RssKs0limR1可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈

3、大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .sRMM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有曲率近似計(jì)算公式,1時(shí)當(dāng) yytan)22(設(shè)y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率計(jì)算公式為sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的計(jì)算公式的計(jì)算公式)(xfy 二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧則由機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: (1) 若曲線由參數(shù)方程)()(tyytxx給出, 則23)1(2yyK (2) 若曲線方程為, )(yx則23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 我國鐵路常用立方拋物線361

4、xlRy 作緩和曲線,處的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停說明說明:鐵路轉(zhuǎn)彎時(shí)為保證行車平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 且 l R. 其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度, 離心力必須連續(xù)變化 , 因此鐵道的曲率應(yīng)連續(xù)變化 . 例例2. 我國鐵路常用立方拋物線361xlRy 作緩和曲線,且 l R. 處的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度, 求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:,0時(shí)當(dāng)lxRl20 xlRy1 yK xlR1顯然;00

5、xKRKlx1221xlRy RByox361xlRy l例例3. 求橢圓tbytaxsincos)20(t在何處曲率最大?解解:故曲率為 ba23)cossin(2222tbta;sintax;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大tbtatf2222cossin)(最小機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ttbttatfsincos2cossin2)(2tba2sin)(22求駐點(diǎn): 的導(dǎo)數(shù)數(shù)表示對(duì)參tx ,0)( tf令,0t得,2,232,設(shè)tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a從而 K 取最大值 .這說明橢圓在點(diǎn)

6、,0ab 時(shí)則2,0t)0,(a處曲率機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值:yxbaba,)( 取最小值tf最大.三、三、 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑Tyxo),(DR),(yxMC設(shè) M 為曲線 C 上任一點(diǎn) , 在點(diǎn)在曲線KRDM1把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) M 處的曲率圓 ( 密切圓 ) , R 叫做曲率半徑, D 叫做曲率中心.在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1) 有公切線;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)曲線方程為, )(xfy 且,0

7、 y求曲線上點(diǎn)M 處的曲率半徑及曲率中心),(D設(shè)點(diǎn)M 處的曲率圓方程為222)()(R故曲率半徑公式為KR1 23)1 (2yy 滿足方程組,222)()(Ryx),(在曲率圓上yxM)(MTDM yyx的坐標(biāo)公式 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式y(tǒng)yyx )1 (2yyy 21(注意y與y 異號(hào) )當(dāng)點(diǎn) M (x , y) 沿曲線 )(xfy 移動(dòng)時(shí),的軌跡 G 稱為曲線 C 的漸屈線漸屈線 ,相應(yīng)的曲率中心Cyxo),(yxM),(DRT曲率中心公式可看成漸曲線 C 稱為曲線 G 的漸伸線漸伸線 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

8、束 屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停例例4. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面 , 問選擇多大的砂輪比較合適?解解: 設(shè)橢圓方程為tbytaxsincos),20(abx由例3可知, 橢圓在)0,( aoyx處曲率最大 ,即曲率半徑最小, 且為 R23)cossin(2222tbtaba0tab2顯然, 砂輪半徑不超過ab2時(shí), 才不會(huì)產(chǎn)生過量磨損 ,或有的地方磨不到的問題.ab例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 仍為擺線 )sin( a)cos1 ( a例例5. 求擺線)cos1 ()sin(tayttax的漸屈線方程 . 解解:xyy,co

9、s1sinttxyyt)(dd 2)cos1 (1ta代入曲率中心公式 ,)sin(tta) 1(cos ta得,t令aa2擺線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yoxMo擺線擺線半徑為 a 的圓周沿直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí) ,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停Moyxta其上定點(diǎn) M 的軌跡即為擺線 .)sin(ttax)cos1 (tay參數(shù)的幾何意義擺線的漸屈線點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 弧長微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圓曲率半徑KR1yy 23)1 (2曲率中心yyyx )1 (2yyy 21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 曲線在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系?答答: 有公切線 ;凹向一致 ;曲率相同.2. 求雙曲線1yx的曲率半徑 R ,