函數(shù)值域求法大全

1、 WORD 函數(shù)值域求法十一種在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對應(yīng)法則共同確定。研究函數(shù)的值域，不但要重視對應(yīng)法則的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。確定函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對于如何求函數(shù)的值域，是學生感到頭痛的問題，它所涉與到的知識面廣，方法靈活多樣，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，若方法運用適當，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。 1. 直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例1. 求函數(shù)的值域。解：顯然函數(shù)的值域是：例2. 求函數(shù)的值域。解：故函數(shù)的值域是：

2、2. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例3. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當x=1時，當時，故函數(shù)的值域是：4，8 3. 判別式法例4. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程（1）當時，解得：（2）當y=1時，而故函數(shù)的值域為例5. 求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實根，由求出的圍可能比y的實際圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM一步確定原函數(shù)的值域。代入方程（1）解得：即當時，原函數(shù)的值域為：

3、注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部分剔除。 4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例6. 求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：則其反函數(shù)為：，其定義域為：故所求函數(shù)的值域為： 5. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。例7. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：解得：故所求函數(shù)的值域為例8. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：故函數(shù)的值域為 6. 函數(shù)單調(diào)性法例9. 求函數(shù)的值域。解：令則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，1

4、0上是增函數(shù)當x=2時，當x=10時，故所求函數(shù)的值域為：例10. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當x=1時，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域為 7. 換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例11. 求函數(shù)的值域。解：令，則又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當時，當時，故函數(shù)的值域為例12. 求函數(shù)的值域。解：因即故可令故所求函數(shù)的值域為例13. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當時，當時，而此時

5、有意義。故所求函數(shù)的值域為例14. 求函數(shù)，的值域。解：令，則由且可得：當時，當時，故所求函數(shù)的值域為。例15. 求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當時，當時，故所求函數(shù)的值域為： 8. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例16. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），間的距離之和。由上圖可知，當點P在線段AB上時，當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，故所求函數(shù)的值域為：例17. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點到兩定點

6、的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，故所求函數(shù)的值域為例18. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點到點的距離之差。即：由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，可知函數(shù)的值域為：注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側(cè)。如：例17的A，B兩點坐標分別為：（3，2），在x軸的同側(cè)；例18的A，B兩點坐標分別為（3，2），在x軸

7、的同側(cè)。 9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例19. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當且僅當即當時，等號成立故原函數(shù)的值域為：例20. 求函數(shù)的值域。解：當且僅當，即當時，等號成立。由可得：故原函數(shù)的值域為： 10. 一一映射法原理：因為在定義域上x與y是一一對應(yīng)的。故兩個變量中，若知道一個變量圍，就可以求另一個變量圍。例21. 求函數(shù)的值域。解：定義域為由得故或解得故函數(shù)的值域為 11. 多種方法綜合運用例22. 求函數(shù)的值域。解：令，則（1）當時，當且僅當t=1，即時取等號，所以（2）當t=0時，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域為：注：先換元，后用不等式法例23. 求函數(shù)的值域。解：令，則當時，當時，此時都存在，故函數(shù)的值域