概率論總復(fù)習(xí)-知識(shí)總結(jié)

1、1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí) 一、內(nèi)容提要 二、典型例題2隨機(jī)試驗(yàn)可能結(jié)果基本事件Ai不含任何eiAi任何組合iiA事件AS不可能必然完備事件組Ai0)(ijiApjiAASAii等概完備事件組nAPi1)(ni,2 , 1 貝努利試驗(yàn)獨(dú)立試驗(yàn) 概型只有兩個(gè)可能結(jié)果n次重復(fù)等概概型條件： n次試驗(yàn)中 A發(fā)生k次nkqpCkXPknkkn, 2 , 1pAP)(B由其中m個(gè)事件組成公式nmBP)(（一）概念之間的關(guān)系（一）概念之間的關(guān)系一、一、隨機(jī)變量與概率隨機(jī)變量與概率31、運(yùn)算關(guān)系、運(yùn)算關(guān)系包含包含： A 則 B 相等相等： A = B和和：至少有一個(gè)發(fā) 生 AUB積積：同時(shí)發(fā)生 ABBAABB

2、A且ABSABA、B不相容BAA、B 對(duì)立 記為AB 差： ABB =SA（二）事件的關(guān)系（二）事件的關(guān)系4除與一般代數(shù)式運(yùn)算相同的法則以外，注意1）對(duì)偶律對(duì)偶律 2）其他其他3）獨(dú)立性獨(dú)立性事件的獨(dú)立性是由概率定義的；n個(gè)事件的獨(dú)立性要求:ABABABABAAAAAAAS()()ABCABAC21nn個(gè)等式成立。（三）（三） 解題方法解題方法1、一般概率、一般概率1） 利用兩種概型10 古典20 n重貝努利概型2） 利用事件間的運(yùn)算2、運(yùn)算法則、運(yùn)算法則5化為事件的和利用對(duì)立事件A、B相互獨(dú)立分解到完備組中： 全概公式利用隨機(jī)變量及其分布計(jì)算。()P AB)()()(ABPBPAP)()(B

3、PAP一般情況AB11P ABP ABP AB 化為事件的積)(ABP)|()(ABPAP)()(BPAP一般情況 1/nkkkP AP B P A B12,nB BB是完備組，62） 用乘法公式1） 在縮減完備組中計(jì)算，方法同 1。3） 用貝葉斯公式2 2、條件概率、條件概率)()()/(APABPABP(|)kP BA (1,2, )kn()( )kP ABP A1() (|)nkkkP B P A B() (|)kkP B P A B7一實(shí)數(shù)值X(ei),（一）隨機(jī)變量的定義（一）隨機(jī)變量的定義對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)可能結(jié)果ei,的變量，則稱實(shí)數(shù)變量X(ei)為一個(gè)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為X。注

4、意：注意：1、X 是定義在隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合 ei 上按試驗(yàn)的不同結(jié)果而取不同的值.取值是隨機(jī)的. 2、在一定的試驗(yàn)下，二、隨機(jī)變量及其分布二、隨機(jī)變量及其分布都唯一地對(duì)應(yīng)著因此X的可以依據(jù)我們所關(guān)心的結(jié)果的數(shù)值特征選取 X 所代表的具體意義。3、X 的引入使我們便于研究隨機(jī)試驗(yàn)的全貌，并使用分析的工具。81、離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的取值可以一一列舉（有限或無(wú)限）定義定義概率分布（分布列分布列） 表示法稱X 為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量。（二）隨機(jī)變量的分布及性質(zhì)（二）隨機(jī)變量的分布及性質(zhì), 2 , 1kpxXPkk公式法列表法nkknkpppppxxxxX2121kpx1xnpkp1

5、pkxnx圖示法性質(zhì)性質(zhì), 2 , 10. 1kxXPknkkp11. 29定義定義對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)xduupxXPxF)()()(使對(duì)任意實(shí)數(shù) ,p xx 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量， xxp為的密度的密度.都有,xp(x)0 x1其圖形：.1)(dxxp ,0 xxp(2) 歸一性歸一性(1) 非負(fù)性非負(fù)性密度函數(shù)的性質(zhì)密度函數(shù)的性質(zhì)2 2、連續(xù)性隨機(jī)變量、連續(xù)性隨機(jī)變量103、分布函數(shù)、分布函數(shù))()(xXPxF)(x為X的分布函數(shù). 記作設(shè) X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱 .xFX定義定義1 1分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì) 1、單調(diào)不減性單調(diào)不減性：; 1)(lim)(,

6、 0)(lim)(xFFxFFxx000()lim( )().xxF xF xF x3、右連續(xù)性右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù) x，2、歸一歸一 性性：若 x1x2, 則 F (x1) F (x2);對(duì)任意實(shí)數(shù)x， 0 F(x) 1，且111）分布函數(shù)的值表示了X落在2）離散型： 若分布函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明分布函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明)(xF是一個(gè)普通的函數(shù)，在 )(xFx處),(x內(nèi)的概率。, 3, 2, 1kpxXPkk xxkkpxFxxkkxXPx由于 xF是X 取的諸值kx的概率之和，故又稱 為累積概率函數(shù)為累積概率函數(shù). . xF圖形特點(diǎn)：圖形特點(diǎn)：是一條有跳躍的上升階梯形曲線。 xF1xkx3x2xxkp

7、3p2p1p1123 3） X為連續(xù)性隨機(jī)變量為連續(xù)性隨機(jī)變量( )()( )xF xP Xxp t dtp (x)0 xx)(xF 1221)(xFxFxXxP21)(xxtdtp21xx 在 的連續(xù)點(diǎn)處，xp xFxpp (x)x01x2x133）把Y的分布用表（離散型）或Y的密度（連續(xù)性）1、問(wèn)題：若YX,之間的事件等價(jià)關(guān)系。關(guān)系和分布函數(shù)關(guān)系。是隨機(jī)變量，表述出來(lái)。其中已知X 的分布，求的分布。2、基本方法4、隨機(jī)變量函數(shù)的分布、隨機(jī)變量函數(shù)的分布).(XY)(xy是 x的函數(shù)。)(XY研究1）由)(XYYX,2）由YX,之間的事件的關(guān)系再求YX,之間的分布3、具體討論14則當(dāng)若若X的

8、分布列的分布列., 2 , 1nkpxXPkk).(XY)(kkxYyY)(jiyyji)(kkxXyYkkpyYPllkkyxxy)()(當(dāng)則)()(lkkxXxXyYlklKkppxXPxXPyYP)()(lk 1） 離散型離散型15( ) ( ( )p yF h y ( )( )h yh y y0其他及有關(guān)函數(shù)表述出來(lái)。( ).p y求)()(yhXyXyY其為等價(jià)的事件).(YhX 將( )F y用 ( )F h y利用( )( )Fyp y求出Y的密度函數(shù)。2 2） 連續(xù)性連續(xù)性設(shè) X是一個(gè)取值于區(qū)間ba,具有概率密度 otherbxaxxp0)(的連續(xù)型隨機(jī)變量， XY16性質(zhì)：性

9、質(zhì)：（一）二維隨機(jī)變量（一）二維隨機(jī)變量（X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)yx,定義定義對(duì)于任意實(shí)數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量（X,Y)的分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)?；蚍Q為X和Y 三、二維隨機(jī)變量及其分布三、二維隨機(jī)變量及其分布,),(yYxXPyxF,1),(0yxF; 0),( yF; 0),(xF. 1),(; 0),(FF2.且yxF,. 1是變量的不減函數(shù)，即yx,2121yXyxXxP，1222yxFyxF，1121yxFyxF，17YX,（二）離散型（二）離散型的所有可能取值為, 2 , 1,),(jiyxji設(shè)則jijipyYxXP,2,1,ji和Y的聯(lián)合分布列聯(lián)合分布列。),(YX稱

10、為二維隨機(jī)變量的分布列分布列， 或隨機(jī)變量X：性質(zhì) 10jiijyYxXPp，有：性質(zhì) 2，對(duì)任意的21jiji（非負(fù)性）（非負(fù)性）（歸一性）（歸一性）1jijip xxyyijiipyYxXPyxF,),(的聯(lián)合分布函數(shù)為，則YX18二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列下表表示的聯(lián)合分布列也可以由，YXX Y y1 y2 yj p11 p12 . P1j . p21 p22 . P2j . pi1 pi2 . Pij . .x1 x2xi關(guān)于Y的i邊緣分布1()P Yy()jP Yy關(guān)于X的邊緣分布j11()p Xxp()iip Xxp19（X,Y ) )的邊緣分布的

11、邊緣分布),(YXjijipyYxXP,2,1,ji1jjiipxXP,2,1i設(shè)的分布列為 :),(YXX則則關(guān)于關(guān)于的邊緣分布列為1ijijpyYP,2,1j1jjiipp,2,1i1ijijpp,2,1j),(YXY關(guān)于的邊緣分布列為：分別記20( (三）連續(xù)型三）連續(xù)型總有 ),(YX, ),(yxF),(yxpyx, yxdvduvupyxF),(），（的聯(lián)合概率密度。),(yxpXY),(YX其具有以下性質(zhì)：定義定義4 4 設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，對(duì)任意實(shí)數(shù)為的概率密度，或稱為隨機(jī)變量和對(duì)于非負(fù)可積的函數(shù)0),() 1 (yxp(2)( , )(,)1dxp x y dyF （

12、非負(fù)性）（非負(fù)性）（歸一性）（歸一性）),(),()3(2yxpyxyxFGdxdyyxpGYXP）（ ,),()4(21為關(guān)于X 和Y 的邊緣概率密度。定理定理 設(shè)),(YX),(yxp是的聯(lián)合密度函數(shù)，則分別是),(YX邊緣概率密度邊緣概率密度 dxyxpypY),()(dyyxpxpX),()(22均有),(YXyx,yYPxXPyYxXPXY兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性若二維隨機(jī)變量對(duì)任意的實(shí)數(shù)成立，則稱隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的。若記yYBxXA且 BPAPABP成立，可見(jiàn)X，Y 相互獨(dú)立的定義與兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義是一致的。判斷X，Y 相互獨(dú)立的辦法：,jijiy

13、YPxXPyYxXP( , )( )( )XYp x ypx py23),(222121N),(YX其的概率密度為2222212121212)()( )(2)()1 (21221121),(yyxxeyxp 的邊緣概率密度分別為YX,21212)(121)(xXexpx22222)(221)(yYeypy)()(),(ypxpyxpYX024四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征（一）數(shù)學(xué)期望（一）數(shù)學(xué)期望 E X定義定義EX1nkkkx pX為離散型( )x p x d xX為連續(xù)型若)(XYEY1()nkkkxpX為離散型( ) ( )x p x d xX為連續(xù)型., 2 , 1nk

14、pxXPkkX為離散型其分布列為X為連續(xù)型其密度函數(shù)為).(xp25若若 （X,Y ) 有聯(lián)合密度).,(yxpEX ( , )xd xp x y dyEY ( , )yd yp x y dxEZ ( , ) ( , )d xx y p x y dy),(YXZ( )Xxpx d x( , )Yypx y d y26期望的性質(zhì)期望的性質(zhì)nEXEXEXXXXE2121)(nXXX,211()nkkkEC XbCEC . 1其中 C 為常數(shù)。2. 對(duì)于任何常數(shù)1,2, .kCkn及 b.1()nkkkC E Xnb3. 若相互獨(dú)立， 則27 knkkpEXx12)(定義定義2)(EXXEDX計(jì)算公

15、式（二）方差（二）方差., 2 , 1nkpxXPkkX為離散型其分布列為X為連續(xù)型其密度函數(shù)為).(xpDXX為離散型X為連續(xù)型2()( )xEXp x d x22)()(EXXEDXDXEXXE22)()(2812,nXXX2121)(DXDXXXD1()nkkkDC Xb0. 1Dk其中 k 為常數(shù)。3. 對(duì)于任何常數(shù)., 2 , 1nki及 b.21nkkkC DX相互獨(dú)立， 則方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)DXkkXD2)(. 2DXkbkXD2)(29均勻分布泊松分布二項(xiàng)分布0-1分布參數(shù)范圍方差均值概率分布名稱kkqpkXP1)(. 1 , 0k()kkn knP XkC p q., 2

16、, 1 , 0nk()!keP Xkk., 2 , 1 , 0nkotherbxaabxp01)(npnpq10 ppq10ppq10 ppq12ba 12)(2abba ( (四四) )常用的六個(gè)分布常用的六個(gè)分布( , )XB n p),(baUX( )X 指數(shù)分布000)(xxexpx0121)(EX(1, )XBp30標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布參數(shù)范圍方差均值概率分布名稱01( (四四) )常用的六個(gè)分布常用的六個(gè)分布) 1 , 0( NX正態(tài)分布),(2NX2任意022()21( )2xp xex 221( )2xxex 31稱為標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量，有2、正態(tài)分布隨機(jī)變量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化、正態(tài)分布隨機(jī)變

17、量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化.n. 1knkknqpCkXP )(),(2NX!keknp)1 ,0(2NXX)(x表可查。注意注意32COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE Y ),(YXCOV()()ijijijxEXyEY pdxdyyxpEYyEXx,)(),(YXCOV若隨機(jī)變量 X, Y 為離散型.若隨機(jī)變量 X, Y 為連續(xù)型.協(xié)方差協(xié)方差DYDXEYYEXXEXY)(DYEYYDXEXXE相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)COV( X,Y )E( XY ) EXEY一般計(jì)算公式33COV( X,Y )E(XY) EXEY可見(jiàn)，可見(jiàn)，()E XYEX EY存在的必要條件為COV( X,Y ) 0 .即

18、即0),(DYDXYXCovXY定義：定義： 若0),(YXCOV可見(jiàn)，若X與Y 獨(dú)立，(, )0.OVCX Y 稱稱X與與Y不相關(guān)。不相關(guān)。 D(X士Y) = D X + DY士2COV( X,Y ) D(X士Y) = D X + DY即即341. COV( X,X ) E( X- EX )2 = DX ；3. COV( aX, bY ) ab COV( X,Y ), a,b是常數(shù)；4. COV( X1+X2 ，Y ) COV( X1,Y )+ COV( X2,Y ).二、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)二、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)2. COV( X,Y ) COV( Y , X ) ；COV ( X,

19、Y )=E(XE X ) (YE Y )1XY5.5.35),()()(YEXEXYE2 2）, 0),( YXCov3 3）),()()(YDXDYXD4 4）, 0 XY 1 1）相關(guān)系數(shù)）相關(guān)系數(shù)則稱則稱X與與Y不相關(guān)；不相關(guān)；四個(gè)等價(jià)命題：四個(gè)等價(jià)命題：36或2,DXEX方差,022/|XP22/1|XP（一）（一） 切比雪夫不等式切比雪夫不等式五、大數(shù)定理與中心極限定理五、大數(shù)定理與中心極限定理設(shè)對(duì)任意不等式成立， 則稱此式為切比切比雪雪夫不等式夫不等式切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律niniiinXEnXnP111| )(11|lim獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律1|1|lim1 niin

20、XnP貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律1|limpnnPAn37lim1xnnXPniin2-t2-1edt( )2xx 之和總可以近似服從正態(tài)分布.（二）獨(dú)立同分布下的中心極限定理（二）獨(dú)立同分布下的中心極限定理設(shè)X1,X2, Xn , 相互獨(dú)立，且服從同一分布，具有相同的期望和方差., 2 , 12nkXDXEkk則此定理表明此定理表明，無(wú)論,21nXXX原來(lái)服從什么分布， 當(dāng)n 充分大時(shí)，1, 01NnnXnii21,nnNXnii即38lim (1)nYnpPxnppdtext2221（三）棣莫佛拉普拉斯中心極限定理（三）棣莫佛拉普拉斯中心極限定理Y設(shè)隨機(jī)變量10),( ppnB則對(duì)任意的

21、，有x x1nkkYX)()(npqnpanpqnpb此定理的常用公式有：kkn kna k bP aYbC p q P Yb1)(2npqnpb統(tǒng)計(jì)部分統(tǒng)計(jì)部分第六章第六章1. 卡方分布、t分布、F分布的定義及性質(zhì)； 2. 抽樣分布定理： (4) (1)/Xt nSn1. 點(diǎn)估計(jì)量的求解方法 （1）矩法； （2）極大似然法；2. 無(wú)偏性 3. 置信區(qū)間 21,( ,)nXXN 設(shè)則關(guān)于參數(shù) 的置信度為0.95的置信區(qū)間： 1/2(1)xun1/2(2)(1)sxtnn或則關(guān)于參數(shù) 的置信度為0.95的置信區(qū)間： 222221/2/2(1)(1),(1)(1)nSnSnn統(tǒng)計(jì)部分統(tǒng)計(jì)部分第七章

22、第七章1. 假設(shè)檢驗(yàn)的思想 （1）原假設(shè)與備選假設(shè)； （2） 的意義；2. 假設(shè)檢驗(yàn) 21,( ,)nXXN 設(shè)0000001/20000001000000(1):,:(1)/(2):,:(1)/(3):,:(1)/xHHKtnsnxHHKtnsnxHHKtnsn統(tǒng)計(jì)部分統(tǒng)計(jì)部分第八章第八章1）U檢驗(yàn)法；2）t 檢驗(yàn)法；3）卡方檢驗(yàn)法概率部分概率部分第一章第一章 典型題目典型題目3 . 0)(AP4 . 0)(BP2 .0)(ABP例 已知)(BAP則()( )( )()P ABP AP BP AB( )( )( )()P AP BP AP AB0.60.2 0.30.66第二章第二章9/16

23、1/820,0/16,041,4xxxx44例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率 為為80%80%，若甲，若甲出差，則乙出差的概率為出差，則乙出差的概率為20%20%；若甲不出差，則乙出差的概率為；若甲不出差，則乙出差的概率為90%90%。(1)(1)求近期乙出差的概率；求近期乙出差的概率； (2)(2)若已知乙近期出差在外，求若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。甲出差的概率。 ( )0.80, (|)0.20, (|)0.90P AP B AP B A已知 1 ( )()P BP ABAB44( ) ( | )( ) ( | )P AP B

24、AP A P B A0.8 0.2 0.2 0.934 % ()()1682 ( | )( )()()3417P ABP ABP A BP BP ABP ABABAB與不相容Bayes公式全概率公式()()P ABP AB解：設(shè)A=甲出差，B=乙出差4545 例3：設(shè)X的概率密度為 (1)求常數(shù)c的值； (2) 寫(xiě)出X的概率分布函數(shù)； (3) 要使 求k的值。 解：2()3P Xk， 01( )2 9 360 cxf xx其他 1( )f t dt1 ( )F xP Xx2 2 ()( )4.53P XkF kk3 使160329cdtdt23c13c010103 0 01 0131 1331

25、2 3639 1 6xxxdtxdtxdtdtxx0 03 011 3 13(23)/9 361 6xxxxxxx第二章第二章)31()32(223C5225e2) 1341(0.0511/22433第二章第二章1)( )( , )12 (01),xXxfxf x y dydyxx11110110( )( , )10110100yYydxyyyfyf x y dxdxyyy 其他其他1111122)( )()()2(01)(1) ( 12)333339ZXzzzzfzfzz 10| |013)()( , )0 xxyxxE XYxyf x y dxdyxdxy dy 14)02P Y 4848

26、例：2( ,) (0) ( ).YXNYaXb aYfy 設(shè)， 求 的概率密度( )yg xaxb ，3, 04( ) ( )80, YxxXf xYXfy。若， 求 其他3( ) yg xx，131, 064( )24 0 , Yyyfy其他222( ,) (,)XNYaXbYN ab a 一般若， ( )0g xa ，( )ybxh ya1( )()YXybfyfaa222()212yabaea22(,)YN ab a13 ( )xyh y2( )30g xx ，21331( )()3YXfyyfy解：例： 解：49例 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為),(YX其它, 0, 42 , 20),6

27、(),(yxyxkyxf（1）確定常數(shù) ；（2）求 ；（3）求 ；（4）求k3, 1YXP5.1XP4YXP50解：（1）由 得 , 1),(dxdyyxfdyxxxxykdxyxkdy02216)6(14220422kyykdyyk824)10()2212(4228/1k 所以：dxyxdyYXP)6(813, 13210（2）dyy32211818351dxyxdyXP)6(815 . 1425 . 10（3）3227238638142dyyGdxdyyxfGYXYXP),(),(4dxyxdyy)6(8142403224)4 (61)4 (8132yy（4）在 的區(qū)域 ： 上作直線 ，并

28、記則0),(yxf42 , 20yxR,42 , 20:xyxG4 yx.0,),(.3, 1,3, 0., 2,0, 1, 0, 0,1, 0:),(),(22 UVPVUYXYXVYXYXXUVUyxyyxDYX并計(jì)算并計(jì)算的聯(lián)合概率分布的聯(lián)合概率分布求求如下如下隨機(jī)變量隨機(jī)變量定義定義上的均勻分布上的均勻分布服從服從設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量.,),(概率概率布的特征計(jì)算其取值的布的特征計(jì)算其取值的并利用均勻分并利用均勻分的所有可能取值的所有可能取值寫(xiě)出寫(xiě)出VU例例3 思路思路 解解的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為由題設(shè)知由題設(shè)知),(YX .),(, 0,),(,2),(DyxDyxyxf:

29、6),(個(gè)可能取值個(gè)可能取值有有VU)1 , 2()0 , 2()1 , 1()0 , 1()1 , 0()0 , 0(, 0)(0, 0 PVUP, 0)(0, 1 PVUP3,01, 1YXYXPVUP yxyxfYXPyxdd),(00 yxyxdd20 .41 BCEAOCSS扇扇扇扇1, 0 VUP0 XP,21 BCECOESS扇扇扇扇3,0, 2YXXYPVUP 3YXP ,61 BCEBOFSS扇扇扇扇3, 0YXXP ABECF3,1, 2YXXYPVUP 3YXYP .121 BCEAOFSS扇扇扇扇的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為所以所以),(VUVU2101061001

30、214121從而從而0 UVP1, 21, 1 VUPVUP12141 .31 . 0,0,),( ),(其他其他的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量yxcxeyxfYXy例例4.1),min()8(;1)7(;)6(;),()5(;21,21)4();(),()3(?)2(;)1( YXPYXPYXZYXYXPYXPxyfyxfYXcXYYX求求求求的密度函數(shù)的密度函數(shù)求求的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)求求求求求求為什么為什么是否獨(dú)立是否獨(dú)立與與求常數(shù)求常數(shù)解解得得由由,1dd),()1( yxyxfxcxyyyded100 ,)3(2de202ccyycy . 1 cyyxf

31、xfXd),()()2( . 0, 00,dexxyxxy . 0, 0, 0,exxxxxyxfyfYd),()( . 0, 00,de0yyxxyy . 0, 0, 0,e212yyyy),()(),(,0yfxfyxfyxYX 上上由于在由于在.不獨(dú)立不獨(dú)立與與故故YX)(),()()3(yfyxfyxfYYX ., 0,0,22其他其他yxyx)(),()(xfyxfxyfXXY ., 0,0,e其他其他yxyx21)4( YXP22, 1 YPYXP 212d)(dd),(yyfyxyxfY 202102de21dedyyyxxyxy.e51e21e21221 又由條件密度的性質(zhì)知又

32、由條件密度的性質(zhì)知,d)2(211xxfYXPYX ., 0, 20,2)2(其他其他而而xxxfYX從而有從而有xxYXPd22110 .41 :,),()5(故有故有由于由于yYxXPyxF . 0),(,00 yxFyx有有時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 xy,),(yYxXPyxF uuvvvyded00 yvvv02de21.e )12(12yyy 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 yx,),(yYxXPyxF vuuyuvxded0 xyuuu0d)ee (.e21e )1(12yxxx 故得故得 .0,e21e )1(1,0,e )12(1, 00, 0),(22yxxxxyyyyxyxFyxy或

33、或 ,d),()()6(xxzxfzfZ根據(jù)根據(jù),20,0,),(時(shí)時(shí)即即只有當(dāng)只有當(dāng)非零非零由于要被積函數(shù)由于要被積函數(shù)zxxzxxzxf 從而有從而有: :; 0)(,0 zfzZ時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z 20)(de)(zxzZxxzf 20deezxzxx;e )12(e2zzz 因此因此 . 0, 0, 0e )12(e)(2zzzzfzzZ 1d)(1)7(zzfYXPZzzzzde )12(e 102 .ee1121 1),min()8( YXP1),min(1 YXP1, 11 YXPuuvvvded101 vvvde21112 .e2511 ).( )( )0( ., 0,

34、11,)1()( 2XDXExxcxfX和和求求其他其他的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 解解 , )( 是偶函數(shù)是偶函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)閤f xxxfXEd)()( 所以所以 112d)1(xxcx , 0 22)()()(XEXEXD )(2XE 例例5 1122112d)1()1(21d)1()1(21xxcxxxc 1122d)1(xxcx 11121112d)1()1(2)1()1(2xxcxxc 1d)( xxf)(d)(2XDxxfx ),()1(21)1(21)( XDXD 于是于是.321)( XD故故, 0上服從均勻分布上服從均勻分布在在設(shè)總體設(shè)總體 X解解1 因?yàn)橐驗(yàn)?2 根據(jù)矩估計(jì)法根據(jù)矩估計(jì)法,2 令令.2 的估計(jì)量的估計(jì)量為所求為所求所以所以 X .的估計(jì)量的估計(jì)量求求 ,),(21的樣本的樣本是來(lái)自總體是來(lái)自總體 XXXXn,)0(未知未知 其中其中)(XE ,X 1A 補(bǔ)充補(bǔ)充2 2即有分布律即有分布律服從幾何分布服從幾何分布設(shè)總體設(shè)總體,X解解)(1XE 11)1( kkppk,1p ,11XAp 令令.1的估計(jì)量的估計(jì)量為所求為所求所以所以pXp .的估計(jì)量的估計(jì)量求求 p,的樣本的樣本體體 X是來(lái)自總是來(lái)自總),(21nXXX,)10(未知未知其中其中 pp), 2 , 1()1(1