正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、上海市北郊高級(jí)中學(xué)上海市北郊高級(jí)中學(xué) 宮麗君宮麗君一、引入一、引入如何用正弦線作正弦函數(shù)圖象呢？如何用正弦線作正弦函數(shù)圖象呢？用正切線作正切函數(shù)用正切線作正切函數(shù)y=tanxy=tanx的圖象的圖象.2 , 0,sin1圖圖象象、用用平平移移正正弦弦線線得得 xxy.2圖圖象象向向左左、右右擴(kuò)擴(kuò)展展得得到到、再再利利用用周周期期性性把把該該段段類類 比比 正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)問題問題1 1、正切函數(shù)、正切函數(shù) 是否為周期函數(shù)？是否為周期函數(shù)？ y = tanxy = tanx 是周期函數(shù)，是周期函數(shù)， 是它的一個(gè)周是它的一個(gè)周期期 y = tanxy = tanx 我們先來

2、作一個(gè)周期內(nèi)的圖象。想一想想一想：先作哪個(gè)區(qū)間上的圖象好好呢？( ( - -, ,) )2 22 2利用正切線畫出函數(shù)利用正切線畫出函數(shù) ， 的圖像的圖像: : xytan 22 ，xf x+f x+ = tan x+= tan x+ = tanx= tanx xf 為什么？為什么？二、探究二、探究用正切線作正切函數(shù)圖象用正切線作正切函數(shù)圖象 正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)作法作法:(1) 等分：等分：(2) 作正切線作正切線(3) 平移平移(4) 連線連線把單位圓右半圓分成把單位圓右半圓分成8等份。等份。83488483，利用正切線畫出函數(shù)利用正切線畫出函數(shù) ， 的圖像的圖像: :

3、 xytan 22 ，x44288838320o問題問題2：正切曲線032是由通過點(diǎn) 且與 y 軸相互平行的直線隔開的無窮多支曲線組成(,0)()2kkZ漸近線漸近線 正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)正切函數(shù)的圖像和性質(zhì) 定義域定義域：Zk,k2x|x 值域值域： 周期性：周期性： 奇偶性：奇偶性： 在每一個(gè)開區(qū)間在每一個(gè)開區(qū)間 ， 內(nèi)都是增函數(shù)。內(nèi)都是增函數(shù)。)2,2(kkZk正正切切函函數(shù)數(shù)圖圖像像奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。R 單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性：Z k,2kx (6)漸近線方程：漸近線方程： (7)(7)對(duì)稱中心對(duì)稱中心kk(,0)(,0)2 2漸近線性質(zhì)性質(zhì) : :漸近線(1

4、)正切函數(shù)是正切函數(shù)是上的上的增增函數(shù)嗎？為什么？函數(shù)嗎？為什么？(2)正切函數(shù)會(huì)不會(huì)在某一區(qū)間內(nèi)是正切函數(shù)會(huì)不會(huì)在某一區(qū)間內(nèi)是減減函數(shù)？為什么？函數(shù)？為什么？ 問題：?jiǎn)栴}：AB 在每一個(gè)開區(qū)間 ， 內(nèi)都是增函數(shù)。( (- -+ + k k, ,+ + k k) )2 22 2kZkZ問題討論問題討論正切函數(shù)的主要性質(zhì)如下:定義域值 域周期性奇偶性單調(diào)性Zkkxx,2RT奇函數(shù)(正切曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)內(nèi)為增函數(shù)），在（Zkkk22例題 例題例題例題 例題 23223.4tan. 1）的定義域（求函數(shù)例xy的定義域那么函數(shù)解：令zyxztan,4zkkzz,2是,24kzx由kkx442可得的定

5、義域?yàn)樗院瘮?shù))4tan(xyZkkxx,4返回的值域：求函數(shù)例43,4,tan2xxyxy02232231-1 ，此函數(shù)的值域?yàn)椋?1tan3x 解不等式：解：解法解法1例 3yxTA30)(2,3Zkkkx由圖可知：tan3x 解不等式：解：0yx323)(2,3Zkkkx由圖可知：解法解法2例 3 返回例4.求下列函數(shù)的周期.)42tan(3xy3tan 24f xx解：（ ）（）)42tan(3x4)2(2tan3x)2(xf2T周期 返回wTwxAy的周期公式)tan(例5.判斷下列函數(shù)的奇偶性：xxytancos2的定義域解：xxytancos2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為Zkkxx2)()t

6、an()cos(2)(xfxxxf.)(為偶函數(shù)xf說明：函數(shù)具有奇.偶性的必要條件之一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故驗(yàn)證f（-x）=f（-x）或f（-x）= -f（x）成立前，要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.返回 例6.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：)421tan(3xy單調(diào)性求解分析：利用復(fù)合函數(shù)的uyxutan421，則解：令為增函數(shù)，421xu.22tan3上單調(diào)遞增），（在Zkkkuuy12242kxk.)(22232上單調(diào)遞增），（即Zkkkx 正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)xytan （1） 的作圖是利用平移正切線得到的，當(dāng)我們獲得的作圖是利用平移正切線得到的，當(dāng)我們獲得 上圖像后，

7、再利用周期性把該段圖像向左右延伸、平移。上圖像后，再利用周期性把該段圖像向左右延伸、平移。 22 ， Z2kkxx， R 22 kk，Z kZ k2 kx02，kZ k （2） 性質(zhì)性質(zhì):xytan定義域定義域值值域域周周期期奇奇偶偶性性單調(diào)增區(qū)間單調(diào)增區(qū)間對(duì) 稱對(duì) 稱中心中心漸近線漸近線方程方程奇奇函函數(shù)數(shù)小結(jié)：小結(jié)：，它沒有極值，在定義的周期公式wTwxAy)tan().3(不存在減區(qū)間。域上不具有單調(diào)性，也變）的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先把（求復(fù)合函數(shù)wxAytan).4(解。數(shù)的單調(diào)性判斷法則求換成正值，再用復(fù)合函判斷下列命題的正誤判斷下列命題的正誤的周期是xy2tan)2( 112|tan) 1 (，值域是，的定義域是Zkkxxxy（3）正切曲線是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中