第6章向量空間及向量的正交性

1、一、一、n n 維向量的定義及運(yùn)算維向量的定義及運(yùn)算二、向量空間二、向量空間第一節(jié)第一節(jié) 向量空間向量空間第二節(jié)第二節(jié) 向量的正交性向量的正交性一、向量空間及其維數(shù)和基一、向量空間及其維數(shù)和基二、向量在基下的坐標(biāo)二、向量在基下的坐標(biāo)例 1 設(shè)設(shè)V是一些是一些 n 維實(shí)向量的組成的非空集合，如果維實(shí)向量的組成的非空集合，如果 V 關(guān)關(guān)于向量的加法與數(shù)乘封閉于向量的加法與數(shù)乘封閉(線(xiàn)性運(yùn)算封閉線(xiàn)性運(yùn)算封閉)，即，即(1) a, b V, 有有 a+b V.(2) a V, k R, 有有 ka V.則稱(chēng)則稱(chēng) V 是一個(gè)是一個(gè)實(shí)實(shí)向量空間向量空間.一、向量空間及其維數(shù)和基一、向量空間及其維數(shù)和基定義

2、定義1 1全體 n 維向量的集合(x1, x2, , xn)T| xi R, i=1, 2, , n 是一個(gè)向量空間，記為 Rn.特別的特別的n = 1 時(shí)全體實(shí)數(shù) R 是一個(gè)向量空間;n = 3 時(shí)全體三維向量 (x1, x2, x3)T |xi R, i= 1, 2, 3 是一個(gè)向量空間，記為R3.n = 2 時(shí)全體平面中的向量 (x1, x2 )T | xi R, i=1, 2 是一個(gè)向量空間，記為R2. 注注：向量空間中向量空間中必含有零向量必含有零向量。例 3例 2而W = (a1, a2, , an)T|01niia是一向量空間.1|),(121niiTnaaaaS 不是一向量空間

3、, 因?yàn)樗P(guān)于加法與數(shù)乘均不封閉，也不含零向量.僅含一個(gè) n 維零向量 0 = (0, 0, , 0)T 的集合 0 構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱(chēng)為零空間零空間. 除零空間之外的所有向量空間均稱(chēng)為非零空間非零空間。設(shè)設(shè) V 是一個(gè)向量空間，是一個(gè)向量空間，W V, W . 如果如果 W 關(guān)于向關(guān)于向量的加法與數(shù)乘也封閉，則稱(chēng)量的加法與數(shù)乘也封閉，則稱(chēng) W 是是 V 的的子空間子空間.定義定義2 2若W V，并且V W, 則稱(chēng)兩個(gè)向量空間相等向量空間相等，記為W=V.例 51, 2 , 1,|)0 ,(1211niaaaaWiTnR R|),(2R RaaaaaWTn個(gè)分量都是 R n 的子空間.及例

4、6 設(shè) a V, 則 spana = ka | k R 為 V 的子空間，稱(chēng)它為由由a生成的子空間生成的子空間，a 稱(chēng)為這子空間的生成元生成元. , 2 , 1,|,11sikkspanisiiisR Raaaaa是 V 的由由a1, a2, , as 生成的子空間生成的子空間.更一般地，設(shè) a1, a2, , as V.上一頁(yè)例 4V 本身和 0 都是 V 的子空間，稱(chēng)它們?yōu)?V 的平凡子空間平凡子空間例 7上一頁(yè) 證明：mn階齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的解集S組成一個(gè)向量空間，稱(chēng)S為 齊次方程組Ax=0的解空間解空間證明證明：設(shè)u,v為Ax=0的解集S中的任意兩個(gè)向量，滿(mǎn)足Au=0,Av=0.

5、 設(shè)k為任一實(shí)數(shù)。那么A(u+v)=Au+Av=0. 并且A(ku)=kAu=0。因此u+vS, kuS. 從而S為一個(gè)向量空間。 稱(chēng)向量組稱(chēng)向量組 V 的的極大無(wú)關(guān)組極大無(wú)關(guān)組為向量空間為向量空間 V 的一組的一組基底基底( (基基) )，而，而V 的的秩秩 稱(chēng)為向量空間稱(chēng)為向量空間 V 的的維數(shù)維數(shù)，記為，記為 dim(V). 定義定義3 3規(guī)定：規(guī)定：零空間的維數(shù)為0, 它沒(méi)有基.向量組的任何一個(gè)極大無(wú)關(guān)組都是一組基，存在而不唯一。例 9例 8設(shè) Rn 為全體 n 維向量構(gòu)成的向量空間,證明 n 維向量組 e1= ( 1, 0, 0, , 0 )T, e2= ( 0, 1, 0, , 0

6、 )T, , en= ( 0, 0, 0, , 1 )T 是 Rn 的基, 且 dim(Rn) =n.由矩陣判別法知 e1, e2, , en 線(xiàn)性無(wú)關(guān). 設(shè) a = (a1, a2, , an )T為任一 n 維向量, 顯然有a = a1 e1+ a2 e2+ + anen .所以 a 可由 e1, e2, , en 線(xiàn)性表出, 即 e1, e2, , en 是 Rn 的基,從而dim(Rn )= n. 設(shè)設(shè) V 為一向量空間，且為一向量空間，且 dim V = r, 而而 a1, a2, , ar 為為 V 中中 r 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，則個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，則 a1, a2, , ar 必為

7、向量空間必為向量空間 V 的一組基的一組基.上一頁(yè)例 10證明向量組a1 = (1, 2, 1)T, a2 = (3, 0, 1)T, a3 = (2, 3, 5)T為空間R3 的一組基.由于 dim R3 = 3, 故只要證明 a1, a2 , a3 線(xiàn)性無(wú)關(guān)即可. 由于123132, 203 0115a a a因此 a1, a2 , a3 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從而 a1, a2 , a3 可構(gòu)成空間 R3 的一組基。上一頁(yè)例 11的一組基，則為若生成的向量空間表示。的結(jié)構(gòu)可用它的一組基維向量空間VVrrvv,1111,|,1,.rrriVspancccR irvvv vvv從而R3=spana1,

8、a2 , a3 。的一組基。都可擴(kuò)充為個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量中的任意維向量空間VnmmVnmvv,)(1定理定理1 1.,1,111線(xiàn)性無(wú)關(guān)個(gè)向量使得，因此必存在向量證明：由于mmmmVnmvvvv矛盾。，這與已知的極大無(wú)關(guān)組，因此為向量空間線(xiàn)性表示，那么可知必可由向量相關(guān)，則都線(xiàn)性個(gè)向量使得否則，對(duì)任意向量mnVmVVmVmmm)dim()dim(,1,111vvvvvvvvv的一組基，定理證畢。的一組極大無(wú)關(guān)組，即為則如果VVnmmm11,1vvv 組基，定理證畢。的一的一組極大無(wú)關(guān)組，即為，使得，向量按照如上方法，必存在如果VVVnmnmmnmvvvvvv,1112二、向量在基下的坐標(biāo)二、向量在

9、基下的坐標(biāo) 設(shè)設(shè) a1, a2, , am 是向量空間是向量空間 V 的一個(gè)基的一個(gè)基, b V, b 可由可由 a1, a2, , am 線(xiàn)性表示線(xiàn)性表示:b = b1 a1 + b2 a2 + + bm am ,則組合系數(shù)構(gòu)成的向量則組合系數(shù)構(gòu)成的向量 (b1, b2, , bm )T 稱(chēng)為向量稱(chēng)為向量 b 在基在基 a1, a2, , am 下的下的坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量而而bi 稱(chēng)為稱(chēng)為坐標(biāo)坐標(biāo)( b1, b2, , bm R )定義定義4 4注：注：b 在基 a1, a2, , am 下的坐標(biāo)向量是唯一的. b = c1 a1 + c2 a2 + + cm am , 那么可得 (b1 c1

10、) a1 + (b2 c2) a2 + + (bm cm) am = 0, 由于a1, a 2, , a m 線(xiàn)性無(wú)關(guān), 故b1 c1 = b2 c2 = bm cm= 0,即 bi = ci ( i = 1, 2, , m).事實(shí)上, 若還有另一坐標(biāo)向量 (c1, c2, , cm )T, 即例 12已知 e1= ( 1, 0, 0, , 0 )T, e2= ( 0, 1, 0, , 0 )T, , en= ( 0, 0, 0, , 1 )T 是 Rn 的基. 而對(duì) Rn 中任一向量 b , 有b = ( b1, b2, , bn )T = b1 e1+ b2 e2+ + bnen ,所以

11、b 在基 e1, e2, , en 下的坐標(biāo)向量就是其自身.故 e1, e2, , en 稱(chēng)為空間 Rn 的標(biāo)準(zhǔn)基標(biāo)準(zhǔn)基.上一頁(yè)例 13 設(shè) a1 = ( 1, 1, 2 )T, a2 = ( 1,3, 0 )T , a3 = ( 1, 0, 1 )T, 證明 a1, a2 , a3 是 R3 的一個(gè)基, 并求 b = ( 0, 1, 3)T 在這個(gè)基下的坐標(biāo)向量.dim R3 =3, 而123111, 130 40,201 aaa所以 a1, a2 , a3 線(xiàn)性無(wú)關(guān), 從而是 R3 的一個(gè)基.令 b = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3,因此 b 在基 a1, a2 , a3 下

12、的坐標(biāo)向量為 (2, 1, 1 )T.即 ( 0, 1, 3) T= x1 (1, 1, 2)T + x2 (1, 3, 0)T+ x3 (1, 0, 1)T,則x1 + x2 + x3 = 0,x1 + 3x2 = 1,2x1 + 0 x2 + x3 = 3,x1 = 2,x2 = 1,x3 = 1.上一頁(yè)設(shè)向量空間 V 的維數(shù)為 n, 則 V 中任意 n 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都是 V 的基, 對(duì)于不同的基對(duì)于不同的基,同一個(gè)向量的坐標(biāo)同一個(gè)向量的坐標(biāo)向量向量一般是不同的一般是不同的.下面我們來(lái)看看同一個(gè)向量在兩個(gè)不同基下的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系.設(shè) a1, a2 , , an 及 b1, b 2

13、, , b n 是向量空間V 的兩個(gè)基. 那么由基的定義, 向量 bi (i = 1, 2, , n ) 可由 a1, a2 , , an 唯一線(xiàn)性表出. 設(shè),212222111211nnnnnncccccccccC矩陣 C 稱(chēng)為由基 a1, a2 , , an 到基 b1, b 2 , , bn 的過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣, 它是可逆的.令即.),(),(2122221112112121nnnnnnnncccccccccaaabbb,1111111nnnnnnnccccaabaab(b1, b 2 , , b n) = (a1, a2 , , an ) C新基新基舊基舊基過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣上一頁(yè)定理定

14、理2 2設(shè)設(shè)n 維向量空間維向量空間V中的舊基中的舊基a1, a2 , , an到新基到新基b1, b2 , , bn的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為C。 V中的向量中的向量v 在舊基與新基下的坐標(biāo)向量分在舊基與新基下的坐標(biāo)向量分別為別為 x, y, 則有則有 x=Cy, y=C-1x,111111ybbvxaavbbaaByyAxxBAnnnnnn且證明：設(shè),().( )ABACACAr Anxyyxy0因此即由 的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因此，那么必有。，即xyyx0yx1CCC例 14設(shè) R3 中一組基為 a1= (3, 1, 2)T, a2= ( 1, 1, 1)T, a3 = (2, 3, 1)T

15、, 求向量 a = (1, 0, 0)T 在基 a1 , a2 , a3 下的坐標(biāo)向量.設(shè) a = ( 1, 0, 0) T在基 a1, a2 , a3下的坐標(biāo)為 (y1, y2 , y3)T, 在基 e1, e2, e3 下的坐標(biāo)為 (x1, x2, x3)T = (1, 0, 0) T, 則由于(a1, a2 , a3) = (e1, e2, e3 )312113211因此由基 e1, e2, e3 (舊基)到基 a1, a2 , a3 (新基)的過(guò)渡矩陣為1123100yyCy 235157110112025 .1 從而上一頁(yè)312113211C命題命題 1 1關(guān)于過(guò)渡矩陣關(guān)于過(guò)渡矩陣,

16、下面兩個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用到的下面兩個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用到的: 設(shè)由基設(shè)由基 a1, a2 , , an 到基到基 b1, b2 , , bn 的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為 C, 則由基則由基 b1, b2 , , bn 到基到基 a1, a2 , , an 的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為C 1.基 a1, a2 , , an C基 b1, b2 , , bnC1命題命題 2 2 設(shè)由基設(shè)由基 a1, a2 , , an 到基到基 b1, b2 , , bn 的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為C1, 則由基則由基 b1, b2 , , bn 到基到基 c1, c2 , , cn 的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為C2, 則由則由基基

17、a1, a2 , , an 到到 c1, c2 , , cn 的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為C1 C2 .基 a1, a2 , , an C1基b1, b2 , , bn基 c1, c2 , , cnC2C1 C2上一頁(yè)本節(jié)作業(yè)：本節(jié)作業(yè)：習(xí)題習(xí)題6-1：1(1,2,3),3, 5,6,7一、向量的內(nèi)積一、向量的內(nèi)積二、正交基與施密特正交化二、正交基與施密特正交化定義定義1 1兩個(gè)兩個(gè)n元實(shí)向量元實(shí)向量 的的內(nèi)積內(nèi)積定義為：定義為：TnTnbbbaaa),(,),(2121ba.),(2211abbabaTTnnbababa非負(fù)數(shù)非負(fù)數(shù) 叫做向量叫做向量 a的的長(zhǎng)度長(zhǎng)度(范數(shù)范數(shù))，記為，記為|a|

18、, 即即2/1)(aa,.)()(|2/1222212/1aaaa,aTnaaa當(dāng)當(dāng)|a|=1時(shí)時(shí), a 稱(chēng)為稱(chēng)為單位向量單位向量，對(duì)于非零向量，對(duì)于非零向量a, 稱(chēng)稱(chēng)a/|a|為為a 的的單位化向量單位化向量。 向量?jī)?nèi)積具有如下性質(zhì)向量?jī)?nèi)積具有如下性質(zhì)：;0|, 0),(|:)4(2/10aaaaa非負(fù)性|;| ),( |)7(baba施瓦茨不等式：正交., 0),(,|),(arccos,bababababa0b0a則稱(chēng)若的夾角。為向量：稱(chēng)若);,(),()1 (abba);,(),(),()2(bababakkk);,(),(),()3(cbcacba|;|)5(aa kk齊次性：|;|

19、)6(baba三角不等式：顯然，一個(gè)向量組 為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的充要條充要條件件為：naaa,21., 0, 1,jijijTijiaaaa定義定義2 2由兩兩正交的由兩兩正交的非零向量非零向量組成的向量組稱(chēng)為組成的向量組稱(chēng)為正交向量組正交向量組，由單位向量組成的正交向量組稱(chēng)為由單位向量組成的正交向量組稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。向量空間向量空間V的一組基如果為正交向量組，則稱(chēng)為的一組基如果為正交向量組，則稱(chēng)為正交正交基基，如果為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組則稱(chēng)為，如果為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組則稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基。例如， 為向量空間Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交向基。neee,21二、正交基與施密特正交化二、正交基與施密

20、特正交化定理定理1 1正交向量組必線(xiàn)性無(wú)關(guān)。正交向量組必線(xiàn)性無(wú)關(guān)。為正交向量組，并且證明：設(shè)raa,1(*). 02211rrkkkaaa得同時(shí)左乘上式兩端，可利用T1a(*). 01212111rTrTTkkkaaaaaa為正交向量組，因此由于raaa,21. 0, 0131212111rTTTTaaaaaaaaa. 0, 0(*)1111kkT可知為那么aa式兩端，可得分別同時(shí)左乘利用(*),2TrTaa. 032rkkk組必線(xiàn)性無(wú)關(guān)。式才成立，則正交向量零時(shí)因此，只有當(dāng)系數(shù)全為(*)1111211., 3 , 2,jijiiiijijiijTijjmjbbbababbababab。等價(jià)的

21、標(biāo)準(zhǔn)正交向量組為與后得到的向量組經(jīng)單位化mmjjjmjaaqqbbq, 2 , 1,11組，令為一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量設(shè)maa,1施密特正交化施密特正交化等價(jià)的正交向量組。為與則mmaabb,11的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。為正交基，而的一組為的一組基，則為某向量空間如果VVVmmmqqbbaa,111例 1則方程組得基礎(chǔ)解系為：求線(xiàn)性方程x1+x2+x3+x4=0的解空間S的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。解解：線(xiàn)性方程可寫(xiě)為：x1= x2 x3 x4。因此x2，x3，x4可看作自由未知量，對(duì)其賦值.100,010,001432xxx,1001,0101,0011321aaa對(duì)其進(jìn)行Schimidt正交化:,001111

22、 ab,01001121010121211212122bbababT101001121100131313121212321222321213133bbabbbababTT再進(jìn)行單位化：,001121111bbq,021161222bbq.3111321333bbq則q1, q2, q3為原方程組的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。定義定義3 3對(duì)于對(duì)于n階方陣階方陣A , 如果如果即即 , 則則A稱(chēng)為稱(chēng)為正交陣正交陣EAATTAA1性質(zhì)性質(zhì) 1 1正交陣具有如下性質(zhì)：正交陣具有如下性質(zhì)： 若若A是正交陣，則是正交陣，則 與與 均為正交陣；均為正交陣； 若若A,B 為同階正交陣，則為同階正交陣，則AB 也是正交陣；也是正交陣； 正交陣的行列式為正交陣的行列式為1或或-1；(1)對(duì)對(duì)n 階方陣階方陣A為正交陣為正交陣的的充要條件充要條件為：為：A 的