直角三角形三邊的關(guān)系(0)[1]

1、 2002年在北年在北京召開的國際數(shù)學(xué)京召開的國際數(shù)學(xué)家大會（家大會（）。在那個(gè)）。在那個(gè)大會上，到處可以大會上，到處可以看到一個(gè)簡潔優(yōu)美看到一個(gè)簡潔優(yōu)美的圖案在流動(dòng)，那的圖案在流動(dòng)，那個(gè)遠(yuǎn)看像旋轉(zhuǎn)的紙個(gè)遠(yuǎn)看像旋轉(zhuǎn)的紙風(fēng)車的圖案就是大風(fēng)車的圖案就是大會的會標(biāo)會的會標(biāo) 那是采用了那是采用了1700多年前中國古代數(shù)學(xué)多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖家趙爽用來證明勾股定理的弦圖 讀一讀讀一讀 我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾勾，較長的直角邊稱為較長的直角邊稱為股股，斜邊稱為，斜邊稱為弦弦.圖圖1-1稱為稱為“弦圖弦圖”，最早是由三國時(shí)期的數(shù)

2、學(xué)家趙爽在為，最早是由三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)作法時(shí)給出的作法時(shí)給出的. 弦弦股股勾勾圖1-1abc1. 直角三角形三邊的關(guān)系直角三角形三邊的關(guān)系畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯(公元前公元前572-前前492年年),古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。天文學(xué)家。 相傳在相傳在2500年前，年前，畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友有一次在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，我們一起來觀察圖角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，我們一起來觀察圖中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)什么。中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)什

3、么。A、B、C的面積有什么關(guān)系？的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？ABC正方形正方形P的面積的面積 平方厘米；平方厘米；正方形正方形Q的面積的面積 平方厘米；平方厘米；正方形正方形R的面積的面積 平方厘米平方厘米正方形正方形P、 Q、 R的面積之間的關(guān)系的面積之間的關(guān)系是是 直角三角形的三邊的長度之間直角三角形的三邊的長度之間存在關(guān)系存在關(guān)系 （每一小方格表示（每一小方格表示1平方厘米）平方厘米）91625P+ Q= RAC2+BC2=AB2在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方也成立也成立！

4、 分分“割割”成若干個(gè)直角邊成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形。為整數(shù)的三角形。 對于任意的直角三角形，如果對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為它的兩條直角邊分別為a、 b，斜邊為，斜邊為c，那么一定有那么一定有a2b2c2。勾股定理勾股定理揭示了直揭示了直角三角角三角形三邊形三邊之間的關(guān)系之間的關(guān)系 勾股定理：勾股定理：abc直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形兩直角邊的平方和直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方等于斜邊的平方. . 符號語言：符號語言：如圖在如圖在RtA

5、BC中中C=900，a2+b2=c2.我國數(shù)學(xué)家趙爽的我國數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖弦圖”Caba2-2ab +b2=c2-2abc2-4 ab12a2 + b2 = c2(b-a)2=判斷：判斷：1.1.已知已知a a、b b、c c是三角形的三邊，則是三角形的三邊，則a2+b2=c2。 （ ）2.2.在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方。邊的平方。 （ ）3.在在RtABC中，中，B=900， a2+b2=c2 （ ）1. 在Rt中， c， a， ACb， B90（1） 已知a6， b10， 求c；（2） 已知a24， c25， 求b練習(xí)練習(xí)2. 如果一

6、個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是3厘米和4厘米，那么這個(gè)三角形的周長是多少厘米?做一做：做一做： P6254001525xP的面積的面積 =_X=_X=_225BACAB=_AC=_BC=_25152020比比一一比比看看看看誰誰算算得得快！快！3.3.求下列直角三角形中未知邊的長求下列直角三角形中未知邊的長: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小結(jié)方法小結(jié):8 8x x171716162020 x x12125 5x x求下列圖中表示邊的未知數(shù)求下列圖中表示邊的未知數(shù)x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169

7、169X=81+1442Y=169-144Z=625-57622X=15Y=5Z=7S1S2S3S4S5S6S7已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值結(jié)論結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S711美麗的勾股樹5、如圖，、如圖，ABC中，中，C=90，CD AB 于于D， AC=12，BC=9， 求：求：CD的長。的長。BACD解：在三角形解：在三角形ABC中中AC = 12 ，BC = 9由勾股定理得：由勾股定理得：AB = 12 + 9 所以所以 AB = 25由三角形由三角形ABC的面積的面積 = AC BC/2 = AB CD/2即即 ：12 9 =

8、25 CD所以所以 CD = 4.32 如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點(diǎn)如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點(diǎn)A、 B之間的距離，之間的距離，一個(gè)觀測者在點(diǎn)一個(gè)觀測者在點(diǎn)C設(shè)樁，使三角形恰好為直角三角設(shè)樁，使三角形恰好為直角三角形通過測量，得到形通過測量，得到AC長長160米，長米，長128米問從點(diǎn)米問從點(diǎn)A穿過湖到點(diǎn)穿過湖到點(diǎn)B有多遠(yuǎn)有多遠(yuǎn)?如圖如圖14.1.9，在直角三角形中，在直角三角形中，AC米，米，米，米，根據(jù)勾股定理可得根據(jù)勾股定理可得 96（米）（米）答：答： 從點(diǎn)從點(diǎn)A穿過湖到點(diǎn)穿過湖到點(diǎn)B有有96米米22-BCAC22128-160解解例例生活中的數(shù)學(xué)問題生活中的數(shù)學(xué)問題 一個(gè)門框的尺

9、寸如圖所示，一塊長8m，寬4.8m的薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？4m3m例例 如圖14.1.3，將長為10米的梯子AC斜靠 在墻上，長為6米，（1）求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離。圖14.1.3（3）如果梯子下端向左滑動(dòng)1米,梯子 的上端是否也下降1米?試通過計(jì)算 加以說明.例題解析例題解析BACDE（2）如果梯子下端向左滑動(dòng)2米,梯子的上 端下降多少米?1.1.如圖，一根旗桿在離地面如圖，一根旗桿在離地面9 9米處斷裂，米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部旗桿頂部落在離旗桿底部1212米處，旗桿米處，旗桿折斷前有多高。折斷前有多高。9米米12米 四、勾股定理的應(yīng)用勾股定理的應(yīng)用CAB如圖，

10、大風(fēng)將一根木制旗如圖，大風(fēng)將一根木制旗桿吹裂，隨時(shí)都可能倒下，桿吹裂，隨時(shí)都可能倒下，十分危急。接警后十分危急。接警后“119”119”迅速趕到現(xiàn)場，并決定從迅速趕到現(xiàn)場，并決定從斷裂處將旗桿折斷?，F(xiàn)在斷裂處將旗桿折斷?，F(xiàn)在需要?jiǎng)澇鲆粋€(gè)安全警戒區(qū)需要?jiǎng)澇鲆粋€(gè)安全警戒區(qū)域，那么你能確定這個(gè)安域，那么你能確定這個(gè)安全區(qū)域的半徑至少是多少全區(qū)域的半徑至少是多少米嗎？米嗎？9m24m?1. 如圖，小方格都是邊長為如圖，小方格都是邊長為1的正方形，求四邊的正方形，求四邊形形D的面積與周長的面積與周長練習(xí)練習(xí)2. 假期中，王強(qiáng)和同學(xué)到某海島上去探寶旅游，按假期中，王強(qiáng)和同學(xué)到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖

11、（如圖），他們登陸后先往東走照探寶圖（如圖），他們登陸后先往東走8千米，千米，又往北走又往北走2千米，遇到障礙后又往西走千米，遇到障礙后又往西走3千米，再折千米，再折向北走到向北走到6千米處往東一拐，僅走千米處往東一拐，僅走1千米就找到寶藏，千米就找到寶藏，問登陸點(diǎn)問登陸點(diǎn)A到寶藏埋藏點(diǎn)到寶藏埋藏點(diǎn)B的直線距離是多少千米的直線距離是多少千米? 在西方，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德（在西方，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德（EuclidEuclid，公元前三百年左右）在編著公元前三百年左右）在編著幾何原本幾何原本時(shí)，時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱為他

12、就把這個(gè)定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理畢達(dá)哥拉斯定理”，以，以后就流傳開了。后就流傳開了。 畢達(dá)哥拉斯（畢達(dá)哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年。百多年。 相傳，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派找到了勾股定理的相傳，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派找到了勾股定理的證明后，欣喜若狂，殺了一百頭牛祭神，由此，證明后，欣喜若狂，殺了一百頭牛祭神，由此，又有又有“百牛定理百牛定理”之稱。之稱。 在中國古代大約是戰(zhàn)國時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！奔矗寒?dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時(shí)，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡單地把這個(gè)事實(shí)說成“勾三股四弦五”。故稱之為“勾股