矢量分析2014-1

1、1矢量分析矢量分析哈密頓算子哈密頓算子場(chǎng)論場(chǎng)論2n場(chǎng)論的教學(xué)內(nèi)容包括：方向?qū)?shù)、梯度、散度、場(chǎng)論的教學(xué)內(nèi)容包括：方向?qū)?shù)、梯度、散度、旋度（要求掌握這旋度（要求掌握這4種計(jì)算）、哈密頓算子的種計(jì)算）、哈密頓算子的基本概念與簡(jiǎn)單推導(dǎo)?；靖拍钆c簡(jiǎn)單推導(dǎo)。3第一節(jié)第一節(jié) 矢性函數(shù)矢性函數(shù)自由矢量自由矢量 二矢量相等的條件是它們的二矢量相等的條件是它們的模和方模和方 向向都相同都相同(即與起點(diǎn)無(wú)關(guān)即與起點(diǎn)無(wú)關(guān))1. 基本概念基本概念矢量矢量 一個(gè)有一個(gè)有大小和方向大小和方向的物理量稱為矢量的物理量稱為矢量常矢常矢 模和方向都不會(huì)改變的矢量模和方向都不會(huì)改變的矢量標(biāo)量標(biāo)量 一個(gè)僅一個(gè)僅用大小用大小就能

2、夠完整描述就能夠完整描述的物理量稱為標(biāo)量的物理量稱為標(biāo)量變矢變矢 模和方向或其中之一模和方向或其中之一會(huì)改變會(huì)改變的矢量的矢量4矢量的表示方式矢量的表示方式ABAAaA a矢量的大小或模矢量的大小或模 AA單位矢量單位矢量a 矢量幾何表示：有向線段矢量幾何表示：有向線段矢量數(shù)學(xué)表示：矢量數(shù)學(xué)表示：A，B1 a5AxAAyAzxzykAjAiAAzyxAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(kjiAAcoscoscoskjia矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示6AABAB（1）矢量的加減法）矢量的加減法ABABxAByAB zxxyyzz() () ()兩矢量的加減在幾何上是

3、以這兩矢量為鄰邊的平行四邊兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線形的對(duì)角線矢量的加法符合交換律和結(jié)合律矢量的加法符合交換律和結(jié)合律BABBAABCABC()()交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算7（2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）AA xA yA zxyz A BABA BA BA Bxxyyzzcos A BB A矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律A B A B 0AB/ / A BAB8zyxAzAAyAAxA1zzyyxx0 xzzyyx9（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）ABnAB sinABA B

4、A BxA BA ByA BA B zyzzyzxxzxyyx() () ()ABxyzAAABBBxyzxyzABBA A BABABAB/ /AB 0矢量的矢積的舉例：力矩矢量的矢積的舉例：力矩0zzyyxxyxzxzyzyx10（5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算() ABCA CB C()ABCACBC)()()(BACACBCBACBABCACBA)()()(雙重矢積11 設(shè)有數(shù)性變量設(shè)有數(shù)性變量t和變矢和變矢A，如果對(duì)于，如果對(duì)于t在某在某個(gè)范圍個(gè)范圍G內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值，內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值，A都以一個(gè)確都以一個(gè)確定的矢量和它對(duì)應(yīng)，則稱定的矢量和它對(duì)應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量為數(shù)性變量t的的矢性

5、函數(shù)矢性函數(shù)，記作，記作2 矢性函數(shù)的矢性函數(shù)的定義定義并稱并稱G為函數(shù)為函數(shù)A的的定義域定義域。 tAA 12 tAtAtAzyx, ktAjtAitAAzyx矢性函數(shù)用坐標(biāo)分量表示矢性函數(shù)用坐標(biāo)分量表示zyxAAA,kAjAiAAzyxAxAAyAzxzylM133. 矢端曲線矢端曲線 定義定義 當(dāng)當(dāng)t變化時(shí)，矢量變化時(shí)，矢量A(t)的終點(diǎn)的終點(diǎn)M繪出的曲線繪出的曲線l，叫，叫做矢性函數(shù)做矢性函數(shù)A(t)的矢端曲線（矢性函數(shù)的矢端曲線（矢性函數(shù)A(t)的圖的圖形）。形）。 A=A(t) or A= A(t) iA(t)j+ A(t)k為此曲線的矢量方程。為此曲線的矢量方程。14( )A t

6、矢性函數(shù)矢性函數(shù)A(t)的起點(diǎn)的起點(diǎn)取坐標(biāo)原點(diǎn)，取坐標(biāo)原點(diǎn)， A(t) 實(shí)際上成為實(shí)際上成為其終點(diǎn)其終點(diǎn)M(x,y,z)的矢徑。的矢徑。OMrOMxiyjzk 矢徑矢徑 起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)o，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為M的的矢量矢量 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M的矢徑，用的矢徑，用r表示表示A(t)的三個(gè)坐標(biāo)相應(yīng)于其終點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)相應(yīng)于其終點(diǎn)M的三個(gè)坐標(biāo)的三個(gè)坐標(biāo)就是就是曲線曲線l的參數(shù)方程的參數(shù)方程( ),( ),( )xyzxA tyA tzA trAxAyAzxzylM15例：例：已知圓柱螺旋線的參數(shù)方程為已知圓柱螺旋線的參數(shù)方程為x=acos; y=asin; z=b矢量方程為矢量方程為r=acosi

7、+asinj+bk3. 矢性函數(shù)的極限和連續(xù)性矢性函數(shù)的極限和連續(xù)性(自學(xué)自學(xué))16第二節(jié)第二節(jié) 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分1. 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù) kdtdAjdtdAidtdAdtdAzyx導(dǎo)矢的幾何意義導(dǎo)矢的幾何意義 導(dǎo)矢不為零時(shí)，在點(diǎn)導(dǎo)矢不為零時(shí)，在點(diǎn)M處的切線上，其方處的切線上，其方向恒指向?qū)?yīng)向恒指向?qū)?yīng)t值增大的方向值增大的方向172. 矢性函數(shù)的微分矢性函數(shù)的微分 ( )dAA t dt 的幾何意義的幾何意義 為一個(gè)切向的單位矢量為一個(gè)切向的單位矢量dsdr3. 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 18場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念 在自然界中，許多問(wèn)題是定義在

8、確定空間區(qū)域上的，在該區(qū)在自然界中，許多問(wèn)題是定義在確定空間區(qū)域上的，在該區(qū)域上每一點(diǎn)都有確定的量與之對(duì)應(yīng)，我們稱在該區(qū)域上定義了一域上每一點(diǎn)都有確定的量與之對(duì)應(yīng)，我們稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)個(gè)場(chǎng)場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) 空間某一區(qū)域定義一個(gè)空間某一區(qū)域定義一個(gè)標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù), ,其值隨空間坐標(biāo)其值隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。則稱該區(qū)域存在一標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。則稱該區(qū)域存在一標(biāo)量場(chǎng)。如溫度場(chǎng)量場(chǎng)。如溫度場(chǎng), ,電位場(chǎng)電位場(chǎng), ,高度場(chǎng)等。高度場(chǎng)等。矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) 空間某一區(qū)域定義一個(gè)空間某一區(qū)域定義一個(gè)矢量函數(shù)矢量函數(shù), ,其大小和其大小和方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有

9、時(shí)還可隨時(shí)間變化。方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場(chǎng)。如速度場(chǎng)則稱該區(qū)域存在一矢量場(chǎng)。如速度場(chǎng), ,電場(chǎng)、磁場(chǎng)等電場(chǎng)、磁場(chǎng)等. .19場(chǎng)分布的形象描述：等值線（面）和場(chǎng)線（有向曲線族）場(chǎng)分布的形象描述：等值線（面）和場(chǎng)線（有向曲線族）20形象描繪場(chǎng)分布的工具形象描繪場(chǎng)分布的工具-場(chǎng)場(chǎng)線線標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)-等值線等值線( (面面) ). . ( ,)ux y zconst其方程為其方程為等值線等值線例：例：數(shù)量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng)空間區(qū)域是以原點(diǎn)為中心，空間區(qū)域是以原點(diǎn)為中心，半徑為半徑為R R的球形區(qū)域內(nèi)。的球形區(qū)域內(nèi)。2222zyxRuczyxR222222222xyzR

10、c22200()2RRc2234cR222241Rzyx通過(guò)通過(guò)M（0，0，R/2）的等值面）的等值面等值面為等值面為或或21矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)-矢量線矢量線0drA其方程為其方程為dzAdyAdxAzyx三維場(chǎng)三維場(chǎng)在直角坐標(biāo)下在直角坐標(biāo)下: :二維場(chǎng)二維場(chǎng)dyAdxAyx矢量線矢量線設(shè)設(shè)M M（x,y,zx,y,z）為矢量線上任一點(diǎn)，設(shè)）為矢量線上任一點(diǎn)，設(shè)其矢徑為其矢徑為則微分則微分場(chǎng)矢量為場(chǎng)矢量為rxiyjzkdrdxidyjdzkxyzAAiA jAk矢量線：在矢量線上的每一點(diǎn)處，矢量線都與該點(diǎn)處的場(chǎng)矢量矢量線：在矢量線上的每一點(diǎn)處，矢量線都與該點(diǎn)處的場(chǎng)矢量A A相切。相切。矢量線微分方程

11、矢量線微分方程22例：例：電場(chǎng)電場(chǎng)其中，其中， 為介電常數(shù)，為介電常數(shù)， 為為M M點(diǎn)的矢徑，求電場(chǎng)強(qiáng)度點(diǎn)的矢徑，求電場(chǎng)強(qiáng)度E E的矢量線。的矢量線。r34rqEzkyjxir 解解 ：矢量場(chǎng)函數(shù)：矢量場(chǎng)函數(shù))(43zkyjxirqE333444rqzdzrqydyrqxdxydyxdxzdzydyxCy1yCz2力線微分方程：力線微分方程：點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷Q的電力線分布的電力線分布23哈密頓算子哈密頓算子 具有矢量和微分雙重性質(zhì)具有矢量和微分雙重性質(zhì)kzjyix24kzujyuixuukzjyixu)(運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則()()xyzyxzAijkA iA jA kxyzAAAxyzkyAxAjx

12、AzAizAyAAAAzyxkjiAxyzxyzzyx)()()(25標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度1. 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的定義 26 設(shè)設(shè)M0是標(biāo)量場(chǎng)是標(biāo)量場(chǎng)u=u(M)中的一個(gè)已知點(diǎn)，從中的一個(gè)已知點(diǎn)，從M0出發(fā)沿某一方出發(fā)沿某一方向引一條射線向引一條射線l, 在在l上上M0的鄰近取一點(diǎn)的鄰近取一點(diǎn)M，MM0=，如圖所示。，如圖所示。若當(dāng)若當(dāng)M趨于趨于M0時(shí)時(shí)(即即趨于零時(shí)趨于零時(shí))， 0()()u Mu Mu的極限存在，則稱此極限為函數(shù)的極限存在，則稱此極限為函數(shù)u(M)在點(diǎn)在點(diǎn)M0處沿處沿l方向的方向?qū)Х较虻姆较驅(qū)?shù)，記為數(shù)，記為 0

13、00()()limMMMu Mu Mul27 若函數(shù)若函數(shù)u=u(x, y, z)在點(diǎn)在點(diǎn)M0(x0, y0, z0)處可微，處可微，cos、cos、cos為為l方向的方向余弦，則函數(shù)方向的方向余弦，則函數(shù)u在點(diǎn)在點(diǎn)M0處沿處沿l方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為必定存在，且為 0coscoscosMuuuulxyz 證明：證明：M點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函數(shù)，由于函數(shù)u在在M0處可微，故處可微，故 0()()uuuuu Mu Mxyzxyz 28兩邊除以兩邊除以，可得，可得 coscoscosuuxuyuzxyzuuuxyz當(dāng)當(dāng)趨于零時(shí)對(duì)上式取

14、極限，可得趨于零時(shí)對(duì)上式取極限，可得 coscoscosuuuulxyz29解解222zyxxxu222zyxyyu222zyxzzu21xu在在M處處0yu21zu,31cos,32cos.32cosL的方向余弦為的方向余弦為21322103121lu30定理定理2 若在有向曲線若在有向曲線C上取定一點(diǎn)上取定一點(diǎn)M0作為計(jì)作為計(jì)算弧長(zhǎng)算弧長(zhǎng)s的起點(diǎn)，并以的起點(diǎn)，并以C的正向作為的正向作為s增大的方增大的方向；向；M為為C上的一點(diǎn)，在點(diǎn)上的一點(diǎn)，在點(diǎn)M處沿處沿C的正向作的正向作一與一與C相切的射線相切的射線l，則在，則在M處，當(dāng)函數(shù)處，當(dāng)函數(shù)u可微，可微，曲線曲線C光滑時(shí)，函數(shù)沿光滑時(shí)，函數(shù)沿

15、l方向的方向?qū)?shù)就等方向的方向?qū)?shù)就等于函數(shù)對(duì)于函數(shù)對(duì)s的全導(dǎo)數(shù)，即有的全導(dǎo)數(shù)，即有 dsduluM0MM1lC證明略。詳見(jiàn)課本證明略。詳見(jiàn)課本P32.311101()()limlimsMMu Mu MuussMM M0MM1lC定義定義2 從從M點(diǎn)出發(fā)沿點(diǎn)出發(fā)沿C的正向取一點(diǎn)的正向取一點(diǎn)M1，記弧線，記弧線長(zhǎng)長(zhǎng) ，若當(dāng)，若當(dāng) 時(shí)，比式時(shí)，比式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)的極限存在，則稱此極限為函數(shù)u在點(diǎn)在點(diǎn)M處沿曲處沿曲線線C的方向?qū)?shù)，記作的方向?qū)?shù)，記作 ，即，即sMM11MM 11()()u Mu MusMMsu32定理定理3 若在點(diǎn)若在點(diǎn)M處函數(shù)處函數(shù)u可微，曲線可微，曲線C光滑，有

16、光滑，有 dsdusu函數(shù)函數(shù)u在點(diǎn)在點(diǎn)M處沿曲線處沿曲線C（正向）的方向?qū)?shù)與函（正向）的方向?qū)?shù)與函數(shù)數(shù)u在點(diǎn)在點(diǎn)M處沿切線方向（指向處沿切線方向（指向C的正向一側(cè)）的的正向一側(cè)）的方向?qū)?shù)相等。方向?qū)?shù)相等。 推論：推論：33解解xyxu6yxyu23236xu在M處6yu,171cos,174cos其方向余弦為1760617436171lujxxiyjxir) 1(2xjir2jirM4|342. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)u(x, y, z)在在l方向上的方向?qū)?shù)為方向上的方向?qū)?shù)為 在直角坐標(biāo)系中，令在直角坐標(biāo)系中，令 coscoscoscos( ,)lijkuuuGi

17、jkxyzuG lGG ll coscoscosuuuulxyz35 矢量矢量l是是l方向的單位矢量，矢量方向的單位矢量，矢量G是在給定點(diǎn)處的一常矢是在給定點(diǎn)處的一常矢量。量。 由上式顯然可見(jiàn)，當(dāng)由上式顯然可見(jiàn)，當(dāng)l與與G的方向一致時(shí)，即的方向一致時(shí)，即cos(G, l)=1 時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)M處的方向?qū)?shù)最大，也就是說(shuō)沿矢量處的方向?qū)?shù)最大，也就是說(shuō)沿矢量G方向的方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為方向?qū)?shù)最大，此最大值為 maxuGl36 在標(biāo)量場(chǎng)在標(biāo)量場(chǎng)u(M)中的一點(diǎn)中的一點(diǎn)M處，其方向?yàn)楹瘮?shù)處，其方向?yàn)楹瘮?shù)u(M)在在M點(diǎn)處點(diǎn)處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量G，稱為，稱為標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)u(M)在在M點(diǎn)處的梯度，用點(diǎn)處的梯度，用gradu(M)表示。在直角坐標(biāo)系表示。在直角坐標(biāo)系中，中， 梯度的表達(dá)式為梯度的表達(dá)式為 uuugraduijkxyz梯度用哈密頓微分算子的表達(dá)式為梯度用哈密頓微分算子的表達(dá)式為 ugradu 37 設(shè)設(shè)c為一常數(shù)，為一常數(shù)，u(M)和和v