2018年考研數學一真題和答案及解析

1、2017年考研數學一真題及答案解析跨考教育數學教研室一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙 指定位置上. 1 - cos、. x(i)若函數f(x)=ax ,x0在x=0處連續(xù)，則()b,x _01 1(A)ab = 1Bab = 1(C)ab=0D ab=2【答案】A11 -cos x 0x111【斛析】 lim = lim3一=一，1t f (x)在 x = 0處連續(xù)，一=b= ab=-.選 A.x-0axx-0 ax 2a2 a2、一 _、 - 一 一 _ _ 設函數f(x)可導，且f(x)f (x)

2、0 ,則()(A)f(1) f(-1)B f(1)|f(-1)|(D (1) |f(-1)Ofif；：0?；?fxx；00，只有C選項?t足(1)且滿足(2),所以選Co(3)函數f(x, y, z) =x2y+z2在點(1,2,0)處沿向量u =(1,2,2 )的方向導數為()(A)12(B)6(C)4(D)2【答案】D2 ircfu ，1 2 2、_【解析】gradf =2xy,x ,2z, = gradf (1,2,0) =4,1,0 二 丁 = gradf=4,1,0 - - -=2.:u| u |3 3 3選D.(4)甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位：m)處，圖中實線表

3、示甲的速度曲線v = v1(t)(單位：m/s),虛線表示乙的速度曲線 v=V2(t),三塊陰影部分面積的數值依次為10,20,3,計時開始后乙追上甲的時刻記為t0 (單位：s),則()(A)t0 =10(B)15 ：t0 ：二20(C)t0 =25(D)t0 25【答案】B【解析】從0到t0這段時間內甲乙的位移分別為t0t0Jo v1(t)dto v2(t)dt,則乙要追上甲，則t00 V2(t) Vi(t)dt =10 ,當 t0 =25時滿足，故選 C.(5)設口是n維單位列向量， E為n階單位矩陣，則()(A)E 不可逆(C)E +2。篦不可逆(B E +aaT不可逆(D )E -2a

4、aT不可逆【解析】選項A,由(EauT)a =aa =0得(E_ctotT)x = 0有非零解，故E-aa=0。即 E act T不可逆。選項B,由r(ctT)a =1得otaT的特征值為n-1個0, 1.故E T的特征值為n-1個1, 2.故可逆。2 0(6)設矩陣A = 0 20 00 02 0 ,則(0 2其它選項類似理解。02 1 011,B=0 2 0,C=01 _0 0 1 _0(A) A與C相似，B與C相似(B A與C相似，B與C不相似(C) A與C不相似，B與C相似(D )A與C不相似，B與C不相似【解析】由(兒E A)=0可知A的特征值為2,2,11 0 0因為3r(2E A

5、)=1,，A可相似對角化，且 a 0 2 010 0 2，由,EB|=0可知B特征值為2,2,1.因為3 -r(2E -B) = 2 ,，B不可相似對角化，顯然 C可相似對角化，A C ,且B不相似于C 設A, B為隨機概率，若 0 P(A) 1,0 P(B) P(A B)的充分必要條件是()(A)P(B A) P(B|A) (B)P(B A) p(b|A)(D)P(b|a) p(b|a)【答案】A【解析】按照條件概率定義展開，則A選項符合題意。1 n(8)設X1,X2 ,Xn(n之2)為來自總體N (也1)的簡單隨機樣本，記X = Xi ,則下列結論中不正確 n id的是()n(A)E (X

6、i -均2服從K2分布(Bp(Xn X1)2服從X2分布i W n(C)Z (Xi -X)2服從72分布(D)n(X-N)2服從72分布i 1【答案】B【解析】X N(,1),Xi -N(0,1) n= v (Xi -口)2|_ 2(n),AiE確 i 1 n_=(n -1)S2 =H (Xi -X)2L 工2(n-1), C正確， i 1=XN( J,1),，n(X - J)L N(0,1),n(X - J)2 2(1),D正確， n/ Y - y 2一= N(0,2),( n 2 1) 12(1)，故B錯誤.由于找不正確的結論，故B符合題意。二、填空題：9_14小題，每小題4分，共24分，

7、請將答案寫在答題紙 指定位置上. (9)已知函數f (x),則13)(0)=1 x2【答案】f (0) = -6【解析】f(x) =-=-1- = (_x2)n = J(-1)nx2n1 X 1 - ( - x ) n -qn -0cdf(x)(1)n2n(2n1)(2n2)x2nJ3= f(0)=0n =2(10)微分方程y +2y +3y =0的通解為y =【答案】y =e=(G cosV2x+c2sin J2x) , (C),c2為任意常數)解析齊次特征方程為,2 23 =0= 1,2 = 1 22故通解為 e*(c cos、, 2x - c sin、2x)(11)若曲線積分f xdx

8、aydy在區(qū)域D =(x, y) | x2 + y2 1內與路徑無關，則L x y -1a =【答案】a =1【解析】 更=2 一尊2,至二22axy一2,由積分與路徑無關知 CP=Q= a = 1 二y(x y T) ：x (x y T)二y 二xQO(12)哥級數 (1)n,nxn”在區(qū)間(1,1)內的和函數S(x)=n 1【答案】s(x)=1(1 x)2( 、 f Y ) -k/、n-1 n-1 1k/ 八 n-1n1 x【解析】工(-1) nx = (-1) x =|n 1n 11 x3維列向量組，則向量組Ac(1, Act2,微3的秩為12 ,叫，6?,q為線性無關的 b【答案】2【

9、解析】由a1,a2,a3線性無關，可知矩陣 , 口2,。3可逆，故r (Aa1, Aot2, Act 3 ) = r (Aa1,a2,a3 )=r(A)再由 r(A)=2 得 r( Aot1, Ax2, Acx3 )=2x -4、.、(14)設隨機變重 X的分布函數為F(x) =0.5(x)+0.奐(一一)，其中6 (x)為標準正態(tài)分布函數，則EX =【答案】2 0 5 x -4二0 5 二 x -4【斛析】F (x) =0.5中(x) + 中()，故 EX=0.5j xP(x)dx + J *()dx22-二2 -二 2出一x -4JsxP(x)dx = EX =0。令=t,則； x -4、

10、.：x (-)dx=2 ：； 4 2t (t)dt二8 1 4 ：t (t)dt=8_oO因止匕E(X) =2.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或 演算步驟.(15)(本題滿分10分)設函數f(u,v)具有2階連續(xù)偏導數，y = f (ex,cos x),求dydx【答案】dy dx= f；(1,1)制, n= 3(1,1),x=0x=0d2y dx2x=0=dy dxd2y dx2 d2y dx2dydx=f1(1,1)x=0【解析】x =0y = f (ex,cosx)= y(0)=f(1,1)=f1exf2 -sinx .

11、= G (1,1)1f2(1,1) 0=G (1,1)x z0x=0_ 9v _ v_ v_ 9_ v _ 1=f11ef12e(一 sinx)f21e(一 sinx)f22sin xf1e-f2 cosx=儲(1,1)，(1,1)-f2(1,1)x 30結論:d2y dx2_ . _ _ =3(1,1) i(1,1)-f2(1,1)x=0(16)(本題滿分10分)求nlim -2 ln(1 )=1 xln(1 x)dx =1 121,/、2 ln(1 x)dx =(ln(1 x) x1 x2 -1 11 dx)-4(17)(本題滿分10分)已知函數y(x)由方程x3 +y33x+3y 2 =

12、0確定，求y(x)的極值【答案】極大值為 y(1)=1 ,極小值為y(-1)=0【解析】兩邊求導得：_ 2 一 2 一 一3x +3y y-3+3y=0(1)令 y = 0得 x = 1 29對(1)式兩邊關于x求導得 6x+6y y) + 3y y*3y二0 (2)x = 1 I x - -1將x = 1代入原題給的等式中，得 or，y=1 y = 0將 x=1,y=1 代入(2)得 y”(1)=10故x=1為極大值點，y(1) = 1; x = 1為極小值點，y(1)=0(18)(本題滿分10分)設函數f(x)在區(qū)間0,1上具有2階導數，且f (1)A0,limj 0,證明: x Q x(

13、D方程f (x) =0在區(qū)間(0,1)內至少存在一個實根；2。)方程f(x)f (x)+(f (x) =0在區(qū)間(0,1)內至少存在兩個不同實根?！敬鸢浮俊窘馕觥?I) f(x)二階導數，f (1)A0, limf 0,Vx (0,5)有 fx) 0,即 f(x)0x進而三x0 W(0,6)有f (6)0又由于f(x)二階可導，所以f (x)在0,1上必連續(xù)那么f (x)在副1上連續(xù)，由f(6) 0根據零點定理得：至少存在一點w(6,1),使f化)=0,即得證(II)由(1)可知 f (0) =0,三1三(0,1)，使f 仁)=0,令 F(x) = f(x)f(x),則 f(0) = f 伯)

14、=0由羅爾定理卻三(0月,使()=0,則F(0)=F() = F()=0,對F(x)在(0產),(7七)分別使用羅爾定理：的 (0J),，W(E)且1尸2 W(0,1)*1”2,使得 F1(?) = F1(Z) = 0,即F (x) = f (x) f (x) +( f(x) j = 0在(0,1)至少有兩個不同實根。得證。(19)(本題滿分10分)設薄片型物體S是圓錐面z = x2+y2被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一點的密度為=9., x2 y2 z2 o記圓錐面與柱面的交線為C(D求C在xOy平面上的投影曲線的方程；。)求S的M質量?！敬鸢浮?4【解析】,z= x2y222(1)

15、由題設條件知，C的方程為z Vxy= x2 + y2=2xz2 =2x, 一 ，、一 x2 y2 = 2x則C在xoy平面的方程為廣yz =0m =(x, y,z)dS = 9、x2 y2 z2dS =9 2 ； x2 y2 ； 2dxdyD:x2 y22xs2 1r dr =64,2cos -i=18:嚴.0(20)(本題滿分11分)設3階矩陣Ay%, a2, 33 )有3個不同的特征值，且 0(3=0(1+20(20(D證明 r(A)=2.(n)若P =U1 +2 +口3,求方程組 Ax = P的通解?！敬鸢浮?I)略；(II)通解為k,kw R1J【解析】即1, 二2；3線性相關,(I)

16、證明：由 a3 =%+2a2可彳導3+2ot2 -33 =0 ,因此， A = ot10t2 o(3 = 0 即A的特征值必有0。又因為A有三個不同的特征值，則三個特征值中只有1個0,另外兩個非0.九1且由于A必可相似對角化，則可設其對角矩陣為A =%，%a2 # 00)r(A) =(上)=2(II)由(1) r(A) =2,知3 r(A)=1 ,即Ax = 0的基礎解系只有1個解向量,由% +22 -3 =0可得(%,口2,口3=0 ,則Ax = 0的基礎解系為-1J又P =%+4+%,即(%尸2尸311=P，則Ax = P的一個特解為綜上，Ax = B的通解為k 211 ,Y R-8X1X

17、3 2X2X3Q【答案】a=2;Qu,311,21J62、.6162 c 2x = Qy - 3y1 6y2(21)(本題滿分 11 分)設二次型 f (x1, x2, x3) = 2x12 x2+ax2 + 2x1x2在正交變換X =QY下的標準型 兀y； +后4 ,求a的值及一個正交矩陣【解析】f (Xi,X2,X3)=XT AX ,其中1-1-41得到的標準形為由于f (Xi, X2,X3) =XTAX經正交變換后,-4故 r(A) =2=| A|=0= 1-4-11將a =2代入，滿足r(A)=2,因此a =2符合題意，此時1【一4-4、1,則2| E - A| 二-1-1-2=6 ，

18、由(3E A)x=0,可得A的屬于特征值-3的特征向量為1-121-1由(6E -A)x = 0 ,可得A的屬于特征值6的特征向量為a2由(0E -A)x = 0,可得A的屬于特征值0的特征向量為3令 P =(1,2,3 ),則P,AP=由于口1,口2,23彼此正交，故只需單位化即可：i = 3 1,-1,1，2 =口3 ;京。，2,1),則 Q =：i ：2 ：3=1而1 名 1121、 娓2661 娓),QTAQ -3600 :二 z ：二 1【答案】(I) PY EY=x=Qyf = - 3y2 6 y21(22)本本題滿分11分)設隨機變量X,Y相互獨立，且X的概率分布為P(X =0)

19、 = P(X =2)=- , 丫的2y, 0 ： y 1概率密度為f (y)=10,其他(D 求 P(Y M EY)(n)求z = X +Y的概率密度。4z,；(ll)fz(z) =9z-2,2 :二 z :二 3【解析】12()E(Y) = 0y2ydy.3224P(Y MEY) = P(丫 三 2) = 32ydy = 4 309(二)Fz(Z) = P(Z z) = P(X Y z)= P(X Y z,X =0) P(X Y z,X =2)= P(Y z, X =0) P(Y z-2,X =2)11= -P(Y 1,即 Z23時，Fz(Z)=1，一 1 O(3)當 0EZ 1 時，FZ(

20、Z) = Z22,1(4)當 1 Ez2 時，Fz(Z)=21 1O(5)當 2 Wz 3時，Fz(Z)=-+-(z-2)2 20 z01 z2 ,0 z 121所以綜上 Fz(Z) = ,1 z 22112十(z2) ,2 z32 21 , z_3所以 fz(Z) - Fz(Z)lz-20:z： 12二z二 3(23)(本題滿分11分)某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質量做n次測量，該物體的質量口是已知的，設n次測量結果X1，X2 Xn相互獨立且均服從正態(tài)分布N(R戶2)。該工程師記錄的是n次測量的絕對誤差Zi = Xi H(i =1,2, -n),利用Z1,Z2 .Zn估計仃。(D求Zi的概率密度；(n)利用一階矩求 仃的矩估計量z 0 ；其他z2-=-e(I ) fZi(z) I ./2-Xi i 10,(II )矩估計夕= n(III )最大似然估計:【解析】(DE(z)=P(Zi Wz)=P(XiN|Wz)當 z ：0,Fz =0當 z0,Fz(z) =P(zEXi N Ez) =P(Nz EXi WN+z) = FX(N + z) F(N z)當z0時,z2z2z2fz(z) = Fzi(z)=fx(N +z) + fx(N -z