有限元法基礎(chǔ)及ANSYS應(yīng)用(電子教案)課件

1、有限元法基礎(chǔ)及ANSYS應(yīng)用有限元法基礎(chǔ)及ANSYS應(yīng)用電子教案1第一章 緒論1.1有限元法概述1.1.1 有限元法的發(fā)展及基本思想隨著現(xiàn)代工業(yè)、生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展，不斷要求設(shè)計(jì)高質(zhì)量、高水平的大型、復(fù) 雜和精密的機(jī)械及工程結(jié)構(gòu)。為此目的，人們必須預(yù)先通過有效的計(jì)算手段，確切地預(yù)測(cè)即將誕生的機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)，在未來工作時(shí)所發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。但是傳統(tǒng)的一些方法往往難以完成對(duì)工程實(shí)際問題的有效分析。彈性力學(xué)的經(jīng)典理論，由于求解偏微分方程邊值問題的困難，只能解決結(jié)構(gòu)形狀和承受載荷較簡(jiǎn)單的問題，對(duì)于幾何形狀復(fù)雜、不規(guī)則邊界、有裂縫或厚度突變，以及幾何非線性、材料非線性等問題往往遇到很多麻煩，試圖按經(jīng)典

2、的彈性力學(xué)方法獲得解析解是十分困難的，甚至是不可能的。因此，需要尋求一種簡(jiǎn)單而又精確的數(shù)值分析方法。有限元法正是適應(yīng)這種要求而產(chǎn)生和發(fā)展起來的一種十分有效的數(shù)值計(jì)算方法。這個(gè)方法起源于20世紀(jì)50年代中期航空工程中飛機(jī)結(jié)構(gòu)的矩陣分析。 1960年美國(guó)的克勞夫(Clough)采用此方法進(jìn)行飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析時(shí)，首次將這種方法起名為“有限單元法”(finite element method），簡(jiǎn)稱“有限元法”。有限單元法的基本思想，是在力學(xué)模型上將一個(gè)原來連續(xù)的物體離散成為有限個(gè)具有一定大小的單元，這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，并在節(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效力以代替實(shí)際作用于單元上的外力。對(duì)于每個(gè)單元,根據(jù)分塊近

3、似的思想，選擇一種簡(jiǎn)單的函數(shù)來表示單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，并按彈性理論中的能量原理(或用變分原理)建立單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。最后，把所有單元的這種關(guān)系式集合起來，就得到一組以節(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程組，解這些方程組就可以求出物體上有限個(gè)離散節(jié)點(diǎn)上的位移。圖1.1是用有限元法對(duì)直齒圓柱齒輪的輪齒進(jìn)行的變形和應(yīng)力分析，其中圖1.1(a)為有限元模型，圖1.1(b)是最大切應(yīng)力等應(yīng)力線圖。在圖1.1(a)中采用8節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元把輪齒劃分成網(wǎng)格，這些網(wǎng)格稱為單元；網(wǎng)格間互1相連接的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)；網(wǎng)格與網(wǎng)格的交界線稱為邊界。顯然，圖中的節(jié)點(diǎn)數(shù)是有限的，單元數(shù)目也是有限的，這就是“有限元”一

4、詞的由來。 圖1. 1對(duì)直齒圓柱齒輪的輪齒進(jìn)行的變形和應(yīng)力分析 有限元法具有很多優(yōu)點(diǎn)，主要有以下幾點(diǎn)：（1）理論基礎(chǔ)簡(jiǎn)明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起對(duì)該法的理解。既可通過直觀的物理途徑來學(xué)習(xí)和運(yùn)用這一方法，也可以為該法建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 (2) 具有靈活性和適用性，應(yīng)用范圍極為廣泛。它不僅能成功地處理如應(yīng) 力分析中的非均勻材料、各向異性材料、非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系以及復(fù)雜邊界條件等難題，且隨著其理論基礎(chǔ)和方法的逐步完善，還能成功地用來求解如熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)及電磁場(chǎng)領(lǐng)域的許多問題。 (3) 該法在具體推導(dǎo)運(yùn)算中，廣泛采用了矩陣方法。矩陣代數(shù)能把繁冗的 分析和運(yùn)算用矩陣符號(hào)表示成非常緊湊

5、簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)形式，因而最適合于電子計(jì)算機(jī)存貯，便于實(shí)現(xiàn)程序設(shè)計(jì)的自動(dòng)化?？傊邢拊ㄒ驯还J(rèn)為應(yīng)力分析的有效工具而受到普遍的重視和廣泛應(yīng)用。有限單元法從選擇基本未知量的角度來看，可分為三類:位移法、力法和混合法。以節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量的求解方法稱為位移法；以節(jié)點(diǎn)力為基本未知量的求解方法稱為力法;一部分以節(jié)點(diǎn)位移，另一部分以節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量的求解方法稱為混合法。由于位移法通用性較強(qiáng)，計(jì)算機(jī)程序處理簡(jiǎn)單、方便，因此得到廣泛的應(yīng)用。本書只討論最為普遍的位移法。1.1.2有限元法的基本步驟有限元法分析計(jì)算的基本步驟可歸納如以下五點(diǎn)。1. 結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化是有限元法分析的第一步，它是有限元法

6、的基礎(chǔ)。將某個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)劃分為由各種單元組成的計(jì)算模型，如圖1.1(a)所示，這一步稱作單元?jiǎng)澐?。離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連接起來，將求解區(qū)域變成為用點(diǎn)、線或面劃分的有限數(shù)目的單元組合成的集合體。單元的形狀原則上是任意的。例如，在平面問題中通常采用三角形單元，有時(shí)也采用矩形或任意四邊形單元。在空間問題中，可以采用四面體、長(zhǎng)方體或任意六面體單元?？梢?，不管單元取什么樣的形狀，在一般情況下，單元的邊界總不可能與求解區(qū)域的真實(shí)邊界完全吻合，這就帶來了有限元法的一個(gè)基本近似性幾何近似。在一個(gè)具體的機(jī)械結(jié)構(gòu)中，確定單元的類型和數(shù)目以及哪些部位的單元可以取得大一些，哪些部位單元應(yīng)該取得小一些，

7、需要由經(jīng)驗(yàn)來做出判斷。單元?jiǎng)澐衷郊?xì)則描述變形情況越精確，即越接近實(shí)際變形，但計(jì)算量越大。所以有限元法中分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是同樣材料的眾多單元以一定方式連接成的離散物體。這樣，用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的計(jì)算結(jié)果就越逼近實(shí)際情況。2. 單元分析1） 選擇位移模式位移模式是表示單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移隨位置變化的函數(shù)式，由于所采用的函數(shù)是一種近似的試函數(shù)，一般不能精確地反映單元中真實(shí)的位移分布，這就帶來了有限元法的另一種基本近似性。采用位移法時(shí)，物體或結(jié)構(gòu)物離散化之后，就可把單元中的一些物理量如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等由節(jié)點(diǎn)位移來表示。

8、這時(shí)可以對(duì)單元中位移的分布采用一些能逼近原函數(shù)的近似函數(shù)予以描述。通常，有限單元法中我們將位移表示為坐標(biāo)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)，這種函數(shù)稱為位移模式或位移函數(shù)，如 式中，是待定系數(shù)；是與坐標(biāo)有關(guān)的某種函數(shù)。 2）建立單元?jiǎng)偠确匠踢x定單元的類型和位移模式以后，就可按虛功原理或最小勢(shì)能原理建立單元?jiǎng)偠确匠?，它?shí)際上是單元各個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡方程，其系數(shù)矩陣稱為單元?jiǎng)偠染仃?(11)式中，為單元編號(hào)；為單元的節(jié)點(diǎn)位移向量；為單元的節(jié)點(diǎn)力向量 ；為單元?jiǎng)偠染仃?，它的每一個(gè)元素都反映了一定的剛度特性。根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等，找出單元 節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式，這是單元分析中的關(guān)鍵一步

9、。此時(shí)需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?，這是有限元法的基本步驟之一。3） 計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力物體離散化后，假定力是通過節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元傳遞到另一個(gè)單元。但是，對(duì)于實(shí)際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊界傳遞到另一個(gè)單元中去的。因而，這種作用在單元邊界的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去，也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來代替所有作用在單元上的力。3. 整體分析有限元法的分析過程是先分后合，即先進(jìn)行單元分析，在建立了單元?jiǎng)偠确匠桃院?，再進(jìn)行整體分析，把這些方程集成起來，形成求解區(qū)域的剛度方程，稱為有限元位移法基本方程。集成所遵循的原則是各相鄰單元在共同節(jié)點(diǎn)處

10、具有相同的位移。利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來的結(jié)構(gòu)重新聯(lián)接起 來，形成整體的有限元方程 (12)式中，為整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；為整體節(jié)點(diǎn)位移向量；為整體載荷向量。4. 求解方程，得出節(jié)點(diǎn)位移解有限元方程式（12)得出位移。這里可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)來選擇合適的計(jì)算方法。5. 由節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元的應(yīng)變與應(yīng)力解出節(jié)點(diǎn)位移以后，根據(jù)需要，可由彈性力學(xué)的幾何方程和彈性方程來計(jì)算 應(yīng)變和應(yīng)力。通過上述分析，可以看出，有限單元法的基本思想是“一分一合”，化整為零，集零為整，把復(fù)雜的結(jié)構(gòu)看成由有限個(gè)單元組成的整體。1.2 有限元法的工程應(yīng)用在有限元法誕生后的40多年來，有限元法的應(yīng)用已由彈

11、性力學(xué)平面問題擴(kuò)展到空間問題、板殼問題，由靜力平衡問題擴(kuò)展到穩(wěn)定性問題、動(dòng)力問題和波動(dòng)問題，分析的對(duì)象從彈性材料擴(kuò)展到塑性、黏彈性、黏塑性和復(fù)合材料等，從固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域。有限元法的工程應(yīng)用如表1.1所示。表1.1 有限元法的工程應(yīng)用 研究領(lǐng)域 平衡問題 特征值問題 動(dòng)態(tài)問題 結(jié)構(gòu)工程學(xué)，結(jié)構(gòu)力學(xué)和宇航工 程學(xué) 梁、板、殼結(jié)構(gòu)的 分析；復(fù)雜或混雜結(jié) 構(gòu)的分析；二維與三 維應(yīng)力分析 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性； 結(jié)構(gòu)的固有頻率和振 型；線性黏彈性阻尼 應(yīng)力波的傳播;結(jié)構(gòu)對(duì)于 非周期載荷的動(dòng)態(tài)響應(yīng);耦合 熱彈性力學(xué)與熱黏彈性力學(xué)土力學(xué)，基礎(chǔ)工 程學(xué)和巖石力學(xué)二維與三維應(yīng)力 分析；填筑

12、和開挖問 題；邁坡穩(wěn)定性問題； 土壤與結(jié)構(gòu)的相互作 用；項(xiàng)、隧洞、鉆孔、涵 洞、船閘等的分析;流 體在土壤和巖石中的 穩(wěn)態(tài)滲流土壤與結(jié)構(gòu)組合 物的固有頻率和振型土壤與巖石中的非定常 滲流;在可變形多孔介質(zhì)中的 流動(dòng)-固結(jié)應(yīng)力波在土壤和巖石中 的傳播;土壤與結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)相 互作用熱傳導(dǎo)學(xué)固體和流體中的 穩(wěn)態(tài)溫度分布固體和流體中的瞬態(tài)熱流 流體動(dòng)力學(xué)，水 利工程學(xué)和水 源學(xué)流體的勢(shì)流；流 體的黏性流動(dòng)；蓄水 層和多孔介質(zhì)中的定 常滲流；水工結(jié)構(gòu)和 大壩的分析湖泊和港灣的波 動(dòng)固有頻率和振 型剛性或柔性容器 中流體的晃動(dòng)河口的鹽度和污染研究 (擴(kuò)展問題沉積物的推移； 流體的非定常流動(dòng)；波的傳 播;多孔

13、介質(zhì)和蓄水層中非定態(tài)滲流核子工程學(xué)反應(yīng)堆安全殼結(jié)構(gòu)的分析；反應(yīng)堆和 反應(yīng)堆安全殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)溫度分布反應(yīng)堆安全殼結(jié)構(gòu)的動(dòng) 態(tài)分析;反應(yīng)堆結(jié)構(gòu)的熱黏彈 性分析；反應(yīng)堆和反應(yīng)堆安全 殼結(jié)構(gòu)中的非穩(wěn)態(tài)溫度分布電磁學(xué)二維和三維靜態(tài) 電磁場(chǎng)分析二維和三維時(shí)變、高頻電 磁場(chǎng)分析1.3彈性力學(xué)基本知識(shí)材料力學(xué)主要研究桿、梁、柱，結(jié)構(gòu)力學(xué)主要研究桿系或梁系，而彈性力 學(xué)主要研究實(shí)體和板的受力與變形。工程中的許多構(gòu)件是由實(shí)體或板構(gòu)成，而 且有限元法所能解決的問題有許多是屬于彈性力學(xué)范疇的，因此要解決工程 問題和學(xué)好有限元法必須學(xué)習(xí)彈性力學(xué)知識(shí)。彈性力學(xué)的任務(wù)是分析彈性體在受外力作用并處于平衡狀態(tài)下產(chǎn)生的應(yīng) 力、應(yīng)

14、變和位移狀態(tài)及其相互關(guān)系等。彈性力學(xué)假設(shè)所研究的物體是連續(xù)的、 完全彈性的、均勻的、各向同性的、微小變形的和無初應(yīng)力的，在這6條假設(shè)的 基礎(chǔ)上研究受力物體一點(diǎn)上的應(yīng)力、應(yīng)變、變形和平衡關(guān)系。彈性力學(xué)用于二、 三維連續(xù)彈性體問題，要考慮平衡微分方程、物理方程、幾何方程和邊界條件， 最終歸結(jié)為偏微分方程的邊值問題。在有限元法中經(jīng)常用到彈性力學(xué)的基本方程和變分原理，為了以后應(yīng)用 方便，將直接給出彈性力學(xué)的基本方程和彈性力學(xué)中的能量原理。關(guān)于它們的 詳細(xì)推導(dǎo)可以參閱相關(guān)的教材。下面就簡(jiǎn)要介紹這些基礎(chǔ)知識(shí)。1.3.1關(guān)于外力、應(yīng)力、應(yīng)變、與位移的定義1. 外力作用于物體的外力可以分為體積力和表面力，兩者

15、也分別簡(jiǎn)稱為體力和面力。體力指分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力和慣性力。物體內(nèi)各點(diǎn)受體力的情況，一般是不相同的，用體力集度矢量表明該物體在某一點(diǎn)所受體力的大小和方向。該矢量在坐標(biāo)軸x,y,z上的投影記為，稱為體力分量，以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。它們的因次是力長(zhǎng)度。面力指分布在物體表面上的力，例如流體壓力和接觸力。物體在其表面上各點(diǎn)受面力的情況，一般也是不相同的，用面力集度矢量表明該物體在其表面上某一點(diǎn)所受面力的大小和和方向，該矢量在坐標(biāo)軸x,y,z上的投影記為，稱為面力分量，同樣以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。它們的因次是力長(zhǎng)度。有限元法分析中也使用集中力這一概念，其正

16、負(fù)號(hào)規(guī)定同上。2. 應(yīng)力物體受外力的作用，或由于溫度有所改變，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力。為了研究物體在其某一點(diǎn)P處的內(nèi)力，假想用經(jīng)過P點(diǎn)的一個(gè)截面mn將該物體分為 A和B兩部分，而將B部分撇開，如圖1.2所示。撇開的部分B將在截面mn上對(duì)留下的部分A作用一定的內(nèi)力。取這一截面的一小部分，它包含著P點(diǎn)，而它的面積為。設(shè)作用于上的內(nèi)力為，則內(nèi)力的平均集度，即平均應(yīng)力為現(xiàn)在，命無限減小而趨于P點(diǎn)，假定內(nèi)力為連續(xù)分布，則將趨于一定的極限S，即 這個(gè)極限矢量S就是物體在截面mn上的在P點(diǎn)的應(yīng)力。對(duì)于應(yīng)力，除了在推導(dǎo)某些公式的過程中以外，通常都不會(huì)使用它沿坐標(biāo)軸方向的分量，因?yàn)檫@些分量和物體的形變或材料強(qiáng)度都沒有

17、直接的關(guān)系。與物體的形變及材料強(qiáng)度直接相關(guān)的，是應(yīng)力在作用截面的法向和切向的分量，也就是正應(yīng)力和剪應(yīng)力，如圖1. 2所示。應(yīng)力及其分量的因次也是力長(zhǎng)度。圖1.2 P點(diǎn)的應(yīng)力分解 圖1.3 P點(diǎn)外微小平行六面體應(yīng)力分解顯然，在物體內(nèi)的同一點(diǎn)P，不同截面上的應(yīng)力是不同的。為了分析這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，即各個(gè)截面上應(yīng)力的大小和方向，在這一點(diǎn)從物體內(nèi)取出一個(gè)微小的平行六面體，它的棱邊平行于坐標(biāo)軸，如圖1.3所示。將每一面上的應(yīng)力分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力，分別與三個(gè)坐標(biāo)軸平行。正應(yīng)力用表示，為了表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個(gè)坐標(biāo)角碼。例如，正應(yīng)力是作用在垂直于x軸的面上，同時(shí)也是沿著x軸的方

18、向作用的。剪應(yīng)力用表示，并加上兩個(gè)坐標(biāo)角碼，前一個(gè)角碼表明作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)角碼表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。例如，剪應(yīng)力是作用在垂直于x軸的面上而沿著y軸方向作用的。如果某一個(gè)截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)截面就稱為一個(gè)正面，而這個(gè)面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，如果某一個(gè)截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)截面就稱為一個(gè)負(fù)面,而這個(gè)面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。圖1. 3中所示的應(yīng)力分量全部都是正的。注意，雖然上述正負(fù)號(hào)規(guī)定，對(duì)于正應(yīng)力來說，結(jié)果是和材料力學(xué)中的規(guī)定相同（拉應(yīng)力為正而壓應(yīng)力為負(fù)，但是，對(duì)

19、于剪應(yīng)力來說，結(jié)果卻和材料力學(xué)中的規(guī)定不完全相同。按照這里的符號(hào)規(guī)則，剪應(yīng)力互等定理表達(dá)為 ,在物體的任意一點(diǎn)，如果已知這6個(gè)應(yīng)力分量，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任意截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。因此，彈性體在載荷作用下，體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由6個(gè)應(yīng)力分量，來表示。應(yīng)力的矩陣形式是 (13) 稱為應(yīng)力列陣或應(yīng)力分量。3. 應(yīng)變物體受到外力作用時(shí)，其形狀會(huì)發(fā)生改變，即產(chǎn)生了形變。物體的形狀總可以用它各部分的長(zhǎng)度和角度來表示，因此，物體的形變可以歸結(jié)為長(zhǎng)度的改變和角度的改變。為了分析物體在其某一點(diǎn)P的形變狀態(tài)，在這一點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸x，y，z的正方向取三個(gè)微小的線段么PA、PB、PC，如圖1.4所示。物體變形

20、以后，這三個(gè)線段的長(zhǎng)度以及它們之間的直角一般都將有所改變。各線段的每單位長(zhǎng)度的伸縮，稱為正應(yīng)變。各線段之間的直角的改變，用弧度表示，稱為剪應(yīng)變。正應(yīng)變用字母表示：表示x方向的PA的正應(yīng)變，其余類推。正應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。剪應(yīng)變用字母表示：表示y與z兩方向的線段（即PB與PC）之間的直角的改變，其余類推。剪應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與剪應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。正應(yīng)變和剪應(yīng)變都是無因次的數(shù)量。 圖1.4 P點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變，可以由6個(gè)應(yīng)變分量，來表示。其中，為正應(yīng)變;，為剪應(yīng)變。圖1.5（a)、（b)分別為和 的正應(yīng)變狀態(tài)。應(yīng)變的矩陣形式

21、是 (13) 稱為應(yīng)變列陣或應(yīng)變向量。 4. 位移彈性體在載荷作用下，不僅會(huì)發(fā)生形變，還將產(chǎn)生位移，即彈性體位置的 移動(dòng)。彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移可由沿直角坐標(biāo)軸x，y，z方向的三個(gè)位移分量u，v，w來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向的為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方向的為負(fù)。它的矩陣形式是 稱為位移列陣或位移向量。1.3.2 彈性力學(xué)的基本方程1.幾何方程對(duì)于三維的一般情況，應(yīng)變分量和位移分量有一定的幾何關(guān)系，這種關(guān)系可以表示為 （16） 即6個(gè)應(yīng)變分量可以用3個(gè)位移分量表示，這種關(guān)系可稱為幾何方程。當(dāng)用式（16）來確定位移u，v，w時(shí)，由于3個(gè)求知函數(shù)有6個(gè)方程式，所以，當(dāng)任意給定應(yīng)變分量時(shí),一般來說，這個(gè)方程組是不

22、會(huì)有解的。因此，必須給各應(yīng)變分量附加某些限制條件，以便由這6個(gè)方程式得到一組3個(gè)位移分 量的單值連續(xù)的解。這些附加的限制條件就是“變形協(xié)調(diào)條件”，它可用協(xié)調(diào)方程式表述。所謂變形協(xié)調(diào)條件，可以做如下的理解：設(shè)想在變形前，把彈性體分為許多微小立方單元體。變形后，每個(gè)單元體都產(chǎn)生任意變形而變成一些六面體?？赡馨l(fā)生這樣的情況，這些六面體再也不能組合成一個(gè)連續(xù)的變形體。為了保證這些六面體仍能組合成一個(gè)連續(xù)體，每一個(gè)小單元體的應(yīng)變分量必須滿足某一確定的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系就是變形協(xié)調(diào)條件或稱變形連續(xù)條件。現(xiàn)在就二維平面問題來研究這些關(guān)系。這只要把位移分量u和v從下式中消去即可 對(duì)x，y微分，可得 （17） 因?yàn)?/p>

23、u和v都是單值連續(xù)函數(shù)，所以式（17)可改寫為 （18）因?yàn)椋?，所以（18）就成為 （19）這就是平面問題中的變形協(xié)調(diào)條件。對(duì)于三維問題，只要把位移分量u，v，w從式（16）中消去就得相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件。把對(duì)x，y微分，對(duì)z,x微分，并將所得結(jié)果相加，則得 （110）由于u，v，w是單值連續(xù)函數(shù)，我們便可把式(110)右邊改寫成 因此有 或 利用循環(huán)輪換法即可得到其余的類似關(guān)系式。結(jié)果，可以得到應(yīng)變分量之 間必須滿足的變形協(xié)調(diào)條件。它們是如下的6個(gè)微分方程式：（111）2. 物理方程當(dāng)彈性單元體上只作用有拉伸和壓縮的應(yīng)力（所有六個(gè)表面上沒有任何其他應(yīng)力作用）時(shí)，則應(yīng)力和應(yīng)變成比例，其比值稱為

24、拉伸彈性模量，用E表示。即此時(shí)虎克定律 大多數(shù)工程材料的拉伸彈性模量和壓縮彈性模量相等，因而簡(jiǎn)稱為彈性模量。當(dāng)單元體在x方向拉伸時(shí)，在y和z兩個(gè)方向必伴隨著橫向收縮。因此有 式中,為泊松比。剪應(yīng)力分量和其對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變之比稱為剪切彈性模量，用G表示，即 G和E之間的關(guān)系是 對(duì)于各向同性的材料，在三維情況下，由應(yīng)變求應(yīng)力的彈性方程為由應(yīng)力求應(yīng)變的彈性方程為 式（112）或式（113）表述了三維情況下應(yīng)力和應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，稱為廣義虎克定律。這種關(guān)系又可稱為物理關(guān)系，或稱物理方程。式（112）和式（113）可以寫成矩陣形式或 （114）式中，D為彈性矩陣；或 （115）式中，。3. 平衡方程當(dāng)物體

25、在外力作用下保持靜止或等速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，則稱此物體處于平衡狀態(tài)。一般來說，作用在物體上的外力可以分為體積力和表面力。體積力一般用單位體積上的力在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的投影，表示。表面力一般用單位面積上的力在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的投影，表示。彈性體中的應(yīng)力不是任意的，它必須滿足靜力平衡條件，即彈性體內(nèi)任一點(diǎn)滿足平衡方程，在給定表面力的邊界上滿足應(yīng)力邊界條件。在單元體處于三維應(yīng)力作用的一般情況下，根據(jù)微元體所受合力為零的條件，可以導(dǎo)出直角坐標(biāo)系中的三維平衡方程式為 在一般三維應(yīng)力狀態(tài)的情況下，分別取作用在單元體上的力對(duì)z，y和x軸的矩，根據(jù)合力矩為零的條件可得 這表明剪應(yīng)力分量是兩兩相等的。在三維應(yīng)力的一般

26、情形下，如果已知某一點(diǎn)的應(yīng)力分量，則作用在任意一平面上該點(diǎn)的應(yīng)力分量可由下式表示： 式中，分別表示作用在某一個(gè)任意平面上的沿x，y，z方向的應(yīng)力分量。這個(gè)平面的法線為N，且方向余弦為，如圖1.6所示。 在整個(gè)物體內(nèi)這些應(yīng)力分量是變化的，而在物體的外表面或邊界上，這些應(yīng)力必與該處作用的外力相平衡。因此，當(dāng)物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，物體內(nèi)所有各點(diǎn)的應(yīng)力分量都必須滿足平衡微分方程式。所以當(dāng)把式（118）中的，分別改成，就可將它看成是物體在平衡狀態(tài)下力的邊界條件。此時(shí)，就是邊界一點(diǎn)處單位面積上表面力的分量，而l，m，n則是邊界法線的方向余弦，而有 1.3.3 變分原理介紹 1.泛函與變分對(duì)于泛函

27、來說，如果對(duì)于某一類函數(shù)，它的每一個(gè)函數(shù)值都有一個(gè)值與之相對(duì)應(yīng)，則變量稱為自變函數(shù)的泛函，記為，由于是自變量x的函數(shù)，所以泛函又可以稱為是函數(shù)的函數(shù)。研究函數(shù)的極值用的是微分學(xué)，而研究泛函的極值的方法是變分原理，泛函極值問題就是變分問題。變分問題是研究泛函的極大值或極小值（簡(jiǎn)稱極值）的問題。它的解法非常類似于求函數(shù)的極大值和極小值的方法。即變分在函研究中所起的作用和微分在函數(shù)研究中所起的作用一樣。例如，如果可微函數(shù)在內(nèi)點(diǎn)達(dá)到極值，則在這點(diǎn)處有；而對(duì)于變分問題來說，如果具有變分的泛函在上達(dá)到極值，則在上有。有時(shí)稱和為駐值條件。這樣泛函 取極值的條件，即的條件是 因?yàn)?，?duì)于不動(dòng)邊界問題，除和兩端點(diǎn)

28、外，函數(shù)是一個(gè)很小的任意值，所以，式（121）給出的條件是 這就是泛函的歐拉方程，也稱控制方程。歐拉方程是從泛函具有極值條件得出的。那么從中求解得到的這個(gè)函數(shù) 就是使泛函取極值的正確解?；蛘哒f，歐拉方程的積分曲線給出使泛函取極值的正確解。因此，為了求出能使泛函 具有極值的曲線，就要求出歐拉方程的積分，并利用邊界條件，確定積分常數(shù)。只有用這種方式求得的極值曲線才能使泛函獲得極值。求泛函極值的過程，是把一個(gè)泛函的極值問題化為一個(gè)微分方程邊值問題。這就是，首先建立所討論問題的泛函式，繼而進(jìn)行的變分運(yùn)算，由極值條件獲得所論問題的微分方向（歐拉方程），然后對(duì)該微分方程邊值問題求解，得到函數(shù)，它就是所討論

29、問題的正確解。根據(jù)全微分概念，當(dāng)x，y，z是自變量t的函數(shù)時(shí)，對(duì)有 因此，可以把改寫成 或結(jié)果式（122）的歐拉方程將變成 對(duì)泛函，可以根據(jù)的條件求出極值。但是要確定這些值究竟是極大值還是極小值，就要考慮其二次變分之值。對(duì)于形式的簡(jiǎn)單泛函，它的二階變分是 若，則為極小值； ，則為極大值； ，是中間拐點(diǎn)（或非極值的駐值）。三種情況如圖1.7（a），（b），（c）所示。上面所討論的泛函中，只含一組和。有時(shí)F中含有，多組，。對(duì)于這種情況，可以考慮只是函數(shù)，中的一組變分，其他函數(shù)保持不變（）。這樣得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的歐拉方程。如此逐個(gè)的對(duì)每組，進(jìn)行變分，結(jié)果得到幾個(gè)歐拉方程，從而確定一族積分曲線。它就是這個(gè)

30、變分問題的極值曲線族。F中也可能含有的高階導(dǎo)數(shù)。這時(shí)，同樣可以求得類似于歐拉方程的歐拉-泊松方程，它的積分曲線也就是所討論的變分問題的極值曲線。2. 李茲法前面所探討的變分原理，把泛函極值的積分方程轉(zhuǎn)化為歐拉方程一微分方程，解微分方程得到問題的解。但在工程實(shí)際中，除簡(jiǎn)單問題外，許多問題很難進(jìn)行積分求解。因而就出現(xiàn)了直接求解變分的積分方程的近似解法，李茲法就是其中的一種。李茲法的思想是，不把泛函的值放在變分問題中任意的容許曲線上來考慮，而是放在具有常系數(shù)的各種可能的線性組合式上來考慮，即假定它所形成的曲線是容許的，而當(dāng)時(shí)，就可獲得所討論的變分問題的準(zhǔn)確解。其中的,是某種設(shè)定的函數(shù)，它可以是x或y

31、的函數(shù)，也可以是x,y甚至是x,y,z的函數(shù)，隨問題的性質(zhì)確定；是待定系數(shù)。若只取開頭的若干項(xiàng)，則所得的就是變分問題的近似解。所以，這種方法是泛函變分問題的一種近似解法。有限元法也是屬于這種近似解法的一種?？紤]到有限元法實(shí)際上是李茲法的推廣，因此下面把李茲法的方法和步驟做一簡(jiǎn)要說明。（1）把所求泛函的極值問題的解，表達(dá)成一系列可能解的線性組合。 式中，為待定系數(shù)；為某種設(shè)定的函數(shù)。在彈性理論中，泛函是根據(jù)能量守恒原理求得的能量表達(dá)式。當(dāng)位移為未知函數(shù)時(shí)，是一系列變形可能位移的線性組合，可以理解為形函數(shù)，而則是節(jié)點(diǎn)位移。（2）把這個(gè)線性組合式代入所討論問題的泛函式中去，并計(jì)算出此泛函式的變分。（

32、3）由泛函極值條件，算出線性組合式中的待定系數(shù)（即選擇、調(diào)整的值，使之滿足基本微分方程。即由方程組 求解使之滿足基本微分方程。（4） 把算得的待定系數(shù)值代入設(shè)定的式（123），即求得所討論問題的解。泛函變分的近似計(jì)算法不僅可以對(duì)已具有泛函式的問題進(jìn)行變分計(jì)算，求出其歐拉方程的解；也可以對(duì)某些雖是已知的微分方程，然而對(duì)它們的求解很困難的問題，先把微分方程轉(zhuǎn)化成相當(dāng)?shù)姆汉兎智髽O值的問題，然后采用上述近似方法來求解。李茲法是對(duì)所討論問題的整個(gè)區(qū)域來設(shè)定可能解的線性組合式的，因而有時(shí)比較困難、復(fù)雜。和李茲法一樣，有限元法也是求解泛函極值問題的一種近似方法。它的方法步驟也和李茲法相似。不同的是，有限元

33、法是把所討論問題的整個(gè)區(qū)域劃分成許多子區(qū)域，即通常所說的單元，然后在各個(gè)單元內(nèi)采用和李茲法相似的辦法求解。顯然，在范圍較小的單元內(nèi)來設(shè)定可能解的線性組合式要比在整個(gè)區(qū)域內(nèi)簡(jiǎn)單，同時(shí)求的積分運(yùn)算和解式（124)的聯(lián)立方程也比較簡(jiǎn)單容易一些。因此，目前有限元法的發(fā)展就比較快。1.3.4 虛位移原理所謂虛位移可以是任何無限小的位移，它在結(jié)構(gòu)內(nèi)部必須是連續(xù)的，在結(jié)構(gòu)的邊界上必須滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件，例如對(duì)于懸臂梁來說，在固定端處，虛位移及其斜率必須等于零。今考慮如圖1.8所示的物體，它受到外力，作用。記，在這些外力作用下，物體的應(yīng)力為 現(xiàn)假設(shè)發(fā)生了虛位移，在外力作用處與各個(gè)相應(yīng)方向的虛位移為，記，由虛位

34、移產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)?在產(chǎn)生虛位移時(shí)，外力已作用于物體，而且在虛位移過程中，外力保持不變，因此，外力在虛位移上所做的虛功是 在物體的單位體積內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛應(yīng)變能是 整個(gè)物體的虛應(yīng)變能是 虛位移原理表明，如果在虛位移發(fā)生之前，物體處于平衡狀態(tài)，那么在虛位移發(fā)生時(shí)，外力所做虛功等于物體的虛應(yīng)變能，即 此式稱為虛功方程。1.3.5 平面問題當(dāng)研究的彈性體具有某種特殊的形狀,并且承受的是某種特殊外力時(shí)，就有可能把空間問題近似地簡(jiǎn)化為平面問題(平面應(yīng)力問題或平面應(yīng)變問題），只需考慮平行于某個(gè)平面的位移分量、應(yīng)變分量與應(yīng)力分量，且這些量只是兩個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。這樣處理，分析和計(jì)算的工作量將大大減少。設(shè)有很薄

35、的均勻薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面并且不沿厚度變化,如圖1.9所示，記薄板的厚度為t，以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為z軸，由于板面上不受力，且板很薄，外力不沿厚度變化，可以認(rèn)為恒有不為零的應(yīng)力分量為，,這種問題就稱為平面應(yīng)力問題。平面應(yīng)力問題只有8個(gè)獨(dú)立的未知量，u，v,它們僅僅是兩個(gè)坐標(biāo)x，y的函數(shù)。設(shè)有無限長(zhǎng)的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度變化（圖1.10)。以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸，由于對(duì)稱性 (任一橫截面都可以看做對(duì)稱面、不難發(fā)現(xiàn)此時(shí) 不為零的應(yīng)變分量

36、為這種問題就稱為平面應(yīng)變問題。平面應(yīng)變問題也只有8個(gè)獨(dú)立的未知量，u，v，它們僅僅是x，y 兩個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。1. 平面問題的平衡微分方程與應(yīng)力邊界條件 1) 平衡微分方程 或2) 應(yīng)力邊界條件或2. 平面問題的幾何方程因?yàn)橹恍杩紤]三個(gè)應(yīng)變分量，幾何方程其矩陣形式為3. 平面問題的物理方程1） 平面應(yīng)力問題的物理方程將，帶入空間問題物理方程，得到即平面應(yīng)力問題的物理方程，而一般并不等于零，但可由及求得，不是獨(dú)立量，在分析中不必考慮。物理方程的另一種形式為或用矩陣方程表示為仍記為 這里的彈性矩陣 2） 平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變問題中，有，代入空間問題物理方程，得到平面應(yīng)變問題的物理方程 或

37、即簡(jiǎn)寫形式仍為式（130），但這里的彈性矩陣為 不難發(fā)現(xiàn)，將平面應(yīng)力問題物理方程中的彈性常數(shù)E，換成，就得到平面應(yīng)變問題的物理方程（當(dāng)然也包括彈性矩陣）。平面應(yīng)力問題中的其它關(guān)系式與向量表達(dá)式都適用于平面應(yīng)變問題。由前面的介紹可知，平面應(yīng)力問題中得到的結(jié)論，只要對(duì)彈性常數(shù)E，作相應(yīng)的代換，就可用于相應(yīng)的平面應(yīng)變問題。平面問題是特定情況下對(duì)空間問題的簡(jiǎn)化，求解思想自然與前面所述相同。習(xí) 題1. 1有限元法的基本思想和基本步驟是什么?1. 2彈性結(jié)構(gòu)有限元法的理論基礎(chǔ)是什么？第二章 平面問題的有限元法彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題。嚴(yán)格地說，任何彈性體總是處于空間受力狀態(tài)，因而任何實(shí)際問題都是空

38、間問題。但是在某些情況下，空間問題可以近似地按平面問題處理。平面問題是指彈性體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變或位移只和兩個(gè)坐標(biāo)方向的變量有關(guān)。在彈性力學(xué)平面問題中，常用的單元是三角形單元。用有限元法求解彈性力學(xué)問題時(shí)，首先需要經(jīng)過離散化，使結(jié)構(gòu)變成有限個(gè)單元的組合體;然后進(jìn)行單元分析，得出單元矩陣;再考慮單元的集成，得出整體矩陣。因此，彈性力學(xué)問題的有限元法包括下列3個(gè)主要步驟：離散化單元分析整體分析。2.1結(jié)構(gòu)的離散化有限元法的解題思路是把結(jié)構(gòu)看作是由有限個(gè)單元組成的集合體。在彈性力學(xué)問題中，需要經(jīng)過離散化，才能使結(jié)構(gòu)變成有限個(gè)單元的組合體。例如，將一個(gè)受力的連續(xù)彈性體離散化，就是將連續(xù)體劃分為有限個(gè)互

39、不重疊、互不分離的三角形單元，這些三角形在其頂點(diǎn)（取為節(jié)點(diǎn)）處互相鉸接。 所有作用在單元上的載荷，包括集中載荷、表面載荷和體積載荷，都按虛功等效的原則移置到節(jié)點(diǎn)上，成為等效節(jié)點(diǎn)載荷。再按結(jié)構(gòu)的位移約束情況設(shè)置約束支承。劃分單元后，對(duì)所有的單元和節(jié)點(diǎn)分別從1開始按順序加以編號(hào)。這樣就得到了有限單元法的計(jì)算模型（圖2.1）。這里要注意的事項(xiàng)有三點(diǎn)。1.對(duì)稱性的利用如果結(jié)構(gòu)與載荷都有對(duì)稱性可利用，就能減少很多工作量。例如具有一個(gè)對(duì)稱軸的結(jié)構(gòu)，若載荷也對(duì)稱,可取其中的一半作為分析對(duì)象，此時(shí)，位于對(duì)稱軸上的節(jié)點(diǎn)無垂直對(duì)稱軸方向的位移。如果對(duì)于軸都對(duì)稱，只需計(jì)算四分之一就行。2. 節(jié)點(diǎn)的選擇和單元的劃分有

40、限單元法的劃分是很自由的，形狀和尺寸可自由調(diào)整。通常集中載荷的作用點(diǎn)、分布載荷強(qiáng)度的突破點(diǎn)，分布載荷與分布載荷與自由邊界的分界點(diǎn)、支承點(diǎn)等都應(yīng)取為節(jié)點(diǎn)，同時(shí)不要把厚度不同或材料不同的區(qū)域劃在同一個(gè)單元里。 另外，任意一個(gè)三角形單元的頂點(diǎn)，必須同時(shí)也是其相鄰三角形單元的頂點(diǎn)，而不能是相鄰三角形單元的邊上點(diǎn)。單元的數(shù)量要根據(jù)計(jì)算精度要求和計(jì)算機(jī)的容量來確定。顯然單元?jiǎng)澐值迷叫?單元數(shù)越多），計(jì)算結(jié)果就越精確，但數(shù)據(jù)準(zhǔn)備的工作量也就越大，計(jì)算時(shí)間也就越長(zhǎng)，且占用計(jì)算機(jī)的內(nèi)存也就越多，甚至有可能超出計(jì)算機(jī)的容量。因此在保證精度的前提下，力求采用較少的單元。在劃分單元時(shí),對(duì)于重要的或應(yīng)力變化急劇的部位，

41、單元應(yīng)劃得小些， 對(duì)于次要的和應(yīng)力變化緩慢的部位，單元可劃得大些，“中間地帶”以大小逐漸 變化的單元來過渡。此外，根據(jù)誤差分析，應(yīng)力及位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角的正弦成反比，所以單元的邊長(zhǎng)，力求接近相等,也就是說單元的三條邊 長(zhǎng)盡量不要懸殊太大。3. 節(jié)點(diǎn)的編號(hào)在節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，應(yīng)注意盡量使同一單元的相鄰節(jié)點(diǎn)的號(hào)碼差值盡可能地小些，以便縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)約計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)。如圖2.2（a）與（b）單元?jiǎng)?分相同，（b）的編號(hào)要比（a）的編號(hào)為好，即節(jié)點(diǎn)應(yīng)順短邊編號(hào)為好。2.2單元分析現(xiàn)在以彈性力學(xué)平面問題中的三角形單元為例進(jìn)行單元分析，建立單元 剛度矩陣。單元分析的主要任務(wù)是推導(dǎo)基本未知量單元節(jié)點(diǎn)

42、位移&與其對(duì)應(yīng) 量單元節(jié)點(diǎn)力廣之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即 式中，為單元的剛度矩陣，它是階的轉(zhuǎn)換矩陣。單元分析的步驟可表示如下：下面按此次序分成4步求出相鄰各量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，最后綜合起來，即可得出由節(jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而求出單元?jiǎng)偠染仃嚒?.2.1 位移模式在有限元法中，將連續(xù)體劃分成許多單元，取每個(gè)單元的若干個(gè)節(jié)點(diǎn)的位 移作為基本未知量，即然后將單元中的位移分布假定是坐標(biāo)的簡(jiǎn)單函數(shù)，稱為位移模式。位移模式反映單元的位移分布形態(tài)，它是單元內(nèi)位移的插值函數(shù)，并在節(jié)點(diǎn)處等于該節(jié)點(diǎn)位移。位移模式可表示為 式中，N形態(tài)矩陣（形函數(shù)矩陣）。在有限元法中，各種計(jì)算公式都依賴于位移模式。位移模式選

43、擇的恰當(dāng)與 否，影響到有限元法的計(jì)算精度和收斂性。彈性體用三角形單元進(jìn)行離散以后，取任一單元進(jìn)行分析。圖2.3表示的是一個(gè)典型的3節(jié)點(diǎn)三角形單元，其節(jié)點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列。每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移在單元平面內(nèi)有兩個(gè)分量式中，表示節(jié)點(diǎn)在x軸方向的位移分量；表示節(jié)點(diǎn)在y軸方向的位移分量。記號(hào)表示其他節(jié)點(diǎn)的位移可以換下標(biāo)輪換得到。三角形單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)位移分量。則三角形單元節(jié)點(diǎn)位移向量可用矩陣表示為 下面分幾步討論。1. 選用位移模式結(jié)構(gòu)受力變形后，內(nèi)部各點(diǎn)產(chǎn)生位移，是坐標(biāo)的函數(shù)，但往往很難準(zhǔn)確建立這種函數(shù)關(guān)系。有限元分析中，將結(jié)構(gòu)離散為許多小單元的集合體，用較簡(jiǎn)單的函數(shù)來描述單元內(nèi)各點(diǎn)位移的變化規(guī)

44、律，稱為位移模式。位移模式被整理成單元節(jié)點(diǎn)位移的插值函數(shù)形式，即分片插值函數(shù)。由于多項(xiàng)式不僅能逼近任何復(fù)雜函數(shù)，也便于數(shù)學(xué)運(yùn)算，所以廣泛使用多項(xiàng)式來構(gòu)造位移模式。三角形單元總共有6個(gè)自由度，內(nèi)部任一點(diǎn)的位移和是由6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量完全確定的，因此，在位移模式中應(yīng)當(dāng)含有6個(gè)待定參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。位移可表示為式（26）是兩個(gè)一次多項(xiàng)式，這就是選用的位移模式。由于位移假設(shè)為坐 標(biāo)的線性函數(shù)，位移模式非常簡(jiǎn)單，這樣就使所討論的問題大為簡(jiǎn)化。對(duì)整個(gè)彈性體來說，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況是很復(fù)雜的，不可能用一個(gè)簡(jiǎn)單的線性函數(shù)來描述。現(xiàn)在采用分割的辦法，把整個(gè)彈性體分割成細(xì)小的單元，在一個(gè)單元的局部范圍內(nèi)，內(nèi)部

45、各點(diǎn)的變化情況就簡(jiǎn)單多了，就有可能用簡(jiǎn)單的線性函數(shù)來描述了。這種化整為零、化繁為簡(jiǎn)的分析方法，應(yīng)當(dāng)說是有限元法的精華。2. 求形函數(shù)設(shè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，節(jié)點(diǎn)為，。將它們代入式（26），有聯(lián)立求解上述公式左邊的3個(gè)方程，可以求出待定系數(shù)為 式中，A為三角形單元的面積 要注意的是，為了使得出的面積的值不為負(fù)值，節(jié)點(diǎn)的次序必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，如圖2.3所示。至于將那個(gè)節(jié)點(diǎn)作為起始節(jié)點(diǎn)，則沒有關(guān)系。將式（28）代入式（26）的第一式，整理后得同理可得式中 令位移模式（210）、（211）可以簡(jiǎn)寫為式中，是坐標(biāo)的函數(shù)，反應(yīng)了單元的位移形態(tài)，因而稱為位移函數(shù)的形函數(shù)。其性質(zhì)將在下面進(jìn)一步討論。由式（213）

46、和（214），單元中任意的一點(diǎn)可用節(jié)點(diǎn)位移表示為矩陣的形式 式中，N為單元形函數(shù)矩陣，寫為分塊形式 其中子矩陣 式中，I為二階單位矩陣。根據(jù)形函數(shù)的定義式（213），容易證明形函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1） 形函數(shù)是坐標(biāo)的線性函數(shù)。（2） 形函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處等于1，在其他節(jié)點(diǎn)上的值等于0；對(duì)于也有同樣的表達(dá)式。即實(shí)際上，這兩條正是3節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)的基本性質(zhì)。由上式易知，單元內(nèi)任一點(diǎn)的三個(gè)形函數(shù)之和恒等于1，即（3） 單元內(nèi)任意一點(diǎn)有上式是單元內(nèi)部點(diǎn)的坐標(biāo)用單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)來表示的表達(dá)式。注意，它和單元內(nèi)任意一點(diǎn)位移的表達(dá)式（215)具有完全相同的構(gòu)造，即節(jié)點(diǎn)參數(shù)的個(gè)數(shù)相同，形函數(shù)也相同。只不過一個(gè)是

47、以未知的節(jié)點(diǎn)位移為參數(shù)，以后可以看到， 這正是一般等參數(shù)單元的基本特征。式（218）、（219）可簡(jiǎn)記為式中，求和號(hào)表示對(duì)求和。（4） 在三角形單元邊界上一點(diǎn)，有形函數(shù)公式（5） 形函數(shù)在單元上的面積分和邊界上的線積分為式中，為邊的長(zhǎng)度。3. 解答的收斂性在有限元法中，載荷的移置、應(yīng)力矩陣和剛度矩陣的建立都依賴于位移函 數(shù)。因此，為了能從有限元法得出正確的解答，即所謂收斂性，首先必須使位移 函數(shù)能夠正確反映彈性體中的真實(shí)位移情況，這就要求滿足下列條件。（1） 位移函數(shù)必須能反映單元的剛體位移。每個(gè)單元的位移一般包含兩部分:一部分是由本單元的形變引起的位移；另一部分是與本單元的形變無關(guān)，由其他單

48、元發(fā)生了形變而連帶引起的位移，即剛體位移。因此，為了正確反映單元的位移形態(tài)，位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)能反映單元的剛體位移。在位移函數(shù)中，常數(shù)項(xiàng)就是用于提供剛體位移的。（2） 位移函數(shù)必須能反映單元的常量應(yīng)變。每個(gè)單元的應(yīng)變一般包含兩部分，一部分是與單元各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)、各點(diǎn)是不同的，即所謂變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)、各點(diǎn)是相同的，即所謂常量應(yīng)變。而且，當(dāng)單元的尺寸較小時(shí)，單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，也就是單元的形變趨于均勻，因而常量應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。因此，為了正確反映單元的形態(tài)狀態(tài)，位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)能反映該單元的常量應(yīng)變。在位移函數(shù)中的一次項(xiàng)就是提供單元中的常量應(yīng)變的。（3） 位移函數(shù)應(yīng)盡可能

49、反映位移的連續(xù)性。在連續(xù)彈性體中位移是連續(xù)的。為了保證彈性體受力變形后仍是連續(xù)體， 要求所選擇的位移函數(shù)既能使單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，又能使相鄰單元之間的位移保持連續(xù)，后者是指單元之間不出現(xiàn)互相脫離和互相嵌入的現(xiàn)象，如圖2.4所示。為了使單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移函數(shù)取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。為了使相鄰單元的位移保持連續(xù)就要使它們?cè)诠颤c(diǎn)處具有相同的位移，才能在公共邊界上具有相同的位置。這樣就能使相鄰單元在受力后既不互相脫離，也不互相嵌入。不難想象，如果單元很小，而且相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處具有相同的位移，也就能保證它們?cè)诠策吔缟洗笾戮哂邢嗤奈灰?，但是在?shí)際計(jì)算時(shí)，單元不大可能取得很小，

50、因此，在選取位移函數(shù)時(shí)，仍應(yīng)盡可能使它反映位移的連續(xù)性。理論與實(shí)踐都已證明，為使有限元法的解答在單元尺寸逐步取小時(shí)能收斂于正確解答，反映剛體位移和常量應(yīng)變是必要條件，反映相鄰單元的位移連續(xù)性為充分條件，在一般的平面單元與空間單元選取位移函數(shù)時(shí)，是容易滿足上述要求的。在有限元法中，把能夠滿足條件(1），（2）的單元，稱為完備單元；滿足條件（3）的單元，稱為協(xié)調(diào)單元。順便指出，目前僅滿足兩個(gè)條件，而不滿足第（3）條件的單元，通常稱為完備而非連續(xù)的單元也已經(jīng)獲得應(yīng)用。4. 位移模式多項(xiàng)式的選擇在前面曾提到在選擇多項(xiàng)式位移模式的階次時(shí)，要考慮到解的收斂性，即要考慮到完備性和協(xié)調(diào)性的要求。實(shí)踐證明，這兩

51、項(xiàng)是所要考慮的重要因素，但并不是唯一的因素。選擇位移模式階次時(shí)，需要考慮的另一個(gè)因素是，模式應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的方位無關(guān)，這一性質(zhì)稱為幾何各向同性。對(duì)于線性多項(xiàng)式，各向同性的要求通常就等價(jià)于必須包含常應(yīng)變狀態(tài)。對(duì)于高次模式，位移形式不應(yīng)隨局部坐標(biāo)的更換而改變。經(jīng)驗(yàn)證實(shí)：實(shí)現(xiàn)幾何各向同性的一種方法是，根據(jù)以下巴斯卡三角形來選擇二維多項(xiàng)式的各項(xiàng)。146在二維多項(xiàng)式中，若包含有三角形對(duì)稱軸一邊的任意一項(xiàng)，則必須同時(shí)包含另一邊的對(duì)稱項(xiàng)。例如，要構(gòu)造一個(gè)有八項(xiàng)構(gòu)成的三次模式，則由以下各項(xiàng)構(gòu)成的模式是各向同性的：包含常數(shù)項(xiàng)、線性項(xiàng)、二次項(xiàng)，再加上和項(xiàng)；包含常數(shù)項(xiàng)、線性項(xiàng)、二次項(xiàng)，再加上和項(xiàng)。另外，多項(xiàng)式中的

52、項(xiàng)數(shù)必須等于或稍大于單元邊界上的外節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)。通常是取項(xiàng)數(shù)與單元的外節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)相等。2.2.2 單元應(yīng)變有了單元的位移模式，就可以應(yīng)用幾何方程求得單元的應(yīng)變。將式（2 -10）（2 11）代入幾何方程，得到應(yīng)變和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式寫成矩陣形式上式寫成矩陣形式為 式（223）就是由節(jié)點(diǎn)位移求應(yīng)變的轉(zhuǎn)換式，其轉(zhuǎn)換式B稱作幾何矩陣。寫成分塊形式其中子矩陣為由于當(dāng)單元確定后，A，與x，y關(guān)，都是常量，因此矩陣B也是常量。單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變分量是矩陣B與節(jié)點(diǎn)位移的乘積，因而也都是常量。因此，這種單元被稱為常應(yīng)變?nèi)切螁卧?，這是由于采用線性位移函數(shù)的結(jié)果。2.2.3 單元應(yīng)力在得到應(yīng)變之后，再利用平面問題的物理方程式，將式（223）代入，得 令 則 這就是應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。其中S稱為單元應(yīng)力矩陣，它可寫為分塊形式 由平面應(yīng)力問題的彈性矩陣，以及由式（225)所表示的應(yīng)變矩陣，可得式 （229）中應(yīng)力矩陣的子矩陣對(duì)于平面應(yīng)變問題，將上式中的E換為，換為，就得到應(yīng)力矩陣的子矩陣由于