數(shù)學(xué)文化創(chuàng)新題型(高三數(shù)學(xué)高考中的數(shù)學(xué)文化)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2020年4月22日高中數(shù)學(xué)作業(yè)學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_一、單選題1港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門(mén)的橋隧工程，橋隧全長(zhǎng)55千米橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間85，90）的車輛數(shù)和行駛速度超過(guò)90km/h的頻率分別為（）A300，B300，C60，D60，【答案】B【解析】【分析】由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù)，同時(shí)利用頻率分布直方

2、圖能求行駛速度超過(guò)的頻率【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為，在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為：，行駛速度超過(guò)的頻率為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題2算法統(tǒng)宗是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著，在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的.“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇?一個(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)小兒多少歲，各兒歲數(shù)要誰(shuí)推，這位公公年齡最小的兒子年齡為（ ）A8歲B11

3、歲C20歲D35歲【答案】B【解析】【分析】九個(gè)兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為3【詳解】由題意九個(gè)兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為3記最小的兒子年齡為a1，則S9=9a1+9×82×3=207，解得a1=11故選B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵正確理解題意，能用數(shù)列表示題意并求解3九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，在九章算術(shù)中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為鱉臑，在鱉臑ABCD中，AB平面BCD，且有BDCD，ABBD1，CD2，若該鱉臑的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的體積為（）ABCD24【答案】B【解析】【分析】由題意易得鱉臑外接一個(gè)長(zhǎng)方體,且外接球與長(zhǎng)

4、方體外接球?yàn)橥粋€(gè)球,根據(jù)長(zhǎng)方體體對(duì)角線等于外接球直徑,利用公式計(jì)算即可.【詳解】易得鱉臑外接一個(gè)長(zhǎng)方體,且外接球與長(zhǎng)方體外接球?yàn)橥粋€(gè)球,故畫(huà)出如圖所示鱉臑.設(shè)長(zhǎng)方體體對(duì)角線即外接球直徑為則 ,故外接球體積.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方體中三棱錐的外接球問(wèn)題,注意體對(duì)角線等于外接球直徑即可.屬于基礎(chǔ)題型.4九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，在九章算術(shù)中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”，若某陽(yáng)馬”的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該“陽(yáng)馬”的表面積為ABCD【答案】C【解析】【分析】由三視圖知該幾何體是側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，畫(huà)出圖

5、形結(jié)合圖形求出它的表面積。【詳解】由三視圖知該幾何體是側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，如圖所示；正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，四棱錐的底面是正方形，且邊長(zhǎng)為，其中一條側(cè)棱底面，且側(cè)棱，四棱錐的四個(gè)側(cè)面都為直角三角形，且，四棱錐的表面積為故選【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間幾何體的三視圖求幾何體表面積的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題5九章算術(shù)中記載了一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），則該幾何體的容積為（ ）立方寸.（）A12.656B13.667C11.414D14.354【答案】A【解析】由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體組成的幾何體，該幾何體的體積為：.6九章算術(shù)中，

6、將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”某“塹堵”的三視圖如圖所示，則它的表面積為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個(gè)放倒的直三棱柱，由三視圖求出幾何元素的長(zhǎng)度，由面積公式求出幾何體的表面積【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個(gè)放倒的直三棱柱，底面是一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別是,斜邊是2，且側(cè)棱與底面垂直，側(cè)棱長(zhǎng)是2，幾何體的表面積故選D【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力7九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的體積為（ ）A3BCD2【答

7、案】D【解析】【分析】先將三視圖還原成直觀圖，然后利用體積公式計(jì)算即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體為底面是腰為的等腰直角三角形，高為的直三棱柱，如圖：故體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由幾何體的三視圖求體積的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是正確將三視圖還原成直觀圖，屬于常考題.8周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).現(xiàn)擬把這4部著作分給甲、乙、丙3位同學(xué)閱讀，每人至少1本，則甲沒(méi)分到周髀算經(jīng)的分配方法共有（ ）A18種B24種C30種D36種【答案】B【解析】分析：先不考慮限制條件，則共有種方法，若甲分到周髀算經(jīng)，有兩種情況：甲分到一本（只有周髀算經(jīng)），甲分到2本（包括周髀算經(jīng)）

8、，減去即可.詳解：先不考慮限制條件，則共有種方法，若甲分到周髀算經(jīng)，有兩種情況：甲分到一本（只有周髀算經(jīng)），此時(shí)共有種方法； 甲分到2本（包括周髀算經(jīng)），此時(shí)共有種方法，則分配方法共有種.點(diǎn)睛：本題考查了分組分配的問(wèn)題，關(guān)鍵在于除去不符合條件的情況，屬于基礎(chǔ)題9 中國(guó)歷法推測(cè)遵循以測(cè)為輔、以算為主的原則，例如周髀算經(jīng)和易經(jīng)里對(duì)二十四節(jié)氣的晷(gu)影長(zhǎng)的記錄中，冬至和夏至的晷影長(zhǎng)是實(shí)測(cè)得到的，其他節(jié)氣的晷影長(zhǎng)則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的，下表為周髀算經(jīng)對(duì)二十四節(jié)氣晷影長(zhǎng)的記錄，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）.已知易經(jīng)中記錄的冬至晷影長(zhǎng)為130.0寸，夏至晷影長(zhǎng)為14.8寸

9、，那么易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)應(yīng)為( )A72.4寸B81.4寸C82.0寸D91.6寸【答案】C【解析】設(shè)晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列，公差為，則，解得，易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)是寸，故選C.10周髀算經(jīng)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度之和為31.5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)度之和為85.5尺，則谷雨這一天的日影長(zhǎng)度（ ）A5.5尺B4.5尺C3.5尺D2.5尺【答案】A【解析】【分析】先設(shè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)題意有，然后由兩式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為，

10、公差為，根據(jù)題意得，解得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.11如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為周髀算經(jīng)作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有（ ）種A120B260C340D420【答案】D【解析】由題意可知上下兩塊區(qū)域可以相同，也可以不同，則共有故選12如圖，是三世紀(jì)漢代趙爽在注解周髀算經(jīng)時(shí)給出的弦圖.它也被2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)選定為會(huì)徽.正方形內(nèi)有四個(gè)全等的直角三角形.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自中間小正方形（陰

11、影部分）的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題干可設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，進(jìn)而得到三角形的邊長(zhǎng)和正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)幾何概型的面積公式得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)條件可設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，則三角形的邊長(zhǎng)為3和4，由勾股定理得到正方形的邊長(zhǎng)為5，最中間的小正方形的邊長(zhǎng)為1，面積為1，故根據(jù)幾何概型中的面積型的公式得到概率為 故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型概率的求法；在利用幾何概型的概率公式來(lái)求其概率時(shí)，幾何“測(cè)度”可以是長(zhǎng)度、面積、體積、角度等，其中對(duì)于幾何度量為長(zhǎng)度，面積、體積時(shí)的等可能性主要體現(xiàn)在點(diǎn)落在區(qū)域上任置都是等可能的，而對(duì)于角度而言，則是過(guò)角的頂點(diǎn)的一條射線落在的區(qū)域

12、（事實(shí)也是角）任一位置是等可能的二、填空題13“方錐”，在九章算術(shù)卷商功中解釋為正四棱錐.現(xiàn)有“方錐”，其中，SA與平面ABCD所成角的正切值為，則此“方錐”的外接球表面積為_(kāi).【答案】【解析】【分析】如圖所示，連接AC，BD相交于O，連接SO，計(jì)算得到，在中，利用勾股定理計(jì)算半徑，代入球的表面積公式得到答案.【詳解】如圖所示：連接AC，BD相交于O，連接SO，故平面ABCD則，解得易知四棱錐的外接球球心在直線SO上設(shè)外接球半徑為R，則在中，解得，故所求外接球表面積.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.14在九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的

13、四面體稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面，且，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，_.【答案】【解析】【分析】利用平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得，結(jié)合已知，利用線面垂直的判定定理可以證明出平面，進(jìn)而可以證明出，再結(jié)合已知，利用線面垂直的判定定理可以證明平面，因此可以證明出，最后利用線面垂直定理證明出平面，因此得到，且為中點(diǎn).解法1：設(shè)，利用三角形面積公式可以求出的長(zhǎng)，在利用，求出的長(zhǎng)，最后求出的面積表達(dá)式，利用換元法和配方法求出面積平方的最大值，最后求出的值；解法2：設(shè)，求出、的大小，再求出的大小，最后求出表達(dá)式，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系中商關(guān)系和基本不等式求出最大值，根據(jù)等號(hào)成立的條件

14、求出的值.【詳解】因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，綜上，且為中點(diǎn).解法1：設(shè)，則，又，則，又，可得，所以，所以，令，則所以當(dāng)時(shí)即，此時(shí)，故填.解法2.設(shè)，則，所以.又，所以，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了配方法的應(yīng)用，考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為“鰲臑”.如圖，平面四邊形中，,將其沿對(duì)角線折成一個(gè)鰲臑，則該鰲臑內(nèi)切球的半徑為_(kāi)【答案】【解析】【分析】結(jié)合幾何體的內(nèi)切球的特點(diǎn)，把幾何體分割為四個(gè)小幾何體，小

15、幾何體的體積之和等于大幾何體的體積.【詳解】因，且為直角三角形，所以，又，所以平面，所以.又由得所以平面，所以，易得，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則.即，解得【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)文化，空間幾何體與球的相切問(wèn)題，考查空間想象能力.16如圖程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“更相減損術(shù)”執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為98、63，則輸出的=_【答案】 7【解析】【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可得到輸出的值.【詳解】由程序框圖可知：， ，則，因此輸出的為，故答案為7.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題. 解決程序

16、框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1) 不要混淆處理框和輸入框；(2) 注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3) 注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4) 處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5) 要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.17如圖程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入分別為14,18，則輸出的等于_.【答案】2【解析】由a=14，b=18，a<b，則b變?yōu)?814=4，由a>b，則a變?yōu)?44=10，由a>b，

17、則a變?yōu)?04=6，由a>b，則a變?yōu)?4=2，由a<b，則b變?yōu)?2=2，由a=b=2，則輸出的a=2.18九章算術(shù)中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉儒，在如圖所示的鱉儒中，平面，且，則此鱉儒的外接球的表面積為_(kāi)【答案】【解析】【分析】利用四個(gè)面都是直角三角形，平面，且，將三棱錐補(bǔ)成以為棱的正方體，則此鱉儒的外接球即為邊長(zhǎng)為1的正方體的外接球，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，將鱉儒補(bǔ)成以為棱的正方體，邊長(zhǎng)為1的正方體的外接球半徑為，其表面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，運(yùn)用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為特殊圖形的外接球的表面積，屬于基礎(chǔ)題.19中國(guó)歷法推測(cè)遵循以測(cè)為輔、以算為

18、主的原則.例如周髀算經(jīng)和易經(jīng)里對(duì)二十四節(jié)氣的晷影長(zhǎng)的記錄中，冬至和夏至的晷影長(zhǎng)是實(shí)測(cè)得到的，其他節(jié)氣的晷影長(zhǎng)則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的.下表為周髀算經(jīng)對(duì)二十四節(jié)氣晷影長(zhǎng)的記錄，其中寸表示115寸分(1寸=10分).已知易經(jīng)中記錄的冬至晷影長(zhǎng)為130.0寸，夏至晷影長(zhǎng)為14.8寸，那么易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)應(yīng)為_(kāi)寸.【答案】82【解析】設(shè)易經(jīng)中二十四節(jié)氣晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列an，公差為d，a1=130，a13=14.8,則d=，所以驚蟄晷影長(zhǎng)為a6=a1+5d=82.20如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為周髀算經(jīng)作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為_(kāi).【答案】420【解析】【分析】分成號(hào)區(qū)間用種顏色和種顏色兩種情況，分別計(jì)算涂色方案種數(shù)，再根據(jù)加法原理求得結(jié)果.【詳解】將區(qū)域標(biāo)注數(shù)字序號(hào)如下圖：當(dāng)號(hào)區(qū)間共用種顏色，即同色且與異色時(shí)共有涂色方法：種當(dāng)共用種顏色時(shí)，共有涂色方法：種則不同的涂色方案總數(shù)為：種本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查排列組合問(wèn)題中的涂色問(wèn)題，解決涂色問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠找到“中軸線”，根據(jù)“中軸線