人教高一數(shù)學(xué)必修一各章知識點總結(jié)

1、人教版高一數(shù)學(xué)必修一各章知識點總結(jié)一、集合與簡易邏輯： 一、理解集合中的有關(guān)概念 （1）集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。 （2）集合與元素的關(guān)系用符號=表示。 （3）常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集 ；正整數(shù)集 ；整數(shù)集 ；有理數(shù)集 、實數(shù)集 。 （4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。 （5）空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 二、函數(shù) 一、映射與函數(shù)： （1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函數(shù)的概念： 二、函數(shù)的三要素：相同函數(shù)的判斷方法：對應(yīng)法則 ；定義域 (兩點必須同時具備) （1）函數(shù)解析式的求法： 定

2、義法（拼湊）：換元法：待定系數(shù)法：賦值法： （2）函數(shù)定義域的求法： 含參問題的定義域要分類討論； 對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定。（3）函數(shù)值域的求法： 配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如： 的形式； 逆求法（反求法）：通過反解，用 來表示 ，再由 的取值范圍，通過解不等式，得出 的取值范圍；常用來解，型如： ； 換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想； 三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域； 基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如： ，利用平均值不等式公式來求值域； 單調(diào)性法：函數(shù)

3、為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。 數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。 三、函數(shù)的性質(zhì)： 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性 單調(diào)性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。 判定方法有：定義法（作差比較和作商比較） 導(dǎo)數(shù)法（適用于多項式函數(shù)） 復(fù)合函數(shù)法和圖像法。 應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。 奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù)； f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為奇函數(shù)。 判別方法：定義法， 圖像法 ，復(fù)合函數(shù)法 應(yīng)用：把函數(shù)

4、值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。 周期性：定義：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。 其他：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(xa),則2a為函數(shù)f(x)的周期. 應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。 四、圖形變換：函數(shù)圖像變換：（重點）要求掌握常見基本函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。 常見圖像變化規(guī)律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來思考） 平移變換 y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b 注意：（）有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)yf(2x)經(jīng)過 平移得到函數(shù)yf(2x4)的圖象。 （）會

5、結(jié)合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意義。 對稱變換 y=f(x)y=f(x),關(guān)于y軸對稱 y=f(x)y=f(x) ,關(guān)于x軸對稱 y=f(x)y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱 y=f(x)y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對稱。（注意：它是一個偶函數(shù)） 伸縮變換：y=f(x)y=f(x), y=f(x)y=Af(x+)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。 一個重要結(jié)論：若f(ax)f(a+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱； 五、反函數(shù)： （1）定義： （2）函數(shù)存在反函數(shù)的條件：（3）互為反函數(shù)的定義域與值域的

6、關(guān)系：（4）求反函數(shù)的步驟：將 看成關(guān)于 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇；將 互換，得 ；寫出反函數(shù)的定義域（即 的值域）。 （5）互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：（6）原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性； （7）原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。 七、常用的初等函數(shù)： （1）一元一次函數(shù)：（2）一元二次函數(shù)： 一般式兩點式頂點式二次函數(shù)求最值問題：首先要采用配方法，化為一般式， 有三個類型題型： (1)頂點固定，區(qū)間也固定。如： (2)頂點含參數(shù)(即頂點變動)，區(qū)間固定，這時要討論頂點橫坐標(biāo)何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外。 (3)頂點固定，區(qū)間變動，這

7、時要討論區(qū)間中的參數(shù) 等價命題 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 或 上有一根 注意：若在閉區(qū)間 討論方程 有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間 上實根分布的情況，得出結(jié)果，在令 和 檢查端點的情況。 （3）反比例函數(shù)： （4）指數(shù)函數(shù)： 指數(shù)函數(shù)：y= (a>o,a1)，圖象恒過點（0，1），單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。 （5）對數(shù)函數(shù)： 對數(shù)函數(shù)：y= (a>o,a1) 圖象恒過點（1，0），單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)

8、行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。 注意：（1）比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較。 八、導(dǎo) 數(shù) 1求導(dǎo)法則： (c)/=0 這里c是常數(shù)。即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為0。 (xn)/=nxn1 特別地：(x)/=1 (x1)/= ( )/=x-2 (f(x)±g(x)/= f/(x)±g/(x) (k?f(x)/= k?f/(x) 2導(dǎo)數(shù)的幾何物理意義： kf/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點P(x0,f(x0)的切線的斜率。 Vs/(t) 表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。 3

9、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用： 求切線的斜率。 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 已知 （1）分析 的定義域;（2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間。 我們在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時一定要搞清以下三個關(guān)系，才能準(zhǔn)確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù) 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。 求極值、求最值。 注意：極值最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個。 f/(x0)0不能得到當(dāng)x=x0時，函數(shù)有極值。 但是，當(dāng)x=x0時，函數(shù)有極值 f/

10、(x0)0 判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明。 4.導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題： （1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）； （2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）； （3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于 次多項式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。 2關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。 3導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意。 九、不等式 一、不等式的基本性質(zhì)： 注意：(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。 (2)注意課本

11、上的幾個性質(zhì)，另外需要特別注意： 若ab>0，則 。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號方向要改變。 如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，要注意它的正負(fù)號，如果正負(fù)號未定，要注意分類討論。 圖象法：利用有關(guān)函數(shù)的圖象（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象），直接比較大小。 中介值法：先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小 二、均值不等式：兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 基本應(yīng)用：放縮，變形； 求函數(shù)最值：注意：一正二定三相等；積定和最小，和定積最大。 常用的方法為：拆、湊、平方； 三、絕對值不等式： 注意：上述等號“”成立的條件； 四、

12、常用的基本不等式： 五、證明不等式常用方法： （1）比較法：作差比較： 作差比較的步驟： 作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差。 變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和。 判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號。 注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。 （2）綜合法：由因?qū)Ч?（3）分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證只需證，只需證 （4）反證法：正難則反。 （5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。 放縮法的方法有： 添加或舍去一些項，將分子或分母放大（或縮小） 利用基本不等式，（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量

13、，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式； 十、不等式的解法： （1）一元二次不等式： 一元二次不等式二次項系數(shù)小于零的，同解變形為二次項系數(shù)大于零；注：要對 進(jìn)行討論： （2）絕對值不等式：若 ，則 ； ； 注意：(1）解有關(guān)絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有： 對絕對值內(nèi)的部分按大于、等于、小于零進(jìn)行討論去絕對值；(2).通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負(fù)值。 (3）.含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法來解。 （4）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式；

14、（5）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然后求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數(shù)軸上，取它們的公共部分。 （6）解含有參數(shù)的不等式： 解含參數(shù)的不等式時，首先應(yīng)注意考察是否需要進(jìn)行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論： 不等式兩端乘除一個含參數(shù)的式子時，則需討論這個式子的正、負(fù)、零性. 在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，則需對它們的底數(shù)進(jìn)行討論. 在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，對應(yīng)的一元二次方程根的狀況（有時要分析），比較兩個根的大小,設(shè)根為 （或更多）但含參數(shù)，要討論。

15、十一、數(shù)列 本章是高考命題的主體內(nèi)容之一，應(yīng)切實進(jìn)行全面、深入地復(fù)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個問題：（1）等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數(shù)列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .（2）數(shù)列計算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前 項和公式及其性質(zhì)熟練地進(jìn)行計算，是高考命題重點考查的內(nèi)容.（3）解答有關(guān)數(shù)列問題時，經(jīng)常要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想.善于使用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù)列題，是我們復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo). 函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解. 分類討論思想：用等比數(shù)

16、列求和公式應(yīng)分為 及 ；已知 求 時，也要進(jìn)行分類； 整體思想：在解數(shù)列問題時，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運(yùn)用整 體思想求解. （4）在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時，要認(rèn)真地進(jìn)行分析，將實際問題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用有關(guān)數(shù)列知識和方法來解決.解答此類應(yīng)用題是數(shù)學(xué)能力的綜合運(yùn)用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項不要弄錯. 一、基本概念： 1、 數(shù)列的定義及表示方法： 2、 數(shù)列的項與項數(shù)： 3、 有窮數(shù)列與無窮數(shù)列： 4、 遞增（減）、擺動、循環(huán)數(shù)列： 5、 數(shù)列an的通項公式an： 6、 數(shù)列的前n項和公式Sn: 7、 等差數(shù)列、公差d、等差

17、數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 8、 等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 二、基本公式： 9、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an= 10、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當(dāng)d0時，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時，an是一個常數(shù)。 11、等差數(shù)列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn= 當(dāng)d0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0；當(dāng)d=0時（a10），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。 12、等比數(shù)列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1為首項、ak為已知的第k項，an0) 13、等比數(shù)列的前

18、n項和公式：當(dāng)q=1時，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)； 當(dāng)q1時，Sn= Sn= 三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論 14、等差數(shù)列an的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍為等差數(shù)列。 15、等差數(shù)列an中，若m+n=p+q，則 16、等比數(shù)列an中，若m+n=p+q，則 17、等比數(shù)列an的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍為等比數(shù)列。 18、兩個等差數(shù)列an與bn的和差的數(shù)列an+bn、an-bn仍為等差數(shù)列。 19、兩個等比數(shù)列an與bn的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列 an bn、 、 仍為

19、等比數(shù)列。 20、等差數(shù)列an的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。 21、等比數(shù)列an的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。 22、三個數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 23、三個數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq； 四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 24、an為等差數(shù)列，則 (c>0)是等比數(shù)列。 25、bn（bn>0）是等比數(shù)列，則logcbn (c>0且c 1) 是等差數(shù)列。 四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關(guān)鍵是找數(shù)列的通項結(jié)構(gòu)。 26、分組法求數(shù)

20、列的和：如an=2n+3n 27、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n 28、裂項法求和：如an=1/n(n+1) 29、倒序相加法求和：30、求數(shù)列an的最大、最小項的方法： an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 31、在等差數(shù)列 中,有關(guān)Sn 的最值問題常用鄰項變號法求解： (1)當(dāng) >0,d<0時，滿足 的項數(shù)m使得 取最大值. (2)當(dāng) <0,d>0時，滿足 的項數(shù)m使得 取最小值。 在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 十二、平面向量 1基本概念： 向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、

21、相反向量、共線向量、相等向量。 2 加法與減法的代數(shù)運(yùn)算： (1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）則a b=（x1+x2,y1+y2 ） 向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。 向量加法有如下規(guī)律： = (交換律); +( +c)=( + )+c （結(jié)合律）; 3實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量 的積是一個向量。 (1) = · ; (2) 當(dāng) a0時， 與a的方向相同；當(dāng)a0時， 與a的方向相反；當(dāng) a=0時，a=0 兩個向量共線的充要條件： (1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù) ，使得b= (2) 若 =（ ）,b=（ ）則 b 平面

22、向量基本定理： 若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) ， ，使得 = e1+ e2 4P分有向線段 所成的比： 設(shè)P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數(shù) 使 = ， 叫做點P分有向線段 所成的比。 當(dāng)點P在線段 上時， 0；當(dāng)點P在線段 或 的延長線上時， 0； 分點坐標(biāo)公式：若 = ； 的坐標(biāo)分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ 1）， 中點坐標(biāo)公式： 5 向量的數(shù)量積： （1）向量的夾角： 已知兩個非零向量 與b，作 = , =b,則AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。 （2）兩個向量的數(shù)量積： 已知兩個非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 ·b= ·bcos 其中bcos 稱為向量b在 方向上的投影 （3）向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 若 =（ ）,b=（ ）則e· = ·e= cos (e為單位向量); b ·b=0 （ ，b為非零向量）; = ; cos = = (4) 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律： ·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( b)·c= ·c+b