第6章_梁的彎曲應(yīng)力

1、第六章梁的彎曲應(yīng)力首頁上一頁下一頁2第六章 梁的彎曲應(yīng)力首頁上一頁下一頁3第六章 梁的彎曲應(yīng)力橫截面上只有橫截面上只有M、沒有沒有FQ的彎曲的彎曲橫截面上既有橫截面上既有M、又有又有FQ的彎曲的彎曲+FFFaFFaaCDAB首頁上一頁下一頁4第六章 梁的彎曲應(yīng)力1.1.變形現(xiàn)象變形現(xiàn)象且靠近頂端的縱向線縮短，靠近底端的縱向線段伸長.相對轉(zhuǎn)過了一個角度，仍與變形后的縱向弧線垂直.各橫向線仍保持為直線，各縱向線段彎成弧線，首頁上一頁下一頁5第六章 梁的彎曲應(yīng)力2.2.提出假設(shè)提出假設(shè)必有一層變形前后長度不變的纖維中性層與橫截面的交線，稱為中性軸中性軸。 首頁上一頁下一頁6第六章 梁的彎曲應(yīng)力Mmm

2、nnbbooM3. 3. 變形幾何學(xué)方面變形幾何學(xué)方面 y ydbbbbbb oooobb ddd yxdxyxmmnnbbooyFFll 首頁上一頁下一頁7第六章 梁的彎曲應(yīng)力1 1、物理關(guān)系、物理關(guān)系yzOx直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應(yīng)力，與它到中性軸的距離成正比.E yE 首頁上一頁下一頁8第六章 梁的彎曲應(yīng)力2 2、靜力關(guān)系、靜力關(guān)系橫截面上內(nèi)力系為垂直于橫截面的空間平行力系，這一力系簡化得到三個內(nèi)力分量. dA dA zy AAAFddNNFyM AAyAzMddzM AAzAyMdd0 0 M NdFyMdzMdAd yzOx首頁上一頁下一頁9第六章 梁的彎曲應(yīng)力將應(yīng)力表達(dá)式

3、代入（1）式，得將應(yīng)力表達(dá)式代入（2）式，得將應(yīng)力表達(dá)式代入(3)式，得zIEM 10dN AyEFA 0d AAyE 0d AAy zS0d AyzEMAiy 0d AAyzE 0d AAyz yzIMAyyEMAiz d MIEz MAyEA d2 首頁上一頁下一頁10第六章 梁的彎曲應(yīng)力 yE zEIM 1將得到純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的計算公式:zIMy M為梁橫截面上的彎矩；y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離；Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩慣性矩.首頁上一頁下一頁11第六章 梁的彎曲應(yīng)力3 3、最大正應(yīng)力：、最大正應(yīng)力：zWMmaxmaxyI Wzz抗彎截面模量?？箯澖孛婺Ａ?。正應(yīng)力

4、分布正應(yīng)力分布中性軸M中性層Mymaxymax首頁上一頁下一頁12第六章 梁的彎曲應(yīng)力常見截面的常見截面的 I IZ Z 和和 W WZ Z圓截面圓截面矩形截面矩形截面空心圓截面空心圓截面空心矩形截面空心矩形截面AdAyI2ZmaxZZyIW 644ZdI323ZdW)1 (6444ZDI)1 (3243ZDW123ZbhI 62ZbhW 12123300ZbhhbI)2/()1212(03300ZhbhhbW首頁上一頁下一頁13第六章 梁的彎曲應(yīng)力6.4.16.4.1梁橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 純彎曲正應(yīng)力公式成立的前提：平面假設(shè)，縱向纖維間無擠壓。對于橫力彎曲

5、，純彎曲時關(guān)于變形的兩個假設(shè)，均不成立。剪應(yīng)力（分布不均勻）的存在對正應(yīng)力分布規(guī)律有影響。FsAA首頁上一頁下一頁14第六章 梁的彎曲應(yīng)力橫力彎曲正應(yīng)力公式橫力彎曲正應(yīng)力公式ZIMy彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度 l 與橫截面高度 h 之比 l / h 5 （細(xì)長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立。ZmaxmaxmaxIyM橫力彎曲最大正應(yīng)力彎曲問題中，正應(yīng)力通常是強(qiáng)度計算的主要因素，切應(yīng)力是次要因素。首頁上一頁下一頁15第六章 梁的彎曲應(yīng)力懸臂梁荷載及幾何尺寸如圖所示，試求：(1) 1-1截面上A、B、C、D四點的正應(yīng)力。(2) 求梁上最大正應(yīng)力。4m3m15kN20kNmACBD1

6、m1150ABDyxC309015015090首頁上一頁下一頁16第六章 梁的彎曲應(yīng)力解：(1) 畫出梁的彎矩圖4m3m15kN20kNmACBD1mM2520(kNm)+11mkNM2011首頁上一頁下一頁17第六章 梁的彎曲應(yīng)力50ABDyxC309015015090(2) 計算A、B、C、D四點的正應(yīng)力。mkNM20111233101230018012bhIz3631110150104051020AzAyIMMPa41. 71041. 764610405m首頁上一頁下一頁18第六章 梁的彎曲應(yīng)力0B（在中性軸上）czCyIM11MPa93. 41093. 4104051010010206

7、633MPayIMDzD41. 71150ABDyxC309015015090A7.41MPa 首頁上一頁下一頁19第六章 梁的彎曲應(yīng)力(3) 求最大正應(yīng)力對任一截面而言，最大正應(yīng)力發(fā)生在最上緣或最下緣，對全梁而言，最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在面的最上或最下緣。這個面通常稱為“ ”。首頁上一頁下一頁20第六章 梁的彎曲應(yīng)力maxmaxmaxyIMzPa63631026. 910150104051025MPa26. 9最大拉應(yīng)力在最上緣，最大壓應(yīng)力在最下緣。M2520(kNm)+首頁上一頁下一頁21第六章 梁的彎曲應(yīng)力一、一、 矩形截面梁矩形截面梁1 1、兩點假設(shè)：、兩點假設(shè)： 剪應(yīng)力與剪力平行

8、；剪應(yīng)力與剪力平行；矩中性軸等距離處，剪應(yīng)力矩中性軸等距離處，剪應(yīng)力 相等。相等。2 2、研究方法：分離體平衡。、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段如圖在梁上取微段如圖b b； 在微段上取一塊如圖在微段上取一塊如圖c c，平衡，平衡0)(112dxbFFXNNFS(x)+d FS (x)M(x)yM(x)+d M(x)FSdx xyz 1 1 1 1 b6.4.2 6.4.2 梁橫力彎曲時橫截面上的切應(yīng)力梁橫力彎曲時橫截面上的切應(yīng)力dxx首頁上一頁下一頁22第六章 梁的彎曲應(yīng)力FS(x)+d FS (x)M(x)yM(x)+d M(x)FS(x)dx xyz 1 1 1 1 bzzAzANI

9、MSAyIMAFdd1zzNISMMF)d(2zzSzzbISFbISxMdd1由剪應(yīng)力互等由剪應(yīng)力互等zSbISFy1)(0)(112dxbFFXNN代入下式代入下式dxx首頁上一頁下一頁23第六章 梁的彎曲應(yīng)力，得到考慮到對于矩形截面，進(jìn)一步123zbhI 232323maxAFbhFss的平均應(yīng)力。是按實用計算方式得到其中，zSbISF切應(yīng)力計算公式：切應(yīng)力計算公式：首頁上一頁下一頁24第六章 梁的彎曲應(yīng)力2. 2. 工字形截面工字形截面maxminzzsbISF*1Af 腹板的面積。fSAFmax結(jié)論：結(jié)論： 翼緣部分max腹板上的max，只計算腹板上的max。 鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受

10、（9597%），且max min 故工字鋼最大剪應(yīng)力fSAFmax首頁上一頁下一頁25第六章 梁的彎曲應(yīng)力左、右腹板上的彎曲切應(yīng)力沿腹板高度也呈拋物線分布。/ 2b/ 2b2h2h02h02hSFCzyOmaxminminy(a) (b)首頁上一頁下一頁26第六章 梁的彎曲應(yīng)力4.4.圓截面圓截面：3434maxAFs5.5.薄壁圓環(huán)：薄壁圓環(huán)：22maxAFszyRF maxQ首頁上一頁下一頁27第六章 梁的彎曲應(yīng)力一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；大一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。剪應(yīng)力發(fā)生

11、在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。FS M 一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件首頁上一頁下一頁28第六章 梁的彎曲應(yīng)力 zzSIbSFmaxmaxmax zWMmaxmax在一般的細(xì)長非薄壁截面梁中，最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力。對細(xì)長梁細(xì)長梁來說正應(yīng)力正應(yīng)力是強(qiáng)度計算的主要因素主要因素。滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的梁，一般都能滿足彎曲切應(yīng)力的強(qiáng)度條件。首頁上一頁下一頁29第六章 梁的彎曲應(yīng)力在下述情況下，需進(jìn)行彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度校核。(1) 梁的跨度較短，或在支座附近有較大的集中荷載，以至于梁的彎矩值較小，剪力值較大；(2) 鉚接或焊

12、接的工字形梁，如果腹板較薄而截面高度較大；(3) 材料的許用切應(yīng)力很小的梁，如木梁。首頁上一頁下一頁30第六章 梁的彎曲應(yīng)力解：解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例題例題 矩形矩形(b h=0.12m 0.18m）截截面木梁如圖，面木梁如圖， =7MPa， =0. 9 M Pa，試求最大，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比力之比,并校核梁的強(qiáng)度。并校核梁的強(qiáng)度。N54002336002maxqLFSNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x首頁上一頁下一頁31第六章 梁的彎曲應(yīng)力求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度求最大應(yīng)力并校核

13、強(qiáng)度應(yīng)力之比應(yīng)力之比7 .1632maxmaxmaxhLFAWMSzq=3.6kN/mQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxAFSxM+82qL首頁上一頁下一頁32第六章 梁的彎曲應(yīng)力1.彎矩最大的截面上2.離中性軸最遠(yuǎn)處4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮ttmax,ccmax,3.變截面梁要綜合考慮 與MzI zWMmaxmax首頁上一頁下一頁33第六章 梁的彎曲應(yīng)力求圖示梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。q =10kN/mP=

14、20kNABCD2m3m1m20017085853030首頁上一頁下一頁34第六章 梁的彎曲應(yīng)力解：(1) 確定截面中性軸的位置，以及Iz值。iiiAyAy1)( 1392003017030185200308517030mm23)13915170(302001230200zI23)2170139(1703012170304646103 .40)( 103 .40mmm20017085853030zyy1首頁上一頁下一頁35第六章 梁的彎曲應(yīng)力q =10kN/mP=20kNABCD2m3m1m(2) 畫彎矩圖20kNm10kNm+首頁上一頁下一頁36第六章 梁的彎曲應(yīng)力+(3) 求最大拉應(yīng)力與最

15、大壓應(yīng)力分析B、C兩截面B截面C截面|maxmaxCL|maxmaxCL|maxmaxcCBC顯然（最大正負(fù)彎矩所在面）CCBB20kNm10kNm+首頁上一頁下一頁37第六章 梁的彎曲應(yīng)力MPayIMzBBCC6910139103 .4010203631maxmax比較cLBLmaxmax與MPayIMzBBL2 .301061103 .4010203632maxMpayIMzCCL5 .3410139103 .4010103631max首頁上一頁下一頁38第六章 梁的彎曲應(yīng)力MPacLL5 .34 maxmaxMPaBCC69maxmax最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力有可能不在同一截面上。1.中性

16、軸為對稱軸時，Lmax與Cmax在同一截面上，即在|M|max所在的面上。2.中性軸為非對稱軸時，Lmax與Cmax可能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max所在的面上。首頁上一頁下一頁39第六章 梁的彎曲應(yīng)力外伸梁荷載與幾何尺寸如圖所示，已知材料MPaL40MPac100試校核強(qiáng)度。2001703030yzy1=61y2=139q=15kN/mP=10kN4m1m46103 .40mIzABC首頁上一頁下一頁40第六章 梁的彎曲應(yīng)力解： 畫彎矩圖以確定危險截面02max0027.5,1.83 ,125.16252AAAFFkNxmqMF xqxkN m25kNm10kNm+M2112

17、q=15kN/mP=10kN4m1mABC求最大正彎矩所在位置及數(shù)值首頁上一頁下一頁41第六章 梁的彎曲應(yīng)力 強(qiáng)度校核 ct1 .151061103 .4010103631maxmaxtztMPayIM5 .3410139103 .4010103632maxmaxCzCMPayIM且z軸為非對稱軸，故可能危險截面為1截面和2截面2001703030yzy1=61y2=1396440.3 10 mzI+25kNm10kNm+M2112首頁上一頁下一頁42第六章 梁的彎曲應(yīng)力強(qiáng)度不夠，將截面倒置，結(jié)論如何？2001703030yzy1=61y2=1396440.3 10 mzI+8 .371061

18、103 .4010253631maxmaxCzCMPayIM2 .8610139103 .4010253632maxmaxtztMPayIM25kNm10kNm+M2112首頁上一頁下一頁43第六章 梁的彎曲應(yīng)力例題例題 懸臂梁由三塊木板粘懸臂梁由三塊木板粘接而成。跨度為接而成?？缍葹? 1m m。膠合膠合面的許可面的許可剪剪應(yīng)力為應(yīng)力為0.340.34MPaMPa，木材的木材的= 10 MPa= 10 MPa， =1MPa=1MPa，求許可載荷。求許可載荷。 max1max26MFlWbh1.1.畫梁的剪力圖和彎矩圖畫梁的剪力圖和彎矩圖2.2.按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計算許可載荷按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計算

19、許可載荷 sF FM Fl 3.75kNN375061015010010692721 lbhF max23/23/2sFAFbh3.3.按按剪剪應(yīng)力強(qiáng)度條件計算許可載荷應(yīng)力強(qiáng)度條件計算許可載荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解：首頁上一頁下一頁44第六章 梁的彎曲應(yīng)力 2*33343312sZZhFbF SFbhI bbhb4.4.按膠合面強(qiáng)度條件計算按膠合面強(qiáng)度條件計算許可載荷許可載荷 66333 100 150 100.34 10443825N3.825kNbhF5.5.梁的許可載荷為梁的許可載荷為 3.75kNkN825.

20、 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505050M FlzsF F首頁上一頁下一頁45第六章 梁的彎曲應(yīng)力1.1.降低梁的最大彎矩值降低梁的最大彎矩值按強(qiáng)度要求設(shè)計梁時按強(qiáng)度要求設(shè)計梁時，主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件條件maxmaxWMz 2.2.增大梁的抗彎截面系數(shù)增大梁的抗彎截面系數(shù)首頁上一頁下一頁46第六章 梁的彎曲應(yīng)力在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面首頁上一頁下一頁47第六章 梁的彎曲應(yīng)力62bhWZ左62hbWZ右首頁上一頁下一頁48第六章 梁的彎曲應(yīng)力（2 2）對于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等對中性軸不對稱的截面且將翼緣置于受拉側(cè)。（1 1）對于塑性材料制成的梁,選以中性軸為對稱軸的橫截面。z要使y1/y2接近下列關(guān)系：最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時接近許用應(yīng)力212max1maxmaxcmaxtctzzyyIyMIyM首頁上一頁下一頁49第六章 梁的彎曲應(yīng)力梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，并均達(dá)到材料的許用應(yīng)力，則稱為等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁。寬度b不變的