第章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述ppt課件

1、第第1 1章章 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的形狀空間描畫動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的形狀空間描畫1.1 控制系統(tǒng)形狀空間描畫常用的根本概念 1.2 形狀空間表達(dá)式的構(gòu)造圖1.3 根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立形狀空間表達(dá)式1.4 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立形狀空間描畫1.5 形狀空間規(guī)范形的表達(dá)式1.6 形狀空間的等價(jià)變換1.7 從形狀空間描畫求傳送函數(shù)(陣)1.8 非線性和離散系統(tǒng)的形狀空間描畫1.1 1.1 控制系統(tǒng)形狀空間描畫常用的根本概念控制系統(tǒng)形狀空間描畫常用的根本概念 1 1動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) ：一個(gè)能儲(chǔ)存輸入信息的：一個(gè)能儲(chǔ)存輸入信息的系統(tǒng)系統(tǒng) 稱為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。稱為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。) 11 . 1 ()(1)(21tuRR

2、ti 式式(1.1-1)(1.1-1)為一代數(shù)為一代數(shù)方程，它闡明此系統(tǒng)的行方程，它闡明此系統(tǒng)的行為可以由輸出與輸入之間為可以由輸出與輸入之間的瞬間關(guān)系來確定，與系的瞬間關(guān)系來確定，與系統(tǒng)的過去歷史無關(guān)。統(tǒng)的過去歷史無關(guān)。 例例1.1-1 1.1-1 設(shè)有圖設(shè)有圖1.11.1所示系統(tǒng)。所示系統(tǒng)。 教材教材P7 P7 )21 . 1 ()()(tudttdiL 對(duì)電感電路系統(tǒng)，輸入為對(duì)電感電路系統(tǒng)，輸入為u(t),輸出為輸出為i(t)，其輸，其輸入輸出關(guān)系為：入輸出關(guān)系為：是初始時(shí)辰是初始時(shí)辰 在電感在電感L中流過的初始電流。中流過的初始電流。 )(0ti0t)31 . 1 ()(1)()(00

3、ttduLtiti系統(tǒng)輸出表達(dá)式：系統(tǒng)輸出表達(dá)式： 在該電路中，由于包含了一個(gè)儲(chǔ)能元件在該電路中，由于包含了一個(gè)儲(chǔ)能元件電感，電感，它有存儲(chǔ)信息的才干，才使得系統(tǒng)的未來行為受過去它有存儲(chǔ)信息的才干，才使得系統(tǒng)的未來行為受過去歷史的影響，因此必需引入一個(gè)量形狀變量來概歷史的影響，因此必需引入一個(gè)量形狀變量來概括這種影響。括這種影響。定義 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的形狀向量簡(jiǎn)稱形狀，是指足以完全地描畫系統(tǒng)時(shí)域行為的一個(gè)最小的變量組。該變量組中的每一個(gè)變量稱為形狀變量。 教材 P82 2形狀變量形狀變量動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)u1u2ury1y2ymx1x2xn 系統(tǒng)在任何時(shí)辰t的形狀變量組形狀，實(shí)踐上是以某種有效的方

4、式，充分地、既不多也不少地概括和存儲(chǔ)了與系統(tǒng)過去歷史有關(guān)的信息，這些附加信息與未來的輸入變量一道，就能確定系統(tǒng)未來的行為，由此可見形狀變量組的重要性。 形狀變量組完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形狀的最小個(gè)數(shù)的一組變量。形狀變量組完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形狀的最小個(gè)數(shù)的一組變量。 表示符號(hào)：表示符號(hào)：x1(t), x2(t), , xn(t)x1(t), x2(t), , xn(t) 注：形狀變量的選取不具有獨(dú)一性；注：形狀變量的選取不具有獨(dú)一性； 形狀變量不一定在物理上可測(cè)；形狀變量不一定在物理上可測(cè)； 盡能夠選取容易丈量的量作為形狀變量。盡能夠選取容易丈量的量作為形狀變量。3 3形狀向量形狀向量 )()()()(

5、21txtxtxtxn 假設(shè)系統(tǒng)有假設(shè)系統(tǒng)有n n個(gè)形狀變量個(gè)形狀變量x1(t),x2(t),xn(t)x1(t),x2(t),xn(t)，以，以這這n n個(gè)形狀變量為分量組成的向量稱為形狀向量，如：個(gè)形狀變量為分量組成的向量稱為形狀向量，如：4 4形狀空間形狀空間 以以n n個(gè)形狀變量個(gè)形狀變量x1(t),x2(t),xn(t)x1(t),x2(t),xn(t)為坐標(biāo)構(gòu)為坐標(biāo)構(gòu)成的成的n n維歐氏空間稱為形狀空間。維歐氏空間稱為形狀空間。5 5形狀軌線形狀軌線 系統(tǒng)在恣意時(shí)辰系統(tǒng)在恣意時(shí)辰t t的形狀的形狀, ,在形狀空間在形狀空間中用一點(diǎn)來表示。隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的形中用一點(diǎn)來表示。隨著

6、時(shí)間的推移，系統(tǒng)的形狀在變化，并在形狀空間中描畫出一條軌跡。狀在變化，并在形狀空間中描畫出一條軌跡。這種系統(tǒng)形狀向量在形狀空間中隨時(shí)間變化的這種系統(tǒng)形狀向量在形狀空間中隨時(shí)間變化的軌跡為形狀軌跡線。軌跡為形狀軌跡線。6 6形狀方程形狀方程 描畫系統(tǒng)形狀變量與輸入變量之間描畫系統(tǒng)形狀變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組延續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。關(guān)系的一階微分方程組延續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。 普通表達(dá)式：普通表達(dá)式：ttt,)(,)(uxfx 7 7輸出方程輸出方程 描畫系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)形狀變量描畫系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)形狀變量和輸入變量之間關(guān)系的代數(shù)方程延續(xù)時(shí)間和輸入變量之間關(guān)系的代數(shù)方程延續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。系統(tǒng)。 普通表達(dá)

7、式：普通表達(dá)式：ttt),(),(uxgy 8形狀空間表達(dá)式形狀空間表達(dá)式形狀方程輸出方程 (1) (1)普通表達(dá)式：普通表達(dá)式：ttttttf),(),(),(),(uxgyuxx (2)(2)線性系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式：線性系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式：)()()()()()()()(tuttxttuttxtDCyBAx (3)(3)線性定常系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式：線性定常系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式：)()()()(tutxtutxDCyBAx 1.2 1.2 線性系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式的構(gòu)造圖線性系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式的構(gòu)造圖buaxx 一.形狀空間表達(dá)式構(gòu)造圖繪制步驟 畫出一切積分器；積分器的個(gè)數(shù)等于形狀變量數(shù)， 每個(gè)

8、積分器的輸出表示相應(yīng)的某個(gè)形狀變量。 根據(jù)形狀方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和 比例器； 用箭頭將這些元件銜接起來。 舉例舉例: : 例例1.4-1 1.4-1 畫出以下微分方程的形狀變量圖畫出以下微分方程的形狀變量圖buxaxaxax 321xxxxxx 321設(shè)：設(shè)：buxaxaxaxxxxx31221333221 bu1a2a3a 練習(xí)練習(xí) 知系統(tǒng)形狀空間描畫如下，畫出以下形狀知系統(tǒng)形狀空間描畫如下，畫出以下形狀方程的形狀變量圖方程的形狀變量圖uxxxxxxxx3213322123621xxy解：寫成矩陣方式解：寫成矩陣方式 321321321011100236100010 xxxyu

9、xxxxxx 反之，知系統(tǒng)的形狀變量圖，也能列寫系統(tǒng)的形反之，知系統(tǒng)的形狀變量圖，也能列寫系統(tǒng)的形狀方程。狀方程。由控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖建立形狀空間表達(dá)式由控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖建立形狀空間表達(dá)式 將系統(tǒng)構(gòu)造圖模型轉(zhuǎn)化為形狀空間表達(dá)式，普通有將系統(tǒng)構(gòu)造圖模型轉(zhuǎn)化為形狀空間表達(dá)式，普通有以下三個(gè)步驟：以下三個(gè)步驟：第一步：將系統(tǒng)構(gòu)造圖各環(huán)節(jié)等效變換分解，使得整第一步：將系統(tǒng)構(gòu)造圖各環(huán)節(jié)等效變換分解，使得整個(gè)系統(tǒng)只需規(guī)范積分器個(gè)系統(tǒng)只需規(guī)范積分器1/s1/s、比例器、比例器k k及加法及加法器組成器組成; ;第二步：將分解后的每個(gè)規(guī)范積分器第二步：將分解后的每個(gè)規(guī)范積分器1/s1/s的輸出的輸出作為一個(gè)獨(dú)立

10、的形狀變量作為一個(gè)獨(dú)立的形狀變量xixi，積分器的輸入端就是，積分器的輸入端就是形狀變量的一階導(dǎo)數(shù)形狀變量的一階導(dǎo)數(shù)dxi/dtdxi/dt。 第三步：根據(jù)調(diào)整過的構(gòu)造圖中各信號(hào)的關(guān)系，可第三步：根據(jù)調(diào)整過的構(gòu)造圖中各信號(hào)的關(guān)系，可以寫出每個(gè)形狀變量的一階微分方程，從而寫出系以寫出每個(gè)形狀變量的一階微分方程，從而寫出系統(tǒng)的形狀方程。根據(jù)指定的輸出變量，還可以從構(gòu)統(tǒng)的形狀方程。根據(jù)指定的輸出變量，還可以從構(gòu)造圖寫出系統(tǒng)的輸出方程。造圖寫出系統(tǒng)的輸出方程。 【例【例1.4-21.4-2】某控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖如下圖，試求出其】某控制系統(tǒng)的構(gòu)造圖如下圖，試求出其動(dòng)態(tài)方程。動(dòng)態(tài)方程。 解解: :uTKxT

11、xTKKxKuTKxTxxTKx12211131131121222211)(1寫成矩陣向量方式寫成矩陣向量方式2111211131222101010 xxyuTKxxTTKKTKxxuTKxTxTKKxKuTKxTxxTKx12211131131121222211)(1【例【例1.4-31.4-3】 求如下圖系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。求如下圖系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。解解: 1.: 1.第一次等效變換第一次等效變換 2. 2. 由規(guī)范積分器組成的等效方塊圖由規(guī)范積分器組成的等效方塊圖 uxxxuxxuxxxxuxxxxxxxxx4114443114333122112)(23)(3648xxx00011100200

12、11301010640018yu1.3 1.3 根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立形狀空間表達(dá)式根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立形狀空間表達(dá)式1.1.根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立形狀空間表達(dá)式步驟：根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立形狀空間表達(dá)式步驟： 1) 1)選擇系統(tǒng)中一個(gè)選擇系統(tǒng)中一個(gè)“線性無關(guān)極大變量組作為形線性無關(guān)極大變量組作為形狀變量組。通?？蛇x為各個(gè)儲(chǔ)能元件如電路中電狀變量組。通?？蛇x為各個(gè)儲(chǔ)能元件如電路中電容和電感的相應(yīng)變量如電容的端電壓和流經(jīng)電容和電感的相應(yīng)變量如電容的端電壓和流經(jīng)電感的電流。感的電流。) )根據(jù)系統(tǒng)的物理學(xué)定律基爾荷夫定律、牛頓根據(jù)系統(tǒng)的物理學(xué)定律基爾荷夫定律、牛頓定律組成系統(tǒng)的原始方程。定律組成系統(tǒng)的原始方

13、程。) )經(jīng)過原始方程的計(jì)算和整理，導(dǎo)出等式左端為形經(jīng)過原始方程的計(jì)算和整理，導(dǎo)出等式左端為形狀導(dǎo)數(shù)狀導(dǎo)數(shù) ，右端為形狀，右端為形狀x x線性項(xiàng)和輸入線性項(xiàng)和輸入u u線性項(xiàng)相加的線性項(xiàng)相加的“形狀方程，以及等式左端為輸出形狀方程，以及等式左端為輸出y y，右端為形狀，右端為形狀x x線性項(xiàng)和輸入線性項(xiàng)和輸入u u線性項(xiàng)相加的線性項(xiàng)相加的“輸出方程輸出方程 x 常見的儲(chǔ)能元件及其形狀變量選取參考常見的儲(chǔ)能元件及其形狀變量選取參考序號(hào)儲(chǔ)能元件名稱狀態(tài)變量1電感L流經(jīng)L的電流i2電容C電容的電壓u3質(zhì)量M質(zhì)量M的位移速度v4彈簧k彈簧位移y5轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J旋轉(zhuǎn)角速度 例例1 1 試列寫如下圖試列寫如下

14、圖RLCRLC的電路方程，建立系的電路方程，建立系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式。統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式。 解：解： )2(1iuidtCdtdiLRi)3(10idtCuy1.1.設(shè)形狀變量為：設(shè)形狀變量為：) 1 (1,21idtCuxixciiuLxLxLRxuxxLRx112112112.2.根據(jù)基爾荷夫定律組成系統(tǒng)的原始方程。根據(jù)基爾荷夫定律組成系統(tǒng)的原始方程。) )經(jīng)過原始方程的計(jì)算和整理，導(dǎo)出形狀方程和輸出經(jīng)過原始方程的計(jì)算和整理，導(dǎo)出形狀方程和輸出 方程。方程。由前面的由前面的1 1式式) 1 (1,21idtCuxixc121xCx得： 輸出方程：輸出方程：2xy 2121211001011

15、xxyuLxxCLLRxxi簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為： cXyBuAXXi另設(shè)形狀變?yōu)椋毫碓O(shè)形狀變?yōu)椋?4(.,21idtuCxixc2121211001011xxCyuLxxLCLRxxi那么有：那么有：由此可見：由此可見： 1. 1. 系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式不具有獨(dú)一性；系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式不具有獨(dú)一性； 2. 2. 同一系統(tǒng)的不同形狀空間表達(dá)式之間存在某同一系統(tǒng)的不同形狀空間表達(dá)式之間存在某 種線性變換關(guān)系。種線性變換關(guān)系。idtxixidtCxix2121,1,：設(shè)22111,xCxxx：則xPx：則有P為非奇特變換矩陣CPxxxx10012121xx：其中 例例22彈簧彈簧- -質(zhì)量質(zhì)量- -阻

16、尼系統(tǒng)阻尼系統(tǒng)yfkytFdttydm)()(222.2.根據(jù)牛頓定律組成系統(tǒng)的原始根據(jù)牛頓定律組成系統(tǒng)的原始方程。方程。F(t)kyy f. .經(jīng)過原始方程的計(jì)算和整理經(jīng)過原始方程的計(jì)算和整理，導(dǎo)出形狀方程和輸出方程。，導(dǎo)出形狀方程和輸出方程。kyy ftFym )(1221)(1xytFmymfymkyxxyx ：則1.1.設(shè)形狀變量為設(shè)形狀變量為: :yxyx21,系統(tǒng)形狀空間矩陣表達(dá)式：系統(tǒng)形狀空間矩陣表達(dá)式：212121011010 xxyumxxmfmkxxi 例例33直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)w設(shè)形狀變量w建立原始方程：dtdxix21,ikTBdtdJeeiRdtdiLaab

17、aa3. 整理形狀方程和輸出方程：2121211001xxyeLxxJBJkLkLRxxaaabaa 對(duì)于如下圖的機(jī)械阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，知系統(tǒng)的對(duì)于如下圖的機(jī)械阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，知系統(tǒng)的微分方程：微分方程：練習(xí)一：練習(xí)一：22222112112221121111)()()()(yBykyyByykdtydMyyByykfdtydM 分別寫出系統(tǒng)以分別寫出系統(tǒng)以f f為輸入，以為輸入，以y1y1和和y2y2為輸出的形狀空間表達(dá)式為輸出的形狀空間表達(dá)式, ,進(jìn)一步了解形狀空間表達(dá)式的非進(jìn)一步了解形狀空間表達(dá)式的非獨(dú)一性。獨(dú)一性。fuyxyxyxyx,24132211 令形狀變量 令形狀變量fuyxyxyx

18、yyx,2423122111.4 1.4 根據(jù)系統(tǒng)微分方程或傳送函數(shù)建立形狀空根據(jù)系統(tǒng)微分方程或傳送函數(shù)建立形狀空 間表達(dá)式間表達(dá)式 一微分方程中不含輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)一微分方程中不含輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)) 1 . 3 . 1 (1)2(2)1(1)(buyayayayaynnnnn)0(,),0(),0()1( nyyy假設(shè)知假設(shè)知 及及 時(shí)的輸入時(shí)的輸入u(t) u(t) 0t 那么系統(tǒng)在那么系統(tǒng)在 時(shí)的行為就可以獨(dú)一確定。時(shí)的行為就可以獨(dú)一確定。因此，可以選取如下一組形狀變量：因此，可以選取如下一組形狀變量：0t)2 . 3 . 1 ()1(321nnyxyxyxyx buxaxaxaxaxxxx

19、xxxnnnnnnn11221113221)3 . 3 . 1 ()5 . 3 . 1 (0001000000100000101211221121ubxxxxaaaaaxxxxnnnnnnn)4 . 3 . 1 (BuAxx形狀方程：形狀方程：輸出方程：輸出方程： nxxxxy2110001)6 .3 .1 (Cxy 系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為：系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為： )7 . 3 . 1 (CxyBuAxx buxaxaxax 321例例: :buxaxaxaxxxxx31221333221xxxxxx 321設(shè)：設(shè)：解解: :bxxxaaaxxx00100010321123321321001

20、xxxxy形狀空間表達(dá)式形狀空間表達(dá)式: :二微分方程中包含輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)二微分方程中包含輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng))8 . 3 . 1 (1)1(1)(01)2(2)1(1)(ububububyayayayaynnnnnnnnn方法一：方法一： 選取如下一組形狀變量：選取如下一組形狀變量： )9 . 3 . 1 (1)2(1)1(0)1(210310201uuuyxuuuyxuuyxuyxnnnnn 該方法的推導(dǎo)過程比較煩瑣該方法的推導(dǎo)過程比較煩瑣, ,為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)過程為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)過程, ,以三階系統(tǒng)為例以三階系統(tǒng)為例, ,采用從特殊到普通的方法采用從特殊到普通的方法. .)10. 3 . 1 (321

21、0321ububububyayayay 選取如下一組形狀變量：選取如下一組形狀變量： )11. 3 . 1 (210310201uuuyxuuyxuyx )12. 3 . 1 (2103232121uuuyxuxxuxx uuuububububyayayauuuyx 21032103212103)()13. 3 . 1 (210310201uuuxyuuxyuxy uuuububububuxauuxauuuxa 2103210013102221031uaaabuaabuabubxaxaxa0312213021122011100132231 uxaxaxax31322313令：001221330

22、21122011100000aaabaababb)14. 3 . 1 (03122133021122011100aaabaababbuuuububububyayayauuuyx 21032103212103)()15. 3 . 1 (0133122133232121uxyuxaxaxaxuxxuxx即：形狀空間表達(dá)式矩陣方式形狀空間表達(dá)式矩陣方式uxxxyuxxxaaaxxx0321321321123321001100010 例例1.3-11.3-1知系統(tǒng)微分方程如下，試列寫形狀空間表知系統(tǒng)微分方程如下，試列寫形狀空間表達(dá)式達(dá)式: :uuuuyyyy81786116 解：解： 對(duì)照式對(duì)照式1.

23、3.81.3.8微分方程各項(xiàng)系數(shù)微分方程各項(xiàng)系數(shù)8,17, 8, 16,11, 63210321bbbbaaa16622)36(86111217268103122133021122011100aaabaababbuxxxyuxxxxxx32132132100116626116100010011221101322111021122011100)16. 3 . 1 (nnnnnnnnnnnaaaabaaabaababb)17. 3 . 1 (1000000100000101211211221121uxxxxaaaaaxxxxnnnnnnnnn系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式：系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式：)18. 3

24、 . 1 (00010121uxxxxynn推行到推行到n n維情況維情況練習(xí)練習(xí): :uuyyy 256知系統(tǒng)微分方程如下，試列寫形狀空間表達(dá)式。知系統(tǒng)微分方程如下，試列寫形狀空間表達(dá)式。11026120620021122011100aababb解解: : 由式由式(1.3.16)(1.3.16)得得: :21212121016510 xxyuxxxx1.5 1.5 形狀空間規(guī)范形的表達(dá)式形狀空間規(guī)范形的表達(dá)式1. 1. 可控規(guī)范型可控規(guī)范型2. 2. 可觀測(cè)規(guī)范型可觀測(cè)規(guī)范型3. 3. 對(duì)角規(guī)范形并聯(lián)分解對(duì)角規(guī)范形并聯(lián)分解4. 4. 假設(shè)當(dāng)規(guī)范型假設(shè)當(dāng)規(guī)范型5. 5. 模態(tài)規(guī)范形模態(tài)規(guī)范形

25、)2 . 5 . 1 ()()()(1111110nnnnnnnnasasasbsbsbsbsusysG把式1.5.2寫成)()()()(sasusbsy令：令：)3 . 5 . 1 ()()()(sasusz)()()(suszsauzazazazaznnnnn1)2(2)1(1)()8 . 3 . 1) 1 . 5 . 1 (1)1(1)(01)2(2)1(1)(（同ububububyayayayaynnnnnnnnn)4 . 5 . 1 ()()()(1)1(1)(0zbzbzbzbyszsbsynnnn即：(1) (1) 可控規(guī)范型可控規(guī)范型nnnnbsbsbsbsb1110)(nnn

26、nasasassa111)()5 . 5 . 1 ()1()2(121nnnnzxzxzxzxuxaxaxaxaxxxxxxxnnnnnnn11221113221)6 . 5 . 1 ()4 . 5 . 1 (1)1(1)(0zbzbzbzbynnnn由ubxbabxbabxbabxbabxbxbxbxbuxaxaxaxabynnnnnnnnnnnnnn001110222011101211211122110)()()()()7 . 5 . 1 ()()8 . 5 . 1 (10001000000100000101211221121uxxxxaaaaaxxxxnnnnnnn)9 . 5 . 1

27、(01210110220110ubxxxxbabbabbabbabynnnnnn解： 采用能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，根據(jù)式1.5.8及(1.5.9)可得： uxxxuxxxubxxxbabbabbabyuxxxxxx3213210321011022033321321252681117681006116100010uxxxyuxxxxxx3213213212521006116100010uxxxyuxxxxxx32132132100116626116100010對(duì)比對(duì)比例例1.5-1 知系統(tǒng)微分方程如下，試列寫形狀空間表達(dá)式。知系統(tǒng)微分方程如下，試列寫形狀空間表達(dá)式。uuuuyyyy81786116 闡明

28、：對(duì)于同一個(gè)外部模型，由于系統(tǒng)內(nèi)部的形狀變量的選取闡明：對(duì)于同一個(gè)外部模型，由于系統(tǒng)內(nèi)部的形狀變量的選取 不同，系統(tǒng)的內(nèi)部描畫形狀方程將有很多種不同的方式。不同，系統(tǒng)的內(nèi)部描畫形狀方程將有很多種不同的方式。 例例1.5-2 1.5-2 設(shè)系統(tǒng)的微分方程為，試求其形狀空間表設(shè)系統(tǒng)的微分方程為，試求其形狀空間表達(dá)式。達(dá)式。 uuuyyyy352 解：解： 這是一種常用的構(gòu)造，系統(tǒng)的這是一種常用的構(gòu)造，系統(tǒng)的 ，在這種，在這種情況下，公式情況下，公式1.5.81.5.8及及1.5.91.5.9簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為： 00b)8 . 5 . 1 (10001000000100000101211221121u

29、xxxxaaaaaxxxxnnnnnnn) 19 . 5 . 1 (121121nnnnxxxxbbbby公式公式(1.5.8)及及(1.5.9-1)要求記住并熟練運(yùn)用要求記住并熟練運(yùn)用321321321113100251100010 xxxyuxxxxxx 例例1.5-3 1.5-3 設(shè)系統(tǒng)的微分方程為，試求其形狀空間表設(shè)系統(tǒng)的微分方程為，試求其形狀空間表達(dá)式。達(dá)式。 uuuyyyy352 采用能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，根據(jù)式采用能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，根據(jù)式1.5.81.5.8及式及式1.5.9-11.5.9-1可得：可得：解：解： 例例1.5-4 1.5-4 教材教材P 83 P 83 1.6 1.6 列

30、寫如下微分方程的形狀空間表達(dá)式列寫如下微分方程的形狀空間表達(dá)式2 2uuyy 232解：將原方程化為規(guī)范方式解：將原方程化為規(guī)范方式uuyy 5 . 05 . 1uxxuxxyuxxxx5 . 075. 105 . 05 . 05 . 1100105 . 101021212121)10. 5 . 1 (3210321ububububyayayay 設(shè)給定系統(tǒng)的微分方程為：設(shè)給定系統(tǒng)的微分方程為： ububububyayayay3210321 改寫改寫 ubdtdtdtubyadtdtubyadtubyaudtbudtbudtbubydtaydtaydtay033221133221033221)

31、()(積分三次積分三次令：令：ubxy03 dtdtdtubyadtdtubyadtubyax)()(33221132 2可觀測(cè)規(guī)范型可觀測(cè)規(guī)范型 dtdtubyadtubyaubyax)(3322113令： dtdtubyadtubyax)(33222dtubyaubyax33222令： dtubyax331ubabxaububxaubyax)()(033333033331ubabxaxxububxadtubyaubyax)()(0223211203233222ubabxaxxububxadtdtubyadtubyaubyax)()()(011312210313322113 上式稱為系統(tǒng)的能

32、觀性實(shí)現(xiàn)，其模擬框圖如教材上式稱為系統(tǒng)的能觀性實(shí)現(xiàn)，其模擬框圖如教材P25 P25 )11. 5 . 1 (100)()(1001000321011)022033321123321ubxxxyubabbabbabxxxaaaxxx) 111. 5 . 1 (100100100321123321123321xxxyubbbxxxaaaxxx公式公式(1.5.11-1) 要求記住并熟練運(yùn)用要求記住并熟練運(yùn)用當(dāng)系統(tǒng)分子階次小于分母階次當(dāng)系統(tǒng)分子階次小于分母階次mnmn，即，即 b0=0b0=0。 例例1.5-5 1.5-5 設(shè)系統(tǒng)的微分方程為，試求其可觀測(cè)形狀空設(shè)系統(tǒng)的微分方程為，試求其可觀測(cè)形狀空

33、間表達(dá)式。間表達(dá)式。 uuuyyyy352 ) 111. 5 . 1 (100100100321123321123321xxxyubbbxxxaaaxxx解：由公式解：由公式321321321100113210501100 xxxyuxxxxxx 得可觀測(cè)形得可觀測(cè)形狀空間表達(dá)式狀空間表達(dá)式:推行上述方法到推行上述方法到n n階線性系統(tǒng)：階線性系統(tǒng)：ububububayayayaynnnnnnnnn1)1(1)(01)2(2)1(1)()12. 5 . 1 (1000010000000100000110220110121121121ubabbabbabbabxxxxaaaaxxxxnnnnnn

34、nnnn)13. 5 . 1 (10000121ubxxxxynn作業(yè)作業(yè) P83 1.7(2)nnnnnnnnnnpscpscpscasasasbsbsbsbsG221111112111)(C1C2Cnnnnnnxcxcxcyuxpxuxpxuxpx2211222111)14. 5 . 1 (1110000002121212121nnnnnxxxcccyuxxxpppxxx公式公式(1.5.14) 要求記住并熟練運(yùn)用要求記住并熟練運(yùn)用 (3) 對(duì)角規(guī)范形又稱并聯(lián)分解法對(duì)角規(guī)范形又稱并聯(lián)分解法 例例1.5-7 1.5-7 知系統(tǒng)傳送函數(shù)如下，試用并聯(lián)分解法畫出知系統(tǒng)傳送函數(shù)如下，試用并聯(lián)分解法

35、畫出該傳送函數(shù)的模擬構(gòu)造圖，并建立其形狀空間表達(dá)式。該傳送函數(shù)的模擬構(gòu)造圖，并建立其形狀空間表達(dá)式。 1219884)(23sssssG解：將傳送函數(shù)分解為如下方式：解：將傳送函數(shù)分解為如下方式： 43832132)4)(3)(1()2(41219884)(23ssssssssssssGuxxxxxx11140003000132132132138232xxxy作業(yè)作業(yè) P83 1.8(1)-(2) P83 1.8(1)-(2) nnnnnnnnasasasbsbsbsbsG11112211)( nnnnnnnnnnnnnpspspspsbsbsbsbasasasbsbsbsbsG)()(543

36、11211111112211nnpscpscpscpscpscsG4413212311)()()( 假設(shè)以上方程中，分母多項(xiàng)式中含有重根的情況。對(duì)假設(shè)以上方程中，分母多項(xiàng)式中含有重根的情況。對(duì)此，必需將前面的對(duì)角規(guī)范形修正為約當(dāng)規(guī)范形。此，必需將前面的對(duì)角規(guī)范形修正為約當(dāng)規(guī)范形。 uxxxxxpppppxxxxxnnn111000000000000100001432141114321nnxxxcccy2121(4)(4)約當(dāng)規(guī)范形約當(dāng)規(guī)范形 例例1.5-8 1.5-8 知系統(tǒng)傳送函數(shù)如下，試用部分分式法求其知系統(tǒng)傳送函數(shù)如下，試用部分分式法求其形狀空間表達(dá)式。形狀空間表達(dá)式。2545)(23s

37、sssG 解：系統(tǒng)的特征方程為：解：系統(tǒng)的特征方程為： 0)2() 1(254)(223ssssssD21) 1()(3221scscscsG5)2)(5) 1)(5) 1)(limlimlim23212211ssGcssGcssGcsssdsduxxxxxx110200010011321321321555xxxy(6)(6)模態(tài)規(guī)范形模態(tài)規(guī)范形當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣A的特征值出現(xiàn)共軛復(fù)數(shù)時(shí)，如：的特征值出現(xiàn)共軛復(fù)數(shù)時(shí)，如：2210A)1(1222212jjAI其對(duì)角規(guī)范型：其對(duì)角規(guī)范型：jjA1001 的系數(shù)矩陣中都含有復(fù)數(shù)，會(huì)給繪制系的系數(shù)矩陣中都含有復(fù)數(shù)，會(huì)給繪制系統(tǒng)的構(gòu)造圖帶來費(fèi)事，而且復(fù)數(shù)的物

38、理意義也不明統(tǒng)的構(gòu)造圖帶來費(fèi)事，而且復(fù)數(shù)的物理意義也不明晰，為了防止此類情況，可以將晰，為了防止此類情況，可以將A化為模態(tài)規(guī)范型?；癁槟B(tài)規(guī)范型。,CBAAPPA1模態(tài)規(guī)范形模態(tài)規(guī)范形其中：其中：j2, 1jPj11,P 例例1.5-9 1.5-9 將以下系統(tǒng)矩陣將以下系統(tǒng)矩陣A A化為模態(tài)規(guī)范型?；癁槟B(tài)規(guī)范型。01256A解：矩陣解：矩陣A的特征值為的特征值為216250256IA解得：解得：432,1j3443M1034p 當(dāng)矩陣A同時(shí)具有實(shí)根和共軛復(fù)數(shù)的特征值時(shí)，其規(guī)范型為模態(tài)規(guī)范型模塊和對(duì)角規(guī)范型模塊的組合。 例例1.5-10 1.5-10 將以下系統(tǒng)矩陣將以下系統(tǒng)矩陣A A化為規(guī)范

39、型?；癁橐?guī)范型。464100010A解：矩陣解：矩陣A的特征值為的特征值為0464464100123AI解得：解得：2,132, 1j20001101100003M1.6 1.6 形狀空間的等價(jià)變換形狀空間的等價(jià)變換1. 1. 什么是形狀空間的等價(jià)變換什么是形狀空間的等價(jià)變換2. 2. 系統(tǒng)的特征值和特征向量系統(tǒng)的特征值和特征向量3. 3. 將形狀方程化為對(duì)角規(guī)范型將形狀方程化為對(duì)角規(guī)范型4. 4. 將形狀方程化為約當(dāng)規(guī)范型將形狀方程化為約當(dāng)規(guī)范型描畫同一系統(tǒng)的不同形狀向量之間有什么關(guān)系？描畫同一系統(tǒng)的不同形狀向量之間有什么關(guān)系？同一系統(tǒng)的不同方式的形狀空間表達(dá)式能否可以相互轉(zhuǎn)換？同一系統(tǒng)的不

40、同方式的形狀空間表達(dá)式能否可以相互轉(zhuǎn)換？能否能得到系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式的規(guī)范型？能否能得到系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式的規(guī)范型？ nxxx,21nxxx,21描畫同一系統(tǒng)的不同形狀變量描畫同一系統(tǒng)的不同形狀變量xPx或 xPx1其中P是 非奇特變換矩陣nnnnnnnnppppppppp212222111211Pnnnnnnnnnnxpxpxpxxpxpxpxxpxpxpx22112222121212121111 形狀向量形狀向量 的變換，稱為形狀的線性變換或等價(jià)變換，的變換，稱為形狀的線性變換或等價(jià)變換，其本質(zhì)是形狀空間的基底變換，也就是坐標(biāo)變換。其本質(zhì)是形狀空間的基底變換，也就是坐標(biāo)變換。 xx和1 1

41、形狀空間的等價(jià)變換形狀空間的等價(jià)變換 形狀線性變換后，其形狀空間表達(dá)式也發(fā)生變換。設(shè)線性定形狀線性變換后，其形狀空間表達(dá)式也發(fā)生變換。設(shè)線性定常系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為：常系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為： ) 1 . 6 . 1 (DuCxyBuAxx xPx或或 )2 . 6 . 1 (xPx1形狀的線性變換為：形狀的線性變換為：將將1.6.21.6.2式代入式代入1.6.11.6.1式式 uxDxCPyBuPxAPPBu(AxPPx111)1) 3 . 6 . 1 (1uuDxCPyBPxAPPx1)4 . 6 . 1 (uuDxCyBxAx或或: : 式中：式中：DDCPCBPBAPPA11 式式

42、1.6.41.6.4式是以為形式是以為形狀變量狀變量 的形狀空間表達(dá)式，的形狀空間表達(dá)式，它和它和1.6.11.6.1描畫的是同一描畫的是同一線性系統(tǒng)，具有一樣的維數(shù)，線性系統(tǒng)，具有一樣的維數(shù)，稱它們?yōu)樾螤羁臻g表達(dá)式的線稱它們?yōu)樾螤羁臻g表達(dá)式的線性變換等價(jià)變換。性變換等價(jià)變換。 x 如何把某一方式的形狀空間表達(dá)式化為對(duì)角規(guī)范如何把某一方式的形狀空間表達(dá)式化為對(duì)角規(guī)范型或假設(shè)當(dāng)規(guī)范型？型或假設(shè)當(dāng)規(guī)范型？ 教材教材P32 P32 例例1.91.9 例例1.6-1 1.6-1 設(shè)系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為設(shè)系統(tǒng)的形狀空間表達(dá)式為) 1 (6006116100010321uxxx)2(001321xxxy

43、假設(shè)取變換陣假設(shè)取變換陣P為為 ) 3(941321111P) 3 . 6 . 1 (1uuDxCPyBPxAPPx1321941321111001xxxyuxxxxxx6005 . 05 . 111435 . 05 . 2394132111161161000105 . 05 . 111435 . 05 . 23321321)4(363300020001321321uxxxxxx)5(111321xxxy) 1 (6006116100010321uxxx)2(001321xxxy比較比較怎樣構(gòu)成變換矩陣怎樣構(gòu)成變換矩陣P P？1 1系統(tǒng)的特征值系統(tǒng)的特征值 DuCxyBuAxx nnnnaaa

44、AIAI111)det(0111nnnnaaaAI特征方程特征方程 特征方程的根特征方程的根 稱為系統(tǒng)的特征值稱為系統(tǒng)的特征值 ),2, 1(nii2 2系統(tǒng)的特征向量系統(tǒng)的特征向量 iiiPAP0(iiA)PI或或那么稱那么稱 為系統(tǒng)相應(yīng)于特征值為系統(tǒng)相應(yīng)于特征值 的特征向量。的特征向量。 iPi2 2系統(tǒng)的特征值和特征向量系統(tǒng)的特征值和特征向量3210A 例例1.6-2 1.6-2 系統(tǒng)矩陣如下，試求其特征值和特征向量。系統(tǒng)矩陣如下，試求其特征值和特征向量。 解：解：1 1求系統(tǒng)的特征值求系統(tǒng)的特征值 0)2)(1(233212AI解得：解得： 2, 1212 2求系統(tǒng)的特征向量求系統(tǒng)的特

45、征向量2212221111,ppppPP111 1計(jì)算對(duì)應(yīng)于計(jì)算對(duì)應(yīng)于 的特征向量的特征向量1P2111211113210pppp111PAP212111112132ppppp111p令：令：1121112ppP得：得： 2. 2. 計(jì)算對(duì)應(yīng)于計(jì)算對(duì)應(yīng)于 的特征向量的特征向量222P按定義：按定義： 0)(22PAI012122212pp2122122ppP得：得：022212 PP112p令令: :0)321010012(2212pp3 3系統(tǒng)特征值的不變性系統(tǒng)特征值的不變性 為了證明線性變換下的特征值不變性，必需證明為了證明線性變換下的特征值不變性，必需證明 和和 的特征多項(xiàng)式一樣。的特征

46、多項(xiàng)式一樣。AI PPAI1AIAIAAAIPPPPPIPPPPPPP111111)(AIAIPPPP11AI結(jié)論：非奇特變換不改動(dòng)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式和特征值。結(jié)論：非奇特變換不改動(dòng)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式和特征值。 由于乘由于乘積的行列式積的行列式等于各行列等于各行列式的積式的積 怎樣構(gòu)成變換矩陣怎樣構(gòu)成變換矩陣P P？ 1 1定理定理1.11.1對(duì)于線性定常系統(tǒng)對(duì)于線性定常系統(tǒng) DuCxyBuAxx 假設(shè)假設(shè)A A的特征值的特征值 互異互異, ,那么必存在非奇特那么必存在非奇特變換陣變換陣P,P,經(jīng)過經(jīng)過 或或 的變換的變換, ,可將形狀可將形狀方程化為對(duì)角規(guī)范型方程化為對(duì)角規(guī)范型, ,即即n,21

47、xPxxPx1unBxx0021 3將形狀方程化為對(duì)角規(guī)范形證明證明: : uxBAxxPx線性變換線性變換 uBxAPxPuuBxABPxAPPx11niiii2 , 1PAPnnnPPPAPAPAP221121 nnnPPPPPPA00212121n0021PAPnn00002121PPAAPP112 2假設(shè)假設(shè)A A陣為陣為n nn n維友矩陣維友矩陣 121100001000010aaaaAnnn 且具有相異特征值，那么以下范德蒙且具有相異特征值，那么以下范德蒙(Vandermonde)(Vandermonde)矩陣矩陣P P可使可使A A對(duì)角化。對(duì)角化。 )5 . 6 . 1 (11

48、1112112222121nnnnnnP 例例1.6-3 1.6-3 系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式如下系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式如下, ,試化為試化為 對(duì)角規(guī)范型。對(duì)角規(guī)范型。 21212101113210 xxyuxxxx21111121P11121P1123200111CPCBPBAPPAxxx11232001yu解：解： 2, 121由于特征值互異，可以將矩陣由于特征值互異，可以將矩陣A A化為對(duì)角矩陣化為對(duì)角矩陣 A 例例1.6-4 1.6-4 知形狀方程的知形狀方程的A,BA,B陣如下，求陣如下，求A A的模態(tài)規(guī)范形及的模態(tài)規(guī)范形及其變換后的形狀方程。教其變換后的形狀方程。教材材 P48 P48 例例

49、1.161.161162510bA解：矩陣解：矩陣A A的特征值為的特征值為025662512AI解得：解得：432, 1j1134431bPbAPPjp4301P4143011P 當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣A A同時(shí)具有實(shí)根和共軛復(fù)數(shù)的特征同時(shí)具有實(shí)根和共軛復(fù)數(shù)的特征值時(shí)，其規(guī)范型為模態(tài)規(guī)范型模塊和對(duì)角規(guī)范值時(shí)，其規(guī)范型為模態(tài)規(guī)范型模塊和對(duì)角規(guī)范型模塊的組合。型模塊的組合。 例例1.6-5 1.6-5 將以下系統(tǒng)將以下系統(tǒng)矩陣矩陣A A化為規(guī)范型?；癁橐?guī)范型。464100010A解：矩陣解：矩陣A A的的特征值為特征值為0464464100123AI解得：解得：2,132, 1j

50、420211101P2100112111) 11(111122111jjjjjp42112333p5 . 0115 . 0225 . 0101P30000200011011APPM1(3) (3) 設(shè)設(shè)A A陣為陣為m m重實(shí)數(shù)特征值重實(shí)數(shù)特征值11，其他為，其他為n-mn-m個(gè)互不個(gè)互不一樣實(shí)數(shù)特征值，但在求解一樣實(shí)數(shù)特征值，但在求解時(shí)仍有時(shí)仍有m m個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量 那么仍可使那么仍可使A A化為化為對(duì)角陣。對(duì)角陣。), 2 , 1(miiiiPAPmPPP,21nmAPPA001111 例例 教材教材P42-43P42-432000100012000101012, 132

51、1AA作業(yè)作業(yè) P83 1.10(1) P83 1.10(1) 1.141.14 例例 教材教材P 43 P 43 2000100112003102112, 1321AA怎樣化怎樣化A A陣為假設(shè)當(dāng)陣？陣為假設(shè)當(dāng)陣？ 1 1 設(shè)設(shè)A A陣為陣為m m重實(shí)數(shù)特征值重實(shí)數(shù)特征值 ，其他為，其他為n-mn-m個(gè)互個(gè)互不一樣實(shí)數(shù)特征值，但在求解不一樣實(shí)數(shù)特征值，但在求解 時(shí)時(shí), , 獨(dú)立實(shí)特征向量獨(dú)立實(shí)特征向量P1P1的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為1 1一種最簡(jiǎn)單的情一種最簡(jiǎn)單的情況，那么能使況，那么能使A A陣化為約當(dāng)陣陣化為約當(dāng)陣J J。 1), 2 , 1(miiiiPAP4 4將形狀方程化為假設(shè)當(dāng)將形狀方程

52、化為假設(shè)當(dāng)(Jordan)(Jordan)規(guī)范規(guī)范形形 nm0000000010001111APPJ1(1.6.6)下面確定將矩陣下面確定將矩陣A A化為約當(dāng)規(guī)范型的變換陣化為約當(dāng)規(guī)范型的變換陣P P nnmmmmnmnPPPPPPPPPP111121111111210000000010001n21APAPAPAPPJ1PJAP JAnnPPPPPP2121)38. 3 . 1 (000111112111nnmmmmPAIPAIPPAIPPAIPAImnnmmmmmmPAPPAPPPAPPPAPPAP111112112111 例例1.6-6 1.6-6 教材教材P 43 P 43 200010

53、0112003102112, 1321AA2, 1321解：解：(1)(1)先求先求A A陣的特征值：陣的特征值： 0212003102112AI P1 P1的獨(dú)立特征向量數(shù)的獨(dú)立特征向量數(shù)=1 2=1 2，所以系統(tǒng)，所以系統(tǒng)A A陣雖陣雖不能化對(duì)角陣，但能化為約當(dāng)陣不能化對(duì)角陣，但能化為約當(dāng)陣J J0.(111A)PI000100300210312111ppp10113121PPP?。?，得：1PA)PI21.(2001100300210312111322212pppppp010122232ppp取：，得：0.(333A)PI0000310211332313ppp531132333ppp，得：

54、，?。?00310501321PPPP用用MATLABMATLAB計(jì)算計(jì)算P-1P-1。程序：程序：P=1,0,5;0,1,3;0,0,P=1,0,5;0,1,3;0,0,1;1;A=1,1,2;0,1,3;0,0,A=1,1,2;0,1,3;0,0,2;2;Q=inv(P) Q=inv(P) J=QJ=Q* *A A* *P P1003105011P200010011J運(yùn)轉(zhuǎn)結(jié)果運(yùn)轉(zhuǎn)結(jié)果2 2求變換陣求變換陣P P 22假設(shè)系統(tǒng)矩陣設(shè)為友矩陣，即：假設(shè)系統(tǒng)矩陣設(shè)為友矩陣，即： 121100001000010aaaaAnnn那么將那么將A A化為約當(dāng)規(guī)范型矩陣的變換陣化為約當(dāng)規(guī)范型矩陣的變換陣P

55、 P為：為： )7 . 6 . 1 ()!1(1! 211111121121111321nmmmnmmpPdPdmdPdddPPPPPPPPP 且且A A陣為陣為m m重實(shí)數(shù)特征值重實(shí)數(shù)特征值 ，其他為，其他為n-mn-m個(gè)互個(gè)互不一樣實(shí)數(shù)特征值，但在求解不一樣實(shí)數(shù)特征值，但在求解 時(shí)時(shí), , 獨(dú)立實(shí)特征向量獨(dú)立實(shí)特征向量P1P1的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為1 1， 1), 2 , 1(miiiiPAP 例例1.6-7 1.6-7 教材教材P46-47P46-47試將以下形狀空間表達(dá)式試將以下形狀空間表達(dá)式化為約當(dāng)規(guī)范型?；癁榧s當(dāng)規(guī)范型。 xxx001100032100010yu0)2(12)3(10123132100122AI解：解：1 1先求先求A A陣的特征值：陣的特征值： 2, 13212 2求變換陣求變換陣P P )40. 3 . 1 (3111321PddPPPPPP11112111P2102101112ddPP42112333P421211101321PPPP1111. 02222. 01111. 03333. 03333. 06667. 01111. 02222. 08889. 01PMATLAB計(jì)算結(jié)果3 3計(jì)算：計(jì)算：CBA,2000100111APPA1111. 03333. 0111 1 . 01B