第五章數(shù)字濾波器的基本結構

1、第五章第五章數(shù)字濾波器的基本結構數(shù)字濾波器的基本結構主要內容主要內容n理解數(shù)字濾波器結構的表示方法理解數(shù)字濾波器結構的表示方法n掌握掌握IIR濾波器的基本結構濾波器的基本結構n掌握掌握FIR濾波器的直接型、級聯(lián)型、線濾波器的直接型、級聯(lián)型、線性相位結構，理解頻率抽樣型結構性相位結構，理解頻率抽樣型結構n了解數(shù)字濾波器的格型結構了解數(shù)字濾波器的格型結構5.1 引言引言（1 1）數(shù)字濾波器的結構的框圖及流圖表示）數(shù)字濾波器的結構的框圖及流圖表示NkkMkkknyaknxbny10)()()(NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(時域用常系數(shù)線性差分方程表示時域用常系數(shù)線性差分方程表

2、示Z Z域則使用系統(tǒng)函數(shù)表示域則使用系統(tǒng)函數(shù)表示aa1z1z單位延時單位延時基本運算單元基本運算單元方框圖方框圖流圖流圖加法器加法器常數(shù)乘法器常數(shù)乘法器（2 2）結構表示：方框圖和信流圖）結構表示：方框圖和信流圖NkkMkkknyaknxbny10)()()(（2 2）結構表示：方框圖和信流圖）結構表示：方框圖和信流圖流圖表示中流圖表示中n如果一個節(jié)點有兩個或兩個以上的輸入，則此如果一個節(jié)點有兩個或兩個以上的輸入，則此節(jié)點一定是加法器；節(jié)點一定是加法器；n任一節(jié)點的節(jié)點值是指此節(jié)點輸出的信號值；任一節(jié)點的節(jié)點值是指此節(jié)點輸出的信號值；n任一節(jié)點只有一個輸入，有一個或多個輸出，任一節(jié)點只有一個輸

3、入，有一個或多個輸出，則此節(jié)點是分支節(jié)點；則此節(jié)點是分支節(jié)點；n只有輸入、沒有輸出的節(jié)點稱為阱節(jié)點，反之只有輸入、沒有輸出的節(jié)點稱為阱節(jié)點，反之為源節(jié)點。為源節(jié)點。例：二階數(shù)字濾波器例：二階數(shù)字濾波器方框圖結構方框圖結構流圖結構流圖結構)2() 1()()(210nyanyanxbny流程圖（3 3）實現(xiàn)方式：軟件與硬件）實現(xiàn)方式：軟件與硬件（4 4）軟件方式：通用計算機或專用計算機）軟件方式：通用計算機或專用計算機（5 5）核心算法：乘加器）核心算法：乘加器（6 6）典型結構）典型結構n無限長單位沖激響應（無限長單位沖激響應（IIRIIR）濾波器）濾波器n有限長單位沖激響應（有限長單位沖激響

4、應（FIRFIR）濾波器）濾波器5.2 IIR濾波器的基本結構濾波器的基本結構5.2.1 IIR濾波器的特點 1、單位沖激響應、單位沖激響應h(n)是無限長的（定義的由來）是無限長的（定義的由來） 2、系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限在有限z平面上平面上 有極點存在；有極點存在； 3、結構上存在著輸出到輸入的反饋，也就是結構上的遞歸型、結構上存在著輸出到輸入的反饋，也就是結構上的遞歸型的。的。)0 z（NkkMkkknyaknxbny10)()()(NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(有限階有限階IIR的表達式：（的表達式：（其中至少有一個其中至少有一個 ak0）結構特點：結

5、構特點： 直接實現(xiàn)直接實現(xiàn) 第一個網(wǎng)絡實現(xiàn)零點第一個網(wǎng)絡實現(xiàn)零點 第二個網(wǎng)絡實現(xiàn)極點第二個網(wǎng)絡實現(xiàn)極點 N+M個時延單元個時延單元NkkMkkknyaknxbny10)()()(只需實現(xiàn)只需實現(xiàn)N階濾波器所需的最少的階濾波器所需的最少的Max(N、M)個延時單元，故稱典范型。個延時單元，故稱典范型。結構特點：結構特點：Max(N、M)個時延單元。個時延單元。 （3）nak，bk 對濾波器的極點和零點的控制作用不明顯，也對濾波器的極點和零點的控制作用不明顯，也就是對頻率響應的控制作用不明顯就是對頻率響應的控制作用不明顯n零點、極點對系數(shù)的變化過于靈敏，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或零點、極點對系數(shù)的變化過于靈敏

6、，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差較大誤差n乘法運算的量化誤差造成在系統(tǒng)輸出端噪聲功率比其乘法運算的量化誤差造成在系統(tǒng)輸出端噪聲功率比其他幾種結構的都要大他幾種結構的都要大 121234.20.820.60.4zzH zzz= 12121.52.10.410.30.2zzH zzz=NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(10.3a 20.2a ，01.5b 12.1b 20.4b 12121.52.10.410.30.2zzH zzz=將系統(tǒng)函數(shù)按零極點因式分解將系統(tǒng)函數(shù)按零極點因式分解:121211*101111*1111(1)(1)(1)( )1(1)(1)(1)MMMkkkkkkk

7、kNNNkkkkkkkkb zp zq zq zH zAa zc zd zd zA為常數(shù)*,kkkkq qd d和分別為復共軛零、極點kkpc和 分別為實數(shù)零、極點122MMM122NNNn將共軛成對的復數(shù)組合成二階多項式，系數(shù)即為實數(shù)。將共軛成對的復數(shù)組合成二階多項式，系數(shù)即為實數(shù)。n為采用相同結構的子網(wǎng)絡，也將兩個實零點為采用相同結構的子網(wǎng)絡，也將兩個實零點/極點組合成二階極點組合成二階多項式多項式（b）級聯(lián)結構的一階基本結和第）級聯(lián)結構的一階基本結和第k級二階基本結結構級二階基本結結構kkkkkkkzHAzzzzAzH)(11)(221122111!2N 各二階基本節(jié)的排列次序有各二階基

8、本節(jié)的排列次序有 種種1!2N 級聯(lián)型的特點：便于調整零極點便于調整零極點存在最優(yōu)化組合問題存在最優(yōu)化組合問題誤差會逐級傳遞誤差會逐級傳遞 1121124 11 1.410.510.90.8zzzzzz4A 22411.410.50.90.8zzzH zzzz=kkkkkzzzzAzH2211221111)(5.2.4 5.2.4 并聯(lián)型并聯(lián)型NkkkMkkkzbzbzH101)(NMkkkNkkkkkNkkkzCzdzdzgBzA011*111121)1)(1 ()1 (1將因式分解的將因式分解的H(z)展成部分分式：展成部分分式：()MN122NNN可將上式寫成更通用的形式可將上式寫成更通

9、用的形式除 外，其他系數(shù)皆為實數(shù)NMkkkNkkkkkNNMMzCzAzAzBBzazazbzbbzH012211110111101.1.)(當某些當某些 為零時，就得到一些基本的并聯(lián)一階節(jié)；為零時，就得到一些基本的并聯(lián)一階節(jié)；當當M=N時，等式右端只存在常數(shù)時，等式右端只存在常數(shù)C0;當當MN時，則第二個求和式為零時，則第二個求和式為零特點特點: 方便調整極點，不便方便調整極點，不便于調整零點；部分分式展于調整零點；部分分式展開計算量大。開計算量大。)(.)()()(21zHzHzHzHr結構：將結構：將H(z)分解為一階及分解為一階及二階系統(tǒng)的并聯(lián)二階系統(tǒng)的并聯(lián)(部分分式部分分式展開展開)

10、，每級子系統(tǒng)都用典，每級子系統(tǒng)都用典范型實現(xiàn)。范型實現(xiàn)。單獨調整一對極點位置單獨調整一對極點位置各并聯(lián)基本節(jié)的誤差互相不影響，故運算誤差各并聯(lián)基本節(jié)的誤差互相不影響，故運算誤差最小最小IIR濾波器結構表示舉例濾波器結構表示舉例)2(81) 1(43) 1(31)()(nynynxnxny1111121121131041137)411311)(2111(81431311)(zzzzzzzzzH例：用典范型和一階級聯(lián)型、并聯(lián)型實現(xiàn)方程：例：用典范型和一階級聯(lián)型、并聯(lián)型實現(xiàn)方程： 解：標準型、一階級聯(lián)和并聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)表示：解：標準型、一階級聯(lián)和并聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)表示：)(ny1/z1/z1/z1/z4/

11、38/13/1)(nx1 1/ /z z1 1/ /z z3/10)(nx3/7)(ny4/12/1)(ny1 1/ /z z4/ 13/ 12/11 1/ /z z)(nx圖示如下：圖示如下： 1231125.21.581.411.610.510.90.8zzzH zzzz= 1231125.21.581.411.61 0.510.90.8zzzH zzzz11120.210.3410.510.90.8zzzz則04G 110.5210010.2110120.9 220.8 021120.3 1 /21010121121NkkkkkzH zGzz04G 110.5210010.2110120

12、.9 220.8 021120.3原網(wǎng)絡中所有支路方向倒轉，并將輸入原網(wǎng)絡中所有支路方向倒轉，并將輸入x(n)和輸和輸出出y(n)相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)不改變。不改變。 123123841125311448zzzH zzzz典范型結構： 11211220.37941.245.264111142zzzH zzzz1121128 10.1910.311.32111142zzzzzz得級聯(lián)型結構： 11128162016111142zH zzzz得并聯(lián)型結構：5.3 FIR 數(shù)字濾波器結構數(shù)字濾波器結構n不存在極點不存在極點(z=0除外除外)，系統(tǒng)函數(shù)在，系統(tǒng)函數(shù)在 處

13、收斂。處收斂。n系統(tǒng)單位沖擊響應在有限個系統(tǒng)單位沖擊響應在有限個 n 值處不為零。值處不為零。n結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入的反饋。結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入的反饋。0z10)()(NnnznhzH5.3.1 FIR的特點：的特點：10( )()()NMkkkky na y nkb x nk01( )( )( )1MkkkNkkkb zY zH zX za z10( )( )NnnH zh n z10( )( ) ()Nmy nh m x nm5.3.2 直接型（橫斷型、卷積型）結構直接型（橫斷型、卷積型）結構1、橫截型、橫截型(又稱為直接型或卷積型，直接完成差分方程）又

14、稱為直接型或卷積型，直接完成差分方程） 特點特點: N個延遲單元；不方便調整零點。個延遲單元；不方便調整零點。差分方程差分方程:10( )( ) ()Nmy nh m x nm 111111111 61 21126H zzzzzz= 111111111 61 21126H zzzzzz=1121121111216126zzzzzzz=1212153711126zzzzz=12345820520581312123zzzzz 1234582052058( ) 1312123H zzzzzz=將將H(z)分解為二階實系數(shù)因式的乘積。分解為二階實系數(shù)因式的乘積。KkkkkzzzH122110)()(5

15、.3.3 5.3.3 級聯(lián)型結構：級聯(lián)型結構： 特點特點: 便于調整零點便于調整零點.其中，其中， ， 各系數(shù)皆為實數(shù)各系數(shù)皆為實數(shù) 表示向下取整）( ,2/NK 若某個若某個 為零就得到一個一階級聯(lián)基本節(jié)。為零就得到一個一階級聯(lián)基本節(jié)。系數(shù)比直接型多，所需的乘法運算多系數(shù)比直接型多，所需的乘法運算多每個基本節(jié)控制一對零點，便于控制濾波器的每個基本節(jié)控制一對零點，便于控制濾波器的傳輸零點傳輸零點5.3.3 5.3.3 頻率抽樣型結構：頻率抽樣型結構：由由kNkWzkzHkHnh| )()()(以及頻率采樣表達的內插公式得：以及頻率采樣表達的內插公式得：10101)(1)(1)(1)1 ()(N

16、kcNkkNNzHNzHzWkHNzzHk其中：其中： 為梳狀濾波器；為梳狀濾波器； ( (諧振器諧振器) )其極點正好與零點對消。其極點正好與零點對消。NczzH1)(11)()(zWkHzHkNk（1 1）頻率抽樣結構：）頻率抽樣結構：2jkNkze0,1,.,1kN()1jj NcH ee 22sin2NjNjea.級聯(lián)的第一部分：梳狀濾波器：級聯(lián)的第一部分：梳狀濾波器：在單位圓上有在單位圓上有N個等間隔角度的零點：個等間隔角度的零點：頻率響應：頻率響應：222NNNjjjeee( )1NcHzz 關于梳狀濾波器說明關于梳狀濾波器說明)sin(2)(2NjceHNczzH1)()(jce

17、H02N2N4kN21 1梳狀濾波器傳輸函數(shù)梳狀濾波器傳輸函數(shù):梳狀濾波幅頻特性梳狀濾波幅頻特性:梳狀濾波相頻特性梳狀濾波相頻特性:mNeHjc22)(arg2jkkNkNzWe單位圓上有一個極點：單位圓上有一個極點：2kN與第與第k個零點相抵消，使該頻率個零點相抵消，使該頻率 處的頻處的頻率響應等于率響應等于H(k)11)()(zWkHzHkNk由零極點互相抵消后，在有限由零極點互相抵消后，在有限z平面上系統(tǒng)函數(shù)沒平面上系統(tǒng)函數(shù)沒有極點，因而是一個有極點，因而是一個FIR系統(tǒng)系統(tǒng) a.穩(wěn)定性問題：原來結構的穩(wěn)定性問題：原來結構的N個零點、個零點、N個極點都在單位個極點都在單位圓上圓上N個等間

18、隔的相同位置上；零點僅有延遲決定，有個等間隔的相同位置上；零點僅有延遲決定，有限字長效應對零點位置沒有影響，而限字長效應對零點位置沒有影響，而 系數(shù)量化后，系數(shù)量化后，極點位置會移動，不能被零點所抵消，系統(tǒng)就不穩(wěn)定極點位置會移動，不能被零點所抵消，系統(tǒng)就不穩(wěn)定b.運算復雜、存儲量大：結構中所乘的系數(shù)運算復雜、存儲量大：結構中所乘的系數(shù)H(k)和和 都是復數(shù)，運算更加復雜，存儲量更多都是復數(shù)，運算更加復雜，存儲量更多（2） 修正頻率抽樣結構修正頻率抽樣結構2jkNkzre極點： 0,1,.,1kN11rr且將零極點移至半徑為將零極點移至半徑為r 的圓上：的圓上：)()()()(kHzHzHkHk

19、NkNWzrWzr1101( )( )(1)1NNNrkkNHkH zr zNrWza.針對第一個缺點針對第一個缺點b.針對頻率抽樣結構的第二個缺點針對頻率抽樣結構的第二個缺點 將將H(k)和和 都轉化成實數(shù)，合并共軛根都轉化成實數(shù)，合并共軛根*)()(*)(-)(-)(kkNkNNkNkjNNzzWWekHkNHnRkNHkH由對稱性：由對稱性：b.針對頻率抽樣結構的第二個缺點針對頻率抽樣結構的第二個缺點對對 中的第中的第k 項和第項和第N-k項合并項合并 2211101*11)(12cos211)(1)(1)(1)()(zrzkNrzzWrkHzrWkHzrWkNHzrWkHzHkkkNk

20、NkNNkNk 將第k個和第(N-k)個諧振器合并成一個實系數(shù)的二階網(wǎng)絡 kNkkWkHrkHRe2,Re210其中其中為偶數(shù)，為奇數(shù)NNkNNk12,.,2 , 1,21,.,2 , 1 對應的二階諧振器對應的二階諧振器b.針對頻率抽樣結構的第二個缺點針對頻率抽樣結構的第二個缺點當當N為偶數(shù)時，有一對實數(shù)根（相當于為偶數(shù)時，有一對實數(shù)根（相當于k=0,k=N/2兩點）兩點）rz因而，對應的一階網(wǎng)絡為：因而，對應的一階網(wǎng)絡為：111)2/()(1)0()(2/0rzNHzHrzHzHN當當N為奇數(shù)時為奇數(shù)時,只有一個實根（只有一個實根（k=0的點）的點）101)0()(rzHzH因而只有一個網(wǎng)

21、絡為：因而只有一個網(wǎng)絡為：rz 將諧振器的實根、復根以及梳狀濾波器合起來，即修正后的頻率將諧振器的實根、復根以及梳狀濾波器合起來，即修正后的頻率抽樣型總結構抽樣型總結構12/12/12/122111011)()()(12cos211)2/(1)0(1)(0NkkNNNNkkkNNzHzHzHNzrzrzkNrzrzNHrzHNzrzHN為奇數(shù)時為奇數(shù)時2/ )1(1)()(1)(0NkkNNzHzHNzrzHN為偶數(shù)時為偶數(shù)時 3615231zzH zz= 6N 0.9r 。 266031116kkH zr zHzHzHz=312531zzz112 11zzz 3315311zzH zz=23

22、3531jkjkj keee 024H即 122 3Hj 20H 32H 40H 522 3Hj 011024110.9HHzrzz 31132110.9HHzrzz 312 531H zzzz由 2zk NH kH z kHz 1k 101111122212coszHzz rr zN=4 111620.9Re13.6HW 111243.6 10.90.81zHzzz 101122212 coskkkzHzzrkr zN= 02RekH k 12 RekkNrH k W 122 3Hj 012Re1H 101122212 coskkkzHzzrkr zN=其中 02RekH k 12 RekkNrH k W 2k 時 02120 2 0Hz 20H 20Hz 111243.61 0.9