第一講(高等數(shù)學(xué)方法簡(jiǎn)介).

1、科學(xué)方法是打開科學(xué)殿堂大門的科學(xué)方法是打開科學(xué)殿堂大門的鑰匙鑰匙 , 是由必然王國(guó)通向自由王國(guó)的是由必然王國(guó)通向自由王國(guó)的橋梁橋梁。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的靈魂靈魂高等數(shù)學(xué)方法主講教師主講教師: 吳楠吳楠前言一一. 為什么要學(xué)為什么要學(xué)“高等數(shù)學(xué)方法高等數(shù)學(xué)方法 (參考前言第一段參考前言第一段)1. 科學(xué)方法的重要性科學(xué)方法的重要性科學(xué)科學(xué)是什么 , 為什么技術(shù)技術(shù)做什么 , 怎么做科學(xué)方法科學(xué)方法橋梁與鑰匙數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思維的體操科學(xué)的語(yǔ)言生活的需要(思路思路)(表達(dá)表達(dá))(應(yīng)用應(yīng)用)數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識(shí)思維方法解題方法(是數(shù)學(xué)的靈魂是數(shù)學(xué)的靈魂)2. 數(shù)學(xué)方法

2、的含義數(shù)學(xué)方法的含義二二. “高等數(shù)學(xué)方法高等數(shù)學(xué)方法”的結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)方法的結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)方法(參考前言第二、三段參考前言第二、三段)第一部分第一部分 (第一至第七章)每節(jié)包含: 方法指導(dǎo), 實(shí)例分析, 相關(guān)問(wèn)題第二部分第二部分 (第八至第十一章)包括綜述和提高(從古典數(shù)學(xué)向近代數(shù)學(xué)靠攏 )學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法:1. 將數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法相結(jié)合2. 重視分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法3. 學(xué)習(xí)要縱橫結(jié)合 , 著眼于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)華羅庚華羅庚 （1910 - 1985）“聰明在于勤奮聰明在于勤奮, , 天才在于積累天才在于積累”“學(xué)而優(yōu)則用學(xué)而優(yōu)則用, , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)”“由薄到厚由薄到厚 , ,由厚到薄

3、由厚到薄”注意問(wèn)題注意問(wèn)題：認(rèn)真聽課，扼要記錄，認(rèn)真聽課，扼要記錄， 多做題目，總結(jié)規(guī)律多做題目，總結(jié)規(guī)律。參 考 書張曉寧、李安昌張曉寧、李安昌： 高等數(shù)學(xué)方法高等數(shù)學(xué)方法 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社教學(xué)安排參考教學(xué)安排參考第一、二講第一、二講 高等數(shù)學(xué)中的方法綜述第三講第三講 研究函數(shù)與極限的基本方法第四講第四講 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法及微分中值定理應(yīng)用第五講第五講 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的方法第六講第六講 積分學(xué)的概念、性質(zhì)和不定積分的 計(jì)算法第七講第七講 定積分的計(jì)算、證明和解應(yīng)用問(wèn)題 的方法第八講第八講 幾類常微分方程的求解法第九講第九講 空間解析幾何方法及其應(yīng)用第十講第十講 研究多元函數(shù)微分學(xué)概念的方法第十一講

4、第十一講 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第十二講第十二講 二重及三重積分的計(jì)算法第十三講第十三講 線面積分的計(jì)算法第第十四十四講講 級(jí)數(shù)的收斂、求和及展開法第十五講第十五講 試題類型及解題方法分析第一、二講第一、二講 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)中的中的 分析問(wèn)題分析問(wèn)題 和和 解決問(wèn)題的解決問(wèn)題的 方法方法一一. 數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模方法數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模方法 ( P511 , 第一節(jié)第一節(jié) )數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型客觀實(shí)際問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué)具有形式化形式化、符號(hào)化符號(hào)化、簡(jiǎn)潔化簡(jiǎn)潔化的特點(diǎn).是一種高度抽象的模型. 有狹義狹義和廣義廣義兩種解釋 .數(shù)學(xué)建模方法數(shù)學(xué)建模方法 實(shí)驗(yàn)歸納法 理論分析法 ( P514 )物理

5、模型數(shù)學(xué)模型求解和分析結(jié)構(gòu).可無(wú)限逼近可無(wú)限逼近例如例如 , 為什么用為什么用N及語(yǔ)言定義極限語(yǔ)言定義極限 ? 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積 A .orn圓內(nèi)接正 n 邊形的面積為nA),5,4,3(n,0N(正整數(shù)) ,當(dāng)Nn 時(shí), 有, AAn記作記作.limAAnn精度要求精度要求邊數(shù)足夠多邊數(shù)足夠多找出找出利用極限知識(shí)可求出 :nAlim2rnncossinn2rnnrcossin2n 測(cè)量圓面積測(cè)量圓面積2rA直接觀測(cè)量為 r間接觀測(cè)量為 A半徑真值為0r面積真值為0A測(cè)量圓半徑得r計(jì)算圓面積為2)(rrf任給精度,0要使0)(Arf尋找精度,0讓0r

6、r記作20200lim)(limrrrfrrrr又如又如 , 為什么用增量比的極限定義導(dǎo)數(shù)為什么用增量比的極限定義導(dǎo)數(shù) ?運(yùn)動(dòng)規(guī)律)(tss 平 均 速 度ts0limt瞬 時(shí)v速度函數(shù))(tvv 平 均 加速度tv0limt瞬 時(shí)a轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律)(t平 均 角速度t0limt瞬 時(shí)電量函數(shù))(tqq 平 均 電流強(qiáng)度tq0limt瞬 時(shí)I質(zhì)量分布)(xmm 平均線密度xm0limx光滑曲線)(xyy 割 線 斜 率xy0limx切 線k抽象抽象: 定義導(dǎo)數(shù)xyyx0lim( 描述變化率問(wèn)題 )再如再如 , 椅子穩(wěn)定問(wèn)題椅子穩(wěn)定問(wèn)題 (P515P516)假設(shè)假設(shè): 四條腿一樣長(zhǎng) ; 地面為連續(xù)曲面

7、 .建模建模:設(shè) A , C 兩腳與地面的距離之和為,0)(2CgB , D 兩腳與地面的距離之和為,0)(2CfABCDABCD不妨設(shè),0)0(g,0)0(f且對(duì)任意有,0)()(gf證明存在, ),0(02使.0)()(00gf證明證明: 設(shè))()()(gfh,0)0(h, ,0C2又,0)(h2由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理可知 , 存在, ),0(02使0)(0h即)()(00gf又知,0)()(00gf所以0)()(00gf思考思考: 對(duì)長(zhǎng)方形板凳的穩(wěn)定問(wèn)題如何考慮?二二 .幾種常用的分析問(wèn)題的方法幾種常用的分析問(wèn)題的方法 (P444-455)1. 簡(jiǎn)化方法簡(jiǎn)化方法 2. 直觀分析法直觀分析法3

8、. 逆向分析法逆向分析法 4. 類比法類比法 5.歸納思維歸納思維 6.發(fā)散思維發(fā)散思維1. 簡(jiǎn)化方法簡(jiǎn)化方法復(fù)雜問(wèn)題 簡(jiǎn)單問(wèn)題分解法分解法變換法變換法換元法換元法遞推法遞推法轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法6ln6ln3ln)(23xxxxf單調(diào)遞減。 提示提示: 令,ln xt )663()(23tttetgt)0(0)(3ttetgt31)(xxxfx)1(x則轉(zhuǎn)化為討論下述函數(shù)在 t 0 時(shí)單調(diào)遞減 . 注意說(shuō)明說(shuō)明 1. ) 1()()(33xxxfxg與具有相同的極值點(diǎn) , 故可用后者代替前者討論極值問(wèn)題與單調(diào)性問(wèn)題 . 2. 有些復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題 , 可利用組成它的簡(jiǎn)單函數(shù)鏈的單調(diào)性傳遞得出 .

9、 如 P445例1.例例1. 證明 設(shè), 求提示：將函數(shù)化為提示：將函數(shù)化為xy4cos4143則)24cos(41)(nxynnxxy44cossin.)(ny例例2.的解. 例例3.設(shè)函數(shù)),()(在xyy,)()(, 0的反函數(shù)是xyyyxxy內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)(1) 試將 xx( y) 所滿足的微分方程 變換為 yy(x) 所滿足的微分方程 ;(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y數(shù), 且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得 (1) 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(2003考研考研)0)dd)(s

10、in(dd322yxxyyx,1ddyyx0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得 xyysin (2) 方程的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 xxCCYee21設(shè)的特解為 ,sincosxBxAy代入得 A0,21B,sin21xy故從而得的通解: xCCyxxsin21ee21由初始條件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值問(wèn)題的解為 xyxxsin21ee思考思考: 設(shè)0( )e()d ,(0)0,xxxxxuu?)(x如何求提示提示: 對(duì)積分換元 ,uxt 令則有xxttx0d)(e)()(e)(xxx 解初值問(wèn)題: xx

11、xe)()( ,0)0(1)0(答案:xxxxe41) 12(e41)(2. 直觀分析法直觀分析法 通過(guò)特例或圖形，尋找規(guī)律、方法和結(jié)論. 與幾何形體有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)盡量畫圖尋求啟示. 有關(guān)幾何應(yīng)用題盡量畫出圖形找?guī)缀侮P(guān)系 . 填空題和選擇題可用增強(qiáng)條件的方法找結(jié)論.)(xf的圖形關(guān)于例例1. 設(shè)定義在實(shí)數(shù)域上的函數(shù)直線ax 及)(abbx對(duì)稱 , 試證)(xf為周期函數(shù) . ( P.447 例例4 )oyxax bx x)(xfxa2)(2abx證證:, ),(x有)(2(abxf)2(abxbf) (bf)2(xaf)(xaaf)2(abx) (af)(xa)(xf因此)(xf是周期為)(2a

12、b的函數(shù) .例例2 證明拉格朗日中值定理時(shí)如何設(shè)輔助函數(shù)證明拉格朗日中值定理時(shí)如何設(shè)輔助函數(shù)?分析分析:)(xfy Cxyabafbf)()(由圖可知 , 設(shè)輔助函數(shù)CxabafbfxfxF)()()()(C 為任意常數(shù) )都可使 F( x ) 在 a , b 上滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,因此所設(shè)輔助函數(shù)不唯一 .oyxab例例3.3.如何求函數(shù)如何求函數(shù))(xfy 的斜漸近線?bxay分析分析: :oyxx)(xfy bxay由圖可知, 若曲線)(xfy 有斜漸近線,bxay則必有0)()(limbxaxfx從而xxlimxbxxfa)(0 xlimxbxxfa)(0,lim)(xxfxa)(li

13、mxaxfbx例如例如 , 求曲線求曲線21xexy 的斜漸近線解解:xxfxa)(lim)(limxxfbx21limxex11lim21xexx21limxxx0所以曲線有斜漸近線.xy )(xf),(ba)(xf )(,(),(,(bfbBafaA)(xfy ,)(,(cfcC,bca),(ba 在,ba上連續(xù), 在內(nèi)存在 , 連接兩點(diǎn)的直線交曲線于且試證至少存在一點(diǎn)使.0)( f提示提示:如圖所示, 有),(),( )()()()(2121bccaabafbfff)(xf 在,21上應(yīng)用Rolle定理1 2 CacbAB對(duì)（ P118 題題7 ）例例4.4.已知( )0( )0fxf

14、x，證明不等式( )( )() ()( )()22 baabf bf aba ff x dxba例例5.5.已知逆向思維反推 執(zhí)果溯因反證 利用正命題與逆否命題等價(jià)， 多用于否命題反例 找反例說(shuō)明原命題不正確3. 逆向分析法逆向分析法在 上連續(xù),在 內(nèi)可導(dǎo),且,試證至少存在一點(diǎn) 使得)(xf,ba),(ba( )( )0f af b( )2( )ff分析分析:轉(zhuǎn)化為證( )2( )0fxxf x可見只要對(duì)22( )2ln( )( )( )xfxxf xxf xef x2( )( )xxef x( ,)ab上用 羅爾 中值定理.由于,ba在例例1. 設(shè)函數(shù)在 上連續(xù),在 內(nèi)可導(dǎo),且,試證存在 使

15、得)(xf,ba),(ba0)( xfeabeeffab)()(分析分析:轉(zhuǎn)化為證efeeabfab)()(上滿足 Lagrange 定理?xiàng)l件 ,使,)()()(abfafbf則只需證明efeeafbfab)()()(可見只要對(duì))(xf)(xf),(ba ,),(ba上用 Cauchy 中值定理.( P450,考研考研98 )由于在,ba則有xe,ba及在例例2. 設(shè)函數(shù)0!100!211002xxx無(wú)實(shí)根.( P451 例例7 )分析分析:用反證法. 假設(shè)有實(shí)根) 10(!101!100!211011002 xexxxexx代入,0 xx 1010!10100 xeexx 上式兩邊異號(hào)上式兩

16、邊異號(hào), 矛盾, 假設(shè)不真!,00 x,0 x利用顯然則有例例3. 證明方程 )(xf在 可導(dǎo), 則在 處必連續(xù) ,答答: 不一定不一定 . 例如設(shè)函數(shù)xxfxf0)0()(問(wèn)在 的充分小的鄰域內(nèi) 是否連續(xù) ?例例4.已知函數(shù)0 x0 x0 x)(xfxxxxf,0,)(2有理數(shù)有理數(shù)無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)0)0()(lim)0(0 xfxffx但00 x時(shí), )()(lim00 xfxfxx即00 x時(shí),)(xf都間斷 .0 類比是找相似性, 是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要方法。兩個(gè)問(wèn)題有一部分特征相似，推想其他特征也相似；從某個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程，聯(lián)想到一類問(wèn)題的解題方法 例如,定義、性質(zhì)、應(yīng)用、計(jì)算等4. 類