自動控制理論教學-第四章 根軌跡法ppt課件

1、一、根軌跡的概念一、根軌跡的概念 從上一章討論知道，閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與閉環(huán)極點在從上一章討論知道，閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與閉環(huán)極點在 平面上的位置是親密相關的，分析系統(tǒng)性能時往往要求確平面上的位置是親密相關的，分析系統(tǒng)性能時往往要求確定閉環(huán)極點位置。另一方面分析設計系統(tǒng)時經常要研討一個定閉環(huán)極點位置。另一方面分析設計系統(tǒng)時經常要研討一個或者多個參量在一定范圍內變化時對閉環(huán)極點位置及系統(tǒng)性或者多個參量在一定范圍內變化時對閉環(huán)極點位置及系統(tǒng)性能的影響能的影響. . W.R.EVAOVS( W.R.EVAOVS(依萬斯依萬斯) )于于19481948年首先提出了求解特征方程年首先提出了求解特征方程式根

2、的圖解法式根的圖解法根軌跡法。根軌跡法。 s 根軌跡簡稱根跡，它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮根軌跡簡稱根跡，它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在 平面上變化的軌跡。平面上變化的軌跡。s( )R s()*Ks sa( )C s 普通而言，繪制根軌跡時選擇的可變參量可以是系普通而言，繪制根軌跡時選擇的可變參量可以是系統(tǒng)的恣意參量。但在實踐中，最常用的可變參量是系統(tǒng)統(tǒng)的恣意參量。但在實踐中，最常用的可變參量是系統(tǒng)的開環(huán)增益的開環(huán)增益 。以。以 為可變參量繪制的根軌跡稱為為可變參量繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。常規(guī)根軌跡。KK例例4-1：規(guī)范二階系統(tǒng)根軌

3、跡圖。：規(guī)范二階系統(tǒng)根軌跡圖。( )()*KG ss sa規(guī)范二階系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)為：規(guī)范二階系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)為：它有兩個極點：它有兩個極點： ，無零點，無零點， 為根軌跡增益。為根軌跡增益。120p,pa *K系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為： 2( )( )( )*C ssR ssasKK閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征根閉環(huán)特征根(極點極點) ：20*sasK21 222,*aKas 10p j02pa 2assa 討論討論 一定時，根軌跡增益一定時，根軌跡增益 與特征根之間的關系：與特征根之間的關系： a*K 當當 時，時， ，即開環(huán)極點；，即開環(huán)極點；0*K120ssa

4、 ， 時的根軌跡時的根軌跡( (閉環(huán)閉環(huán)特征根隨特征根隨 變化的軌跡變化的軌跡) )如右如右圖所示。顯然，圖所示。顯然， 和和 都為正時，系統(tǒng)穩(wěn)都為正時，系統(tǒng)穩(wěn)定。定。 0*K：*Ka*K 當當 時，時， 和和 為互不相等的兩個負實根，為互不相等的兩個負實根， 對應于系統(tǒng)過阻尼的情況；對應于系統(tǒng)過阻尼的情況；204*aK1s2s 當當 時，兩根相等，時，兩根相等， ， 對應于系統(tǒng)臨界阻尼的情況；對應于系統(tǒng)臨界阻尼的情況；24*aK 122ass 10p j02pa 2assa 當當 時，時， 兩根為共軛復數(shù)根，兩根為共軛復數(shù)根， ，這時，根軌跡，這時，根軌跡 與實軸垂直，并相交于與實軸垂直，并

5、相交于 ， 對應于系統(tǒng)欠阻尼的情況。對應于系統(tǒng)欠阻尼的情況。24*aK 21 224*,saj Ka (0)2aj，規(guī)定：規(guī)定： 表示開環(huán)極點；表示開環(huán)極點； 表示開環(huán)零點；表示開環(huán)零點；箭頭表示箭頭表示 增大時，閉環(huán)極點的變化趨勢。增大時，閉環(huán)極點的變化趨勢。*K二、根軌跡與系統(tǒng)性能二、根軌跡與系統(tǒng)性能 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能 動態(tài)性能動態(tài)性能根軌跡與虛軸交點處的根軌跡與虛軸交點處的 值就是臨界根軌跡增益。值就是臨界根軌跡增益。*K 穩(wěn)態(tài)性能與開環(huán)增益及在原點的開環(huán)極點數(shù)有關。開穩(wěn)態(tài)性能與開環(huán)增益及在原點的開環(huán)極點數(shù)有關。開環(huán)極點是表如今根軌跡上的，而且，開環(huán)增益如何變化，環(huán)極點是表

6、如今根軌跡上的，而且，開環(huán)增益如何變化，系統(tǒng)的閉環(huán)極點位置也表如今根軌跡圖上?？稍诟壽E圖系統(tǒng)的閉環(huán)極點位置也表如今根軌跡圖上。可在根軌跡圖上，確定保證系統(tǒng)靜態(tài)性能的開環(huán)增益范圍。上，確定保證系統(tǒng)靜態(tài)性能的開環(huán)增益范圍。 動態(tài)性能由閉環(huán)極點位置決議，在根軌跡圖上，可以動態(tài)性能由閉環(huán)極點位置決議，在根軌跡圖上，可以確定出滿足系統(tǒng)性能的參數(shù)范圍。確定出滿足系統(tǒng)性能的參數(shù)范圍。三、閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點之間的關系三、閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點之間的關系( )R s( )G s( )C s( )H s11( )()rjGi*qjiszGKssp11( )()l*HjiijhKszH ssp典型的控制系統(tǒng)構

7、造圖如右：典型的控制系統(tǒng)構造圖如右：開環(huán)傳送函數(shù)為：開環(huán)傳送函數(shù)為：閉環(huán)傳送函數(shù)為：閉環(huán)傳送函數(shù)為：1111( )( )1( )()( )()hiimjjrjjni*i*GG ssG ssspspKH szzKs11()( )( )()mji*nijG ssKHzssp()*GH*KKK開環(huán)增益：開環(huán)增益：11()(0)(0)()m*GHjjniiK KzKGHp1111()()()()r*h*GjijiBnmijijKzpKpzK 影響系統(tǒng)輸入影響系統(tǒng)輸入 輸出的幅值比輸出的幅值比閉環(huán)增益：閉環(huán)增益：根軌跡增益：根軌跡增益：*GH*KKK 閉環(huán)零點由前向通道的零點和反響通道的極點組成。閉環(huán)零

8、點由前向通道的零點和反響通道的極點組成。 閉環(huán)極點與開環(huán)傳送函數(shù)的零點、極點和增益有關。閉環(huán)極點與開環(huán)傳送函數(shù)的零點、極點和增益有關。 結論結論系統(tǒng)的特征方程：系統(tǒng)的特征方程：11( )1( )( )()()0nmijij*D sG s H ssKpsz 影響系統(tǒng)影響系統(tǒng) 的穩(wěn)態(tài)誤差的穩(wěn)態(tài)誤差 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。一、繪制根軌跡的相角條件和幅值條件一、繪制根軌跡的相角條件和幅值條件l 閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程：1( )( )0G s H s(21)( )( )11 (012)jqG s H seq, 即：即：l 幅值

9、條件：幅值條件：l 相角條件：相角條件：( )( )1G s H s ( )( )180 (21) (0 1 2)G s H sqq, , , 凡是滿足上述幅值條件和相角條件的凡是滿足上述幅值條件和相角條件的 值，就是系值，就是系統(tǒng)特征方程式的根，也就是系統(tǒng)的閉環(huán)極點，就必定在統(tǒng)特征方程式的根，也就是系統(tǒng)的閉環(huán)極點，就必定在根軌跡上。根軌跡上。s二、開環(huán)傳送函數(shù)的兩種表達式二、開環(huán)傳送函數(shù)的兩種表達式11()( )( )()jimjni*sG s HzKssp11(1)( )( )(1)mjjinisG s H ssKT顯然有：顯然有：11()(1)1mjijj*jniiippKTKzz ，

10、零極點方式：零極點方式： 首首1型型 時間常數(shù)方式：時間常數(shù)方式： 尾尾1型型根軌跡法中，其開環(huán)傳送函數(shù)多采用零極點方式：根軌跡法中，其開環(huán)傳送函數(shù)多采用零極點方式：11()( )( )()jimjni*sG s HzKsspu 繪制根軌跡的幅值繪制根軌跡的幅值(模值模值)條件為：條件為：u 繪制根軌跡的相角條件為：繪制根軌跡的相角條件為：111jniji*msszpK11njm*iijsszKp或或11()()180 (21) (0 1 2)mnjijissqq, , ,zp l 模值方程不但與開環(huán)零、極點有關，而且與開環(huán)根軌跡模值方程不但與開環(huán)零、極點有關，而且與開環(huán)根軌跡l 增益有關；而

11、相角方程只與開環(huán)零、極點有關。增益有關；而相角方程只與開環(huán)零、極點有關。l 相角方程是決議系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。相角方程是決議系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。留意幾點！留意幾點！l 模值方程是根軌跡的必要條件模值方程是根軌跡的必要條件 平面上的某一點平面上的某一點l 是根軌跡上的點，那么幅值條件成立；是根軌跡上的點，那么幅值條件成立； 平面上的任一平面上的任一l 點點 滿足幅值條件，該點卻不一定是根軌跡上的點。滿足幅值條件，該點卻不一定是根軌跡上的點。SSssl 在實踐運用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主在實踐運用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主l 要用來確定知根軌跡上某一點

12、的要用來確定知根軌跡上某一點的 值。值。*K三、繪制根軌跡的根本規(guī)那么三、繪制根軌跡的根本規(guī)那么 規(guī)那么規(guī)那么1 根軌跡的起點和終根軌跡的起點和終點點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。證明：閉環(huán)特征方程可表示為證明：閉環(huán)特征方程可表示為11()()0*inmjjizsspK (01 2)*isip, ,nK 上式同除上式同除 得：得：*K11()()0nmiij*jKsszp (1 2)*jsjzK, ,m111111nnnnmmm*msa sasasbsbsbK 實踐系統(tǒng)中，實踐系統(tǒng)中， ，因此，有，因此，有 條根軌跡的終點條根軌跡的終點將在無窮遠處

13、將在無窮遠處(無限零點；無限零點無限零點；無限零點+有限零點有限零點=極點數(shù)極點數(shù))。假設假設 ，那么必有，那么必有 條根軌跡的起點在無窮遠處條根軌跡的起點在無窮遠處(無無限極點限極點)。mn()nmnm()nm幅值條件可以表示為：幅值條件可以表示為： 上式闡明：只需當上式闡明：只需當 時時 ，故有，故有 條根軌跡分支，趨向無窮遠處。條根軌跡分支，趨向無窮遠處。s *K ()nm規(guī)那么規(guī)那么2 根軌跡的分支數(shù)、對稱性和延續(xù)根軌跡的分支數(shù)、對稱性和延續(xù)性性 根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù) ，它們是延續(xù)的，它們是延續(xù)的，并且對稱于實軸。并且對稱于實軸。()max n,m證明：證明： 根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)

14、某一參數(shù)從根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從 時，閉環(huán)特征時，閉環(huán)特征 方程的根在方程的根在 平面上變化的軌跡。因此，根軌跡的分支平面上變化的軌跡。因此，根軌跡的分支 數(shù)應該等于閉環(huán)特征方程的根的數(shù)目。數(shù)應該等于閉環(huán)特征方程的根的數(shù)目。 普通物理系統(tǒng)的特征方程中各項系數(shù)是實數(shù)，故閉普通物理系統(tǒng)的特征方程中各項系數(shù)是實數(shù)，故閉 環(huán)特征方程的根只需實根和復根兩種，實根位于實軸環(huán)特征方程的根只需實根和復根兩種，實根位于實軸 上，復根必共軛。而根軌跡是根的集合，所以根軌跡對上，復根必共軛。而根軌跡是根的集合，所以根軌跡對 稱于實軸。根據(jù)對稱性，只需做出上半稱于實軸。根據(jù)對稱性，只需做出上半 平面的根軌平面的根

15、軌 跡，然后，利用對稱性就可以畫出下半跡，然后，利用對稱性就可以畫出下半 平面的根軌跡。平面的根軌跡。 由于系統(tǒng)特征方程是代數(shù)方程，而代數(shù)方程中系數(shù)由于系統(tǒng)特征方程是代數(shù)方程，而代數(shù)方程中系數(shù) 延續(xù)變化時，根也延續(xù)變化，故根軌跡是延續(xù)的。延續(xù)變化時，根也延續(xù)變化，故根軌跡是延續(xù)的。0sss規(guī)那么規(guī)那么3 根軌跡的漸進根軌跡的漸進線線11180 (21) (0 1 21)nmijijaapzqq, ,nmnmnm， 當開環(huán)有限極點數(shù)當開環(huán)有限極點數(shù) 大于有限零點數(shù)時，有大于有限零點數(shù)時，有 條根軌跡分支沿著與實軸交角為條根軌跡分支沿著與實軸交角為 、交點為、交點為 的一組的一組漸近線趨向無窮遠處

16、，且有：漸近線趨向無窮遠處，且有：aan()nm111111()( )( )()mmmjmn*njni*inKKssbsbG s H ssa saszp證明：證明：式中，式中，111111()()mnmnjimjnijijibz ,ap ,bz,ap 1212 nnnnsa sa sa11mmmsbsbn ms1212nnnmsb sb sb121122nnmmab sabsab()()()111n mab s()12111111nnmmab sb ab sb ab()()()222111n mabb abs()()222111nabb abs()()當當 值很大時，值很大時，111( )(

17、)n mm*naKHssG ssb()s( )( )1G s H s 由由 得漸近線方程為：得漸近線方程為：111n m*abssK 11111n mn m*abssK 即：即：二項展開式：二項展開式：2(1)(1)(1)(1)1 ( 11)2!mnm mm mmnxmxxxxn 12111111111111112! 1()n mabababsnmsnmnmsabs nm 根據(jù)二項式定理有：根據(jù)二項式定理有：代入漸近線方程得：代入漸近線方程得：11111()()*n mn*mababsscosjsins nmKKnm 設設 ，那么：，那么：()zr cosjsin1122nnkkzrcosjs

18、innn11(21)(21)*n mabqqjcosjsinnmnnKmm令令 可得：可得：sj11(21)(21) n mn*mKabqcosnmnmqsinnmK () n maaaaa*sincostanK解得：解得：式中：式中：1111(21) (0 1 21), nmijijaapzabqq, ,nmnmnmnm 0jaaaaatan 規(guī)那么規(guī)那么4 實軸上的根軌實軸上的根軌跡跡 實軸上的某一區(qū)域，假設其右邊開環(huán)零、極點的數(shù)目實軸上的某一區(qū)域，假設其右邊開環(huán)零、極點的數(shù)目之和為奇數(shù)，那么該區(qū)域必定是根軌跡。之和為奇數(shù)，那么該區(qū)域必定是根軌跡。由圖可見，在由圖可見，在 右右邊的每個開環(huán)

19、零點邊的每個開環(huán)零點或極點提供的相角或極點提供的相角為為180，在，在 點左點左邊的每個開環(huán)零點邊的每個開環(huán)零點或極點提供的相角或極點提供的相角為為0，一對共軛開，一對共軛開環(huán)極點或零點對提環(huán)極點或零點對提供的相角相互抵消，供的相角相互抵消，其和為零。其和為零。0s0s0j1z2z3z1p2p3p4p0s30211203() 4()注：注： 箭頭指向箭頭指向 。12zz1z0s0s0011()()180 (21) (0 1 2)mjniijzssq, ,pq, 相角條件變?yōu)椋合嘟菞l件變?yōu)椋?m 右邊的開環(huán)零點數(shù)；右邊的開環(huán)零點數(shù)；0s 右邊的開環(huán)極點數(shù)。右邊的開環(huán)極點數(shù)。0n0s即：即：00(

20、)180 (21) (0 1 2)mnqq, , , 例例4-2：試繪制開環(huán)傳送函數(shù)為：試繪制開環(huán)傳送函數(shù)為 的單位的單位 反響系統(tǒng)的根軌跡。反響系統(tǒng)的根軌跡。( )(1)(2)*G ss sKs解：解：30nm， 為根軌跡的起點；為根軌跡的起點； 開環(huán)無零點，故三個分支終點均趨向無窮遠。開環(huán)無零點，故三個分支終點均趨向無窮遠。123012ppp ， 實軸上根軌跡：實軸上根軌跡：11(21)(21)60 180 (0 1 2)33013anmijijaqqq, ,nmpznm 、30021 0, （，j10p 21p 32p b問題：問題： 點坐標如何求??？點坐標如何求??？b規(guī)那么規(guī)那么5 根

21、軌跡的分別點與分別根軌跡的分別點與分別角角l 分別角：根軌跡進入分別點的切線方向與分開分別點的分別角：根軌跡進入分別點的切線方向與分開分別點的l 切線方向之間的夾角。切線方向之間的夾角。l 分別點：兩條或兩條以上根軌跡分支在分別點：兩條或兩條以上根軌跡分支在S平面上相遇又平面上相遇又l 立刻分開的點，稱為根軌跡的分別點。立刻分開的點，稱為根軌跡的分別點。復平面上根軌跡的分別點必需滿足方程：復平面上根軌跡的分別點必需滿足方程：0*dKds 必要非充分條件！必要非充分條件！ 對于實軸上0至 線段的實數(shù)根而言，其對應的 值在 點為極大值。 可以證明，當l 條根軌跡分支進入并立刻分開分別點時，分別角為

22、*Kb(21) 011klkl - . ， ， ，1例例4-3：求上例中：求上例中 點的坐標。點的坐標。b解：系統(tǒng)的特征方程為解：系統(tǒng)的特征方程為1( )10(1)(2)*G ss sKs 32 (1)(2)(32 )*s ssssKs 0*dKds令令 得：得：1223620 0 4231 577 ss.s.s ，10 s 0 423 s. 為分別點為分別點 的坐標。的坐標。b或：或： 假設假設ii*sK00*i*iKK那么那么 為分別點為分別點那么那么 不是分別點不是分別點isis1111jnmijizpdd分別點的坐標分別點的坐標 還可以由以下方程求得：還可以由以下方程求得：11( )(

23、)()0n*imijjD sssKpz證明：閉環(huán)特征方程可表示為證明：閉環(huán)特征方程可表示為根軌跡在根軌跡在 平面相遇，闡明平面相遇，闡明 有重根，有重根，s( )0D s ( ) 0dD sds1111()() ()()*nmijinmijijj*ssddssdsdszppKzK 即：即：下式除以上式得：下式除以上式得：無有限零點時無有限零點時等于零等于零1111()()()() iimnjijnmijjddsppsdsdszszs11()() mnijjid lnsd lnsdspszd111111 ()()()()()() jjnmnmijijiiinijjmlnsln slnsln sd

24、 ln sd ln sdppzzzdsps， 1111jnmijizpss即：即： 證畢。證畢。 規(guī)那么規(guī)那么6 根軌跡的出射角和入射根軌跡的出射角和入射角角在開環(huán)復數(shù)極點處，根軌跡的出射角為：在開環(huán)復數(shù)極點處，根軌跡的出射角為：在開環(huán)復數(shù)零點處，根軌跡的入射角為：在開環(huán)復數(shù)零點處，根軌跡的入射角為：180p180z 式中，式中， 是其它開環(huán)零、極點對出射點或入射點提供的相角是其它開環(huán)零、極點對出射點或入射點提供的相角1111 ()() ()()zpmnkjkiji,i kmnkjkij,j kipzpporzzzp出射角出射角(起始角起始角)：根軌跡分開復數(shù)極點處的切線與正實軸：根軌跡分開復

25、數(shù)極點處的切線與正實軸 的夾角。的夾角。入射角入射角(終止角終止角)：根軌跡進入復數(shù)零點處的切線與正實軸：根軌跡進入復數(shù)零點處的切線與正實軸 的夾角。的夾角。舉例：如圖，設舉例：如圖，設 為距為距 很近的根軌跡上的一點，很近的根軌跡上的一點， 。ds5p5ppj1z1p2p3p4pds5p5p4p3p2p1p1z123145()180zppppp 151234180 =() zppppp 由于由于 位于根軌跡上，應滿足位于根軌跡上，應滿足相角條件，即：相角條件，即：ds規(guī)那么規(guī)那么7 根軌跡與虛軸的交根軌跡與虛軸的交點點 假設根軌跡與虛軸相交，那么交點上的假設根軌跡與虛軸相交，那么交點上的 值

26、和值和 值可用值可用勞斯判據(jù)確定，也可令閉環(huán)特征方程中的勞斯判據(jù)確定，也可令閉環(huán)特征方程中的 ，然后，然后分別令其實部和虛部為零而求得。分別令其實部和虛部為零而求得。*Ksj例例4-4：設系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為：設系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為 試繪制系統(tǒng)的概略根軌跡。試繪制系統(tǒng)的概略根軌跡。2( )( )(3)(22)*G s H ss ssKs解：解：1234034011pppjpmjn ， 標出零極點標出零極點 確定實軸上的根軌跡確定實軸上的根軌跡四個開環(huán)極點，無開環(huán)零點，四條根軌跡趨向無窮零點。四個開環(huán)極點，無開環(huán)零點，四條根軌跡趨向無窮零點。實軸上，實軸上， 區(qū)域為根軌跡。區(qū)域為根軌跡。3 0,

27、 確定根軌跡的漸近確定根軌跡的漸近線線11(21)(21)45 135 (0 1 2 3)4501 254anmijijaqqq, , ,nmpz.nm 、225 、315 確定分別點和分別確定分別點和分別角角2432(3)(22)(586 )*s ssssssKs 21( )( )10(3)(22)*G s H ss sssK 由由 可得：可得：232(3)(22)(415166)0*ds ssssssdKs 解得：解得： (用二分法求近似解用二分法求近似解)。分別角。分別角2 3s. 180902 二分法：設二分法：設 在在 上延續(xù)，上延續(xù)， 且且 在在 內僅有一個實根內僅有一個實根 ，于

28、是，于是 即是這個根的隔離區(qū)間。即是這個根的隔離區(qū)間。 取取 ，計算，計算 ，假設，假設 ，那么，那么 ； 假設假設 與與 同號，那么令同號，那么令 由由 知：知： 且且 ； 假設假設 與與 同號，那么令同號，那么令 由由知：知： 且且 ； 以以 作為新的隔離區(qū)間，反復上述做法，當作為新的隔離區(qū)間，反復上述做法，當 時可求得時可求得 ，且，且 ； 反復反復 次，次， ，且，且 。( )f xa,b( )( )0f af b( )0f x ()a,ba,b1() 2ab1()f1()0f11()f( )f a111abb，11( )( )0f af b11ab11() 2baba1()f( )f

29、 b111aab，11( )( )0f af b11ab11() 2baba11a ,b211() 2ab22ab222() 2babannnab() 2nnnbaba 確定出射確定出射角角 確定根軌跡與虛軸的交確定根軌跡與虛軸的交點點1801801 1801359071 62pzparctan. 432( )5860*D ssssKs方法一：勞斯判據(jù)方法一：勞斯判據(jù)系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的特征方程為：43210185603450204250*ssssKKsKK204250*K令令 可得：可得：2048 1625*K.根據(jù)根據(jù) 的系數(shù)構建輔助方程：的系數(shù)構建輔助方程：2s23450*sK55

30、1 134348 16 *sjjj.K 繪制根軌繪制根軌跡跡方法二：把方法二：把 代入特征方程代入特征方程 得得4325860*ssKsssj423(8)(56 )0*jK 42380560 *K (2) (1)由式由式(2)可得：可得： 61 15. 8 16*K.代入式代入式(1)得：得：j0 5 .1 0 .0 5 .30 5 .2 3b. 71 6p. 1135p490p226 6p.1 1 .1 1 .規(guī)那么規(guī)那么8 根之根之和和 當當 時，特征方程第二項系數(shù)與時，特征方程第二項系數(shù)與 無關，無關，無論無論 取何值，開環(huán)取何值，開環(huán) 個極點之和總是等于閉環(huán)特征個極點之和總是等于閉環(huán)特

31、征方程方程 個根之和，即：個根之和，即：2nm*K*Knn11nniiiisp在開環(huán)極點確定的情況下，這是一個不變的常數(shù)。在開環(huán)極點確定的情況下，這是一個不變的常數(shù)。一個重要推論：一個重要推論： 由于根之和不變，由于根之和不變， 增大，一些根軌跡分支向左移增大，一些根軌跡分支向左移動，那么一定會相應有另外一些根軌跡分支向右挪動。動，那么一定會相應有另外一些根軌跡分支向右挪動。*K 小結：繪制根軌跡的步小結：繪制根軌跡的步驟驟 標出零極點；標出零極點； 確定實軸上的根軌跡；確定實軸上的根軌跡； 確定根軌跡的漸近線；確定根軌跡的漸近線； 確定分別點和分別角；確定分別點和分別角； 確定出射角；確定出

32、射角； 確定根軌跡與虛軸的交點；確定根軌跡與虛軸的交點； 繪制根軌跡。繪制根軌跡。例例4-5：設單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為：設單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為 ， 試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。2(0 51)( )0 51*. sG s. ssK 確定實軸上的根軌跡；確定實軸上的根軌跡； 標出零極點；標出零極點；解：解：11211212pjnpzmj ，實軸上，實軸上， 區(qū)域為根軌跡。區(qū)域為根軌跡。(2, 確定根軌跡的漸近線；確定根軌跡的漸近線；11(21)(21)180 (0)12(2)01anmijijaqqqnmpznm 確定分別點和分別角；確定分別點和分別角； 確定出射

33、角；確定出射角；由由 可得：可得：2(0 51)1( )100 51*. sG s.sKs 222(22)2(22) (2) 1 (22)0(2)*sssdssssKsdKs 即：即：2214200 53 4 4816 s.sss. ，( (舍去！舍去！) )180180 1804590135pzp 確定根軌跡與虛軸的交點；確定根軌跡與虛軸的交點； 繪制根軌跡。繪制根軌跡。2( )(2)220*KD sssK系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的特征方程為：2101222022*sKssKK 0 *K ：故根軌跡與虛軸不相交。故根軌跡與虛軸不相交。j2114123523 414b. 135p45z90p四、

34、閉環(huán)極點確實定四、閉環(huán)極點確實定 以上我們用相角條件引見了繪制根軌跡的根本規(guī)那么，以上我們用相角條件引見了繪制根軌跡的根本規(guī)那么，根據(jù)幅值條件，可以求出對應根軌跡的點根據(jù)幅值條件，可以求出對應根軌跡的點( (閉環(huán)極點閉環(huán)極點) )的的增益增益 ( (或或 ) )。*KK例例4-6: 給定閉環(huán)主導極點的阻尼比為給定閉環(huán)主導極點的阻尼比為 ，試利用例，試利用例4-4 繪制的根軌跡圖，求增益繪制的根軌跡圖，求增益 以及其他閉環(huán)極點。以及其他閉環(huán)極點。0 5 .*K解：解：1. 繪制繪制 (即即 )線線 根據(jù)它與根軌跡的交點求得閉環(huán)共軛極點為：根據(jù)它與根軌跡的交點求得閉環(huán)共軛極點為： 60arccos

35、0 5 .0 40 7.j .11()()(0 40 7 )(2 60 7 )(0 60 3 )(0 6 1 7 )1119 715 126 670 610887 8 jmnjiiss. j. j. j. j.p.z.用相角條件驗證用相角條件驗證確實是根軌跡上的點。確實是根軌跡上的點。0 40 7 .j .j0 5 .1 0 .0 4 .30 5 .2 3b. 1 1 .1 1 .0 7 .0 5 .10 40 72 60 70 60 30 6 1 7 0 81 2 69 0 67 1 802 63i*nis. j. j. j. j.p.K 2. 2. 求其它閉環(huán)極求其它閉環(huán)極點點方法一：試探

36、法方法一：試探法 在根軌跡上任選一點；在根軌跡上任選一點； 由零、極點向選定點作直由零、極點向選定點作直線；線； 量出各線段長度；量出各線段長度； 在其他條根軌跡上，反復上述步驟，求出一切極點。在其他條根軌跡上，反復上述步驟，求出一切極點。 假設上式成立，那么該選定點為閉環(huán)極點，否那么，假設上式成立，那么該選定點為閉環(huán)極點，否那么，另選一點另選一點 重試；重試； 驗證：驗證：11nimjji*sszKp？已求得閉環(huán)共軛極點：已求得閉環(huán)共軛極點：0 40 7.j .2(0 40 7)(0 40 7)0 80 65s.j .s.j .s. s.方法二：方法二：4325862 63 ssss.20

37、80 65s. s.2s4320 80 65s. s.s324 27 3562 63. s.ss.4 2 . s324 23 362 73. s.s.s23 993 272 63.s.s.3 99.23 993 192 59.s.s.0 080 04.s.121 452 75s.s. 由由 可解得：可解得：24 203 99. ss.222 63 ( )(3)(22)1 45 1 55 (1 452 92)0 07 2 306D ss sss. 驗證：驗證：一、參數(shù)根軌跡一、參數(shù)根軌跡 前面討論的系統(tǒng)根軌跡的繪制都是以根軌跡增益前面討論的系統(tǒng)根軌跡的繪制都是以根軌跡增益 為為可變參量，這種根軌

38、跡稱為常規(guī)根軌跡。可變參量，這種根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。 從實際上講，可變參量可以選擇為系統(tǒng)的任何參數(shù)，從實際上講，可變參量可以選擇為系統(tǒng)的任何參數(shù)，如開環(huán)零點、極點，時間常數(shù)和反響系數(shù)等，這種根軌跡如開環(huán)零點、極點，時間常數(shù)和反響系數(shù)等，這種根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，或廣義根軌跡。稱為參數(shù)根軌跡，或廣義根軌跡。 *K11()( )1( )( )110( )()*mjjni*iszN sG s H sDKKssp ( )10( )P sQ s 前面引見的相角條件、幅值條件及繪制根軌跡的各種前面引見的相角條件、幅值條件及繪制根軌跡的各種規(guī)那么都依然有效。規(guī)那么都依然有效。例例4-7: 控制系統(tǒng)開環(huán)傳送

39、函數(shù)為控制系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)為 ， 試繪制以試繪制以 為參變量的根軌跡。為參變量的根軌跡。( )( )(1)()*G s H ssasKsa1( )( )10(1)()*G s H ss ssKa 2(1)1(1)*sss saK以以 為參變量的根軌跡方程：為參變量的根軌跡方程：a解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：2(1)(1)0*s ssKas不同不同 值，可得到系統(tǒng)不同根軌跡圖，即根軌跡簇。值，可得到系統(tǒng)不同根軌跡圖，即根軌跡簇。*K10*KaK，10*KaK，0a 1*KK20*KaK，20*KaK，0a 2*KK30*KaK，30*KaK，0a 3*KKj1a a 11

40、42Ka 321011(1)0*aaasssaKKKs根軌跡與虛軸交點：根軌跡與虛軸交點：(1)0*a aK1142Ka 二、開環(huán)零點和極點對根軌跡的影響二、開環(huán)零點和極點對根軌跡的影響開環(huán)傳送函數(shù)上添加零點開環(huán)傳送函數(shù)上添加零點根軌跡向左方向彎曲根軌跡向左方向彎曲180 (21) aqnm 漸近線與實軸傾角隨漸近線與實軸傾角隨著著 數(shù)的增大而添加。數(shù)的增大而添加。m11nmijijapznm 漸近線與實軸交點隨漸近線與實軸交點隨著著 的增大的增大( 點在實軸點在實軸上向右移上向右移)而左移。而左移。czczj121311j 1j 2j121311j 1j 2添加一個零點添加一個零點j1213

41、11j 1j 2右移零點右移零點開環(huán)傳送函數(shù)上添加極點開環(huán)傳送函數(shù)上添加極點根軌跡向右方向彎曲根軌跡向右方向彎曲180 (21) aqnm 漸近線與實軸傾角隨漸近線與實軸傾角隨著著 數(shù)的增大而減小。數(shù)的增大而減小。n11nmijijapznm 漸近線與實軸交點隨漸近線與實軸交點隨著著 的增大的增大( 點在實軸點在實軸上向右移上向右移)而右移。而右移。cpcp向右彎曲趨勢隨著所添加向右彎曲趨勢隨著所添加的極點移近原點而加劇的極點移近原點而加劇j1110j1211添加一個極點添加一個極點j10 5 .右移極點右移極點三、多回路系統(tǒng)的根軌跡三、多回路系統(tǒng)的根軌跡( )R s( )C s21()pKs

42、1()ccK ss011()Ks s12c， ， ，例例4-8: 設控制系統(tǒng)的構造如下圖，其中參量設控制系統(tǒng)的構造如下圖，其中參量 均已確定，要求繪制以均已確定，要求繪制以 為參變量的根軌跡。為參變量的根軌跡。0pKK，cK020121()11()1( )( )()cpcK ss ssKGHKsssKs解：解： 要繪制以要繪制以 為參數(shù)變量的根軌跡，必需首先知道系統(tǒng)為參數(shù)變量的根軌跡，必需首先知道系統(tǒng)的開環(huán)零、極點，今知兩個開環(huán)零點為：的開環(huán)零、極點，今知兩個開環(huán)零點為：cK21211 ，czz 一個開環(huán)極點為：一個開環(huán)極點為： ，其他的開環(huán)極點可由以下，其他的開環(huán)極點可由以下方程求得：方程求

43、得：10p 01211()()0ps ssK K012( )( )11()()pK KG s H ss ss內環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：內環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為： 實踐上，上述方程的根即是內環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，實踐上，上述方程的根即是內環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，因此，可由內環(huán)系統(tǒng)的根軌跡求得。因此，可由內環(huán)系統(tǒng)的根軌跡求得。 設在給定參數(shù)設在給定參數(shù) 下，從內環(huán)根軌跡求得的三個極點下，從內環(huán)根軌跡求得的三個極點如圖紅色極點所示。如圖紅色極點所示。0pK Kj01121j01c21 繪制多回路反響控制系統(tǒng)根軌跡的方法：從內環(huán)開場，繪制多回路反響控制系統(tǒng)根軌跡的方法：從內環(huán)開場，分層繪制，逐漸擴展到整個系統(tǒng)。分層

44、繪制，逐漸擴展到整個系統(tǒng)。( )G s( )H s1( )R s( )C s1( )G s1( )H s( )R s 有些系統(tǒng)，內回路為正反響，如上圖所示，當用根軌有些系統(tǒng)，內回路為正反響，如上圖所示，當用根軌跡法確定內回路的零、極點時，就相當于繪制正反響系統(tǒng)跡法確定內回路的零、極點時，就相當于繪制正反響系統(tǒng)的根軌跡。的根軌跡。( )( )( )1( )( )C sG sR sG s H s內回路系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)：內回路系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)：( )( )1G s H s 根軌跡方程：根軌跡方程：11111 ()()180 (2 ) (0 1 2)jjmjnim*iinjissssqq,ppz,

45、Kz, 闡明，對于正反響回路，相角條件變成闡明，對于正反響回路，相角條件變成 。人們通常將這種根軌跡稱為零度根軌跡，繪制時應調整的人們通常將這種根軌跡稱為零度根軌跡，繪制時應調整的規(guī)那么有：規(guī)那么有：180 (2 )q2 (0 1 21)aqq, ,nmnm規(guī)那么規(guī)那么3 漸進線與實軸的交角應改漸進線與實軸的交角應改為：為：規(guī)那么規(guī)那么4 實軸上的根軌實軸上的根軌跡跡 實軸上的某一區(qū)域，假設其右邊開環(huán)零、極點的數(shù)目實軸上的某一區(qū)域，假設其右邊開環(huán)零、極點的數(shù)目之和為偶數(shù)，那么該區(qū)域必定是根軌跡。之和為偶數(shù)，那么該區(qū)域必定是根軌跡。規(guī)那么規(guī)那么6 根軌跡的出射角和入射根軌跡的出射角和入射角角在開

46、環(huán)復數(shù)極點處，根軌跡的出射角為：在開環(huán)復數(shù)極點處，根軌跡的出射角為：在開環(huán)復數(shù)零點處，根軌跡的入射角為：在開環(huán)復數(shù)零點處，根軌跡的入射角為：180 (2 )pq180 (2 )zq 式中，式中， 是其它開環(huán)零、極點對出射點或入射點提供的相角是其它開環(huán)零、極點對出射點或入射點提供的相角1111 ()() ()()mnzpkjkiji,i kmnkjkij,j kipzpporzzzp例例4-8: 知某正反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為：知某正反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為：試繪制該系統(tǒng)的根軌跡。試繪制該系統(tǒng)的根軌跡。2(2)( )( )(3)(22)*sG s H ssssK解：解：1312311132ppn

47、zmjjp ， 確定實軸上的根軌跡；確定實軸上的根軌跡；實軸上，實軸上， 、 區(qū)域為根軌跡。區(qū)域為根軌跡。(3, 2), 確定根軌跡的漸近線；確定根軌跡的漸近線；2 0180aqnm 、 ( (漸近線為實軸漸近線為實軸) ) 確定分別點和分別角；確定分別點和分別角；1( )( )0G s H s由由 ，得：，得：2(3)(22)2*Kssss0*dKds令令 得：得：3221120100sssj1112345z90p26 6 . 解得：解得：0 81s. 二分法二分法180902 分別角分別角 確定出射角；確定出射角；145(9026 6 )71 6p. 繪制根軌跡。繪制根軌跡。例例4-9:

48、設具有純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)為：設具有純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)為：( )( )(1)*seG s H ssKs試繪制系統(tǒng)的根軌跡。試繪制系統(tǒng)的根軌跡。 當系統(tǒng)一切開環(huán)零、極點都位于當系統(tǒng)一切開環(huán)零、極點都位于S平面左半部時，系統(tǒng)平面左半部時，系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)；假設系統(tǒng)具有稱為最小相位系統(tǒng)；假設系統(tǒng)具有S平面右半部的開環(huán)零、平面右半部的開環(huán)零、極點，那么稱該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。有純滯后環(huán)節(jié)的系極點，那么稱該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。有純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)就是一種非最小相位系統(tǒng)。統(tǒng)就是一種非最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的定義：最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的定義：212! nxxxexn 解：解： 11 0 5ses. s ( (設設 ) )0 5 .系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的特征方程為： 可見，它具有正反響回路特征方程的性質。因此，繪可見，它具有正反響回路特征方程的性質。因此，繪制零度根軌跡。制零度根軌跡。(0.51)0.5(2)(2)1( )( )11110(1)(1)(1)(1)s*esssG s H ss ss sKKsKsKss 11221012zppnm ， 確定實軸上的根軌跡；確定實軸上的根軌跡； 確定根軌跡的漸近線；確定根軌跡的漸近線；2 0180aqnm 、 ( (漸近線為實軸漸近線為實軸)