第六章--二維小波變換與圖像處理

1、第六章 二維小波變換與圖像處理二維信號也稱圖像信號。為了避免引進第二維之后問題的復雜性，我們可以把圖像信號分解成沿行和列的一維問題來處理。本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)二維小波變換二維多分辨率分析及小波子空間分析圖像的多分辨率分解和合成6.1 二維小波變換圖像的自身的特點決定了我們在將小波變換應用到圖像處理中時，必須把小波變換從一維推廣到二維。二維連續(xù)小波定義令 表示一個二維信號，x1、x2分別是其橫坐標和縱坐標。 表示二維基本小波，二維連續(xù)小波定義：)(),(2221RLxxf),(21xx),(1),(),(),(221121,;2121,;2121abxabxaxxxxxxbbabba的尺度伸縮和二維位移

2、表示令二維連續(xù)小波定義則二維連續(xù)小波變換為：式中因子 是為了保證小波伸縮前后其能量不變而引入的歸一因子。2122112121,;2121),(),(1),(),(),;(21dxdxabxabxxxfaxxxxfbbaWTbbafa1二維連續(xù)小波的反演小波變換2122221221221121032121),(41),(),;(1),(ddcdbdbabxabxbbaWTadacxxff其中二維連續(xù)小波的一般表示形式二維連續(xù)小波可以更一般的表示為arAxdabxrxfaxxfbaWTabxrabxAAxxxfbaWTRbAfbAbAf)()(1)(),(),()(1)(1)()(),(),(1,

3、11,2所以式中TTbbbxxxAa,det2121式中：二維小波變換的特點特點（1）二維小波變換具有旋轉(zhuǎn)能力，不但有放大的能力，而且有“極化”性質(zhì)。（2）變換后有了4個變量。因此信息必定有冗余。21221122112121)cos)(sin)(,sin)(cos)(),(1),;,(dxdxabxbxabxbxxxfabbaWTf二維連續(xù)小波變換的離散化首先先把旋轉(zhuǎn)尺度因子A改為：式中 aij都取整數(shù)，所以有21122211aaaaA)(),(),()(1)(,1,xxfbAWTbxAAxbafba二維連續(xù)小波變換的離散化把A和 都離散化。bnAbAAjj00,2122)(1)(12)(1)

4、(21000,00,),()()(),(),()(222112112dxdxnxaxanxaxaxxfAxdnxAxfAxxfnjWTnxAAxjjjjjjRjnjfjjnj6.2 二維多分辨率分析及小波子空間分析首先，回顧一位多分辨率分析的概念和相關(guān)知識。然后推廣到二維中去。ZkjkjZkjkjkjkjkkjkjkjjjjjjjjjtWtVtdtxxfDxfPxfPxVxVxWxWxVxV)()()()()()()()(/ )()()()()()()(111的基函數(shù)是，的基函數(shù)是其中，在一維多分辨率分析中)(),()(),()(),()(),()()()(xxfxxfDdxxfxxfPxxj

5、kjkjjkjkjkjjk則是標準正交尺度函數(shù)，如果的展開形式。和同樣，我們討論下式中僅是補子空間其中，仍然存在如下關(guān)系：在二維多分辨率分析中),(),(),(),(),(),(),(/ ),(),(),(),(),(212121212112121211212121211xxfDxxfPxxfDxxfPxxfPxxWxxVxxVxxWxxWxxVxxVjjjjjjjjjjjj假設(shè)二維空間 是可分離的，即它可以分解成兩個一維空間 的張量乘積，可得)()(21xVxVjj和),(21xxVj)()()()()()()()()()()()()()(),(2121212122112111211xWxW

6、xVxWxWxVxVxVxWxVxWxVxVxVxxVjjjjjjjjjjjjjjj在一維多分辨率中各子空間的基函數(shù)表現(xiàn)形式可知 的正交歸一基為：)()(),(2121xVxVxxVjjj。是平滑逼近的低通空間因此都是低通的尺度函數(shù)，和式中),()()()2(2)2(2)()(2121222112212121xxVxxkxkxxxjjkjkjjjjjkjk同樣可以得到：)2(2)2(2)()()()(),()()()()()()(),(222112112121121212121121kxkxxxxWxVxxWxWxWxVxWxWxVxxWjjjjjkjkjjjjjjjjjj，它的正交歸一基是：

7、第一部分由三個部分組成：由上式可知：補空間細節(jié)。，即它們反映的是高通，所以它們都是帶通的或的中都至少含有一個帶通這三部分的正交歸一基，它的正交歸一基是：第三部分，它的正交歸一基是：第二部分)()()2(2)2(2)()()()()2(2)2(2)()()()(21222112112122211211212121xxkxkxxxxWxWkxkxxxxVxWjjjjjkjkjjjjjjjkjkjj所以，在用這種張量表示的情況下，也可以相應地分解為 中的分量和 中的三個部分分量，具體表示為：)()(),(2111211xVxVxxVjjj),(),(211211xxVxxfPjj),(21xxVj)

8、,(21xxWj)()()()()()()()(),(),(),(21)(21)(21)(21)(2121211221121221121221121221121xxxxxxxxxxxfDxxfPxxfPjkkkjkjkkjkkkjkjkkjkkkjkjkkjkkkjkjkkjjj二維空間的子空間分解關(guān)系同樣，在二維多分辨率分析中，子空間的分解關(guān)系同于一維情形，即：只有給定 是正交尺度函數(shù)時， 中的基函數(shù)， 中三個部分表示的基函數(shù)才是關(guān)于平移和尺度正交的。),()(),(),(),(2122121211xxWRLZjxxWxxVxxVjZjjjj),(21xx),(21xxVj),(21xxWj

9、在這種正交基的情況下，我們把系數(shù)表示為：)()(),()()(),()()(),()()(),(2121)(2121)(2121)(2121)(2121212121212121xxxxfxxxxfxxxxfxxxxfxjkjkjkkjkjkjkkjkjkjkkjkjkjkk6.3 圖像的多分辨率分解和合成上節(jié)分析結(jié)果說明，在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進行。首先沿x1方向分別用 和 做分析，把 分解成平滑逼近和細節(jié)這兩部分。然后對這兩部分再沿x2方向分別用 和 做類似分析。四路中，經(jīng) 處理所得得一路是 的第一級平滑逼近 ，其余三路為細節(jié)函數(shù)。)(1x)(1x),(21xxf)(2x)(

10、2x)()(21xx),(21xxf),(211xxfA可分離情況下的多分辨率分解當做一級分析時（j=1）有)()(),(),()()(),(),()()(),(),()()(),(),(21112121)3(21112121)2(21112121)1(21112121121121121121xxxxfxxfDxxxxfxxfDxxxxfxxfDxxxxfxxfAkkkkkkkk可分離分解濾波器組結(jié)構(gòu)當做j級分析時有)()(),(),()()(),(),()()(),(),()()(),(),(212121)3(212121)2(212121)1(21212121212121xxxxfxxfDxxxxfxxfDxxxxfxxfDxxxxfxxfAjkjkjjkjkjkjkjjkjkjj可分離分解濾波器組結(jié)構(gòu)一級分解各分量示意圖圖像可分離二維多分辨率的三級分解可分離重建濾波器組結(jié)構(gòu)二維離散小波函數(shù)介紹v分解函數(shù) dw2單尺度二維離散小波變換wavedec2多尺度二維小波分解（二維多分辨率分析函數(shù)）wmaxlev允許的最大尺度分解合成重構(gòu)工具idwt2單尺度逆二維