一高斯公式二簡單應用三物理意義通量與散度四小結ppt課件

1、一、高斯公式一、高斯公式二、簡單運用二、簡單運用三、物理意義三、物理意義通量與散度通量與散度四、小結四、小結一、高斯公式一、高斯公式設空間閉區(qū)域設空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲面圍成。函數由分片光滑的閉曲面圍成。函數 ),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有一階連上具有一階連 續(xù)偏導數續(xù)偏導數, , 則有公式則有公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)( dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或這里這里 是是 的整個邊界曲面的的整個邊界曲面的外側外側，,cos ,cos cos是是 上點上點),(zyx處的法向量的方向余弦處的法向量的方向余弦.

2、. 高斯公式高斯公式Gauss 公式的本質公式的本質表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊境曲表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊境曲面上的曲面積分之間的關系面上的曲面積分之間的關系. . RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(dSRQP)coscoscos( 二、簡單的運用二、簡單的運用例例 1 1 計計算算曲曲面面積積分分 xdydzzydxdyyx)()( 解解, 0,)(yxRQxzyP 其中為柱面其中為柱面122 yx及及 平面平面3 , 0 zz所圍成的空所圍成的空 間閉區(qū)域間閉區(qū)域 的整個邊界曲面的整個邊界曲面 的外側的外側. . , 0, 0, zRyQzyxPxzy11

3、o3 dxdydzzy)( dzdrdrzr )sin(.29 ( (利用柱面坐標得利用柱面坐標得) )解解, 0,)(yxRQxzyP , 0, 0, zRyQzyxPxdydzzydxdyyx)()( dzzrrdrd )sin(301020 xzy11o3dvzRyQxP)( 運用運用Guass公式時應留意公式時應留意:1 1. .RQP , ,是是對對什什么么變變量量求求偏偏導導數數; ; 2.2.是否滿足高斯公式的條件是否滿足高斯公式的條件; ; 3.3.是取閉曲面的外側是取閉曲面的外側. . 例例 2 2 利利用用高高斯斯公公式式計計算算曲曲面面積積分分 dszyx)coscosc

4、os(222 , , 其其中中為為錐錐面面 222zyx 介介于于平平面面 0 z及及 )0( hhz 之之間間的的部部分分的的 下下側側, ,cos ,cos cos 是是 在在 ),(zyx 處處的的法法向向量量的的 方方向向余余弦弦. . 解解xyzoh 曲面曲面 不是封鎖曲面，不是封鎖曲面，不能直接用高斯公式。不能直接用高斯公式。)( :2221hyxhz 補充補充h h 1 解解曲面曲面 不是封鎖曲面，不是封鎖曲面，不能直接用高斯公式。不能直接用高斯公式。)( :2221hyxhz 補充補充xyzoh h h 1 取上側，取上側， 1 . 1 圍圍成成空空間間區(qū)區(qū)域域. 1的的外外側

5、側恰恰好好是是空空間間區(qū)區(qū)域域 , 上使用高斯公式上使用高斯公式在在 ,2xP ,2yQ ,2zR ).(2zyxzRyQxP , 上使用高斯公式上使用高斯公式在在 ,2xP ,2yQ ,2zR ).(2zyxzRyQxP 1)coscoscos(222dSzyx dvzyx)(2xyzoh h h 1 xyD .,020 :hzrhr， dzrzrrdrdhrh )sincos(2020 .214h .,sin,coszzryrx 1)coscoscos(222dSzyx dvzyx)(2 .,020 :hzrhr， dzrzrrdrdhrh )sincos(2020 .214h .,sin

6、,coszzryrx .:1hz . 0 , 0 yxzz. 0cos , 0cos , 0cos 1)coscoscos(222dSzyx 12dSz.:1hz . 0 , 0 yxzz. 0cos , 0cos , 0cos 1)coscoscos(222dSzyx 12dSz xyDdxdyh2.4 h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)coscoscos(222 421h 4 h .214 h 三、物理意義三、物理意義-通量與散度通量與散度設有向量場設有向量場 ),( ),( ),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA 沿沿場場中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二類類曲

7、曲面面積積分分為為 1. 1. 通量的定義通量的定義: : RdxdyQdzdxPdydzdSnASdA 0稱為向量場稱為向量場 ),( zyxA 向正側穿過曲面的向正側穿過曲面的通量通量. . 設設有有向向量量場場),(zyxA, ,在在場場內內作作包包圍圍點點M的的閉閉曲曲 面面 , , 包包圍圍的的區(qū)區(qū)域域為為V, ,記記體體積積為為V. .若若當當V收收縮縮 成成點點M時時，極極限限 VSdAMV lim 存在存在, , 則則稱稱此此極極限限值值為為A在在點點M處處的的散散度度, , 記記為為Adiv. . 2. 2. 散度的定義散度的定義: :散度在直角坐標系下的方式散度在直角坐標系下的方式 dSvdvzRyQxPn)( dSvVdvzRyQxPVn1)(1 dSvVzRyQxPn1)(),( dSvVzRyQxPnM1lim積分中值定理積分中值定理, ,兩邊取極限兩邊取極限, ,.divzRyQxPA 高斯公式可寫成高斯公式可寫成. dSAdvAdivn)coscoscos (0 RQPnAAn 的的邊邊界界曲曲面面，是是空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域其其中中 . 的的外外側側法法向向量量上上的的投投影影在在曲曲面面是是向向量