第11章差錯控制編碼

1、第第11章章 差錯控制編碼差錯控制編碼11.1 引引 言言11.2 糾錯編碼的基本原理糾錯編碼的基本原理11.3 糾錯編碼的性能糾錯編碼的性能11.4 簡單的實用編碼簡單的實用編碼11.5 線性分組碼線性分組碼11.6 循環(huán)碼循環(huán)碼11.7 卷積碼卷積碼11.8 Turbo碼碼11.9 低密度奇偶校驗碼低密度奇偶校驗碼11.7 網(wǎng)格編碼調(diào)制網(wǎng)格編碼調(diào)制11.1 引言 在數(shù)字通信中，根據(jù)不同的目的，編碼可分為信源編碼和信道編碼。信源編碼是為了提高數(shù)字信號的有效性以及為了使模擬信號數(shù)字化而采取的編碼。n信道編碼是為了降低誤碼率， 提高數(shù)字通信的可靠性而采取的編碼n數(shù)字信號在傳輸過程中受到干擾的影響

2、，使信號波形變壞，發(fā)生誤碼，可以采用一些方法解決。同時設計系統(tǒng)時，還要合理地選擇調(diào)制、解調(diào)、發(fā)送功率等因素，采用上述措施仍難以滿足性能要求，就要采用差錯控制措施了。一、一、從差錯控制角度看，信道可以分為從差錯控制角度看，信道可以分為三類：三類：即隨機信道、突發(fā)信道和混合信道。隨機信道隨機信道在隨機信道中、錯碼的出現(xiàn)是隨機的，且錯碼之間是統(tǒng)計獨立的。突發(fā)信道突發(fā)信道錯碼是成串集中出現(xiàn)的?；旌闲诺阑旌闲诺来嬖陔S機和突發(fā)兩種錯碼。、接收端根據(jù)什么來識別有無錯碼由發(fā)送端的信道編碼器在信息碼元序列中增加一些監(jiān)督碼元。這些監(jiān)督碼和信碼之間有確定的關系，使接收端可以利用這種關系由信道譯碼器來發(fā)現(xiàn)或糾正可能存

3、在的錯碼。 在信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元就稱為差錯控制編碼，有時也稱為糾錯編碼。、差錯控制編碼原則上是以降低信息傳輸速率為代價來換取傳輸可靠性的提高。二、差錯控制編碼的基本思想二、差錯控制編碼的基本思想三、常用的差錯控制方法有以下幾種： 檢錯重發(fā)法接收端在收到的信碼中檢測出(發(fā)現(xiàn))錯碼時，即設法通知發(fā)送端重發(fā)，直到正確收到為止。 ARQ(Automatic Repeat Request)前向糾錯法接收端不僅能發(fā)現(xiàn)錯碼，還能夠確定錯碼的位置，能夠糾正它。反饋校驗法接收端將收到的信碼原封不動地轉發(fā)回發(fā)送端與原信碼比較。若發(fā)現(xiàn)錯誤則發(fā)端重發(fā)。三種差錯控制方法可以結合使用。發(fā)發(fā)可以糾正錯誤的碼(a)

4、前向糾錯(FEC)收收發(fā)能夠發(fā)現(xiàn)錯誤的碼應答信號(b) 檢錯重發(fā)(ARQ)收可以發(fā)現(xiàn)和糾正錯誤的碼應答信號(c) 混合糾錯檢錯(HEC)ARQ系統(tǒng)組成信源編碼器和緩沖存儲重發(fā)控制雙向信道譯碼器指令產(chǎn)生緩沖存儲收信者ARQ優(yōu)點：冗余碼元少、對信道有自適應能力、成本和復雜性低；ARQ缺點：需要反向信道、重發(fā)控制較復雜、干擾大通信效率低、實時性差。一、分類一、分類（1）按照信道編碼的不同功能，分為檢錯碼和糾錯碼。）按照信道編碼的不同功能，分為檢錯碼和糾錯碼。 （2）按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的檢驗關系，可以將按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的檢驗關系，可以將它分為線性和非線性碼。它分為線性和非線性碼。 （

5、3）按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的約束方式不同，可按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的約束方式不同，可以將它分為分組碼和卷積碼。以將它分為分組碼和卷積碼。 （4）按照信息碼元在編碼后是否保持原來的形式，可以按照信息碼元在編碼后是否保持原來的形式，可以將它分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼。將它分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼。 （5）按照糾正錯誤的類型不同，可以將它分為糾正隨機）按照糾正錯誤的類型不同，可以將它分為糾正隨機錯誤碼和糾正突發(fā)錯誤碼。錯誤碼和糾正突發(fā)錯誤碼。 隨著數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)展，可以將信道編碼器和調(diào)制器隨著數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)展，可以將信道編碼器和調(diào)制器統(tǒng)一起來綜合設計，這就是所謂的網(wǎng)格編碼調(diào)制。統(tǒng)一起來綜合設計，這

6、就是所謂的網(wǎng)格編碼調(diào)制。 11. 2 糾錯編碼的基本原理11.2 糾錯編碼的基本原理 分組碼舉例 設：有一種由3個二進制碼元構成的編碼，它共有23 = 8種不同的可能碼組：000 晴 001 云 010 陰 011 雨100 雪 101 霜 110 霧 111 雹 這時，若一個碼組中發(fā)生錯碼，則將收到錯誤信息。 若在此8種碼組中僅允許使用4種來傳送天氣，例如：令000 晴 011 云 101 陰 110 雨 為許用碼組，其他4種不允許使用，稱為禁用碼組。 這時，接收端有可能發(fā)現(xiàn)（檢測到）碼組中的一個錯碼。 這種編碼只能檢測錯碼，不能糾正錯碼。 若規(guī)定只許用兩個碼組：例如000 晴 111 雨就

7、能檢測兩個以下錯碼，或糾正一個錯碼。 例：3位二進制數(shù)字構成的碼組，共有8種不同的組合。若將其全部利用來表示天氣，則可以表示8種不同的天氣。000(晴)，001(多云)，010(陰)，011(雨)，100(雪)， 101(霜)， 110(霧)， 111(雹)。）種狀態(tài)，個許用碼組，個禁用碼組任一碼組在傳輸中若發(fā)生一個或多個措碼則將變成另一信息碼組。這時接收端將無法發(fā)現(xiàn)錯誤。二、一般原理、檢錯原理若：000=晴001 =不可用010 =不可用011=云100 =不可用101=陰110=雨111 =不可用）種狀態(tài)，個許用碼）種狀態(tài)，個許用碼組，個禁用碼組組，個禁用碼組 雖然只能傳送4種不同的天氣但

8、是接收消卻有可能發(fā)現(xiàn)碼組中的一個錯碼。 例如，若000(晴)中錯了一位，則接收碼組將變成100或010或001，這三種碼組都是不準許使用的，稱為禁用碼組，故接收端在收到禁用碼組時，就認為發(fā)現(xiàn)了錯碼。但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)兩個措碼，因為發(fā)生兩個錯碼后產(chǎn)生的是許用碼組。上述碼只能檢測錯誤，不能糾正錯誤。例如，當收到的碼組為禁用碼組100時，無法判斷是哪一位碼發(fā)生了錯誤因為晴、陰、雨三者錯了一位都可以變成100。）種狀態(tài)，個許用碼組，個禁用碼組）種狀態(tài)，個許用碼組，個禁用碼組要想能糾正錯誤糾正錯誤，還要增加多余度。例如，苦規(guī)定許用碼組只有兩個：000(晴)、111(雨)、其余都是禁用碼組。這時，接收場能

9、檢測兩個以下錯碼，或能糾正一個錯碼。n、分組碼的一般概念。n為了傳輸4種不同的信息，用兩位二進制碼組就夠了，它們是：00、01、10、11。代表所傳信息的這些兩位碼，稱為信息位。前面使用3位碼，多出的一位稱為監(jiān)督位。，每組信碼附加若干監(jiān)督碼的編碼集合，稱為分組碼。n例如分組碼的結構n符號 (n，k)表示分組碼nk信息碼元數(shù)nn碼組長度(碼長)nn-k監(jiān)督碼元數(shù)an-1an-2arar-1a0k位信息位r位監(jiān)督位n=k+r時間碼重、碼距與碼的糾檢錯能力n碼重“1”的數(shù)量稱為碼組的重量n碼距兩個碼組對應位上數(shù)字不同的位數(shù)稱為碼組的距離，簡稱碼距。又稱漢明(Hamming)距離。n最小碼距某種編碼中

10、各個碼組間距離的最小值稱為最小碼距(d0)。（1） e +1 d0，即碼的檢錯能力e比最小碼距d0小1位；（2）2t+1 d0，即碼的糾錯能力t的2倍比最小碼距d0小1位；（3） e +t+1 d0 ，即若碼同時糾t個錯并檢出e個錯誤，則e +t比最小碼距d0小1位。n、最小碼距決定檢錯糾錯n若記： d0 最小碼距； e檢錯位數(shù)； t糾錯位數(shù)；則有：（1） e +1 d0（2） 2t +1 d0（3） t +e+1 d0三、差錯控制編碼的效用n 假設:發(fā)送“0”的錯誤概率和發(fā)送“1”的錯誤概率相等，都等于P，且P1，則在碼長為n的碼組中恰好發(fā)生r個錯碼的概率為rrnrrnnprnrnpprPC

11、)!( !)1 ()(例如，當碼長n7時，p=10-3則有P7(1) 7p= 710-3 ；P7(2) 21p2=2.110-5 ； P7(3) 35p3=3.510-8?？梢?，采用差錯控制編碼，即使僅能糾正(或檢測)這種碼組中12個錯誤，也可以使誤碼率下降幾個數(shù)量級。這就表明，即使是較簡單的差錯控制編碼也具有較大實際應用價值。例如，當碼長n7時，p=10-3則有P7(1) 7p= 710-3 ；P7(2) 21p2=2.110-5 ； P7(3) 35p3=3.510-8。編碼效率用差錯控制編碼提高通信系統(tǒng)的可靠性， 是以降低有效性為代價換來的。我們定義編碼效率R來衡量有效性:R=k/n其中

12、, k是信息元的個數(shù)，n為碼長。對糾錯碼的基本要求是: 檢錯和糾錯能力盡量強； 編碼效率盡量高；編碼規(guī)律盡量簡單。實際中要根據(jù)具體指標要求，保證有一定糾、檢錯能力和編碼效率，并且易于實現(xiàn)。 .奇偶監(jiān)督碼n如果以上關系被破壞，則出現(xiàn)錯誤，因此能檢查出奇數(shù)個錯誤，但不能檢測偶數(shù)個錯誤。最小碼距為 dmin=212100nnaaaa12101nnaaaa01221 aaaaann信息位監(jiān)督位 11. 3 常用的簡單編碼偶監(jiān)督奇監(jiān)督如：信息碼為如：信息碼為10010101，則奇校驗碼為則奇校驗碼為10010101 1 偶校驗碼為偶校驗碼為10010101 02二維奇偶監(jiān)督碼又稱方陣碼。每一行是奇偶監(jiān)督

13、碼的一個碼組，若干碼組再按列排列成矩陣，每列增加一位監(jiān)督位。圖 7-2 (66,50)行列監(jiān)督碼 110010100000100001101001111000011100111000001010101010111000111100n二維奇偶監(jiān)督碼特點：可檢測奇數(shù)個錯誤適于檢測突發(fā)錯碼。不僅可檢錯，還可糾一些錯。檢錯能力強。n3恒比碼每個碼組均含有相同數(shù)目的“1”(和“0”)。n應用：電傳機傳輸漢字，每個漢字用4位阿拉伯數(shù)字表示。每個阿拉伯數(shù)字又用5位二進制符號構成的碼組表示。每個碼組的長度為5位，其中恒有3個1，稱為5中取3恒比碼。可能編成的不同碼組數(shù)等于從5中取3組合數(shù)30。30種許用碼組恰

14、好可用來表示10個阿拉伯數(shù)字。表表9-3 39-3 3：2 2的恒比碼的恒比碼數(shù)數(shù)字字碼字碼字數(shù)數(shù)字字碼字碼字00 1 l 0 l50 0 1 l l10 1 0 l l61 0 1 0 l2l l 0 0 171 1 1 0 031 0 l 1 080 1 l 1 041 1 0 1 091 0 0 1 111.3 線性分組碼一、基本概念 代數(shù)碼 利用代數(shù)關系式產(chǎn)生監(jiān)督位的編碼 線性分組碼 代數(shù)碼的一種，其監(jiān)督位和信息位的關系由線性代數(shù)方程決定 漢明碼 一種能夠糾正一個錯碼的線性分組碼 校正子：在偶數(shù)監(jiān)督碼中，計算實際上就是計算 并檢驗S是否等于0。S稱為校正子。 監(jiān)督關系式：0021aaa

15、nn021aaaSnn021aaaSnn 糾錯基本原理 中，S只有兩種取值，故只能表示有錯和無錯，而不能進一步指明錯碼的位置。 若此碼組長度增加一位，則能增加一個監(jiān)督關系式。這樣，就能得到兩個校正子。兩個校正子的可能取值有4種組合，即00，01，10，11，故能表示4種不同的信息。若用其中一種組合表示無錯碼，則還有其他3種組合可以用于指明一個錯碼的3種不同位置。 從而可以有糾錯能力。 一般而言，若有 r 個監(jiān)督關系式，則 r 個校正子可以指明一個錯碼的 (2r 1) 個不同位置。 當校正子可以指明的錯碼位置數(shù)目等于或大于碼組長度n時，才能夠糾正碼組中任何一個位置上的錯碼，即要求1212rknr

16、r或021aaaSnn 漢明碼的設計原理漢明碼的設計原理 .例：要求設計一個能夠糾正1個錯碼的分組碼(n, k)，給定的碼組中有4個信息位，即k = 4。S1 S2 S3錯碼位錯碼位置置S1 S2 S3錯碼位錯碼位置置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000無錯碼無錯碼2121rrnkr由或16542310(0)(0)(0)aaaSaaaa13562aaaaS03463aaaaS用a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0表示這7個碼元，S1 S2 S3表示校正子，則這3個校正子恰好能夠指明23 1 = 7個錯碼的位置。若規(guī)定校正子和錯碼位置的關系如下表：這時

17、要求監(jiān)督位數(shù)r 3。若取r = 3，則n = k + r = 7。則僅當在a6 a5 a4 a2位置上有錯碼時，校正子S1的值才等于1； 否則S1的值為零。這就意味著a6 a5 a4 a2四個碼元構成偶數(shù)監(jiān)督關系116542Saaaa111346035614562aaaaaaaaaaaa信息位信息位a6 a5 a4 a3監(jiān)督位監(jiān)督位a2 a1 a0信息位信息位a6 a5 a4 a3監(jiān)督位監(jiān)督位a2 a1 a00000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111

18、010001110001111111在編碼時，信息位a6 a5 a4 a3的值決定于輸入信號,它們是隨機的.監(jiān)督位a2 a1 a0是按監(jiān)督關系確定的，應該保證上列3式中的校正子等于0，即有給定信息位后，為了計算監(jiān)督位，上式可以改寫為24561aaaaS13562aaaaS03463aaaaS265465136430aaaaaaaaaaaa =0 =0 =024561aaaaS13562aaaaS03463aaaaSS1 S2 S3錯碼位置錯碼位置001a0010a1100a2011a3101a4110a5111a6000無錯碼無錯碼在接收端解碼時，對于每個接收碼組，先按式計算出S1，S2和S3

19、，然后按照表判斷錯碼的位置例：若接收碼組為0000011，則按上三式計算得到：S1 = 0，S2 = 1，S3 = 1。這樣，由上表可知，錯碼位置在a3.10 ed120 td1212rrrnk由于漢明碼是(7, 4)碼，其最小碼距d0 = 3由式漢明碼的碼率：可知，此碼能夠檢測，或或000034613562456aaaaaaaaaaaa010011010010101100010111012345601234560123456aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa可以改寫為已經(jīng)將“”簡寫成“+”（模2加）0001011001110101011101000123456aaaaaaa1 1、監(jiān)

20、督矩陣、監(jiān)督矩陣上式可以寫成矩陣形式：HAT = 0T或AHT = 0將上式簡寫為101100111010101110100HA = a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 = 000稱為監(jiān)督矩陣rPIH001101101011011001110式中，P 為r k階矩陣，Ir為 r r 階單位方陣。典型監(jiān)督矩陣H 矩陣的各行應該是線性無關的，否則將得不到 r 個線性無關的監(jiān)督關系式。若一個矩陣能寫成典型陣形式 P Ir ，則其各行一定是線性無關的。監(jiān)督矩陣H確定碼組中的信息位和監(jiān)督位的關系。H 的行數(shù)就是監(jiān)督關系式的數(shù)目，即監(jiān)督位數(shù) r 。H 的每行中“1”的位置表示相應的碼元參與監(jiān)督關

21、系。 H 可以分成兩部分，例如3456012101111011110aaaaaaa346035614562aaaaaaaaaaaaQ34563456012011101110111aaaaaaaaaaa2、生成矩陣可以寫為上式兩端分別轉置后，可以變成式中，Q為k r 階矩陣，是是P的轉置，即的轉置，即 將將Q的左邊加上一個的左邊加上一個k階單位階單位方陣，稱為生成矩陣方陣，稱為生成矩陣0110001101001011001001111000QGkI IG34560123456aaaaaaaaaaaAG稱為生成矩陣，因為可以用它產(chǎn)生整個碼組A，即有 具有IkQ形式的生成矩陣稱為典型生成矩陣典型生成

22、矩陣。 由典型生成矩陣得出的碼組A中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加于其后。這種形式的碼組稱為系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼。 矩陣G的各行也必須是線性無關的。 如果已有k個線性無關的碼組，則可以將其用來作為生成矩陣G，并由它生成其余碼組。0110001101001011001001111000QGkI I 錯誤圖樣設：發(fā)送碼組A是一個n列的行矩陣：接收碼組是一個n列的行矩陣B： 令接收碼組和發(fā)送碼組之差為E就是錯碼的行矩陣 稱為 式中， (i = 0, 1, , n-1)若ei = 0，表示該碼元未錯；若ei = 1，表示該碼元為錯碼。 0121aaaaAnn0121bbbbBnnB A = E (模2)012

23、1eeeeEnniiiiiababe當當, 1, 0n3、校正子矩陣 B A = E 可以改寫成 B = A + E上式表示發(fā)送碼組A與錯碼矩陣E之和等于接收碼組B。 例如， 若發(fā)送碼組A = 1 0 0 0 1 1 1， 錯碼矩陣E = 0 0 0 0 1 0 0， 則 接收碼組B = 1 0 0 0 0 1 1。 在接收端解碼時，將接收碼組B代入式AHT = 0中A的位置進行計算。若接收碼組中無錯碼，則B = A。代入后，該式仍成立，即有BH T = 0只有當錯碼未超出檢測能力時，上式才不成立。 假設，這時該式的右端等于S，即有BH T = S將B = A + E 代入上式，得到:S =

24、(A + E) H T = AH T + EH TS = (A + E) H T = AH T + EH T上式右端第一項等于0，所以 S = EH T 校正子矩陣當H 確定后，上式中S只與E 有關，而與A 無關。 這意味著，S 和錯碼E 之間有確定的線性變換關系。 若S 和E 有一一對應關系，則S 將能代表錯碼位置。 線性碼的封閉性：若A1和A2是一種線性碼中的兩個碼組，則(A1+A2)仍是其中一個碼組。 證若A1和A2是兩個碼組，則有：A1HT = 0, A2HT = 0 將上兩式相加，得出A1HT + A2HT = (A1 + A2 ) HT = 0 所以(A1 + A2)也是一個碼組。

25、 由于線性碼具有封閉性，所以兩個碼組(A1和A2)之間的距離（即對應位不同的數(shù)目）必定是另一個碼組(A1 + A2)的重量（即“1”的數(shù)目）。因此，碼的最小距離就是碼的最小重量（除全“0”碼組外）。11.5 循環(huán)碼11.5.1 循環(huán)碼的概念：循環(huán)性指任一碼組循環(huán)一位后仍然是該編碼中的一個碼組 例：一種(7, 3)循環(huán)碼的全部碼組如下 表中第2碼組向右移一位即得到第5碼組；第5碼組向右移一位即得到第7碼組。 碼組編碼組編號號信息位信息位 監(jiān)督位監(jiān)督位 碼組編碼組編號號信息位信息位 監(jiān)督位監(jiān)督位A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a0100000005100101120010111

26、6101110030101110711001014011100181110010n一般情況n若(an-1 an-2 a0)是循環(huán)碼的一個碼組，則循環(huán)移位后的碼組：012211)(axaxaxaxTnnnn11010011)(25623456xxxxxxxxxxT多項式表示法一個長度為n的碼組(an-1 an-2 a0)可以表示成上式中x 的值沒有任何意義，僅用它的冪代表碼元的位置。例：碼組1 1 0 0 1 0 1可以表示為n(an-2 an-3 a0 an-1)n(an-3 an-4 an-1 an-2)n n (a0 an-1 a2 a1)11.5.2 循環(huán)碼的運算n 整數(shù)的按模運算在整數(shù)

27、運算中，有模n運算。例如，在模2運算中，1 + 1 = 2 0 (模2)，1 + 2 = 3 1 (模2)， 2 3 = 6 0 (模2) 等等。 一般說來，若一個整數(shù)m可以表示為式中，Q為整數(shù)，則在模n運算下，有m p (模n)所以,在模n運算下,一個整數(shù)m等于它被n除得的余數(shù)npnpQnm,)()()()(xRxQxNxF）（模)()()(xNxRxF）（模) 1(133xx）（模) 1(113224xxxxx碼多項式的按模運算若任意一個多項式F(x)被一個n次多項式N(x)除，得到商式Q(x)和一個次數(shù)小于n的余式R(x)，即則在按模N(x)運算下，有這時，碼多項式系數(shù)仍按模2運算。例1

28、：x3被(x3 + 1)除，得到余項1，即例2：x4 +x2 + 1X4 + xx2 +x +1x3 + 1x在模2運算中加法和減法一樣。n 循環(huán)碼的數(shù)學表示法 在循環(huán)碼中，設T(x)是一個長度為n的碼組，若則T (x)也是該編碼中的一個碼組。 證 設一循環(huán)碼為 則有上式中的T (x) 正是碼組T (x)向左循環(huán)移位 i 次的結果例： 一循環(huán)碼為1100101，即若給定 i = 3，則 上式對應的碼組為0101110，它正是T(x)向左移3位的結果。結論：一個長為n的循環(huán)碼必定為按模(xn + 1)運算的一個余式。 ）（模) 1()()(nixxTxTx012211)(axaxaxaxTnnn

29、n)()(1102211011112211xTaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxTxininininniniinininninni1)(256xxxxT）（模) 1()(723535893xxxxxxxxxxTx 循環(huán)碼的生成 有了生成矩陣G，就可以由k個信息位得出整個碼組：例：式中，生成矩陣G的每一行都是一個碼組。 因此，若能找到 k 個已知的碼組，就能構成矩陣G。如前所述，這k個已知碼組必須是線性不相關的。 在循環(huán)碼中，一個(n, k)碼有2k個不同的碼組。若用g(x)表示其中前(k-1)位皆為“0”的碼組，則g(x)，x g(x)，x2 g(x)，xk-1 g(x)都是碼組，而且這

30、k個碼組是線性無關的。因此它們可以用來構成此循環(huán)碼的生成矩陣G。G34560123456aaaaaaaaaaaA0110001101001011001001111000QGkI I 在循環(huán)碼中除全“0”碼組外，再沒有連續(xù)k位均為“0”的碼組。否則，在經(jīng)過若干次循環(huán)移位后將得到k位信息位全為“0”，但監(jiān)督位不全為“0”的一個碼組。這在線性碼中顯然是不可能的。 因此，g(x)必須是一個常數(shù)項不為“0”的(n - k)次多項式，而且這個g(x)還是這種(n, k)碼中次數(shù)為(n k)的唯一一個多項式。因為如果有兩個，則由碼的封閉性，把這兩個相加也應該是一個碼組，且此碼組多項式的次數(shù)將小于(n k)，

31、即連續(xù)“0”的個數(shù)多于(k 1)。顯然，這是與前面的結論矛盾的。 我們稱這唯一的(n k)次多項式g(x)為碼的生成多項式。一旦確定了g(x)，則整個(n, k)循環(huán)碼就被確定了。)()()()()(21xgxxgxgxxgxxkkG碼組編碼組編號號信息位信息位監(jiān)督位監(jiān)督位碼組編碼組編號號信息位信息位監(jiān)督位監(jiān)督位A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a01000000051001011200101116101110030101110711001014011100181110010因此，循環(huán)碼的生成矩陣G可以寫成例：上表中的編碼為(7, 3)循環(huán)碼，n = 7, k = 3, n

32、k = 4，其中唯一的一個(n k) = 4次碼多項式代表的碼組是第二碼組0010111，與它對應的碼多項式，即生成多項式，為g(x) = x4 + x2 + x + 1。g(x) = x4 + x2 + x + 1 即 “1 0 1 1 1”將此g(x)代入上矩陣，得到 或上式不符合G = IkQ形式，所以它不是典型生成矩陣。但它經(jīng)過線性變換后，不難化成典型陣。此循環(huán)碼組的多項式表示式T(x)： 上式表明，所有碼多項式T(x)都能夠被g(x)整除，而且任意一個次數(shù)不大于(k 1)的多項式乘g(x)都是碼多項式。 )()()()(2xgxxgxgxxG001011101011101011100

33、)(xG)()()()()()()()()()(452645262456456xgaxaxaxgaxxgaxgxaxgxxgxgxaaaxaaaxTG 尋求碼生成多項式 因為任意一個循環(huán)碼T(x)都是g(x)的倍式，故它可以寫成T(x) = h(x)g(x)而生成多項式g(x)本身也是一個碼組，即有 T (x) = g(x)由于碼組T (x)是一個(n k)次多項式，故xk T (x)是一個n次多項式。由可知，xk T (x)在模(xn + 1)運算下也是一個碼組，所以有上式左端分子和分母都是n次多項式，故相除的商式Q(x) = 1。因此，上式可以寫成）（模) 1()()(nixxTxTx1)

34、()(1)(nnkxxTxQxxTx)() 1()(xTxxTxnk將 T(x) = h(x)g(x) 和 T (x) = g(x) 代入化簡后，得到上式表明，生成多項式g(x)應該是(xn + 1)的一個因子。例：(x7 + 1)可以分解為為了求出(7, 3)循環(huán)碼的生成多項式 g(x)，需要從上式中找到一個(n k) = 4次的因子。這樣的因子有兩個，即以上兩式都可以作為生成多項式。 選用的生成多項式不同，產(chǎn)生出的循環(huán)碼碼組也不同。 )() 1()(xTxxTxnk)()(1xhxxgxkn) 1)(1)(1(13237xxxxxx1) 1)(1(2423xxxxxx1) 1)(1(234

35、3xxxxxx11.6.3 循環(huán)碼的編碼方法用xn-k乘m(x)。這一運算實際上是在信息碼后附加上(n k)個“0”。例如，信息碼為110，它寫成多項式為m(x) = x2 + x。當n k = 7 3 =4時，xn-k m(x) = x4 (x2 +x) = x6 +x5，它表示碼組1100000。用g(x)除xn-k m(x)，得到商Q(x)和余式r(x)，即有例：若選定g(x) = x4 + x2 + x + 1，則有 上式是用碼多項式表示的運算。它和下式等效：編出的碼組T(x)為：T(x) = xn-k m(x) +r(x)在上例中，T(x) = 1100000 + 101 = 110

36、0101 )()()()()(xgxrxQxgxmxkn11) 1(1)()(24222456xxxxxxxxxxxxgxmxkn10111101111101111100000 11.6.4 循環(huán)碼的解碼方法 在檢錯時：當接收碼組沒有錯碼時，接收碼組R(x)必定能被g(x)整除，即下式中余項r(x)應為零；否則，有誤碼。當接收碼組中的錯碼數(shù)量過多，超出了編碼的檢錯能力時，有錯碼的接收碼組也可能被g(x)整除。這時，錯碼就不能檢出了。 在糾錯時：用生成多項式g(x)除接收碼組R(x)，得出余式r(x)。按照余式r(x)，用查表的方法或計算方法得出錯誤圖樣E(x)。從R(x)中減去E(x)，便得到

37、已經(jīng)糾正錯碼的原發(fā)送碼組T(x)。)(/)()()(/)(xgxrxQxgxR硬件實現(xiàn)固定除式的多項式除法abcd信息碼元輸入移存器反饋輸出mabcddf0000001111011110011101010100010100000101100001000000011校驗碼元11.5.3 縮短循環(huán)碼通過縮短循環(huán)碼，可以滿足系統(tǒng)設計中，碼長、信息位和糾錯能力的不同要求。對于(n,k)循環(huán)碼，使前i(0ik)個信息位為零可得到有2k-i個碼組的集合，然后從這些碼組中刪去這i個零信息位，得到一種新的(r-i，k-i)的線性碼，稱為縮短循環(huán)碼?？s短循環(huán)碼與產(chǎn)生該碼的原循環(huán)碼至少具有相同的糾錯能力?？s短循環(huán)

38、碼的編碼和譯碼可用原循環(huán)碼使用的電路完成。n例：若要求構造一個能夠糾正一位錯誤的(13，9)碼，則可以由(15，11)漢明碼選出前面兩個信息位均為零的碼組。然后在發(fā)送時，這兩個零信息不發(fā)送，即發(fā)送的是(13，9)縮短循環(huán)碼。n因校驗位數(shù)相同，(13，9)碼與(15，11)循環(huán)碼具有相同的糾錯能力。11.5.4 BCH碼BCH碼是一類糾正多個隨機錯誤的特殊的循環(huán)碼。特點是可以根據(jù)給定的糾錯能力，找出生成多項式。 BCH碼分兩類：本原BCH碼和非本原BCH碼。本原BCH碼的碼長為n=2m-1(M 3)，生成多項式g(x)中含有最高次數(shù)為m次的本原多項式；非本原BCH碼的碼長n是2m-1的一個因子，

39、它的生成多項式中不含有最高次數(shù)為m的本原多項式。n對于正整數(shù)m(M3)和t(t 2)必存在有下列參數(shù)的二進制BCH碼：碼長n=2m-1，監(jiān)督位數(shù)rmt，能糾正所有的小于或等于t個隨機錯誤的BCH碼。nBCH碼生成多項式 g(x)=LCMm1(x)，m2(x)， m2t-1(x)式中t可糾正的錯誤個數(shù)；mi(x)最小多項式;LCM( )指取括號內(nèi)所有多項式的最小公倍式.n查表法得到生成多項式，用八進制數(shù)表示。n例如當n=7,k=4,t=1 g=(13)8意指 g=(001011)2 g(x)=x3+x+1 n=3 kt g(x)117 n=7kt g(x)41131377表98（部分）nR-S碼

40、是一類具有很強糾措能力的多進制BCH碼。n伽羅華域(即有限域) ：對于有限個符號，若符號的數(shù)目是一素數(shù)的冪，可以定義有加法和乘法，則構成符號域為有限域；若它是2m個符號的域則稱之為伽羅華域GF(2m) .n例如，兩個符號0、1，定義有模2加法和模2乘法，即 0+0=0，0+1=1，1+1=0； 00=0，01=1，111，則稱之為二元域，也是伽羅華域。11.5.5 里德-索羅門碼（R-S碼）n從兩個符號0和1及一個m次多項式p(x)開始，并引入一個新符號 ，設p()=0。若適當?shù)剡x擇p(x)就可得到的各次冪，一直到2m-2次冪，都不相同，并且m-1 =1。這樣一來， 構成GF(2m)的所有元素

41、。域中每個非零元素還可以用上面元素的和來表示。例如，m=4和p(x)=x4+x+1，則2242, 1 , 0mn得到GF(24)的所有元素，詳見表9-10。01 2 3 4= +1 5= (+1)=2+ 6=(2+)= 3+2 7=(3+ 2)= 3+2 = 3+1 8=(3+1)= 4+2 +1=2 +1 9=(2 +1)= 3+ 10=(3+)= 2 +1 11=(2 +1)= 3+ 2 + 12= (3+ 2 +)= 3+ 2 +1 13= (3+ 2 +1)= 3+ 2+1R-S碼是q進制BCH碼的子類。具有如下的參數(shù)：碼長：n=q-1符號監(jiān)督位數(shù)： r=2t符號糾錯位數(shù)： t 符號生

42、成多項式：每個碼元都是q進制的，通常令q=2m，則每個q進制碼元都可以表示為m位二進制碼元，于是碼長mn位，監(jiān)督位數(shù)mr位，信息位數(shù)： mn- mr位。)()()(22txxxxgR-S碼應用：n由于采用多進制，所以對于多進制調(diào)制是自然和方便的編碼手段;n因為RS碼能夠糾正t個q位二進制碼，即對以糾t個連續(xù)的突發(fā)性二進制錯誤,所以適合衰落信道應用;nRS碼可應用在計算機存儲系統(tǒng)中以克服系統(tǒng)的差錯。n卷積編碼則把k比特信息段編成n比特的碼組，但所編的n長碼組不僅同當前的k比特信息段有關聯(lián)，而且還同前面的(N-1)個信息段有關聯(lián)，人們常稱這N為該卷積碼的約束長度。n一般來說，對于卷積碼，k和n是較

43、小的整數(shù), 常把卷積碼記作(n,k,N)卷積碼，它的編碼效率為R=k/n。 9. 6 卷積碼1161 卷積碼的圖形描述n(3,1,3)卷積碼編碼器n編碼器的輸入和輸出樹狀圖狀態(tài)圖狀態(tài)圖網(wǎng)格圖網(wǎng)格圖特點： 有2N-1種狀態(tài)；對于k個輸入信息比特，相應出現(xiàn)有2k條支路；碼樹中的上支路用實線表示，下支路用虛線表示：支路上標注的碼元為輸出比特；從第N個節(jié)點開始，圖形開始重復，且完全相同。n 例9-1 (3,1,3)編碼器，起始狀態(tài)為a，輸入序列為1101011，求輸出序列和相應狀態(tài)變化路徑。n解：由卷積碼的網(wǎng)格圖，可找出編碼時網(wǎng)格圖中的編碼路徑如圖913所示，由此即可得到輸出序列。為11.6.2 卷積

44、碼的解析描述1生成矩陣卷積碼是一種線性碼。一個線性碼完全由一個監(jiān)督矩陣H或生成矩陣G所確定。生成矩陣G 輸入第一個信息比特m1時，y1,1=m1； y21=m1 ；y31=m1。 輸入第二個信息比特m2時，y1,2=m2； y22=m2 ；y32= m1 + m2。輸入第j個信息比特mj時， y1j=mj； y2j=mj +mj-2 ； y3j= mj +mj-1+mj-2上式可寫成矩陣形式 mj +mj-1+mj-2 A = y1j y2j y3jn其中生成矩陣為n在過渡時刻 m1 0 0 T1 = y11 y21 y31 m1 m2 0 T2 = y12 y22 y32其中11110011

45、0A0000001111Tn輸出矩陣與輸入矩陣的關系有 Y=MG0001111002TAAAATTG00000021 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 上面矩陣空白處均為0元素。該生成矩陣是半無限矩陣。2 . 多項式描述例如：輸入序列1101110 可表示為 m(x)=1+x+x3+x4+x5+連接關系表示為 g1(x)=1 g2(x)= 1+x2 g3(x)= 1+x+x2編碼輸出為 y1(x)=m(x)g1(x)= 1+x

46、+x3+x4+x5+ y2(x)=m(x)g2(x)=(1+x+x3+x4+x5+)(1+x2)=1+x+x3+x4+x5+ +x2+x3+x5+x7+ = 1+x +x2 +x4 +x7 y3(x)= (1+x+x3+x4+x5+)(1+x+x2)= 1+x+x3+x4+x5+ x+x2+x4+x5+x6+ x2+x3+x5+x6+ x7+ =1+ x5 + x7+ 對應的序列為 y1=1 1 0 1 1 1 0 0； y2=1 1 1 0 1 0 0 1 y3=1 0 0 0 0 1 0 1 n總的輸出序列為 Y=y11,y21,y31,y12,y22,y32, = 1 1 1, 1 1

47、0, 0 1 0, 1 0 0, 1 1 0, 1 0 1, 0 0 0, 0 1 1, 結果與網(wǎng)格圖是一樣的。 卷積碼編碼器的一般結構11.6.3 卷積碼譯碼卷積碼的譯碼方法有兩類：一類是大數(shù)邏輯譯碼，又稱門限譯碼：另一類是概率譯碼。概率譯碼又分為維特比譯碼和序列譯碼兩種。門限譯碼方法是以分組碼理論為基礎的其譯碼設備簡單，速度快，但其誤碼性能要比概率譯碼法差。下面只介紹維特比譯碼。11.6.3維特比譯碼維特比譯碼算法，簡稱VB算法。維特比(viterbi)譯碼和序列譯碼都屬于概率譯碼。當卷積碼的約束長度不太大時，與序列譯碼相比，維持比譯碼器比較簡單，計算速度更快。VB算法在前向糾錯系統(tǒng)中用得

48、較多，在衛(wèi)星通信中已被采用作為標準技術。n概率譯碼的基本想法是：把已接收序列與所有可能的發(fā)送序列做比較，選擇其中碼距最小的一個序列作為發(fā)送序列。n如果發(fā)送L組信息比特，對于(n,k)卷積碼來說，可能發(fā)送的序列有2kL個，計算機或譯碼器需存儲這些序列并進行比較，以找到碼距最小的那個序列。當傳信率和信息組數(shù)人較大時，使得澤碼器難以實現(xiàn)。VB算法則對上述概率譯碼(又稱最大似然譯碼)做了簡化，使其成為一種實用的譯碼算法。它并不是在網(wǎng)格圖上一次比較所有可能的2kL條路徑(序列)，而是接收一段，計算和比較一段，選擇一段有最大似然可能的碼段。從而達到整個碼序列是一個有最大似然值的序列。以下以（2,1,3)卷

49、積碼為例說明：設輸入信息數(shù)目L=5，所以畫有L+N=8個時間單位。編碼器從a狀態(tài)開始工作。該網(wǎng)格圖的每一條路徑都對應著不同的輸入信息序列。由于所有的可能輸入信息序列共有2kL=32個.n設輸入編碼器的信息序列為(11011000)，則由編碼器輸出的序列 y(1101000010,11100)，編碼器的狀態(tài)轉移路線為abdcbdca。n若收到的序列為R=0101011001011100，對照網(wǎng)格圖來說明維特比譯碼的方法。n前3步輸入R=010101；根據(jù)不同輸入信息，編碼器的輸出序列以及它們與接收序列的距離見下表R=010101信息編碼路徑距離000000000 aaaa3001000011 a

50、aab3010001110 aabc4011001101 aabd2100111011 abca4101111000 abcb4110110101 abdc1111110110 abdd3前3步對應網(wǎng)格圖幸存路徑，如下頁對應4條幸存路徑的序列分別為： a-a-a-a000000 a-a-a-b000011 a-b-d-c110101 a-a-b-d001101.到第5步的幸存路徑和對應的序列分別為： a-a-b-d-d-c001101 1001. a-b-d-c-a-a110101 1100 a-b-d-c-a-b110101 1111 a-b-d-c-b-d110101 1101到第8步的幸存路徑和對應的序列分別為： a-b-d-c-b-d-c-a-a 11 01 01, 00 01 01 11 00對應信息1 1 0 1 1 0 0 0與發(fā)送信息相同。對比接收0*1 01 01 1*0 01 01 11 00糾正了兩個錯誤。總結與復習第一章第一章 緒