第五章 回歸分析和曲線擬合

1、1回歸分析方法2l一、什么叫回歸分析一、什么叫回歸分析l（一）兩種不同類型的變量關(guān)系、函數(shù)與相關(guān)（一）兩種不同類型的變量關(guān)系、函數(shù)與相關(guān)l簡單的說，回歸分析就是一種處理變量與變量之間關(guān)系簡單的說，回歸分析就是一種處理變量與變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方法。的數(shù)學(xué)方法。l例：自由落體運動中，物體下落的舉例例：自由落體運動中，物體下落的舉例S與所需時間與所需時間t之間，之間，有如下關(guān)系有如下關(guān)系 21(0)2SgttT 3l變量變量S的值隨的值隨t而定，這就是說，如果而定，這就是說，如果t去了固定去了固定值，那么值，那么S的值就完全確定了的值就完全確定了l這種關(guān)系就是所謂的函數(shù)關(guān)系或確定性關(guān)系這種關(guān)系就是所

2、謂的函數(shù)關(guān)系或確定性關(guān)系l回歸分析方法是處理變量之間相關(guān)關(guān)系的有理回歸分析方法是處理變量之間相關(guān)關(guān)系的有理工具，它不僅提供建立變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式工具，它不僅提供建立變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式經(jīng)驗公式，而且利用概率統(tǒng)計知識進行了分析討經(jīng)驗公式，而且利用概率統(tǒng)計知識進行了分析討論，從而判斷經(jīng)驗公式的正確性論，從而判斷經(jīng)驗公式的正確性4l二、回歸分析所能解決的問題二、回歸分析所能解決的問題l回歸分析主要解決以下幾方面的問題：回歸分析主要解決以下幾方面的問題：l（1）確定幾個特定變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，）確定幾個特定變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，如果存在的話，找出她們之間合適的數(shù)學(xué)表達式如果存在的話，找

3、出她們之間合適的數(shù)學(xué)表達式l（2）根據(jù)一個或幾個變量的值，預(yù)報或控制另一）根據(jù)一個或幾個變量的值，預(yù)報或控制另一個變量的取值，并且要知道這種預(yù)報或控制的精確個變量的取值，并且要知道這種預(yù)報或控制的精確度度l（3）進行因素分析，確定因素的主次以及因素之）進行因素分析，確定因素的主次以及因素之間的相互關(guān)系等等間的相互關(guān)系等等5l一元線性回歸分析，只要解決：一元線性回歸分析，只要解決：l（1）求變量）求變量x與與y之間的回歸直線方程之間的回歸直線方程l（2）判斷變量）判斷變量x和和y之間是否確為線性關(guān)系之間是否確為線性關(guān)系l（3）根據(jù)一個變量的值，預(yù)測或控制另一變量）根據(jù)一個變量的值，預(yù)測或控制另一

4、變量的取值的取值6l二、一元線性回歸方程的確定二、一元線性回歸方程的確定iy (1,2,.,)xyxyiN數(shù)學(xué)上判定直線合理的原則：如果直線與全部觀測數(shù)據(jù)的離差平方和，比任何其它直線與全部觀測數(shù)據(jù)的離差平方和更小，該直線就是代表 與 之間關(guān)系較為合理的一條直線，這條直線就是 和 之間的回歸直線。7*, )(1,2,., )xy()iiiiiiiiiiiiya bxx y iNxya bxya bxyxyyyya bxy 設(shè)是平面上的一條任意直線，(是變量 ， 的一組觀測數(shù)據(jù)。那么，對于每一個 ，在直線上確可以確定一個的值， 與 處實際觀測值 的差：就刻畫了 與直線偏離度8xy1x( ,)iix

5、 y( ,)iix yyabx9*2211(1,2,.,)(1,2,.,)()()(1,2,.,),abQiiNNiiiiiiiy iNy iNQyyya bxQy iNQx y 全部觀測值與直線上對于的的離差平方和則為：反映了全部觀測值對直線的偏離程度，顯然，離差平方和 越小，愈能較好地表示之間的關(guān)系。用最小二乘法原理，通過選擇合適的系數(shù) ， ，使 最小1011_1111_22211_2()0(61)2()0(62)1()()(63)1()()(64)NiiiNiiiiNNNNiiiiiiiiiiNNiiiiiQyabxaQyabx xbxxyyx yxyNxxxxNay bx Ni=1聯(lián)合

6、求解得：b=11_1111,(65)ab(66)bNNiiiixx yyNNyabx此處求得 ， 后，回歸方程為：便可以確定， 稱為回歸系數(shù)12l三、回歸方程檢驗方法三、回歸方程檢驗方法l（一）方差分析法（一）方差分析法l回顧方差分析的基本特點：回顧方差分析的基本特點：l把所給數(shù)據(jù)的總波動分解為兩部分，一部分反映水平把所給數(shù)據(jù)的總波動分解為兩部分，一部分反映水平變化引起的波動，另一部分反映由于存在試驗誤差而引起變化引起的波動，另一部分反映由于存在試驗誤差而引起的波動。然后把各因素水平變化引起的波動與試驗誤差引的波動。然后把各因素水平變化引起的波動與試驗誤差引起的波動大小進行比較，而達到檢驗因素

7、顯著性的目的起的波動大小進行比較，而達到檢驗因素顯著性的目的.13_22_22( ,)(1,2,.,)xyxy()()()()()iiiiiiyyiiiiiiix yiNxyxyabxyLyyyyyyyyyy_NNi=1i=1Ni=1i=1設(shè)為變量 ， 間的一組觀測數(shù)據(jù)，為觀測點， 為 處的觀測之，為這組觀測數(shù)據(jù)求得的變量 ， 間的回歸方程，在回歸問題中，觀測數(shù)據(jù)總的波動情況，用各觀測值 與總平均y之間的平方和即總變動平方和表示_2()()iiiyyyyNNi=1142_2()()(68)xyy(69)iiiQyyQUyyUQUNi=1Ni=1yy第一項是觀測值與回歸直線的離差平方和，反映了誤

8、差的大小第二項反映了總變動中，由于 與 的線性關(guān)系而引起 變化的一部分，稱為回歸平方和第三項為零L15UQUQNN2UQfffffffyyyy總總總每一個變動平方和（即L 、 、 ）都有一個“自由度”和它們對應(yīng)，L 自由度稱為總自由度，記做 。觀測值個數(shù)1 11 三者之間仍然有：16aaF(2)2a0.050.01F(1,2)FFF FUNQNuQa可用 檢驗考察回歸直線的顯著性：U/f（1）計算F=Q/f（ ）對于選定的顯著性水平 （或），從 分布上找出臨界值F（3）比較 與 的大小。若 ，則回歸方程有意義，反之則說明方程意義不大17l（二）相關(guān)系數(shù)檢驗法（二）相關(guān)系數(shù)檢驗法_22_22_2

9、_222_22()()()()()()()()1(611)()()iiiyyiiiiiiiiUyyUabxabxbxxLyyyyyyxxbyyyy NNi=1i=1Ni=1Ni=1NNi=1i=1NNi=1i=1由代入整理后可得18_2222_22_2_2()()1(612)()()()()iiiiiiixxyyrbyyyyxxrbyy NNi=1i=1NNi=1i=1Ni=1Ni=1令19_2_21 yx(),1,()iiiiyyyy rbxxNi=1Ni=1下面存在三種情形：（） 與 有嚴格函數(shù)關(guān)系時xy1r xy1r 20_2yx,0,0yy rb（ ） 與 無任何依賴關(guān)系時xy0r x

10、y0r 213yxr（ ） 與 存在相關(guān)關(guān)系時0| |1xy10r xy01r22_21_22211yxr()()()()()()NiiiiNNiiiiixyxx yyxxyyxxrbyyxxyyll lNi=1Ni=1檢驗 與 是否相關(guān)的步驟：（1）按下式計算 ：23,2fn23| | |xy| |xya fa fa fa frrrrrrr（ ）給定顯著行水平 ，按自由度 ，由相關(guān)系數(shù)臨界表中查處臨界值。（ ）比較與的大小。若，認為 與 之間存在線性相關(guān)關(guān)系；若，認為 與 之間不存在線性相關(guān)關(guān)系。24n-2123456789100.05 0.010.9970.9500.8780.8110.7

11、540.7070.6660.6320.6020.5761.0000.9900.9590.9170.8740.8340.7980.7650.7350.708n-2111213141516171819200.05 0.010.5530.5320.5140.4790.4820.4680.4560.4440.4330.4130.6840.6610.6410.6230.6060.5900.5750.5610.5490.537n-2212223242526272829300.05 0.010.4130.4040.3960.3880.3810.3740.3670.3640.3550.3490.5260.51

12、50.5050.4960.4870.4780.4700.4630.4560.449相關(guān)系數(shù)臨界值表25l四、預(yù)報與控制四、預(yù)報與控制l當我們求得變量當我們求得變量x、y之間的回歸直線方程后，之間的回歸直線方程后，往往通過回歸方程回答這樣兩方面的問題：往往通過回歸方程回答這樣兩方面的問題：l（1）對任何一個給定的觀測點）對任何一個給定的觀測點x0，推斷，推斷y0大致落的范圍大致落的范圍l（2）若要求觀測值）若要求觀測值y在一定的范圍在一定的范圍y1yy2內(nèi)取值，應(yīng)將內(nèi)取值，應(yīng)將變量控制在什么地方變量控制在什么地方l前者就是所謂的預(yù)報問題，后者稱為控制問題。前者就是所謂的預(yù)報問題，后者稱為控制問題

13、。260000002yxyyyyyQSN（一）預(yù)報問題一般來說，對于固定 處的觀測值 ，其取值是以為中心而對稱分布的。愈靠近的地方，出現(xiàn)的機會愈大，離愈元的地方，出現(xiàn)的機會少，而且 的取值范圍與量有下述關(guān)系：2700000000000000322222yyyyyyyyyyySyySyySxxxyySySySyySSS落在范圍內(nèi)的可能性為99.7落在范圍內(nèi)的可能性為95落在范圍內(nèi)的可能性為68利用此關(guān)系，對于指定的 ，我們有95的把握說，在處的實際觀測值 介于與之間即：這樣，預(yù)報問題就得到了解決量稱為剩余標準差。 用來衡量預(yù)報的精確度28010211112222212120122323yyyyy

14、yyaSbxyaSbxyaSbxyaSbxyxxxxxyyy（二）控制問題控制問題只不過是預(yù)報的反問題。若要求觀測值在范圍內(nèi)取值，則可從（或）及（或）中分別解出 、 ，只要將 的取值控制在 與 之間，我們就能以95（或99.7）的把握保證， 在 與范圍內(nèi)取值。29122(617)2(618)yyyabxSyabxS進行預(yù)報和控制，通常也采用圖解法。其作法是：在散點圖上作兩條平行與回歸直線的直線xy2yyabxSyabx1x2x1y2y2yyabxS0b xy2yyabxS2yyabxSyabx1x2x1y2y0b 301295xyyxx可以預(yù)測在 附近的一系列觀測值中，將落在這兩條直線所夾成的

15、帶行趨于中，若要求在 與 范圍內(nèi)取值，則只需要圖中虛線所示的對于關(guān)系，可在 軸上找到值的控制范圍。31l五、應(yīng)用舉例五、應(yīng)用舉例l例例61 在某產(chǎn)品表明腐蝕刻線，下表是試在某產(chǎn)品表明腐蝕刻線，下表是試驗活得的腐蝕時間（驗活得的腐蝕時間（x）與腐蝕深度（）與腐蝕深度（y）間的）間的一組數(shù)據(jù)。試研究兩變量（一組數(shù)據(jù)。試研究兩變量（x，y）之間的關(guān)系。）之間的關(guān)系。腐蝕時間腐蝕時間x（秒）（秒）腐蝕深度腐蝕深度y（）5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 1204 6 8 13 16 17 19 25 25 29 4632ii作散點圖，即（x ,y）圖40302010yx10 20

16、30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 xy可見 與 之間無確定的函數(shù)關(guān)系，而表現(xiàn)為相關(guān)關(guān)系33_222111_222111_1111_211()()1()()1()()()()(619)(620)(621)NNNxxiiiiiiNNNyyiiiiiiNNNNxyiiiiiiiiiixyxxxyxyxxxx yyLxxxxNLyyyyNLxxyyx yxyNLay bxbLlLrULl l（）求回歸直線記34序號1234567891011xy2x2yxy5510203040506065901204954681316171925252946208252510040090

17、01600250036004225810014400358751636641692562893616256258412116539820308026048068095015001625261055201375535222211111_249520811111483451375549520811111149600358754951111NNNNNiiiiiiiiiiiiiiixyxxxyx yxyxyx yxyLL 具體計算格式如下：列表計算、以及，36_,0.05,9,483450.3281496002084950.3234.3711114.37.32320.521|xyxxxyxxyyffL

18、bLayb xyxlrl lrrrr回歸方程為：（ ）顯著性檢驗相關(guān)系數(shù)0.98回歸方程有意義37000032452.2490.754.37.3234.370.32.7528.6()228.622.2424.12()228.622.2433.08()yyysNQxyxysys（ ）預(yù)報與控制首先計算現(xiàn)在可以來回答兩個問題1）預(yù)測當腐蝕時間秒時的腐蝕深度由回歸方程3801212950.7524.1233.082)102021022031.334.5yyxyxsxsxx故有的把握回答：秒的腐蝕深度范圍為：若要求克現(xiàn)深度在之間，應(yīng)將腐蝕時間控制在什么范圍：解方程4.37+0.3234.37+0.32

19、3得秒秒故知應(yīng)將腐蝕時間控制在3234秒內(nèi)3940一、多元回歸分析概述一、多元回歸分析概述 上節(jié)討論的只是兩個變量的回歸問題，其中因上節(jié)討論的只是兩個變量的回歸問題，其中因變量只與一個自變量相關(guān)。但這只是最簡單的情況，變量只與一個自變量相關(guān)。但這只是最簡單的情況，在大多數(shù)的實際問題中，影響因變量的因素不是一在大多數(shù)的實際問題中，影響因變量的因素不是一個而是多個，我們稱這類回問題為多元回歸分析。個而是多個，我們稱這類回問題為多元回歸分析。 我們這里著重討論簡單而又最一般的線性回歸我們這里著重討論簡單而又最一般的線性回歸問題，這是因為許多非線性的情形可以化為線性回問題，這是因為許多非線性的情形可以

20、化為線性回歸來做。多元線性回歸分析的原理與一元線性回歸歸來做。多元線性回歸分析的原理與一元線性回歸分析完全相同，但在計算上卻要復(fù)雜得多。不過，分析完全相同，但在計算上卻要復(fù)雜得多。不過，應(yīng)用計算機多元回歸的計算量是很小的，一般的計應(yīng)用計算機多元回歸的計算量是很小的，一般的計算機都有多元回歸（以及逐步回歸方法）的專門程算機都有多元回歸（以及逐步回歸方法）的專門程序序。41121121121222212ijij01 112211101 12221.x ,xY(;,)(;,)(;,)xxjyYjkknnnknkky xxxy xxxyxxxbb xb xb xbb xb xk01 1kk112模型設(shè)

21、因變量, ,x ,有關(guān)系；b +b x +b x + (7-24)其中 是隨機項，現(xiàn)有幾組數(shù)據(jù)：（其中是自變量 的第 個值； 是 的第 個觀察值）假設(shè)： y y22201 1220112n, ,N01kknnkknnkb xbb xb xb xb bbn y其中是待估參數(shù)；而 ，相互獨立且服從相同的標準正態(tài)分布 （ ， ），（ 未知）4212k12ktk22.Ykxxx,;),1,2 726yxxy727Q()ttttxxxytNyy101122kk01k01k最小二乘法與正規(guī)方程設(shè)影響因變量 的自變量共有 個， ，通過實驗得到以下幾組觀測數(shù)據(jù)（ ）根據(jù)這些數(shù)據(jù)，在 與之間欲配線性回歸方程b

22、+b x +b x +b x （ ）用最小二乘法，選擇參數(shù)b ,bb ,使離差平方和達最小，即使b ,bb )=2t011tkkt1yb +b x +b x 728NtNt=1（ ）最小 4301kQ0bQ0b 729Q0b729 1111221kk1y2112222kk2y由 數(shù) 學(xué) 分 析 中 求 極 小 值 原 理 得（ ）化 簡 并 整 理 （ ） 可 得 下 列 方 程 組lb +lb +lb =llb +lb +lb =l11121k11y21222k22yk1k2kkky011 730730l 1 lll l ll (730 l l llkkkbbbbyb xb x k11k22

23、kkkky（ ）lb +lb +lb =l將 （ ） 寫 成 矩 陣 形 勢 為） 731（ ）44 11Nijjiitijtjt=1Nitjtt=11111 y=,n i=1,2,k l =l =xx xx i,j=1,2k1 =x x 730a NNiiitttNNitjttty xxnxxn其中-（ ）Niytt=1Nittt=111k l =,1,21 =x y 730bn730QbbbitiNNittttxxyyikxy01n01n01（ ）方程組（ ）稱為正規(guī)方程解正規(guī)方程，可得使b ,bb 達最小參數(shù)b ,bb ，其中為常數(shù)項，為回歸系數(shù)45yy222113.lQ U (7-32

24、)1NNttttyynNyytt=1多元線性回歸方差分析與一元線性回歸情形類似，對多元線性回歸我們有平方和分解公式： 其中 l =y-y462121122UQUE Q/ (7-33)Q/rNttNNti iytiQyyUyybl i01it22tkkt11y22ykky而 y =b +b x +b x +b x t=1,2n還稱 為回歸平方和， 為剩余平方和。跟一元線性回歸類似，我們有 b l +b l +b l具體計算時，用這個公式比較方便的。我們有 n-k-1實際上，可以證明服從自由222221 Q/ S2S (7-34)Snk度為的分布記n-k-1式（733）表明是的無扁估計，實際中常用

25、來表示。 Q/(n-k-1)又叫剩余標準差。4720.10.050.01FYkFF (7-35)F (k,n-k-1),F(k,n-k-1),F(k,n-k-1)735UkS12k可以利用 檢驗對整個回歸進行顯著性檢驗，即 與所考慮的 個自變量x ,xx 之間的線性關(guān)系究竟是否顯著，檢驗方法與一元線性回歸的檢驗相同。只是這里僅能對總回歸作出檢驗U/k=Q/(n-k-1)檢驗的時候，分別查出臨界值，并與（ 0.010.050.010.10.050.1FFF(k,n-k-1),0.01F(k,n-k-1)FF(k,n-k-1)0.05F (k,n-k-1)FF(k,n-k-1)FF (k,n-k-

26、1)Yk）計算的 值比較。若認為回歸高度顯著或稱在水平上顯著。認為回歸在水平上顯著則稱回歸在0.01水平上顯著。若，則回歸不顯著，此時 與這 個自變量的線性關(guān)系就不確切。48多元線性回歸方差分析表變差來源自由度FitU/k均方總和kn-k-1n-1平方和回歸剩余211NNti iytiUyybl21NtyytQyylU2Nyytt=1l =y -y2/U kS21QSnk494偏回歸平方和與因素主次的差別偏回歸平方和與因素主次的差別 前面講的有關(guān)多元線性回歸的內(nèi)容，純屬一元情形的推廣，前面講的有關(guān)多元線性回歸的內(nèi)容，純屬一元情形的推廣，只是形式上復(fù)雜一些而已，而偏回歸平方和與因素主次的差只是形

27、式上復(fù)雜一些而已，而偏回歸平方和與因素主次的差別則是多元回歸問題所特有的。別則是多元回歸問題所特有的。 先從判別因素的主次說起。在實際工作中先從判別因素的主次說起。在實際工作中,我們還關(guān)心我們還關(guān)心Y對對x1,x2,xk的線性回歸中的線性回歸中,哪些因素哪些因素(即自變量即自變量)更重要些更重要些,哪些不哪些不重要重要,怎欄來衡量某個特定因素（，怎欄來衡量某個特定因素（，）的影響）的影響呢呢?我們知道我們知道,回歸平方和回歸平方和U這個量這個量,刻劃了全體自變量刻劃了全體自變量x1,x2,xk對于對于Y總的線性影響總的線性影響,為了研究為了研究xk的作用的作用,可以這樣來考慮可以這樣來考慮:從

28、原從原來的個自變量中扣除來的個自變量中扣除xk ,我們知道這個自變量我們知道這個自變量x1,x2,x xk-1k-1對于對于Y的總的線性影響也是一個回歸平方和的總的線性影響也是一個回歸平方和,記作記作U U(k)(k)；我們稱；我們稱 P Pk k=U-U=U-U(k) (k) 50 為為x1,x2,xk中中xk的偏回歸平方和。這個偏回歸平方和也的偏回歸平方和。這個偏回歸平方和也可看作可看作xk產(chǎn)生的作用產(chǎn)生的作用,類似地類似地,可定義為可定義為U U(i).(i). 一般地一般地,稱稱 P Pi i=U-U=U-U(i)(i) 為為x1,x2,xk 中中i的偏回歸平方和。用它來衡量的偏回歸平

29、方和。用它來衡量i在在Y對對x1,x2,xk的線性回歸中的作用的大小。的線性回歸中的作用的大小。51 12*jj*jjijijY,Ykbbb j i (7-37)bCijlCCkiijiiix xxxCbCk*k為了得出偏回歸平方和的計算公式。我們首先在回歸方程中取消某個自變量時，其他變量回歸類系數(shù)的改變公式。設(shè)在 對的多元線性回歸中，取消一個自變量 ，則 對剩下的 1自變量的回歸系數(shù) 與原來的回歸系數(shù) 之間有關(guān)系式中是回歸正規(guī)方程系數(shù)矩陣，是的逆矩陣 的元素。在總回歸中取消自變 iiijk*kxP (7-38)l2iiiii量 所引起的回歸平方和的減小，可以從上面回歸系數(shù)的改變的公式中推出。

30、在這里我們也僅給出結(jié)果而不詳細，此數(shù)值為b=c其中c 是回歸正規(guī)方程系數(shù)矩陣，的逆矩陣對角線上的第個元素。52 從偏回歸平方和的意義可以看出從偏回歸平方和的意義可以看出,凡是對凡是對Y作用顯著的因作用顯著的因素一般具有較大的素一般具有較大的i值。值。i愈大愈大,該因素對該因素對Y的作用也就愈大的作用也就愈大,這樣通過比較各個因素的這樣通過比較各個因素的P值就可以大致看出各個因素對因值就可以大致看出各個因素對因素變量作用的重要性。素變量作用的重要性。在實用上在實用上,在計算了偏回歸平方和后在計算了偏回歸平方和后,對各因素的分析可以按下面步驟進行對各因素的分析可以按下面步驟進行: 凡是偏回歸平方和

31、大的凡是偏回歸平方和大的,也就是顯著性的那些因素也就是顯著性的那些因素,一定是對一定是對Y有重要有重要影響的因素。至于偏回歸平方和大到什么程度才算顯著影響的因素。至于偏回歸平方和大到什么程度才算顯著,要對它作檢要對它作檢驗驗,檢驗的方法與本節(jié)中對總回歸的檢驗法類似。檢驗的方法與本節(jié)中對總回歸的檢驗法類似。 為此為此,我們要先計算我們要先計算 222iiiiiPbFSC S53 其中其中S即是方差分析計算中的剩余方差即是方差分析計算中的剩余方差,F自由度為自由度為（，）（，）,于是在給定的顯著性水平于是在給定的顯著性水平，按前面的，按前面的F檢驗法檢驗法,檢驗該因素的偏回歸平和的顯著性。檢驗該因

32、素的偏回歸平和的顯著性。 凡是偏回歸平方和小的凡是偏回歸平方和小的,即不顯著的變量即不顯著的變量;則可肯定偏回歸平方則可肯定偏回歸平方和最小的那個因素必然是在這些因素中對和最小的那個因素必然是在這些因素中對Y作用最小的一個作用最小的一個,此時應(yīng)該從回歸方程中將變量剔除。剔除一個變量后此時應(yīng)該從回歸方程中將變量剔除。剔除一個變量后,各因素各因素的偏回歸平方和的大小一般的都會有所改變的偏回歸平方和的大小一般的都會有所改變,這時應(yīng)該對它們這時應(yīng)該對它們重新作出檢驗。重新作出檢驗。 另外需要說明一下就是另外需要說明一下就是,在通常情況下在通常情況下,各因素的偏回歸平各因素的偏回歸平方和相加并不等于回歸

33、平方和。方和相加并不等于回歸平方和。 只有當正規(guī)方程的系數(shù)矩陣為對角型只有當正規(guī)方程的系數(shù)矩陣為對角型541122kk1122kk2111 0 l 0 l1 01C l10 lUUkkkkii iyi iiiiiiiilLlbb lb lPc時，由于此時它的逆矩陣為從而回歸平方和為即等于所有因素的偏回歸平方的和55曲線擬合曲線擬合l 在化工實驗數(shù)據(jù)處理中，我們經(jīng)常會遇到在化工實驗數(shù)據(jù)處理中，我們經(jīng)常會遇到這樣的問題，即已知兩個變量之間存在著函數(shù)這樣的問題，即已知兩個變量之間存在著函數(shù)關(guān)系，但是，不能從理論上推出公式的形式，關(guān)系，但是，不能從理論上推出公式的形式，要我們建立一個經(jīng)驗公式來表達這兩

34、個變量之要我們建立一個經(jīng)驗公式來表達這兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。間的函數(shù)關(guān)系。l 二元溶液的溶解熱與濃度的函數(shù)關(guān)系二元溶液的溶解熱與濃度的函數(shù)關(guān)系l 反應(yīng)物的濃度與反應(yīng)時間的函數(shù)關(guān)系反應(yīng)物的濃度與反應(yīng)時間的函數(shù)關(guān)系l 做散點圖，選經(jīng)驗方程，曲線變直，相關(guān)做散點圖，選經(jīng)驗方程，曲線變直，相關(guān)系數(shù)對比，求出常數(shù)系數(shù)對比，求出常數(shù)56 在某液相反應(yīng)中，不同時間下測的某組成的濃度見下表，在某液相反應(yīng)中，不同時間下測的某組成的濃度見下表， 試作出其經(jīng)驗方程。試作出其經(jīng)驗方程。 濃度隨時間的變化關(guān)系濃度隨時間的變化關(guān)系 時間時間t(min) 2 5 8 11 14 17 27 31 35 濃度濃度 cA (

35、mol/L) 0.948 0.879 0.813 0.749 0.687 0.640 0.493 0.440 0.391 、首先將實驗數(shù)據(jù)、首先將實驗數(shù)據(jù) tcA作圖，圖像表明，這是一條曲線，不是作圖，圖像表明，這是一條曲線，不是 y=a+bx型直線，因此，對照樣板曲線重新選型。型直線，因此，對照樣板曲線重新選型。 57c, t關(guān)系圖00.20.40.60.81010203040t（m in）c（m ol/L）系列158 、選、選baxy1 型試探，將曲線變直，這時型試探，將曲線變直，這時 y=1/cA x=t 算得算得 1/cA為：為： 1/cA t 數(shù)表數(shù)表 T 2 5 8 11 14 1

36、7 27 31 35 1/cA 1.005 1.018 1.28 1.335 1.445 1.568 2.028 2.273 2.507 1/c， t 關(guān)系圖00.511.522.53010203040t1/c系列159、再選用、再選用 y=axb型作試探，將此曲線變直型作試探，將此曲線變直 y=lncA x=lnt 算得：算得： lncA lnt 的數(shù)表的數(shù)表 Lnt 0.693 1.61 2.08 2.84 2.64 2.83 3.296 3.434 3.555 lncA -0.053 -1.09 -2.07 -0.289 -0.375 -0.446 -0.707 -0.821 -0.939 作作 lnc lnt 的圖，發(fā)現(xiàn)原來的曲線不但沒變直，反而更加彎曲了。說明這的圖，發(fā)現(xiàn)原來