管理經(jīng)濟(jì)學(xué)講義之博弈論篇

1、管理經(jīng)濟(jì)學(xué)講義之博弈論篇博弈論和對(duì)策行為 q概論 博奕論(the Game Theory)也就是運(yùn)籌學(xué)中的對(duì)策論。 對(duì)策思想最早產(chǎn)生于我國(guó)古代。 早在兩千多年的春秋時(shí)期，孫武在孫子兵法中論述的軍事思想和治國(guó)策略，就蘊(yùn)育了豐富和深刻的對(duì)策論思想。孫武的后代孫臏，為田忌謀劃，巧勝齊王，這個(gè)著名的“田忌賽馬”，就是典型的對(duì)策思想的成功運(yùn)用。博弈論和對(duì)策行為 q概論 對(duì)策思想明確地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，始于Cournot (1838), Bertrand (1883), Edgeworth (1925)等人關(guān)于寡頭競(jìng)爭(zhēng)、產(chǎn)量與價(jià)格壟斷、產(chǎn)品交易行為的研究。 然而，作為一門學(xué)科的創(chuàng)立，則是以美國(guó)數(shù)學(xué)家馮.諾依

2、曼(John Von Neumann)和經(jīng)濟(jì)學(xué)家?jiàn)W斯卡.摩根斯坦(Oskar Morgenstern)合著的博奕論與經(jīng)濟(jì)行為(The Game Theory and Economic Behavior) (1944)一書出版為標(biāo)志，他們奠定和形成了這門學(xué)科的理論與方法論基礎(chǔ)。博弈論和對(duì)策行為 q概論 博奕論是一門內(nèi)容廣泛且復(fù)雜的學(xué)科，不僅是經(jīng)濟(jì)學(xué)，政治學(xué)、軍事、外交、國(guó)際關(guān)系、公共選擇，還有犯罪學(xué)等，都涉及到博奕論。 實(shí)際上，很多人把博奕論看成數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，博奕論的一個(gè)重要代表人物-納什(Nash，曾獲202X年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，該年度的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授與了三位博奕論專家)，在1951年的一篇

3、奠基性的文章就是發(fā)表在數(shù)學(xué)雜志上，而非在經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志上。 但是，本講只是介紹博奕論的最基本的內(nèi)容，且限于博奕論在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。博弈論和對(duì)策行為 q基本概念 本書討論博奕論模型的最基本表述方式-策略型表述，它主要用于表現(xiàn)靜態(tài)對(duì)策。這里介紹策略型表述中的基本概念，明確有關(guān)術(shù)語(yǔ)的準(zhǔn)確含義。 博弈論和對(duì)策行為 q基本概念在策略型博奕中，一個(gè)對(duì)策有以下幾種基本要素：一局中人(players)： 即博奕的參與者，他們是博奕的決策主體行為。根據(jù)自己的利益要求決定自己的，記局中人為i，局中人集合為1,2,I，即共有I個(gè)局中人。我們將某個(gè)局中人以外的其它局中人稱為“i的對(duì)手”，記為-i。 博弈論和對(duì)策行為 q基

4、本概念在策略型博奕中，一個(gè)對(duì)策有以下幾種基本要素：一局中人 即指每個(gè)局中人在對(duì)策中可以選擇采用的行動(dòng)方案，但這個(gè)方案必須是一個(gè)完整的行動(dòng)，而不是行動(dòng)的某一步。每個(gè)局中人均有可供選擇的多種策略。 二策略(strategies)： 三支付或收益(payoffs): 二策略一局中人在策略型博奕中，一個(gè)對(duì)策有以下幾種基本要素：博弈論和對(duì)策行為 q基本概念 是指一局博奕的得失。或者說(shuō)是局中人從各種策略組合中獲得的效用，它是策略組合的函數(shù)。如果局中人得失的總和為零，則稱這種對(duì)策為零和對(duì)策；否則，稱為非零和博奕。 例1.囚徒困境(prisoners dilemma) 博弈論和對(duì)策行為 q 策略型博弈的實(shí)例和

5、解(囚徒困境)例1.囚徒困境(prisoners dilemma) 博弈論和對(duì)策行為 q 策略型博弈的實(shí)例和解(囚徒困境) 這個(gè)例子可以看作是非合作博奕現(xiàn)象的一個(gè)抽象概括。它講的是兩個(gè)嫌疑犯被隔離審訊。他們面臨的處境是：如果兩人都坦白，各判刑8年；如果兩人都抵賴，各判刑1年(或許證據(jù)不足)；如果一人坦白另一人抵賴，則坦白的放出去，不坦白的判刑10年，(“坦白從寬、抗拒從嚴(yán)”)。這里，兩個(gè)囚徒就是兩個(gè)局中人，每個(gè)局中人都有兩個(gè)策略可供選擇：坦白或抵賴。表中每一格的一對(duì)數(shù)字分別表示局中人不同策略組合的收益，第一個(gè)數(shù)字是囚徒A的收益，第二個(gè)數(shù)字是囚徒B的收益。這種有限對(duì)策(局中人是有限個(gè)，每個(gè)局中人

6、的策略數(shù)也是有限的)往往用矩陣形式表示。 例1.囚徒困境(prisoners dilemma) 博弈論和對(duì)策行為 q 策略型博弈的實(shí)例和解(囚徒困境) 在對(duì)博奕局勢(shì)進(jìn)行描述后，博奕論分析就是要求出局中人進(jìn)行策略選擇的理性結(jié)局，或者說(shuō)找出博奕問(wèn)題的解。在非合作博奕中，有兩種解的技術(shù)：一種是納什均衡，一種是優(yōu)超解。 定義1: 給定其它局中人的策略s，局中人i的最優(yōu)反應(yīng) 記為s，是指能給他帶來(lái)最大收益的策略，即 博弈論和對(duì)策行為 q納什均衡 當(dāng)每個(gè)局中人都選擇了自己的最優(yōu)反應(yīng)策略，并且這些最優(yōu)反應(yīng)形成一個(gè)策略組合，便形成了納什均衡。 定義2: 一個(gè)策略組合s*=(s1*,s2*,sn*)被稱為納什均

7、 衡是指，對(duì)于所有 的 i, 博弈論和對(duì)策行為 q納什均衡 納什均衡的思想就是，博奕的理性結(jié)局是這樣一種策略組合，其中每個(gè)局中人選擇的策略都已是對(duì)其它局中人所選策略的最優(yōu)反應(yīng)，所以，誰(shuí)也沒(méi)有積極性去選擇其它策略。因?yàn)槊恳粋€(gè)局中人均不能因?yàn)閱畏矫娓淖冏约旱牟呗远@利，于是誰(shuí)也沒(méi)有興趣主動(dòng)打破這種均衡。 在囚徒困境中，考慮囚徒A對(duì)他人的最優(yōu)反應(yīng)。如果給定囚徒B的策略是“坦白”，那么對(duì)囚徒A來(lái)說(shuō)，采取“坦白”策略得到的收益是-8，采取“抵賴”策略得到的收益是-10，顯然“坦白”為好；同理，如果給定囚徒B的策略是“抵賴”，對(duì)囚徒A來(lái)說(shuō)，“坦白”也比“抵賴”好。因此，囚徒A對(duì)囚徒B的最優(yōu)反應(yīng)是“坦白”。

8、 對(duì)囚徒B作同樣分析：如果囚徒A的策略是“坦白”，則他采取“坦白”策略為好；如果囚徒A的策略是“抵賴”,他還是采取“坦白”策略好，所以囚徒B對(duì)囚徒A的最優(yōu)反應(yīng)也是“坦白”。 兩個(gè)最優(yōu)反應(yīng)形成了一個(gè)策略組合(坦白，坦白)，這就是一個(gè)納什均衡。 博弈論和對(duì)策行為 q納什均衡 兩個(gè)寡頭企業(yè)選擇產(chǎn)量的博奕就是一個(gè)囚徒困境問(wèn)題。 回想一下古諾均衡的含義：古諾均衡是指存在這樣一對(duì)產(chǎn)量組合(q1*,q2*),使得：假定企業(yè)2的產(chǎn)量為q2*時(shí)，q1*是企業(yè)1的最優(yōu)產(chǎn)量；假定企業(yè)1的產(chǎn)量為q1*時(shí)，q2*是企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量。按照納什均衡的定義，古諾均衡(q1*,q2*)也就是博奕論中的納什均衡。 納什均衡只說(shuō)明

9、博奕的穩(wěn)定性結(jié)局。博弈論和對(duì)策行為 q囚徒困境在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 讓我們?cè)倩氐角敉嚼Ь潮旧?。納什均衡(坦白，坦白)表明兩人共同的集體選擇，但是這個(gè)選擇是否是理性的？理性選擇是指使收益最大化的選擇。如果兩人都抵賴，各判刑1年，顯然比坦白各判刑8年好。所以，納什均衡(坦白，坦白)并不是一個(gè)集體理性選擇。但它卻是個(gè)人理性選擇的一個(gè)組合。囚徒困境正是反映了一個(gè)深刻的問(wèn)題，這就是個(gè)人理性與集體理性的矛盾。博弈論和對(duì)策行為 q囚徒困境在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用博弈論和對(duì)策行為 q囚徒困境在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 一個(gè)非集體理性選擇，如納什均衡(坦白，坦白)，用經(jīng)濟(jì)學(xué)術(shù)語(yǔ)說(shuō)，其中存在“帕累托改進(jìn)”的機(jī)會(huì)。所謂帕累托改進(jìn)就是說(shuō)，

10、它在不使另一部分人的境況變得更壞的前提下，至少能改進(jìn)一部分人的境況。如果不存在帕累托改進(jìn)的情況，便達(dá)到“帕累托最優(yōu)”。這里，如果兩人都選擇抵賴，兩人的境況都有所改進(jìn)。所以，(坦白，坦白)不是帕累托最優(yōu)。集體的理性選擇應(yīng)該是大家都抵賴。但是這個(gè)帕累托改進(jìn)辦不到。為什么？因?yàn)槲覀円呀?jīng)驗(yàn)證，(坦白，坦白)這個(gè)策略組合正是一個(gè)納什均衡。在一個(gè)納什均衡中，不會(huì)有人主動(dòng)去打破這種格局的。博弈論和對(duì)策行為 q囚徒困境在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 那么，兩個(gè)囚徒事先訂好攻守同盟，兩人都采取抵賴的策略，不是可以改善兩人的境遇嗎？但問(wèn)題是，這個(gè)攻守同盟有沒(méi)有意義？沒(méi)有。原因在于(抵賴，抵賴)這個(gè)策略組合不是一個(gè)納什均衡，沒(méi)有

11、人有積極性去遵守這個(gè)協(xié)議。一般地，假設(shè)博奕中的每個(gè)局中人事先達(dá)成一項(xiàng)協(xié)議，規(guī)定了各自的行為規(guī)則。如果局中人會(huì)自覺(jué)遵守這個(gè)協(xié)議，等于說(shuō)這個(gè)協(xié)議構(gòu)成了一個(gè)納什均衡：給定別人遵守協(xié)議的情況下，自己的最好選擇就是也遵守協(xié)議。相反，一個(gè)協(xié)議不構(gòu)成納什均衡時(shí)，它就不可能自動(dòng)實(shí)施，因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)局中人會(huì)違背這個(gè)協(xié)議。所以，不滿足納什均衡要求的協(xié)議是沒(méi)有意義的。博弈論和對(duì)策行為 q囚徒困境在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 以上的分析告訴我們，用經(jīng)濟(jì)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，只有由滿足個(gè)人理性選擇的策略組成的集合才是均衡的，或者說(shuō)只有納什均衡才是穩(wěn)定的。博弈論和對(duì)策行為 q囚徒困境在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 看兩個(gè)寡頭合謀與價(jià)格卡特爾的情形，它也存

12、在個(gè)人理性與集體理性的沖突。 在兩個(gè)寡頭合謀條件下的產(chǎn)量與價(jià)格決定，是基于兩個(gè)寡頭利潤(rùn)總和的最大化目標(biāo)，而不是每個(gè)企業(yè)自己的利潤(rùn)最大化。因此這種最大化目標(biāo)下的產(chǎn)量分配符合兩家企業(yè)的共同利益，卻不是使每家企業(yè)自己的利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量，換言之，并不是每家企業(yè)自己的“最優(yōu)反應(yīng)”。所以，卡特爾產(chǎn)量分配不是一個(gè)納什均衡。正因?yàn)榇?，卡特爾下一定?huì)有違約沖動(dòng)，卡特爾具有不穩(wěn)定性。 博弈論和對(duì)策行為 q囚徒困境在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 在軍備競(jìng)賽中，人們年復(fù)一年的談判，試圖簽訂一個(gè)限制軍備的條約。但是這種條約也存在個(gè)人理性與集體理性的沖突。簽訂條約對(duì)世界和平有利，但履行條約未必是各國(guó)行動(dòng)的“最優(yōu)反應(yīng)”：試想，如果我減少

13、軍備開(kāi)支，而你增加軍費(fèi)支出，我不是受到威脅了嗎？所以，這種條約不構(gòu)成納什均衡，各國(guó)都有違約的沖動(dòng)。納什均衡是各國(guó)都大量增加軍費(fèi)預(yù)算，結(jié)果軍備競(jìng)賽就只好繼續(xù)下去。冷戰(zhàn)時(shí)期前蘇聯(lián)和美國(guó)之間的軍備競(jìng)賽就是典型一例，兩國(guó)都在導(dǎo)彈上花了幾萬(wàn)億美元，如果把資源用于民品生產(chǎn)，兩國(guó)的社會(huì)福利就會(huì)變得更好。 博弈論和對(duì)策行為 q囚徒困境在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)而產(chǎn)生的廣告資源浪費(fèi)也是典型例子。如兩家寡頭競(jìng)爭(zhēng)，經(jīng)理們可選擇策略是“多做廣告”和“少做廣告”，各種策略組合的盈利矩陣如下表， 企業(yè)1最優(yōu)反應(yīng)是多做廣告，企業(yè)2最優(yōu)反應(yīng)也是多做廣告，因此 (多做廣告,多做廣告)是一個(gè)納什均衡。這個(gè)納什均衡的結(jié)果是大量資源

14、消耗在廣告上。 博弈論和對(duì)策行為 q囚徒困境在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 納什均衡概念的局限性在于，在博奕中有可能納什均衡不是唯一的。例：兩家寡頭價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)，經(jīng)理可選擇的策略是價(jià)格不變或漲價(jià)，收益矩陣如下所示： 結(jié)果發(fā)現(xiàn)納什均衡有兩個(gè)：(價(jià)格不變，價(jià)格不變)、(漲價(jià)，漲價(jià))。博奕中的實(shí)際結(jié)果取決于首先采取什么行動(dòng)。如果先前的情況是價(jià)格不變，那么這一博奕的預(yù)期結(jié)果就是價(jià)格不變。另外，對(duì)有的博奕來(lái)說(shuō)，也可能不存在納什均衡。 博弈論和對(duì)策行為 q策略型博弈的實(shí)例和解(性別戰(zhàn))例2.性別戰(zhàn)(battle of the sexes) 一男一女戀愛(ài)，有些業(yè)余活動(dòng)要安排，或者去看足球比賽，或者去看芭蕾舞演出。男的偏好足球

15、，女的則更喜歡芭蕾舞，但他們都寧愿在一起，不愿分開(kāi)。下表給出收益矩陣： 博弈論和對(duì)策行為 q策略型博弈的實(shí)例和解(性別戰(zhàn))例2.性別戰(zhàn)(battle of the sexes) 這個(gè)博奕中有兩個(gè)納什均衡：(足球，足球)和(芭蕾，芭蕾)。就是說(shuō)，一方去足球場(chǎng)，另一方也會(huì)去足球場(chǎng)；類似地，一方去看芭蕾，另一方也會(huì)去看芭蕾。在實(shí)際生活中，也許是這一次看足球，下一次看芭蕾，如此循環(huán)，形成一種默契。這在實(shí)際生活中是指，兩種互補(bǔ)的活動(dòng)應(yīng)該配合，盡管配合的方式可能有很多種。 比如，兩家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品可能是互補(bǔ)的，一家為另一家提供零配件，這里有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的選擇問(wèn)題，由于種種原因，很可能在產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)的選擇上，生產(chǎn)成

16、品的廠家與生產(chǎn)零配件的廠家之間有沖突。這就需要相互妥協(xié)，但妥協(xié)的結(jié)果有兩種可能，或者是生產(chǎn)零配件的廠家適應(yīng)生產(chǎn)成品的廠家，或者是生產(chǎn)成品的廠家適應(yīng)于生產(chǎn)零配件的廠家。 博弈論和對(duì)策行為 q策略型博弈的實(shí)例和解(性別戰(zhàn))例2.性別戰(zhàn)(battle of the sexes) 博弈論和對(duì)策行為 q策略型博弈的實(shí)例和解(性別戰(zhàn))例2.性別戰(zhàn)(battle of the sexes) 性別戰(zhàn)的例子中有兩個(gè)納什均衡，那么，究竟那一個(gè)納什均衡會(huì)實(shí)際發(fā)生？我們不知道。這里還有一個(gè)先動(dòng)優(yōu)勢(shì)(first-mover advantage)，比如說(shuō)，若男的先買票，兩人就會(huì)出現(xiàn)在足球場(chǎng)，若女的買票，兩人就會(huì)出現(xiàn)在芭蕾

17、舞劇院。 博弈論和對(duì)策行為 q策略型博弈的實(shí)例和解(性別戰(zhàn))例2.性別戰(zhàn)(battle of the sexes) 在囚徒博奕中，我們隱含地假定雙方下奕者是同時(shí)實(shí)施其策略的。性別戰(zhàn)中的先動(dòng)優(yōu)勢(shì)表明了另一種類型的博奕，稱為順序性博奕(sequential game)。在順序性博奕中，有一名下奕者先博奕行動(dòng)，然后另一名下奕者要做出反應(yīng)。先下奕者有先動(dòng)優(yōu)勢(shì)。 性別戰(zhàn)的例子也有很多應(yīng)用。企業(yè)進(jìn)入新的市場(chǎng)就是一種順序性博奕。新企業(yè)首先決定是否進(jìn)入，然后現(xiàn)有企業(yè)決定是不管它，還是阻止它的進(jìn)入。 博弈論和對(duì)策行為 q性別戰(zhàn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 設(shè)想有一家壟斷企業(yè)已在市場(chǎng)上(稱為“在位者”)，另一家新企業(yè)虎視眈眈

18、想進(jìn)入(稱為“進(jìn)入者”)。在位者想保持自己的壟斷地位，所以就要阻撓進(jìn)入者的進(jìn)入。在這個(gè)博奕中，進(jìn)入者有兩種策略可以選擇：進(jìn)入還是不進(jìn)入；在位者也有兩種策略：默許還是斗爭(zhēng)。各種策略組合的收益矩陣如下表： 例：市場(chǎng)進(jìn)入阻撓(entry deterrance)博弈論和對(duì)策行為 q性別戰(zhàn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 博奕也有兩個(gè)納什均衡，即(進(jìn)入，默許)，(不進(jìn)入，斗爭(zhēng))，相應(yīng)的收益為(40,50),(0,300)。就是說(shuō)如果新企業(yè)首先進(jìn)入，在位者的最優(yōu)反應(yīng)是默許；類似地，如果在位者默許，新企業(yè)的最優(yōu)策略是進(jìn)入。盡管在新企業(yè)不進(jìn)入時(shí)，默許和斗爭(zhēng)對(duì)在位者是一樣的效果，但在在位者選擇斗爭(zhēng)時(shí)，新企業(yè)的最優(yōu)選擇是不進(jìn)入，

19、所以，(不進(jìn)入，斗爭(zhēng))是一個(gè)納什均衡，而(不進(jìn)入，默許)不是納什均衡。 博弈論和對(duì)策行為 q性別戰(zhàn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 一家企業(yè)率先推出一種新產(chǎn)品，其它企業(yè)跟進(jìn)也是一種順序性博奕。把新產(chǎn)品率先推向市場(chǎng)的先動(dòng)企業(yè)的成功可能性要大一些，跟進(jìn)者面臨的困難是消費(fèi)者對(duì)先動(dòng)企業(yè)的品牌有了一定的忠誠(chéng)度，并在頭腦中有了先動(dòng)企業(yè)的形象；而且，如果消費(fèi)者在學(xué)習(xí)使用先動(dòng)企業(yè)的新產(chǎn)品時(shí)花費(fèi)了學(xué)習(xí)時(shí)間，往往不愿意再花時(shí)間或改動(dòng)設(shè)備去使用另一家企業(yè)的類似產(chǎn)品。文字處理和數(shù)據(jù)庫(kù)軟件就是很好的例子。對(duì)一種程序或一種輸入方法已很熟練者，一般不愿意更換，除非后者有很多優(yōu)點(diǎn)。 博弈論和對(duì)策行為 q性別戰(zhàn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 下表是兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)

20、企業(yè)是否推出新產(chǎn)品的利益矩陣。 這個(gè)博奕中有兩個(gè)納什均衡：一家推出新產(chǎn)品，一家無(wú)新產(chǎn)品。推出新產(chǎn)品的企業(yè)贏利為10，無(wú)新產(chǎn)品的企業(yè)贏利為-5。究竟是企業(yè)1還是企業(yè)2贏利，要看是哪一家企業(yè)首先行動(dòng)。假定企業(yè)1具有較高的研究和開(kāi)發(fā)優(yōu)勢(shì)，率先在市場(chǎng)上推出新產(chǎn)品，那么企業(yè)2的最佳反應(yīng)就是不跟進(jìn)，因?yàn)楦M(jìn)的損失是7，不跟進(jìn)的損失只有5。博弈論和對(duì)策行為 q優(yōu)超解 如果一個(gè)局中人在任何情況下從某種策略中得到的收益均大于從其它策略中得到的收益，那么對(duì)他而言，這個(gè)策略稱為優(yōu)超策略或支配性策略(dominant strategy)。其它的策略稱為被優(yōu)超策略或被支配策略(dominated strategy)。

21、博弈論和對(duì)策行為 q優(yōu)超解 在囚徒博奕中，對(duì)囚徒A來(lái)說(shuō)，“抵賴”被“坦白”優(yōu)超，對(duì)囚徒B也同樣，所以，(坦白，坦白)就是一個(gè)優(yōu)超策略均衡。在這個(gè)例子中，優(yōu)超策略均衡也就是納什均衡。 當(dāng)有一名局中人具有優(yōu)超策略時(shí)，博奕總會(huì)有一個(gè)納什均衡，因?yàn)楫?dāng)該局中人采取優(yōu)超策略時(shí)，另一局中人就會(huì)據(jù)此做出自己的最優(yōu)反應(yīng)。但納什均衡不一定是優(yōu)超策略均衡。博弈論和對(duì)策行為 q優(yōu)超解 在市場(chǎng)進(jìn)入阻撓博奕中，在位者有一個(gè)優(yōu)超解“默許”，進(jìn)入者對(duì)默許的最優(yōu)反應(yīng)是“進(jìn)入”，所以，(進(jìn)入，默許)是一個(gè)納什均衡。 大多數(shù)的博奕局勢(shì)中利用優(yōu)超概念只能夠?qū)Σ┺葐?wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，得不到對(duì)策解。 博弈論和對(duì)策行為 q優(yōu)超解例2:考慮由下表

22、給出的策略性博奕: 博弈論和對(duì)策行為 q優(yōu)超解 對(duì)于局中人A來(lái)說(shuō)，策略x被y優(yōu)超了，所以，可以刪去x使問(wèn)題簡(jiǎn)化為： 但是，對(duì)這個(gè)簡(jiǎn)化了的博奕，我們?nèi)匀粺o(wú)法找到對(duì)策解。有些博奕問(wèn)題既沒(méi)有優(yōu)超均衡解，也沒(méi)有納什均衡解。 博弈論和對(duì)策行為 q最大最小策略(Max-min strategy) 馮.諾依曼和摩根斯坦認(rèn)為策略的選擇與決策者的性格有關(guān)。 某些決策者可能認(rèn)為，冒失行動(dòng)容易造成重大失誤，最好還是從最不利的情況出發(fā)，向最好的方向努力，力求做到有備無(wú)患。這樣的決策者屬于風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的，他首先想到的是各種不利因素和風(fēng)險(xiǎn)，所以他先要考慮各種最壞的結(jié)果，然后從最壞結(jié)果中選出一個(gè)最好結(jié)果。按這種原則選取的策略

23、可以稱為最大最小策略。 博弈論和對(duì)策行為 q混合策略和重復(fù)性博弈 策略有兩種概念，前面我們所說(shuō)的策略，都是純策略，另一種策略概念為在純策略基礎(chǔ)上形成的混合策略(mixed strategy)。 局中人I的混合策略i是他的純策略空間Si上的一種概率分布，表示局中人實(shí)際對(duì)策時(shí)根據(jù)這種概率分布在純策略中隨機(jī)選擇加以實(shí)施。 博弈論和對(duì)策行為 q混合策略和重復(fù)性博弈 為了敘述問(wèn)題方便，下面我們主要討論二人零和博奕。 零和對(duì)策是策略型對(duì)策的最基本模式，其中局中人得失的總和為零(或?yàn)橐怀?shù))。二人零和博奕是指零和博奕中有且只有兩個(gè)局中人，一人的所得正是另一人的所失。二人零和對(duì)策在博奕論的早期發(fā)展中曾占有過(guò)重

24、要地位。 二人零和博奕的支付矩陣可以記為： 如果支付矩陣的數(shù)值為正時(shí)，表示局中A的贏得值，若支付矩陣的數(shù)值為負(fù)時(shí)，表示局中A的損失或輸?shù)舻闹怠?博弈論和對(duì)策行為 q混合策略和重復(fù)性博弈 例：二人零和博奕的收益矩陣如下表，局中人A的收益值均為正，而局中人B的收益值均為負(fù)，即表示局中人B的損失值。 博弈論和對(duì)策行為 q混合策略和重復(fù)性博弈 如果每個(gè)局中人完全清楚地知道對(duì)手將會(huì)采取什么樣的策略，會(huì)是什么情況呢？A如果知道B會(huì)選擇b1，則會(huì)選擇a2；當(dāng)A連續(xù)使用策略a2時(shí)，B必定會(huì)察覺(jué)，便會(huì)選擇b2；當(dāng)B連續(xù)使用b2時(shí)，A也會(huì)察覺(jué)，從而改為選擇a1；B如果知道A選擇了a1，則又會(huì)選擇b1；如此反復(fù)，以

25、至無(wú)窮，所以，雙方如果使用純策略進(jìn)行博奕時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)，不會(huì)有最終的均衡結(jié)果。這說(shuō)明雙方都不能連續(xù)不變地使用某種純策略，都必須考慮如何隨機(jī)地使用自己的策略，使對(duì)方捉摸不到自己使用何種策略。這就需要混合策略的對(duì)策。 博弈論和對(duì)策行為 q混合策略和重復(fù)性博弈 假設(shè)A采取混合策略，即以概率x隨機(jī)的使用純策略a1，以概率(1-x)使用純策略a2，去對(duì)付B使用純策略b1，A的收益便是x的函數(shù): U=x+3(1-x)=3-2x 若A使用上述混合策略去對(duì)付B使用純策略b時(shí)，A的收益便是 U=4x+2(1-x)=2+2x 博弈論和對(duì)策行為 q混合策略和重復(fù)性博弈 用圖表示時(shí)，U和U的表達(dá)式是兩條直線，x的取值范圍為0，1，見(jiàn)下圖： U543210112345mxmpqpq博弈論和對(duì)策行為 q混合策略和重復(fù)性博弈 U的值隨著x值的增長(zhǎng)而減少，U的值隨著x值的增大而增大。兩條直線的交點(diǎn)m對(duì)應(yīng)著xm。局中人A按最大最小原則選擇他的策略，即他的選擇按 Maxmin(3-2x,2+2x)來(lái)進(jìn)行的。min(3-2x,2+2x) 即折線pmq，m點(diǎn)是折線pmq的最高點(diǎn)，所以m點(diǎn)是混合策略意義下的最大最小值。當(dāng)U=U時(shí)，可解得xm=1/4，U=U =5/2。 所以，局中人A的最優(yōu)混合策略為: A：博弈論和對(duì)策行為 q混合