MATLAB第3章Z變換

1、第三章 Z變換數(shù)字信號處理第3章 Z變換第三章 Z變換數(shù)字信號處理第三章學(xué)習(xí)目標(biāo)第三章學(xué)習(xí)目標(biāo)l 掌握z變換及其收斂域，掌握因果序列的概念及判斷方法l 會運用任意方法求z反變換l 理解z變換的主要性質(zhì)l 理解z變換與Fourier變換的關(guān)系l 掌握離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)，因果/穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂域第三章 Z變換數(shù)字信號處理3.1 Z變換的定義和收斂域一. Z變換的定義( ) ( )( )nnX zZT x nx n z雙邊雙邊z變換變換 其中：其中：z為復(fù)變量，以其實部為橫坐標(biāo)，虛部為縱坐為復(fù)變量，以其實部為橫坐標(biāo)，虛部為縱坐標(biāo)構(gòu)成的平面稱為標(biāo)構(gòu)成的平面稱為z平面平面。0( ) ( )( )

2、nnX zZT x nx n z單邊單邊z變換變換第三章 Z變換數(shù)字信號處理二Z變換的收斂域1收斂域的定義：收斂域的定義：對任意給定序列對任意給定序列x(n)，使其，使其z變換收斂的所有變換收斂的所有z值的集合稱為值的集合稱為X(z)的收斂域。的收斂域。 2. 收斂條件：收斂條件：( )( )nnX zx n z| ( )|nnx n zM 的級數(shù)收斂的充的級數(shù)收斂的充分必要條件是滿足絕對可和的條件，即要求分必要條件是滿足絕對可和的條件，即要求 要滿足此不等式，要滿足此不等式，|z|值必須在一定范圍之內(nèi)值必須在一定范圍之內(nèi)才行，這才行，這個范圍就是收斂域。個范圍就是收斂域。 第三章 Z變換數(shù)字

3、信號處理z平面上的收斂域一般可用環(huán)狀域表示，即平面上的收斂域一般可用環(huán)狀域表示，即 Rx-|z|Rx+收斂域是分別以收斂域是分別以Rx-和和Rx+為半徑的兩個圓所圍成的環(huán)為半徑的兩個圓所圍成的環(huán)狀域，狀域， Rx-和和Rx+稱為收斂半徑。稱為收斂半徑。Rx-可以小到零，可以小到零，Rx+可以大到無窮大?？梢源蟮綗o窮大。圖圖3-1 環(huán)形收斂域環(huán)形收斂域第三章 Z變換數(shù)字信號處理由于( )( )( )P zX zQ z，收斂域總是用極點限定其邊界。X(z)X(z)=0( )0( )( ) ( )P zQ zP zQ z則的零點：使的點， 即和當(dāng)階次高于時X(z)X(z)( )0( )( )( )Q

4、 zP zQ zP z 的極點：使的點， 即和當(dāng)階次高于時3z變換的零極點變換的零極點第三章 Z變換數(shù)字信號處理（1 1）有限長序列）有限長序列: : 三幾種序列的收斂域12( ),( )0,x nnnnx nn其他21( )( )nnn nX zx n z其其z變換為變換為收斂域為收斂域為0z 圖圖3-2 有限長序列及其收斂域有限長序列及其收斂域 （ 除外）除外） 120,00,nnzz ；第三章 Z變換數(shù)字信號處理另外另外 ，由，由21)()(nnnnznxzX 可見，可見，0與與兩點是否收斂與兩點是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)，取值情況有關(guān)，如果如果n10，則收斂域不包括，則收斂域不包

5、括|z|=0；如果如果n20，則收斂域不包括，則收斂域不包括|z|=。具體有限長序列的收斂域表示如下：具體有限長序列的收斂域表示如下： 12120|,00|,00|,0,0znznznn 第三章 Z變換數(shù)字信號處理（1）求矩形序列）求矩形序列的的 z變換變換例題例題3-1 nRN（2）求序列）求序列 的的z變換變換)10()(2)(nununxn第三章 Z變換數(shù)字信號處理01)()()()(11nnnnnnnnznxznxznxzX（2 2）右邊右邊序列序列: : 11, 0),()(nnnnnxnx其其z變換為變換為xRZ xRZ 0Z 其中：其中：Rx-為收斂域的最小半徑。為收斂域的最小半

6、徑。 右邊序列的右邊序列的收斂域收斂域第三章 Z變換數(shù)字信號處理 圖圖3-3 右邊序列及其收斂域右邊序列及其收斂域（n1|a| 這是一個無窮項的等比級數(shù)求和，只有在這是一個無窮項的等比級數(shù)求和，只有在|az-1|a|處收斂處收斂如圖如圖3-4所示所示。 111zazza解解 這是一個因果序列，其這是一個因果序列，其z變換為變換為 由于由于 ， 故在故在z=a處有一極點處有一極點(用用“”表示表示)，收斂域為極點所在圓，收斂域為極點所在圓|z|=|a|的外部。的外部。 第三章 Z變換數(shù)字信號處理圖圖3-4 的收斂域的收斂域 ( )( )nx na u n 收斂域上函數(shù)必須是解析收斂域上函數(shù)必須是

7、解析的，因此收斂域內(nèi)不允許有極的，因此收斂域內(nèi)不允許有極點存在。所以，點存在。所以，注意：注意：右邊序右邊序列的列的z變換如果有變換如果有N個有限極點個有限極點 存在，那么收斂存在，那么收斂域一定在模值最大的有限極點域一定在模值最大的有限極點所在圓以外，也即所在圓以外，也即但在但在 處是否收斂，則需處是否收斂，則需視序列存在的范圍另外加以討視序列存在的范圍另外加以討論。對于因果序列，論。對于因果序列，處也不處也不能有極點。能有極點。12,Nz zz12max|,|,|xNRzzzz 第三章 Z變換數(shù)字信號處理例題例題3-3 求求 的的Z變換及其收斂域。變換及其收斂域。(1/ 2)5( )04n

8、nx nn第三章 Z變換數(shù)字信號處理2210)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX（3 3）左邊左邊序列序列: : 22( ),( )0,x nnnx nnn其其z變換為變換為左邊序列的左邊序列的收斂域收斂域0|z|0|z| Rx+ 0 |z| Rx+其中：其中：Rx+為收斂域的最大半徑。為收斂域的最大半徑。注意：注意：若若 n2 0，收斂域包括，收斂域包括|z|=0，即，即|z| 0，故，故 z=0除外）除外）第三章 Z變換數(shù)字信號處理 例例3-4： x(n)=-anu(-n-1), 求其求其z變換及收斂域。變換及收斂域。 解：解： 這是一個左邊序列。其這是一個左邊序列。其z

9、變換為變換為 1111( )(1)()nnnnnnnnnnnX za unza za za z 此等比級數(shù)在此等比級數(shù)在|a-1z|1，即，即|z|a|處收斂。處收斂。 因此因此 1111( )| |11a zzX zzaa zzaaz序列序列z變換的收斂域變換的收斂域如圖如圖2-6所示所示。函數(shù)函數(shù) 在在z=a處有一極點，整個收斂域在極點所在圓以內(nèi)的處有一極點，整個收斂域在極點所在圓以內(nèi)的解析區(qū)域。解析區(qū)域。 111azazz第三章 Z變換數(shù)字信號處理ojImzReza|z|a|圖圖2-6 的收斂域的收斂域 ( )(1)nx na un 注意注意1：左邊序列的左邊序列的z變換如果變換如果有有

10、N個有限極點個有限極點 存存在，在，12,Nz zz12min|,|,|xNRzzz0z 注意注意2：z變換后，只給出變換后，只給出z變換的閉合表達式是不夠變換的閉合表達式是不夠的的,必須同時給出收斂域必須同時給出收斂域,才能唯一地確定一個序列。才能唯一地確定一個序列。 那么收斂域一定在模值最小那么收斂域一定在模值最小的有限極點所在圓之內(nèi)，即的有限極點所在圓之內(nèi)，即但在但在 處是否收斂處是否收斂,需視序列需視序列存在的范圍另外加以討論。存在的范圍另外加以討論。第三章 Z變換數(shù)字信號處理例題例題3-5求求 的的z z變換及其收斂域。變換及其收斂域。( )3(1)nx nun 第三章 Z變換數(shù)字信

11、號處理 雙邊序列指雙邊序列指n為任意值時，為任意值時，x(n)皆有值的序列，皆有值的序列，可以把它看作一個左邊序列和一個右邊序列之和，即可以把它看作一個左邊序列和一個右邊序列之和，即nnnnnnznxznxznxzX01)()()()(（4 4）雙）雙邊邊序列序列: : 如果如果Rx-Rx+，則無公共收斂區(qū)域，則無公共收斂區(qū)域，X(z)無收斂域無收斂域,故不存在故不存在z變換的解析式。變換的解析式。|z|Rx+Rx-|z|Rx-第三章 Z變換數(shù)字信號處理圖圖2-7 雙邊序列及收斂域雙邊序列及收斂域 第三章 Z變換數(shù)字信號處理例題例題3-6( )x n( )(1/3)( )(1/2)(1)nnx

12、 nu nun （1） ，a為實數(shù)，為實數(shù)， 求求 的的z變換及其收斂域。變換及其收斂域。（2）求序列）求序列 的的z變換及其收斂域。變換及其收斂域。( )nx na第三章 Z變換數(shù)字信號處理歸納右序列的收斂域是：左序列的收斂域是：有限長序列的收斂域是：雙邊序列的收斂域:Z平面的全平面；Z平面內(nèi)某個圓的外部；Z平面內(nèi)某個圓的內(nèi)部；如果存在，是Z平面內(nèi)環(huán)形區(qū)域。第三章 Z變換數(shù)字信號處理定義定義:已知函數(shù)已知函數(shù)X(z)及其收斂域，反過來求序列及其收斂域，反過來求序列x(n)的變換稱為的變換稱為z反變換反變換，表示為，表示為xxnnRzRznxzX|)()(則則 ),()(21)(1xxncRR

13、cdzzzXjnx3.2 z3.2 z反變換反變換一、一、 z反變換的定義反變換的定義2. z反變換的一般公式反變換的一般公式1( )( )x nZX z若若第三章 Z變換數(shù)字信號處理圖圖2-8 圍線積分路徑圍線積分路徑 ojImzRez|z| Rxc|z| Rx 積分路徑積分路徑c為環(huán)形解析域（即收斂域）內(nèi)為環(huán)形解析域（即收斂域）內(nèi)環(huán)繞原點的一條逆時針閉合單圍線。環(huán)繞原點的一條逆時針閉合單圍線。第三章 Z變換數(shù)字信號處理圍線積分法（留數(shù)法）圍線積分法（留數(shù)法）;部分分式展開法部分分式展開法;冪級數(shù)展開法（長除法）冪級數(shù)展開法（長除法）.二二z反變換方法反變換方法 直接計算圍線積分是比較麻煩的

14、，實際上直接計算圍線積分是比較麻煩的，實際上, 求求z反變換時，往往可以不必直接計算圍線積分。反變換時，往往可以不必直接計算圍線積分。一般求一般求z反變換的常用方法有三種：反變換的常用方法有三種：第三章 Z變換數(shù)字信號處理111( )( )Re ( )2knnz zckx nX z zdzs X z zj 根據(jù)留數(shù)定理，若函數(shù)根據(jù)留數(shù)定理，若函數(shù)X(z)zn-1在圍線在圍線c以內(nèi)有以內(nèi)有K個極點個極點zk，而在，而在c以外有以外有M個極點個極點zm（M、K為有限為有限值），則有值），則有留數(shù)法留數(shù)法111( )( )Re ( )2mnnz zcmx nX z zdzs X z zj 其中：其中

15、： 表示函數(shù)表示函數(shù)X(z)zn-1在極點在極點z=zk（c以內(nèi)極點）上的留數(shù)。以內(nèi)極點）上的留數(shù)。 表示函數(shù)表示函數(shù)X(z)zn-1在極點在極點z=zm（c以外極點）上的留數(shù)。以外極點）上的留數(shù)。1Re ( )knz zs X z z1Re ( )mnz zs X z z第三章 Z變換數(shù)字信號處理如何求如何求X(z)zn-1在任一極點在任一極點zk處的留數(shù)？處的留數(shù)？ 1. 設(shè)設(shè)zk是是X(z)zn-1的單（一階）極點，則有的單（一階）極點，則有 2. 如果如果zk是是X(z)zn-1的多重極點，如的多重極點，如N階極點，則有階極點，則有 11Re ( )()( )kknnz zkz zs

16、X z zzzX z z11111Re ( )()( )(1)!kkNnknz zkz zNds X z zzzX z zNdz(3-1)(3-2)第三章 Z變換數(shù)字信號處理注意：注意：以上兩式都可以用于計算以上兩式都可以用于計算z反變換，應(yīng)根據(jù)具體反變換，應(yīng)根據(jù)具體情況來選擇。例如，情況來選擇。例如，如果如果當(dāng)當(dāng)n大于某一值大于某一值時，函數(shù)時，函數(shù)X(z)zn-1在圍線的外部可能在圍線的外部可能有多重極點，這時選有多重極點，這時選c的外部極點計算留數(shù)就比較麻煩，的外部極點計算留數(shù)就比較麻煩，而而通常選通常選c的內(nèi)部極點求留數(shù)的內(nèi)部極點求留數(shù)則較簡單。則較簡單。如果如果當(dāng)當(dāng)n小于某一值小于某

17、一值時，函數(shù)時，函數(shù)X(z)zn-1在圍線的內(nèi)部可能在圍線的內(nèi)部可能有多重極點，這時選用有多重極點，這時選用c外部的極點求留數(shù)外部的極點求留數(shù)就方便得多。就方便得多。111( )( )Re ( )2knnz zckx nX z zdzs X z zj111( )( )Re ( )2mnnz zcmx nX z zdzs X z zj 第三章 Z變換數(shù)字信號處理例例3-7：已知：已知 |11)(1azazzX求求z反變換。反變換。 解：解： 1111( )1nnnzX z zzazza當(dāng)當(dāng)n0時時,在圍線在圍線c以內(nèi)有一個單極點以內(nèi)有一個單極點z=a ；如圖如圖2-9所示所示。應(yīng)用公式應(yīng)用公式(

18、3-1)，則，則( )Re()nnnz az azzx nszaazaza當(dāng)當(dāng)n|a| jImzRezcoa第三章 Z變換數(shù)字信號處理( )( )nx na u n注意：注意：在具體應(yīng)用留數(shù)法時，若能從收斂域判定序在具體應(yīng)用留數(shù)法時，若能從收斂域判定序列是因果的，就可以不必考慮列是因果的，就可以不必考慮n0時出現(xiàn)的極點了，時出現(xiàn)的極點了， 因為它們的留數(shù)和一定總是零。因為它們的留數(shù)和一定總是零。因此因此 Re,0( )0,0nnz azsanz ax nn即即 第三章 Z變換數(shù)字信號處理例例3-8 已知已知 |11)(1azazzX求求z反變換。反變換。 解解 由于極點由于極點a處在圍線處在圍

19、線c以外以外(見圖見圖2-13），），當(dāng)當(dāng)n0時圍線時圍線c內(nèi)無極點，因此內(nèi)無極點，因此 ；1111( )1nnnzX z zzazza而而n2收斂域為|z|3( )x n ( )X z 1111(1 2)(1 3)zz2( )nu n( 3)(1)nun ( )11(2)(3)X zzzz(2)(3)zzzz收斂域為2|z|32( )( 3)(1)nnu nun 第三章 Z變換數(shù)字信號處理冪級數(shù)展開法（長除法）冪級數(shù)展開法（長除法）把X(z)展開成冪級數(shù)( )( )nnX zx n z1012( 1)(0)(1)(2)xzxzxzxz級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)第三章 Z變換數(shù)字信號處理根據(jù)收

20、斂域判斷根據(jù)收斂域判斷x(n)的性質(zhì)，在展開成相應(yīng)的的性質(zhì)，在展開成相應(yīng)的z的冪級數(shù)的冪級數(shù) 將將X(z) X(z)的的 x(n) 展成展成z的的 分子分母分子分母 按按z的的 右邊序列右邊序列 負冪級數(shù)負冪級數(shù) 降冪排列降冪排列 左邊序列左邊序列 正冪級數(shù)正冪級數(shù) 升冪排列升冪排列xzRxzR第三章 Z變換數(shù)字信號處理解：由解：由Roc判定判定x(n)是因果序列，用是因果序列，用長除法展成長除法展成z的負的負冪級數(shù)冪級數(shù)11( ) (1)X zzaaz例：，求z反變換122330( )1nnnX zaza za za z ( )( )nx na u n11112222223333111 az

21、azazaza za za za za z122331aza za z第三章 Z變換數(shù)字信號處理11( ) (1)X zzaaz例：，求z反變換122331( )nnnX za za za za z -( )(1)nx na un 解：由解：由Roc判定判定x(n)是左邊序列，用是左邊序列，用長除法展成長除法展成z的正的正冪級數(shù)冪級數(shù)111122221 11 aza za za za za z12233a za za z第三章 Z變換數(shù)字信號處理nnznxnxZTzX)()()(jrez njnnnnjjernxrenxreX)()()(1rjez 1,z變換等效成傅里葉變換即 z)()(nn

22、jjenxeX結(jié)論：在Z平面中單位圓上定義的序列Z變換即為序列的傅3.3 Z3.3 Z變換與傅里葉變換的關(guān)系變換與傅里葉變換的關(guān)系Z變換表達式： 令 ，代入上式得到：當(dāng)時， 即里葉變換。Z在單位圓上取值即即z變換等效成序列的傅里葉變換變換等效成序列的傅里葉變換第三章 Z變換數(shù)字信號處理3.4 z3.4 z變換的基本性質(zhì)和定理變換的基本性質(zhì)和定理 1. 1. 線性線性 Z變換是一種線性變換，它滿足疊加原理，即若有變換是一種線性變換，它滿足疊加原理，即若有: ZTx(n)=X(z) Rx-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z) Ry-|z|Ry+ 那么對于任意常數(shù)那么對于任意常數(shù)a、b，z變換都能

23、滿足以下等式變換都能滿足以下等式： ZTax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) R-|z|R+ 注意：注意：1）通常兩序列和的）通常兩序列和的z變換的收斂域為它們各自變換的收斂域為它們各自收斂域的公共區(qū)域，即收斂域的公共區(qū)域，即 R-=max(Rx-, Ry-) R+=min(Rx+, Ry+)2）如果線性組合中某些零點與極點相互抵消，則收斂）如果線性組合中某些零點與極點相互抵消，則收斂域可能擴大。域可能擴大。 第三章 Z變換數(shù)字信號處理2. 序列的移位序列的移位() T ()( ),|mxxZx nmzX zRzR式中：式中：m為正為延遲為正為延遲(右移右移)， m為負為超前為負為超

24、前(左移左移)。 若序列若序列x(n)的的z變換為變換為 T ( )( ),xxZx nX zRzR則有則有 nkmkmnzXzzkxzzmnxmnxZ)()()()(證明：證明： 第三章 Z變換數(shù)字信號處理10232221T ( )( ),111T (3),1111T ( ),011nnnnzZu nu n zzzzzzzZu nzzzzzzzzZx nzzzz其中：例：例：求序列求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的的z變換。變換。解：解：( ) ( )(3)X zZT u nu n ( ) (3)ZT u nZT u n第三章 Z變換數(shù)字信號處理T( ),| |nxxzZa x nXa

25、 Rza Ra3. 乘以指數(shù)序列（乘以指數(shù)序列（z域尺度變換）域尺度變換） 若若( )T ( ),xxX zZx nRzR則則4. 序列的線性加權(quán)（序列的線性加權(quán)（z域求導(dǎo)數(shù)）域求導(dǎo)數(shù)）若已知若已知則則( )T ( ),xxX zZx nRzR( )( )dZT nx nzX zdz xxRzR第三章 Z變換數(shù)字信號處理5. 共軛序列共軛序列式中，符號式中，符號“*”表示取共軛復(fù)數(shù)。表示取共軛復(fù)數(shù)。 若若( )T ( ),xxX zZx nRzR則則111T (),|xxZxnXzzRR6. 翻褶序列翻褶序列 若若( )T ( ),xxX zZx nRzR則則*T ( )Z x n *()xx

26、XzRzR，第三章 Z變換數(shù)字信號處理對于因果序列對于因果序列x(n)，即，即x(n)=0, n0, 有有 )0()(limxzXz7. 初值定理初值定理 8. 終值定理終值定理 設(shè)設(shè)x(n)為因果序列，且為因果序列，且X(z)=Zx(n)的全部極的全部極點，除有一個一階極點可以在點，除有一個一階極點可以在z=1 處外，其余都在處外，其余都在單位圓內(nèi)，則單位圓內(nèi)，則 1( )lim ( )lim(1)( )nzxx nzX z 1Re ( )zs X z第三章 Z變換數(shù)字信號處理9. 序列的卷積和（時域卷積和定理）序列的卷積和（時域卷積和定理）()mmnhmxnhnxny)()()()()(則

27、則 ( ) ( )( )( ),max, | min,xhxhY zZ y nX z H zRRzRR設(shè)設(shè)( ) ( ),( ) ( ),xxhhX zZ x nRzRH zZ h nRzR注意：注意：1）若時域為卷積和，則若時域為卷積和，則z變換域是相變換域是相乘的關(guān)系；乘的關(guān)系；2） 乘積乘積Y(z)的收斂域為的收斂域為X(z)、H(z)收斂域的公共部收斂域的公共部分。分。 若有極點被抵消，收斂域可擴大。若有極點被抵消，收斂域可擴大。 第三章 Z變換數(shù)字信號處理 在線性移不變系統(tǒng)中，如果輸入為在線性移不變系統(tǒng)中，如果輸入為x(n)，系統(tǒng)，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則輸出

28、，則輸出y(n)是是x(n)與與h(n)的的卷積卷積;利用利用時域卷積和定理時域卷積和定理，通過求出，通過求出X(z)和和H(z)，然后求出乘積然后求出乘積X(z)H(z)的的z反變換，從而可得反變換，從而可得y(n)。具體步驟如下：具體步驟如下：時域卷積和定理的應(yīng)用時域卷積和定理的應(yīng)用 求線性移不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)求線性移不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)1( ), ( )( ),( )( )( )( )( )( )x n h nX zH zY zX z H zy nZY z第三章 Z變換數(shù)字信號處理例例 3-12： 設(shè)設(shè)x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)求求y(n)=x(n

29、) * h(n) 。 解：解： 1011( ) ( ),| |1( ) ( ),| |nnnzX zZ x na zzaazzazzH zZ h nazzbzbzazazbzbzbzb所以所以 ( )( )( )|zzazY zX z H zzbza zbzb其其z反變換為反變換為1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nZY zb u n第三章 Z變換數(shù)字信號處理 顯然，在顯然，在z=a處，處，X(z)的極點被的極點被H(z)的零點所抵消，的零點所抵消，如果如果|b|a|，則，則Y(z)的收斂域比的收斂域比X(z)與與H(z)收斂域的重疊部收斂域的重疊部分要大。分要大。 obaj

30、ImzRez圖圖 2-14 Y(z)的零極點及收斂域的零極點及收斂域 第三章 Z變換數(shù)字信號處理例題1.已知 ， 的z變換，求 及 的z變換。2.已知某因果序列 的z變換 求 的初值 和 及終值。 )()(nuanxn10 a)( nx )(nnx)(nx)231)(1 (21)(112zzzzX)(nx)(lim)(nxxz(0)x第三章 Z變換數(shù)字信號處理3.53.5離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 在時域中，一個線性時不變系統(tǒng)完全可以由它在時域中，一個線性時不變系統(tǒng)完全可以由它的單位脈沖響應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)來表示，即來表示，即 ( )( )( )

31、y nx nh n)()()(zXzHzY)()()(zXzYzH一、系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)函數(shù)取取z變換變換 ( )( )nnZT h nh n z線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng)的的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)，單單位沖激響應(yīng)的位沖激響應(yīng)的z變變換換 第三章 Z變換數(shù)字信號處理1. 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)| zRx二、因果穩(wěn)定系統(tǒng)二、因果穩(wěn)定系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)h(n)為因果序列的系統(tǒng)是因果系為因果序列的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有包括具有包括z=點的點的收斂域，即收斂域，即 線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是:( )0,0h n

32、n即因果系統(tǒng)的收斂域是半徑為即因果系統(tǒng)的收斂域是半徑為 的圓的外部，且的圓的外部，且必須包括必須包括|z|=在內(nèi)。在內(nèi)。xR第三章 Z變換數(shù)字信號處理 z變換的收斂域由滿足變換的收斂域由滿足 的的那些那些z值確定，因此值確定，因此穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必必須在單位圓上收斂，須在單位圓上收斂，即收斂域包括單位圓即收斂域包括單位圓|z|=1的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。nnznh|)(|2. 穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(n)絕對可和絕對可和:nnh| )(|第三章 Z變換數(shù)字信號處理 因果穩(wěn)定系統(tǒng)的

33、系統(tǒng)函數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在從單位圓必須在從單位圓到到的整個的整個z域內(nèi)收斂，即收斂域必須包括域內(nèi)收斂，即收斂域必須包括 也就是說，系統(tǒng)函數(shù)的也就是說，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點必須在單位圓內(nèi)全部極點必須在單位圓內(nèi)。 3. 因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)xRz,01xR且第三章 Z變換數(shù)字信號處理注意：注意：1）同一個系統(tǒng)函數(shù)，收斂域不同，所代表的系統(tǒng)）同一個系統(tǒng)函數(shù)，收斂域不同，所代表的系統(tǒng)就不同，所以給出系統(tǒng)函數(shù)時必須同時給定系統(tǒng)就不同，所以給出系統(tǒng)函數(shù)時必須同時給定系統(tǒng)的收斂域才行。的收斂域才行。2）對于穩(wěn)定系統(tǒng)，其收斂域必須包括單位圓，因）對于穩(wěn)定系統(tǒng)，其收斂域必須包括單位圓，因而，在而，在z平面以極點、零點圖描述系統(tǒng)函數(shù)，通常平面以極點、零點圖描述系統(tǒng)函數(shù)，通常都畫出單位圓以便看出極點