20XX年全國重點初中數(shù)學競賽試題及答案

1、中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會“數(shù)學周報杯”2019年全國初中數(shù)學競賽試題一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1若，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）解： 由題設得2若實數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是 （ ）（A）a （B）a4 （C）a或 a4 （D）a4解C因為b是實數(shù)，所以關于b的一元二次方程的判別式 0,解得a或 a43如圖，在四邊形ABCD中，B135°，C120°，AB=，BC=，CD，則AD邊的長為（ ）（A） （B）（C） （D）（第3題）解：

2、D如圖，過點A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)由已知可得（第3題）BE=AE=，CF，DF2，于是 EF4過點A作AGDF，垂足為G在RtADG中，根據(jù)勾股定理得AD4在一列數(shù)中，已知，且當k2時，（取整符號表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由和可得，因為2010=4×502+2，所以=25如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點坐標分別為A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉180°得點P1，點P1繞點B旋轉180°

3、得點P2，點P2繞點C旋轉180°得點P3，點P3繞點D旋轉180°得點P4，重復操作依次得到點P1，P2， 則點P2010的坐標是（ ） （A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2）解：B由已知可以得到，點，的坐標分別為（2，0），（2，）（第5題）記，其中根據(jù)對稱關系，依次可以求得：，令，同樣可以求得，點的坐標為（），即（），由于2010=4502+2，所以點的坐標為（2010，）二、填空題6已知a1，則2a37a22a12 的值等于 解：0 由已知得 (a1)25，所以a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a1

4、23a26a1207一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t 解：15設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為 （千米/分），并設貨車經x分鐘追上客車，由題意得， ， 由，得，所以，x=30 故 （分） 8如圖，在平面直角坐標系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直線l經過點M（2，3

5、），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達式是 （第8題（第8題）解：如圖，延長BC交x軸于點F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點N由已知得點M（2，3）是OB，AF的中點，即點M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分又因為點N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分于是，直線即為所求的直線設直線的函數(shù)表達式為，則解得 ,故所求直線的函數(shù)表達式為9如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D若

6、CDCF，則 （第9題）解： 見題圖，設因為RtAFBRtABC，所以 又因為 FCDCAB，所以 即 ，解得，或（舍去）又RtRt，所以， 即=10對于i=2，3，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i1若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為 解： 因為為的倍數(shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為 三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11如圖，ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是ABD和ACD的外接圓直徑，連接EF. 求證： （第12A題）（第12B題） （第11題）（第12B題）證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D. 因為

7、BE和CF都是直徑，所以EDBC， FDBC，因此D，E，F(xiàn)三點共線. （5分）連接AE，AF，則，所以，ABCAEF. （10分）（第11題）作AHEF，垂足為H，則AH=PD. 由ABCAEF可得，從而 ， 所以 . （20分）12如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B. 已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，且AOB的面積為3（O為坐標原點）.（1）求實數(shù)a，b，k的值；（2）過拋物線上點A作直線ACx軸，交拋物線于另一點C，求 所有滿足EOCAOB的點E的坐標.解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=4. 故雙曲線的函數(shù)表達式為.（第12題）設點B（t，），AB所在

8、直線的函數(shù)表達式為，則有 解得，.于是，直線AB與y軸的交點坐標為，故，整理得，解得，或t（舍去）所以點B的坐標為（，）因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以 解得 （10分）（2）如圖，因為ACx軸，所以C（，4），于是CO4. 又BO=2，所以.設拋物線（a0）與x軸負半軸相交于點D， 則點D的坐標為（，0）.（第12題）因為CODBOD，所以COB=.（i）將繞點O順時針旋轉，得到.這時，點(，2)是CO的中點，點的坐標為（4，）.延長到點，使得=，這時點（8，）是符合條件的點.（ii）作關于x軸的對稱圖形，得到點（1，）；延長到點，使得，這時點E（2，）是符合條件的點所以，點的坐標是（8，），或（2，）. （20分）13求滿足的所有素數(shù)p和正整數(shù)m.解：由題設得，所以，由于p是素數(shù)，故，或. （5分） （1）若，令，k是正整數(shù)，于是，故，從而. 所以解得 （10分）（2）若，令，k是正整數(shù). 當時，有，故，從而，或2. 由于是奇數(shù)，所以，從而. 于是這不可能. 當時，；當，無正整數(shù)解；當時，無正整數(shù)解. 綜上所述，所求素數(shù)p=5，正整數(shù)m=9. （20分）14從1，2，2010這2010個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除？解：首先，如下61個數(shù)：11，（即1991）滿足題設條件.（5分） 另一