平面單元等效結(jié)點荷載計算ppt課件

1、xy123u1v1u2v2u3v3(x1, y1)(x2, y2)(x3, y3) 112233123456veuvuavuvuxyxy節(jié)點的位移向量：六個節(jié)點位移只能確定六個多項式的系數(shù)，所以取這樣的位移函數(shù)。該位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點的位移設(shè)定為坐標(biāo)的線性函數(shù)，該位移方式很簡單。其中1-6為廣義坐標(biāo)或待定系數(shù)，可據(jù)節(jié)點1、2、3的位移值和坐標(biāo)值求出。112131145 161212232245262312333345363112314212325312336612uxyvxyuxyvxyuxyvxyaaaubbbuAcccu 將節(jié)點位移帶入：最終確定 個待定系數(shù)：123112321233

2、12aaavbbbvAcccv112233123321231321111222233331111222233331211 1,2,31()()()21()()()2xyAxyxyax yx ybyycxxuab xc y uab xc y uab xc y uAvab xc y vab xc y vab xc y vA其中：輪換為為2A第第1行各行各個元素的代個元素的代數(shù)余子式數(shù)余子式1231.(,),1,2,32.13.ijjijiN xyi jNNNN插值函數(shù)的性質(zhì)：的階數(shù)與假設(shè)的 位移函數(shù)階數(shù)相同4. 數(shù)值在01之間 1111222233331112321232331231()211()

3、()22000000eiNab xc yANab xc yNab xc yAAuvNNNuuuNaNNNvvuvNININININ 若令：其中為二階單位矩陣： 插值函數(shù)（形狀函數(shù)）插值函數(shù)矩陣或形函數(shù)矩陣xy1 (a,0)2 (0,a)3 (0,0)例題：圖示等腰三角形單元，求其插值函數(shù)矩陣N。1233212313200ax yx ybyyacxx23 11 323121300ax yx ybyycxxa231221312321ax yx yabyyacxxa21111222222233332211()(00)211()(00)211()()1200100001aAxNab xc yaxAaa

4、yNab xc yayAaaxyNab xc yaaxayAaaaxyxyaaaaNxyxyaaaa 三角形的面積：延續(xù)彈性體離散為單元組合體時，需把彈性體接受的恣意分布的載延續(xù)彈性體離散為單元組合體時，需把彈性體接受的恣意分布的載荷都向節(jié)點轉(zhuǎn)移，而成為節(jié)點等效載荷或節(jié)點等效能。假設(shè)彈性荷都向節(jié)點轉(zhuǎn)移，而成為節(jié)點等效載荷或節(jié)點等效能。假設(shè)彈性體接受的載荷全都是集中力，那么將一切集中力的作用點取為節(jié)點，體接受的載荷全都是集中力，那么將一切集中力的作用點取為節(jié)點，就不存在轉(zhuǎn)移的問題，集中力就是節(jié)點等效載荷。但實踐問題往往受就不存在轉(zhuǎn)移的問題，集中力就是節(jié)點等效載荷。但實踐問題往往受有分布的面力和膂

5、力，都不能夠只作用在節(jié)點上。因此，必需進展載有分布的面力和膂力，都不能夠只作用在節(jié)點上。因此，必需進展載荷轉(zhuǎn)移。假設(shè)集中力的作用點未被取為節(jié)點，該集中力也要向節(jié)點轉(zhuǎn)荷轉(zhuǎn)移。假設(shè)集中力的作用點未被取為節(jié)點，該集中力也要向節(jié)點轉(zhuǎn)移。移。將載荷轉(zhuǎn)移到節(jié)點上，必需遵照靜力等效的原那么。靜力等效是指將載荷轉(zhuǎn)移到節(jié)點上，必需遵照靜力等效的原那么。靜力等效是指原載荷與節(jié)點載荷在恣意虛位移上做的虛功相等。前面推導(dǎo)時運用的原載荷與節(jié)點載荷在恣意虛位移上做的虛功相等。前面推導(dǎo)時運用的能量泛函能量泛函p對對ae進展變分之后產(chǎn)生的進展變分之后產(chǎn)生的ae實踐上就是虛位移，以上實踐上就是虛位移，以上公式可以適用于恣意復(fù)雜

6、的荷載情況。公式可以適用于恣意復(fù)雜的荷載情況。假設(shè)單元為線性單元如，本章的三節(jié)點三角形單元，那么可以假設(shè)單元為線性單元如，本章的三節(jié)點三角形單元，那么可以采用直接的靜力等效法和虛功等效法。采用直接的靜力等效法和虛功等效法。圖示構(gòu)造的網(wǎng)格共有四個單元和六個節(jié)點。在節(jié)點1、4、6共有四個支桿支承。構(gòu)造的載荷曾經(jīng)轉(zhuǎn)換為節(jié)點載荷。 整體分析的四個步驟：1、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修正整體剛度矩陣；3、解方程組，求節(jié)點位移；4、根據(jù)節(jié)點位移求出應(yīng)力。2P3yP3x31456P2xP1yaaaa133221112233 1,11,21,111,12112,12,22,112,122211,111

7、,211,1111,12111112,112,212,1112,121212KaPkkkkaPkkkkaPkkkkaPkkkkaP即： 1、建立整體剛度矩陣 上圖中的構(gòu)造有六個節(jié)點，共有12個節(jié)點位移分量(自在度)和12個節(jié)點力分量，它們之間的關(guān)系為：11111122661111661212xyxyPuaPPvaPPuaPPvaP總體剛度方程中的自在度與節(jié)點位移之間的對應(yīng)關(guān)系 2、根據(jù)支承條件修正整體剛度矩陣。 建立整體剛度矩陣時，每個節(jié)點的位移當(dāng)作未知量對待，沒有思索詳細的支承情況，因此進展整體分析時還要針對支承條件加以處置。 在上圖的構(gòu)造中，支承條件共有四個，即在節(jié)點1、4、6的四個支桿處

8、相應(yīng)位移知為零：u1=u4=v4=v6=0 建立節(jié)點平衡方程時，應(yīng)根據(jù)上述邊境條件進展處置。 3、解方程組，求出節(jié)點位移。 通常采用消元法和迭代法兩種方法。 4、根據(jù)節(jié)點位移求出應(yīng)力。1、總剛構(gòu)成的物理背景： 剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點作單位位移時引起的節(jié)點力。在單剛Ke中，Kije表示第j個位移(自在度)給一單位位移，其它位移為零時，單元在第i位移方向上引起的節(jié)點力；類似，在整體剛陣中，Ki,j表示第j個自在度給一單位位移，其它自在度為零時，整體構(gòu)造在第i個自在度上引起的節(jié)點力即一切與第i、j個自在度相關(guān)的單元在第i個自在度上引起的節(jié)點力之和。 如上圖構(gòu)造，計算K3,5時第3和5個自在度分別

9、對應(yīng)第2和3號節(jié)點的u,即x向位移，與節(jié)點2和3相關(guān)的單元有單元和，當(dāng)節(jié)點3發(fā)生x向單位位移時，相關(guān)單元和同時在節(jié)點2的x向引起節(jié)點力，將這兩個力相加，就得出 K3,5 = K511 + K153 。由此看出，總剛的剛度系數(shù)是相關(guān)單剛的剛度系數(shù)的集成。2、剛度矩陣的集成規(guī)那么：1在整體離散構(gòu)造變形后，應(yīng)保證各單元在節(jié)點處依然協(xié)調(diào)地相互銜接，即在該節(jié)點處一切單元在該節(jié)點上有一樣位移。2整體離散構(gòu)造各節(jié)點應(yīng)滿足平衡條件。即環(huán)繞每個節(jié)點的一切單元作用其上的節(jié)點力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點上的節(jié)點載荷Ri。12i 3412i Ri341、對稱性。由、對稱性。由Kij的物理意義和互易定理可以很容易得到此的物

10、理意義和互易定理可以很容易得到此結(jié)論。結(jié)論。 利用對稱性可以只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半利用對稱性可以只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。的存貯容量。2、稀疏性。、稀疏性。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。231456節(jié)點1只與周圍的兩個節(jié)點(2、3)用三角形單元相連，它們是1的相關(guān)節(jié)點。在矩陣K中，第1行的非零元素只需6個(對應(yīng)于相關(guān)節(jié)點的x,y向自在度)。問題的規(guī)模越大，矩陣中的非零元素所占的比例就越小3、帶形分布規(guī)律。、帶形分布規(guī)律。 右圖中，矩陣右圖中，矩陣K的非零元素分的非零元素分布在以對角線為中心的帶形

11、區(qū)域內(nèi)，布在以對角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個帶形區(qū)域中稱為帶形矩陣。在半個帶形區(qū)域中(包括對角線元素在內(nèi)包括對角線元素在內(nèi))，每行具有，每行具有的元素個數(shù)叫做半帶寬，用的元素個數(shù)叫做半帶寬，用d表示。表示。半帶寬的普通計算公式是：半帶寬的普通計算公式是： 半帶寬半帶寬 d = (相鄰結(jié)點碼的最大相鄰結(jié)點碼的最大差值差值 + 1) * 2 左圖中相鄰節(jié)點碼的最大差值為左圖中相鄰節(jié)點碼的最大差值為4，故，故d=(4+1)*2=10 利用帶形矩陣的特點并利用對稱利用帶形矩陣的特點并利用對稱性，可只存貯上半帶的元素，叫半性，可只存貯上半帶的元素，叫半帶存貯。假設(shè)每行都取不同的半帶帶存貯

12、。假設(shè)每行都取不同的半帶寬那么稱作輪廓線存儲。寬那么稱作輪廓線存儲。1110987654321098765432 圖圖(a)(a)中的矩陣中的矩陣KK為為n n行行n n列矩陣，半帶寬為列矩陣，半帶寬為d d。半帶存貯。半帶存貯時從時從KK中取出上半帶元素，按圖中取出上半帶元素，按圖(b)(b)中的矩陣中的矩陣KK的陳列方式的陳列方式進展存貯，即將上半部斜帶換成豎帶。存貯量進展存貯，即將上半部斜帶換成豎帶。存貯量n n* *d d，存貯量與，存貯量與KK中元素總數(shù)之比為中元素總數(shù)之比為d/nd/n，d d值越小，那么存貯量約省。值越小，那么存貯量約省。矩陣矩陣K K 矩陣矩陣KK* * 對角線

13、對角線 第第1 1列列 r r行行 r r行行 r r列列 4545度斜線度斜線r r行行s s列列 r r行行s-r+1s-r+1列元素列元素 元素元素dn(a)Knnd(b) K* 同一網(wǎng)格中，假設(shè)采用不同的節(jié)點編碼，那么相應(yīng)的半帶寬d也能夠不同。如圖，是同一網(wǎng)格的三種節(jié)點編碼，相鄰節(jié)點碼的最大差值分別為4、6、8，半帶寬分別為10、14、18。因此，該當(dāng)采用合理的節(jié)點編碼方式，以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)省存貯容量。1610987432518765439210141098763254 4、Kii0Kii05 5、帶入邊條件之前，總剛各行列元素之和等于、帶入邊條件之前，總剛各行列元素之和等

14、于0 06 6、帶入邊條件之前，總剛奇特、帶入邊條件之前，總剛奇特 無約束構(gòu)造的整體剛度矩陣是奇特的，即整體平衡方程的解不獨一。位移約束常分為：節(jié)點固定和給定節(jié)點位移兩種約束。 由于引入位移約束條件通常在整體剛陣及節(jié)點載荷構(gòu)成后進展也有在此之前進展的，如直接刪除法，即此時K、R中的元素均已按一定順序分別儲存于相應(yīng)的數(shù)組，故引入位移約束時，要求盡量不要打亂K、R的儲存順序。 引入約束的方法常有：1直接帶入法2對角元素置1法3大數(shù)法4直接刪除法降階法5罰單元法1直接帶入法降階法 bbaaaaabbbabbbaaaaabbabbaabbbaPaPKKaKKPKaPKaaPKaKa為已知位移組成的列向

15、量，為對應(yīng)的支座反力求得之后可按下式求得支座反力：改動了原方程的順序，只適用于一些簡單的問題2對角元素置1法 處置ai=b方式的邊條件。111111100100niinnnnnnikkaRk babkkaRk b11111111iniiiiniinninnnnkkkaPkkkaPkkkaP 圖示構(gòu)造，對邊境支承條件處置后，整體剛度矩陣修正圖示構(gòu)造，對邊境支承條件處置后，整體剛度矩陣修正為：為：2P3yP3x31456P2xP1yaaaa133221112233100000000000*00*0*00*0*00*0*00*0*00*010000010000*0*0*01對稱3大數(shù)法適宜于計算機處

16、置111111111iniiiiniiinninnnnkkkaPkkkak bkkkaP1 11 111111()iiiiinniiiiiiiiiinniiiiiik ak ak ak bk akakak ak ak babi第 行展開之后：兩邊同除以 ：近似滿足的條件4直接刪除法 只能處置ai=0的情況。在單剛集成總剛時，對應(yīng)與自在度ai的元素不進入 總剛，即在建立節(jié)點自在度與方程號之間的對照表時，把對應(yīng)自在度的ID設(shè)成0。 這種方法降低了總剛的階數(shù)。5罰單元法：適于處置自在度耦合的約束 11212mTiiiTTmmTTAuauSuuuuAaaaSAAuS AAAS A耦合約束方程：為某一實

17、數(shù)采用大數(shù)法，同時保證對稱性：為大數(shù)把看成單剛，看成單元荷載列向量以同樣的方法集成到總剛中記 L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/AP點對應(yīng)的面積坐標(biāo)(L1, L2, L3)面積坐標(biāo)相互不完全獨立：L1+L2+L3=1顯然 Li(xi,yi)=ij (i,j=1,2,3)123pA2A3A1xyA三角形的高次單元假設(shè)依然直角坐標(biāo)系來定義插值函數(shù)Ni，其公式將變得很復(fù)雜，假設(shè)采用面積坐標(biāo)那么很簡單12211133123321231321111()221xyAxyab xc yxyax yx ybyycxx其中1,2,3下標(biāo)輪轉(zhuǎn)L1、L2、L3實踐上就是推導(dǎo)三節(jié)點三角形平面單元時的N1、N

18、2、N3面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系：11111222212323331233331212312312312111111121()2LLabcLabcxxxxxLAabcyyyyyLLLLLbbbxxLxLxLALLLLLyyLy 和導(dǎo)數(shù)關(guān)系：3123231231()2LcccLyLALLL121121212310121212! !()(1( , )(2)!abcApbcb cLLD x yxxJIL L L dxdyb cxpx dxpbJJLLdxdyJ dLdLAdLLD L LyyLdLc 為推導(dǎo)公式：以 和作為獨立變量，推導(dǎo)過程中需利用公式：求可先求,110011011()()1

19、1()1pcpbcbpbcd pxxpxxdxbbdxcxpxdxb分部積分 1112321100111110122()! !2(1)(1)! ! !2(2)! !(1)!Lbcaab cablIAL L dL L dLb cALLdLbca b cAabca bL L dslab 若在一條邊上積分（例，在1-2邊上）：利用此式可以重新計算線性三角形單元側(cè)邊均布壓力的節(jié)點等效能12! !(1)!abla bL L dslab利用公式：例：q為線荷載密度，利用面積坐標(biāo)計算節(jié)點1、2的等效節(jié)點力。xy2q3111312123113112213233()0000()000000 xxesllyyyy

20、yTqqbyyyybLq yybNNTNL q yyPdsdsbTNNN線荷載可寫成：其中112211112111122333211122111223331 2()()()2366()()()2633llllyL yL yLq yyyyyqqlqldsL yL yL y dsbbbL q yyyyyqqlqldsLyL yL y dsbbb在邊上：所以三角形線荷載在1,2號節(jié)點的節(jié)點等效能分別為：6300qlql和完全二次多項式。完全二次多項式。一次項保證了完備性。一次項保證了完備性。單元邊境為二次變化，單元邊境為二次變化，完全邊境節(jié)點決議，完全邊境節(jié)點決議，保證了協(xié)調(diào)性保證了協(xié)調(diào)性1(1,0,0)2(0,1,0)3(0,0,1)4(1/2,1/2,0)5(0,1/2,1/2)6(1/2,0,1/2)221234562278910111212uxyxxyyvxyxxyy有個自由度，假設(shè)位移函數(shù)： 1166123456123456123456(21)(1,2,3)4(4,5,6,)000000000000TeiiiimneauvuvNLLiNL Lim niuNavNNNNNNNNNNNNNININININ