線性系統(tǒng)理論課件s3

1、第三章線性系統(tǒng)的時(shí)間域理論第3章 線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性能控性和能觀測(cè)性是系統(tǒng)的兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)特征。60年代初，卡爾曼（R.E.Kalman）提出和研究了能控性和能觀測(cè)性這兩個(gè)重要概念。3.1 能控性和能觀測(cè)性的定義u 對(duì)能控性和能觀測(cè)性的直觀討論第三章從物理的直觀性來(lái)討論能控性和能觀測(cè)性。狀態(tài)空間描述：輸入和輸出構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量。能控性：狀態(tài)是否可由輸入影響。每一個(gè)狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可由輸入來(lái)影響和控制，由任意的始點(diǎn)達(dá)到原點(diǎn)，則是能控，反之全能控的。能觀測(cè)性：狀態(tài)是否可由輸出反映。所有狀態(tài)變量的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反映，則是能觀測(cè)的，反之全能觀測(cè)的。第三章例：

2、給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為： x&1 = 4 x1 + 1 u0 x& 0- 5 x 2 2 2 - 6 x1y = 0x&1 x& 2 x = 4 x1+ u= - 5 x 2 + 2 u2 將其表為標(biāo)量方程組的形式，有y = - 6 x 2x2可通過(guò)選擇輸入 u 而由始點(diǎn)達(dá)到原點(diǎn)，完表明：x1 和全能控。yyx2， x1 和輸出只能反映無(wú)直接、間接關(guān)系，全能觀測(cè)的。第三章例：電路中，兩個(gè)+ xCR狀態(tài)變量為兩電容的端電壓+ u(t)1+xx1 和x2 ，輸入能夠使x1 或RC2者 x2 轉(zhuǎn)移到任意目標(biāo)值，但x1 和x2分別轉(zhuǎn)移不同的任意目標(biāo)值。不能將，輸入 u 取何種形式，不可能做到使，=x

3、 2 ( t 0 ) = 0x1 ( t 0 )如t x1 ( t ) =t 0,x 2 ( t )x1 ( t ) x 2 ( t )，全能控。第三章R1iLy +例：u (t ) = 0電路中，若，當(dāng)xR11+u(t) = 0R2) =x( tx( t)xL10202且為任意值時(shí)，必定有i = 0t y ( t ) =t 0,0,，即狀態(tài)不能由輸出反映，全能觀測(cè)。第三章u 能控性定義線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程x& = A (t ) x +S :t JB (t )u,n維狀態(tài)向量，u 為 p 維輸入向量， J 為其中：x 為n 時(shí)間定義區(qū)間，A 和 B分別為 n n和的連續(xù)函數(shù)的矩陣。p 的元為

4、t第三章S，如果對(duì)取定初始時(shí)刻，t 0定義 1：線性時(shí)變系統(tǒng)J的一個(gè)非零初始狀態(tài) x0 ，存在一個(gè)時(shí)刻t1 J , t1t 0，u ( t ) , t t 0 , t1 ，使?fàn)顟B(tài)由 x 0和一個(gè)無(wú)約束的容許控制轉(zhuǎn)移到 t1，則稱此 x0 是在 t 0 時(shí)刻為能控的。x ( t1 ) = 0時(shí)S定義 2：線性時(shí)變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)t 0 ( t 0 J ) 時(shí)刻為能控的，則稱系統(tǒng) S 在時(shí)刻t 0 是都是在完全能控的。第三章S，取定初始時(shí)刻 t 0J ，如果狀定義 3：線性時(shí)變系統(tǒng)態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻 t 0 是不能控的，則St 0 是稱系統(tǒng)在時(shí)刻全能控的。解釋：

5、使 t 0時(shí)刻的非零狀態(tài)x 0在 J 上的一段有限時(shí)間轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)其軌跡不加以限制和規(guī)定。無(wú)約束表示對(duì)輸入幅值不加限制。容許控制表示輸入的所有分量在 J 上平方可積。第三章t0取定時(shí)刻 t 0 ，對(duì)時(shí)變系統(tǒng)是完全必要的，定常系統(tǒng)與的選取無(wú)關(guān)。非零狀態(tài)零狀態(tài)，能控。零狀態(tài)非零狀態(tài)，能達(dá)。連續(xù)線性系統(tǒng)：ttF(t ,t )B(t )u(t )dtx(t ) = F(t ,t )x +1110010第三章非零狀態(tài)(xc ) 零狀態(tài)：ttF(t ,t )B(t )u(t )dt0 = F(t ,t )x +110c10ttF(t ,t )B(t )u(t )dt x = -F-1(t ,t )1

6、c1010零狀態(tài)非零狀態(tài)(xr )：tF(t ,t )B(t )u(t )dt = -F(t ,t )xx =1r110ct0由于F(t1 ,t0 )非奇異，(xc )與(xr )一一對(duì)應(yīng)，能控性 能達(dá)性。第三章離散線性系統(tǒng)：k1-1x(k1 ) = F(k1 , 0)x0 + F(k1 ,i +1)H (i)u(i)，t1= k1Ti=0由于F(k1 , 0) 不一定非奇異，(xc ) 與(xr ) 不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，能控性能達(dá)性；若系統(tǒng)矩陣非奇異，則兩者等價(jià)。全能控系統(tǒng)，某些參數(shù)的很小的變動(dòng)，可使其變?yōu)橥耆芸?。第三章u 能觀測(cè)性定義能觀測(cè)性表征狀態(tài)可由輸出的完全反映性，應(yīng)同時(shí)考慮系統(tǒng)的

7、狀態(tài)方程和輸出方程。x& = A(t ) x + B(t )u y = C (t ) x + D (t )uS :t Jx(t0 ) = x0,( t ) 和 D (t ) 分別為 n n ，的滿足狀態(tài)方程解的存在唯一其中： A ( t ) , B( t ) , Cn p , q n 和q p性條件的時(shí)變矩陣。第三章?tīng)顟B(tài)方程解的表達(dá)式為tx(t ) = F(t, t0 ) x0 + t F(t,t ) B(t )u (t )dt0輸出響應(yīng)的表達(dá)式為：ty(t) = C(t)F(t,t0 )x0 + C(t)Ft )B(t )u(t )dt + D(t)u( )t(t,t0研究能觀測(cè)性問(wèn)題，輸出

8、 y 和輸入 u 都為已知，只有內(nèi)部變量，即初始狀態(tài) x 0 是未知的。第三章令：y (t) =Dty(t) - C(t) F(t,t )B(t )u(t )dt -D(t)u(t )t0y (t ) = C (t )F(t , t 0 ) x 0則研究 x0 的可由 y 的完全估計(jì)性。u = 0時(shí)由y 來(lái)估計(jì) x0等價(jià)于研究的可能性。也即系統(tǒng)的零輸入方程：S :x& = A(t ) x,x(t0 ) = x0 ,t0 , t J y = C (t) x的能觀測(cè)性。第三章S定義 1：線性時(shí)變系統(tǒng)，如果對(duì)取定初始時(shí)刻，t 0J$ t1 ，J , t1的一個(gè)非零初始狀態(tài) x0，t 0有y(t) =

9、 0 ，t t 0, t1則稱此 x 0 在時(shí)刻 t 0 是 不能觀測(cè)的。S定義 2：線性時(shí)變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)t 0 ( t 0 J )S都不是時(shí)刻的不能觀測(cè)狀態(tài)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻 t 0 是完全能觀測(cè)的。第三章S，取定初始時(shí)刻 t 0J ，如果狀定義 3：線性時(shí)變系統(tǒng)態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻 t 0 是不能觀測(cè)的，則St 0 是稱系統(tǒng)在時(shí)刻全能觀測(cè)的。比較：(1) 能控性：能控狀態(tài)完全能控性，正向定義，能控子空間是線性子空間。(2) 能觀性：不能觀狀態(tài)完全能觀性，反向定義，不能觀子空間X -，即對(duì)任意x- X - 滿足ooo0 = y(t) = C(t)F(t,t

10、 )x- ，t t ,t X -是線性子空間。0o01o第三章而能觀子空間X + ，即對(duì)任意x+ X +滿足ooo0 y(t) = C(t)F(t,t )x+，$t t ,t 0o01X + 不是線性子空間，例如對(duì)于能觀狀態(tài)x- ，oox-也為能觀狀態(tài)，但x- 為不能觀狀態(tài)。oo3.2 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù)u 線性定常系統(tǒng)的能控性判據(jù)x& = Ax + Bux(0 ) = x0 , t 0,為p狀態(tài)方程其中：x 為維狀態(tài)向量，unB 分維輸入向量，A 和別為 n n和n p 常陣。第三章結(jié)論 1： 格拉姆矩陣判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充分必要條件是，存在時(shí)刻t10 ，使如下定義的格

11、拉姆（Gram）矩陣t1 e- At BBT e- AT t dt0W 0,t =Dc為非奇異。1應(yīng)用于理論分析中。第三章結(jié)論 2： 秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充分必要條件是，Lrank B其中， n 為矩陣An -1B = nABA 的維數(shù)。L BB An -1QcAB稱為系統(tǒng)的能控性判別陣。第三章結(jié)論 3： PBH秩判據(jù) A( i = 1, 2 , Ll i, n ) ，均成立：的所有特征值rank li I - A, B = n, i = 1, 2,L , n或等價(jià)地表示為rank s I - A, B = n, s 復(fù)數(shù)域( s I - A)和 B 是左互質(zhì)的。也即第三章A( s

12、 ) 和 B ( s ) 是左互質(zhì)的，如果它們的最大左公因子為單于 s 的非零常數(shù)。模陣。其行列式是結(jié)論 4： PBH特征向量判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充分必要條件是，A 不能有與B的所有列相正交的非零左特征向量。也即對(duì) A 的任意一特征值 l i ，使同時(shí)滿足a T的特征向量A = liaT,a T B = 0a 0 。第三章結(jié)論 5： 約當(dāng) 規(guī)范形判據(jù)線性定常系統(tǒng)為完全能控的充分必要條件是：, L , l nl 1 , l 2當(dāng)矩陣 A 的特征值角線規(guī)范形 l1為兩兩相異時(shí)，對(duì)l2&= x + Bu x中，Ol不包含元素全為零的行。n B第三章），L當(dāng)矩陣 A 的特征值為 l 1 (s

13、），l 2(s 2 重1重+ s 2 + L + s l ) = n 時(shí)，約當(dāng)規(guī)范形A% x% + B% u ）且 (s 1x&% = J1l l (s l 重其中， B%1 % J 2= B2 A%B%= O( n n )( n p )M B% Jll第三章 B% J i1i1%J i 2= Bi 2B%= JOMi (s i s i )i (s i p ) B%Jia i b%1ikia i l1 1lii %1O= b2 ikB%= Ji k ( rik rik )ik ( rik p )M %l briki 第三章( ri1 + ri 2 + L + ria i ) = s i而B(niǎo)%(

14、 kik= 1, 2,L ,a i )由的最后一行所組成的矩陣 b%ri1% bri 2i = 1, 2 , L, lM對(duì)均為行線性無(wú)關(guān)。 %bi ari第三章例1：已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范形為： x&1 -70 x1 02 0-20 x& = 0 x + 40 u00 2 01 2&1 x3 x3B 不包含元素全為零的行，完全能控。第三章例2：給定線性定常系統(tǒng)的約當(dāng)規(guī)范形為：-2001-20040014 0100-20x&% = x% + 07 u-203013013001第三章定出 b%r11 b%1014b% =r 21=b%01r12 r 22 br都是行線性無(wú)關(guān)的，完全能控。第三

15、章u 能控性指數(shù)完全能控的線性定常系統(tǒng)，A和分別是 n nB和n p的常值矩陣。L BA k - 1 B Q k=A 2 BA B定義：為 n kp 常陣，其中 kk =n為正整數(shù)。系統(tǒng)能控，當(dāng)時(shí)， Q n 即為能控性矩陣 Qc ，且 rank Qc= n ，現(xiàn)在，依次rank Q m=將 k 由 1 增加，直到使n，那么，便稱這個(gè)使的最小正整數(shù) m 為系統(tǒng)的能控性指rank Qk= n 的k成立數(shù)。第三章m估計(jì)能控性指數(shù)的一個(gè)關(guān)系式n令：rankB = r 證： Qm 為n m p 陣，rankQm = n或等于它的行數(shù)，即m p n。p m n - r + 1則pQm 的列數(shù)必須大于要求

16、由能控性指數(shù)定義， AB, A2B, Am-1B 中每個(gè)矩陣至少含有一個(gè)列向量與Qm 中其左側(cè)所有線性無(wú)關(guān)，否則若Ak B = aAk-1B + + a AB + a Bk -110 Ak+1B = aAk B + + a A2B + a ABk -110則r + m -1 n。的列向量線性第三章推論：對(duì)于單輸入系統(tǒng)，也即 p = 1 時(shí)，系統(tǒng)的能控性指數(shù)為m = n。對(duì)線性定常系統(tǒng)，可導(dǎo)出簡(jiǎn)化的能控性的秩判據(jù)為：系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：LrankQn - r +1 = rank BAn- r B = nAB n ，則為矩陣 A 的最小多項(xiàng)式的次數(shù)，且必有nn令能控性指數(shù) m的估計(jì)不等式

17、可進(jìn)而表為：n m min( n , n - r + 1)p第三章A 的最小多項(xiàng)式 y (s)y ( A) = 0矩陣是使成立的次數(shù)最低的首系數(shù)為 1的多項(xiàng)式。n -1+ a n -1 A+ L + a 1 A + a 0 Iy ( A) =將Qm 表為= 0AnLAb,Ab,L,AbLLm-m-m-Q = b,b,111,bA b,A b,A bm12p12p12p中的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的列，若某個(gè)列Q m且依次從左至右搜索不能表為其左方各列之線性組合，則為線性無(wú)關(guān)，否則便是線性相關(guān)?？紤]到 B 的秩為 r關(guān)的列重新排列如下：n，故可將得到的個(gè)線性無(wú)第三章b , Ab ,L,L , A m2

18、-1b;Lm -1, Ab ; b, Ab1111222L ; br , Abr ,L , A rm且對(duì)能控系統(tǒng)顯然有：-1br+ Lm 1+ m+m=n2rm而能控性指數(shù)滿足關(guān)系式：m = max m1 ,m r ,L ,m 2 ,L ,m1 ,m r ,為系統(tǒng)m 2 ,( A, B)通常，稱的能控性指數(shù)集。第三章m對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程作線性非奇異變換，其能控性指數(shù)和能控性指數(shù)集 m1 ,m r , 保持不變。L ,m 2 ,u 線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為x& = A(t ) x + B(t )ux(t0 ) = x0 , t, t0 J,為p其中：x 為維狀態(tài)向量，un維

19、輸入向量，A ( t ) 和B (t )分別為 n n 和唯一性條件。n p 的時(shí)變矩陣且滿足解的存在第三章結(jié)論 1： 格拉姆矩陣判據(jù) 線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻 t 0 為完全能控的充分必要條件是，t1 J , t1 t 0存在一個(gè)有限時(shí)刻，使如下定義的格拉姆矩陣t1F(t0t=, t ) B (t ) BT (t ) FT (tWt, t D, t )dtc0100為非奇異。第三章結(jié)論 2： 秩判據(jù) ) 是n -A ( t )和B是(設(shè)階連續(xù)可微的，則線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻 t0 為完全能控的一個(gè)充分條件是，存在一個(gè)有t1 J , t1t 0限時(shí)刻使成立：rank MM n -1 (t1 ) = nL

20、0 (t1 )M 1 (t1 )第三章=M( t )B ( t )其中：0d( t ) =-+MA ( t ) M( t )M( t )100d t d( t ) =-+MA ( t ) M( t )M( t )211d tLLLd( t ) =-+MA ( t ) M( t )M( t )n - 1n - 2n - 2d t第三章例 ：考慮如下的線性時(shí)變系統(tǒng)： x&1 t x1 0 12t 0t0= 0.500 x + 1 u2&=x0 2 x& 0+ t x 1 t 2 3 3 J = 0, 2 ,判斷系統(tǒng)的能控性。第三章通過(guò)計(jì)算，求出 0 1 =M( t )B( t )0 1 - 1-

21、2 tt d( t ) =-( t ) +=MA( t ) MM( t )100d t - t3t-2d(t ) = (t ) = - A (t ) M(t ) +4 t 2 - 2MM (t 2211dt + t ) 2 - 2 t - 1第三章因?yàn)?1-2t-t2 -t03t4t2 -2M (t) = 1M (t)M (t)1012(t2 +t)2 -2t -1t=1 的秩為t0. 5是完全能對(duì)3 ，所以系統(tǒng)在時(shí)刻0控的。第三章3.3 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)u 線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)u =x&0時(shí)的狀態(tài)方程和輸出方程0 , t 0Ay = Cx維狀態(tài)向量， y 為 q 維輸出向

22、量，A其中：xn和 C 分為別為 n n和q n常陣。第三章結(jié)論 1： 格拉姆矩陣判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能觀測(cè)的充分必要條件是，存在時(shí)刻t10，使如下定義的格拉姆（Gram）矩陣t1 eAT tCTCeAt dt0W 0,t =Do1為非奇異。第三 章結(jié)論 2： 秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能觀測(cè)的充分必要條件是，C CAMrank = nn -1CA TLrank C T= nAT C TA 的維數(shù)。C T(或其中， n 為矩陣TL CTTTTQAC(Co稱為系統(tǒng)的能觀測(cè)性判別陣。第三章結(jié)論 3： PBH秩判據(jù) A= 1, 2 , Ll i( i, n ) ，均成立：的所有特征值rank C

23、1, 2,L , n= n, i = l I - A i或等價(jià)地表示為Crank s I - A = n, s 復(fù)數(shù)域( s I - A)和C 是右互質(zhì)的。也即第三章結(jié)論 4： PBH特征向量判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能觀測(cè)的充分必要條件是， A 沒(méi)有與A 的任意一特C 的所有行相正交的非零右特征向量。也即對(duì)征值 l i ，使同時(shí)滿足Aa= lia 0 。Ca= 0,a的特征向量第三章結(jié)論 5： 約當(dāng) 規(guī)范形判據(jù)線性定常系統(tǒng)為完全能觀測(cè)的充分必要條件是：, Ll 1 , l 2, l n當(dāng)矩陣 A 的特征值為兩兩相異時(shí)，對(duì) l1角線規(guī)范形l2&= xx中，Oly = Cx C 不包含元素全為零的

24、列。n 第三章），L當(dāng)矩陣 A 的特征值為 l 1 (s），l 2(s 2 重1重+ L + s l ) = n 時(shí)，約當(dāng)規(guī)范形）且 (s 1+ s 2A% x% C% x%J 2l l (s l 重x&%=y = J1其中，%= AO( n n )J= C%1 ,l C%( q n )C% ,2C%lL ,第三章 Ji 1Ji 2=JOi ( s i s)iJ= C%i1 , liiaiC%i ( qs i )C%,i 21C%ia iL,1 l1O= iJi k ( rik rik )l C%= C%,ik (qrik )1iki L,C%,2ikC%rik第三章( ri1 + ri 2

25、+ L + ria i ) = s i而C%( k = 1, 2,L ,a )iki由的第一列所組成的矩陣C%1i1 ,C%,1i 2C%1ia iL ,i = 1, 2 , L, l對(duì)均為列線性無(wú)關(guān)。第三章例 ：給定線性定常系統(tǒng)的約當(dāng)規(guī)范形為：-21-2 0-2x&% = x%-233013第三章40000030005312000y = 01 x%00第三章定出 40 0300 C%111 ,C%,112%=C05 113 00 31 C%121 ,%=C10 122 2顯然，它們都是列線性無(wú)關(guān)的，因此可知系統(tǒng)為完全能觀測(cè)。第三章u 能觀測(cè)性指數(shù)完全能觀測(cè)的線性定常系統(tǒng)，其中和 q n 的常

26、值矩陣。nA 和C C AM定義：=Qkk - 1C A為 kq n 常陣，其中 k 為正整數(shù)。rank Qn= nQ 0并且，知，且第三章=kv，而使k 的最小正整數(shù)k由 1 增加，直到現(xiàn)在，依次將vrank Qv= n，則稱這個(gè)使上式成立的為系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)。rankC = m若，則成立n v n - m + 1q為矩陣 A 的最小多項(xiàng)式的次數(shù)，那么上式可表為n如令nn n v min(n , n - m + 1)q第三章若把 Qv 表為C CMC1n 個(gè)Qv2并且依次從上至下搜索中的線性無(wú)關(guān)的行?？紤]到 C 的秩為 m，所以將這線性無(wú)關(guān)的行重新排列后為：qAACC1n 個(gè)2MqMA=Q

27、vCAv - 1C1 Cv - 1AMA2 Cv - 1q第三章C通常，稱 v1 ,vm ,1AL ,v2 ,C1M( A,C)為系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)集。v 1 - 1CA CC;1而且，顯然有：2v 2+ Lv1+v m=An2MMv = max v1 ,vm ,; L ,v2 ,- 1和vvCA22v ,L ,v,v或者12mCCm對(duì)系統(tǒng)的作線性非奇異變換，它們都保持不變。AmM- 1vCAmm第三章v = n當(dāng) q = 1，系統(tǒng)單輸出時(shí)，有可將判斷能觀測(cè)性的秩判據(jù)簡(jiǎn)化為：= m ，則系統(tǒng)為能觀測(cè)的充分必要條件為：rankC若CCAM= rank = nrankQn-m+1-nmCA第三章u

28、 線性時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)線性時(shí)變系統(tǒng)x& = A(t ) x y = C (t ) xx(t0 ) = x0 , t, t0 J,n n其中：J 為時(shí)間定義區(qū)間，A ( t ) 和 C (t ) 分別為和n p的時(shí)變矩陣。第三章結(jié)論 1： 格拉姆矩陣判據(jù) 線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻 t 0 為完全能觀測(cè)的充分必要條件是，t1 J , t1t 0存在一個(gè)有限時(shí)刻，使如下定義的格拉姆矩陣t1FTt)C T (t )C (t ) F(t , t=Wt, t (t , t)dtD001000為非奇異，其中 F( , ) 為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。第三章結(jié)論 2： 秩判據(jù) ) 是n -A ( t )和 C是(設(shè)階連續(xù)

29、可微的，則線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻 t0 為完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件是，存在一個(gè)有t1 J , t1t 0限時(shí)刻使成立：N 0 (t1 )N(t)rank = n11M N(t ) 1n -1第三章=N( t )C( t )其中：0Nt ) At )0LLLNdt ) At )n - 2第三章3.4 對(duì)偶性原理u 對(duì)偶系統(tǒng)S線性時(shí)變系統(tǒng)x& = A(t ) x + B(t )u y = C (t ) x分別為 n 1，p 1xy，輸入 u 和輸出其中：狀態(tài)和 q 1的列向量。第三章定義如下構(gòu)成的線性時(shí)變系統(tǒng) S：dj& Tf T為系統(tǒng) S= - AT (t )j T= BT (t )j T+ CT

30、(t )h T的對(duì)偶系統(tǒng)，其中協(xié)狀態(tài) j 、輸入h和輸出 f 分別為1 n 、1 q和1 p的行向量。第三章線性定常系統(tǒng) Sx& = Ax + Buy = CxS相應(yīng)的對(duì)偶系統(tǒng)dj& Tf T= - ATj T= BTj T+ CTh TS 和 Sd 之間有著如下的一些對(duì)應(yīng)關(guān)系。第三章令 F ( t , t 0 )為系統(tǒng)S的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣， Fd (t,t0 ) 為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則必成立：F d (t , t0 ) = F(t0 , t )T證：0 = d F(t,t )F-1(t,t )00dt dF(t,t ) F-1(t,t ) + F(t,t ) dF-1(t,t )=000

31、0dtdt= A(t)F(t,t ) F-1(t,t ) + F(t,t ) d F(t ,t)0000dt= A(t) + F(t,t0 )F (t0 ,t)第三章 F (t0 ,t) = -F(t0 ,t) A(t)，F(xiàn)(t0 ,t0 ) = I F T (t ,t) = - AT (t)FT (t ,t)，F(xiàn)T (t ,t ) = I0000系統(tǒng) S 和對(duì)偶系統(tǒng)S的方塊圖是對(duì)偶的。dx +B(t)C(t)u+y+jT-fThTAT (t)A(t)第三章t系統(tǒng) S 的運(yùn)動(dòng)是狀態(tài)點(diǎn)在狀態(tài)空間中由 t0 至的正時(shí)t0向轉(zhuǎn)移，而對(duì)偶系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是協(xié)狀態(tài)在狀態(tài)空間中由 t 至反時(shí)向轉(zhuǎn)移。u 對(duì)偶性原

32、理系統(tǒng) S 和其對(duì)偶系統(tǒng)S關(guān)系。d 在能控性和能觀測(cè)性上具有對(duì)應(yīng)u 結(jié)論S的完全能控等同于S d 的完全能觀測(cè)。S的完全能觀測(cè)等同于 S d的完全能控。第三章3.5線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能觀性能控性和能達(dá)性定義S : x(k +1) = G(k )x(k ) + H (k )u(k )，k Jk離散時(shí)間定義區(qū)間定義 1：對(duì)h Jk ，所有x(h) 0，存在l Jk ，l h，對(duì)應(yīng)控制u(k )，使?fàn)顟B(tài)x(l) = 0，則稱系統(tǒng)S在h時(shí)刻為完全能控。定義 2：對(duì)h Jk ， x(h) = 0，存在l Jk ，l h ，對(duì)應(yīng)的控制u(k )，使?fàn)顟B(tài)x(l) 可為任意非零點(diǎn)，則稱系統(tǒng)S在h時(shí)刻為

33、完全能達(dá)。第三章結(jié)論1：線性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)的充分必要條件是，其系統(tǒng)矩陣G(k )對(duì)所有k h,l -1為非奇異。結(jié)論2：線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)的充分必要條件是，其系統(tǒng)矩陣G 為非奇異。結(jié)論3：如果線性離散時(shí)間系統(tǒng)是相應(yīng)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)間離散化模型，則其能控性和能達(dá)性必是等價(jià)的。(G(k ) = F(k +1, k )，k Jk )第三章能控性和能達(dá)性判據(jù)結(jié)論 1(時(shí)變 Gram 判據(jù))：線性時(shí)變離散系統(tǒng)S在時(shí)刻h Jk完全能達(dá)的充分必要條件是，存在l Jk ，l h，使 Gram矩陣l-1W h,l =F(l, k +1)H (k )H(k )F (l,

34、k +1)TTck =h為非奇異。若G(k )對(duì)所有k h,l -1非奇異，則上述條件也是完全能控的充分必要條件，否則僅為充分條件。第三章結(jié)論 2(定常 Gram 判據(jù))：線性定常離散系統(tǒng)S 完全能達(dá)的充分必要條件是，存在l Jk ，l 0，使 Gram 矩陣l -1W 0,l =kTTkG HH(G )ck =0為非奇異。若G 非奇異，則上述條件也是完全能控的充分必要條件，否則僅為充分條件。結(jié)論 3(定常秩判據(jù))：線性定常離散系統(tǒng)S完全能達(dá)的充分必要條件是rank HGn-1H = nGH若G 非奇異，則上述條件也是完全能控的充分必要條件，否則僅為充分條件。第三章例：(自學(xué))盡管不滿足充分性

35、判別條件，但系統(tǒng)完全能控。推論(最小拍控制)：?jiǎn)屋斎刖€性定常離散系統(tǒng)S : x(k +1) = Gx(k ) + hu(k )，k = 0,1,G 非奇異，則當(dāng)系統(tǒng)完全能控時(shí)，可構(gòu)造如下控制u(0)u(1)-1 = - G-1hG-nhxG-2h0#u(n -1)使在n步內(nèi)，將任意非零狀態(tài)x(0) = x0轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。第三章證：利用狀態(tài)運(yùn)動(dòng)關(guān)系式0 = x(n) = Gn x(0) + Gn-1hu(0) + Ghu(n - 2) + hu(n -1)u(0)#h = Gn x(0) + Gn-1hGhu(n - 2) u(n -1) 能觀性及其判據(jù)S : x(k +1) = G(k )x(k

36、 )，k Jky(k ) = C(k )x(k )第三章定義：對(duì)h Jk ，任意x(h) 0，存在l Jk ，l h，且可由h,l上的輸出y(k ) 唯一地確定x(h)，則稱系統(tǒng)S在h時(shí)刻為完全能觀。判據(jù)(自學(xué)，對(duì)偶能達(dá)性)：時(shí)變 1，定常 2，(最小拍觀測(cè))離散化線性系統(tǒng)保持能控和能觀性的條件S : x = Ax + Bu ，t 0y = CxST : x(k +1) = Gx(k ) + Bu(k )，k = 0,1, 2,y(k ) = Cx(k )Ttt B。其中G =e， H =ATAed0第三章結(jié)論：l1, l2 , lm 為A全部特征值，且當(dāng)i j 時(shí)有l(wèi)i l j ， 則 ST

37、 保持能控 ( 能觀 ) 的一個(gè)充分條件是， 對(duì)滿足Reli - l j = 0，i, j = 1, 2, m 的特征值成立T 2lp，l = 1, 2,Im(li - l j )例：(自學(xué))第三章3.6 能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形：?jiǎn)屋斎雴屋敵銮樾瓮耆芸鼗蛲耆苡^測(cè)系統(tǒng)，構(gòu)造一個(gè)非奇異變換陣，變換 成標(biāo)準(zhǔn)形式，稱為能控規(guī)范形或能觀測(cè)規(guī)范形。u 能控規(guī)范形完全能控的單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)S :x& = Ax + bu y = cx其中，A 為 n n常陣，b 和 c常陣。分別為 n 1和 1 n第三章完全能控Lrank bAn-1b = nAb則特征多項(xiàng)式為+L+ a s + an-det(sI - A) =Da (s) = sn+ a1sn-110定義如下 n個(gè)常數(shù)bn-1= cbbn-2= cAb + an-1cbbLL= cLA n - 2b + acAn -3b + L + a cbn -112cAn -2b + L + a cb= cAn -1b + abn -101第三章構(gòu)造如下的變換陣1an-1OOLP =e ,b e