一元二次方程的四種解法

1、一元二次方程的解法(1) 一元二次方程的概念一、考點、熱點回顧1、一元二次方程必須同時滿足的三個條件：2、一元二次方程的一般形式：二、典型例題例1：判斷下列方程是否為一元二次方程：+x = /=1 /-2x + 3y = 0- 3 = (x-l)(x-4)av2 +bx + c = 0(m是不為零常數(shù))例2: 一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.(1)x2-10x-900 = 0(2)5x2 + 10x - 2.2 = 0(3)2x2-15 = 0(4)x2 +3x = 0(5)U + 2)2 =3(6)(x + 3)(x-3) = 0例3:當(dāng)機 時，關(guān)于x的方程(m+2) xE+3

2、mx+l=()是一元二次方程。三、課堂練習(xí)1、下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是()A3(a + 1)2 = 2(x+1) 8+ - 2 = 0 r VC.ax2 +Zu + c = () D.x1 + 2x = x2 - I2、用換元法解方程(x2+x>+(Y+x) = 6時，如果設(shè)/+x = y,那么原方程可變形為()A、r+v-6=0 JJC、y -y+6 = 0B、y2y-6 = 0D、v" + v+6 = () JJ3、已知兩數(shù)的積是12,這兩數(shù)的平方和是25,以這兩數(shù)為根的一元二次方程是4、已知關(guān)于x的一元二次方程(攵+ 1口-6 =。的一個根是2,求k的值.四、課

3、后練習(xí)1 .將方程3.(/_1) = 50 + 2)化成一元二次方程的一般形式，得； 其中二次項系數(shù)是； 一次項系數(shù)是；常數(shù)項是.2 .方程(左-4)/+5、+ 2 + 3 = 0是一元二次方程，則%就滿足的條件 是.3 .已知m是方程x2-x-2=0的一個根，則代數(shù)式m2-m=4 .在一幅長80cm,寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形 掛圖，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2,設(shè)金色紙邊的寬為人“，則工滿足 的方程是()(A) x2+130x-1400 = 0(B) x2 +65x-35O = O(C) x2 -130x-1400 = 0(D) x2 -65x-35

4、0 = 05.關(guān)于x的方程(-3)/+仆+機=°,在什么條件下是一元二次方程？在什么 條件下是一元一次方程？(2) -一直接開方法一、考點、熱點回顧1、了解形如x2=a(a*0)或(x + h)2=k(k>0)的一元二次方程的解法直接開平 方法小結(jié)：如果一個一元二次方程具有 +機)2= (匕0)的形式，那么就可以 用直接開平方法求解。(用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的 左邊化為一個完全平方式，右邊化為常數(shù)，且要養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣)【復(fù)習(xí)回顧】1 .方程(k-4)x2 +5x + 2Z + 3 = 0是一元二次方程，則%就滿足的條件 是.2 .若(a+1) x2+(x

5、-l)2二0 二次項的系數(shù)為-2,則 a=二、典型例題例1：解下列方程：(1) x2=2(2) 4x2-1=0例2、解下列方程：*+1)2 =2(2)(x-1)2-4 = 0(3)12(3-x)2-3 = 0推薦例3:用直接開平方法解下列方程(1) 1(3x + 1)2-15 = 0 (2) (x-3)2=4(2x + 1)2 (3) x2 +2ax + a2-b = 0三、課堂練習(xí)1 .若方程(x-4) 2=m-6可用直接開平方法解，則m的取值范圍是()A. m>6 B. m>o C. m>6 D. m=62 .方程(1-x) J2的根是()A.-l、3 B.l> -

6、3C.l-、歷、1 + %傷 D.VI-1、VI+13 .方程(3x 1 >= - 5的解是 o4 .用直接開平方法解下列方程：(1)4x2=9;(2) (x+2) 2=16(3)(2x-1)2=3;(4)3(2x+1=12四、課后練習(xí)1、4的平方根是,方程W =4的解是.2、方程(x + l=l的根是,方程4(x+lf=l的根是.3、當(dāng)x取 時，代數(shù)式/一5的值是2;若/一*? = 0,則1=.4、關(guān)于工的方程3/一% + 1 =。若能用直接開平方法來解，則k的取值范圍是( )A、k>lB、k<lC、k<lD、k>l5、解下列方程：(1) -x2- = 0(2)

7、 (5x)2-4 = 639v 7（x+心）1一旬=7（4） 2（6-x）2-128 = 0(5) 0.5/- = 0(6) (x + 1)2=4(x-2)236、已知一個等腰三角形的兩邊是方程4-(x-10)2=。的兩根，求等腰三角形的面積(3) -配方法一、考點、熱點回顧1、經(jīng)歷探究將一元二次方程的一般式轉(zhuǎn)化為(x+h) 2=k (n>0)形式的過程,進(jìn)一步理解配方法的意義；2、填空：(1) x2+6x+=(x+)2； (2)x2-2x+=(x-)2；x?-5x+=(x-/; (4)x2+x+=(x+/; Y+px+=(x+)2 ；3、將方程x2+2x-3=0化為(x+h>=k

8、的形式為；小結(jié)1:用配方法解一元二次方程的一般步驟：1、把常數(shù)項移到方程右邊;2、在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；3、利用直接開平方法解之。小結(jié)2:當(dāng)一元二次方程二次項系數(shù)不為1時，用配方法解方程的步驟：二次項系數(shù)化為1；移項；直接開平方法求解.二、典型例題例1 :將下列各進(jìn)行配方：(3)x2-x +4(l)x2+10x+= (x+)2(2)x2-6x+= (x-)八 Z?x+= (x+)例2:解下列方程：(2) x2+3x-1 = 0(1) x2-4x + 3 = 0推薦例3:用配方法解下列關(guān)于x的方程:(1) (x+1)2-10(x + 1) + 9 = 0(

9、2) /一6心 + 92 一疝=o例4:例1解方程：2-5工+2 = 0 3/+4x + 1 = 0例5、一個小球垂直向上拋的過程中，它離上拋點的距離h (m)與拋出后小球 運動的時間t(s)有如下關(guān)系： = 24r-5/2。經(jīng)過多少秒后，小球離上拋點的高度是 16m?推薦例6:求證：對任意實數(shù)x,代數(shù)式，-4x + 4.5的值恒大于零。三、課堂練習(xí)1 .完成下列配方過程：(1) x2+8x+=(x+y(2) x2-x+= (x-)2(3) x2+4=(x+)2(4) x2-+ 4= (x-) 2 44Q72若x'mx+ =(x+ )2,則m的值為().1j,J3 .用配方法解下列方程

10、：(1)x2-6x-1 6=0;(2)/+3x-2=0 ;x?+2 V3 x-4=0;(4)x2-x- =0.3 34 .已知直角三角形的三邊a、b、c,且兩直角邊a、b滿足等式"+bT-2(解+b>15=0,求斜邊c的值。5 .用配方法解方程2y25尸1時，方程的兩邊都應(yīng)加上()、加 0 5A. D.一24)26.a2+b2+2a-4b+5=(a+)2+(b-7 .用配方法解下列方程：(1)2x2+1=3x；(2)3y2-y-2=0;(4)2x2=3-7x. 3x<4x+l=()；8.若4x2-(4m-l)x+n?+l是一個完全平方式，求m.四、課后練習(xí)1、用配方法解下

11、列方程:(1) x2 -6x-16 = 0(2) x2+3x-2 = 0(3) x2+7 = x(4) x2 -lx- = O 452、把方程Y-3x+ = 0配方，得到(1)求常數(shù)與?的值；(2)求此方程的解。3、用配方法解方程x2 + px + q = O(p2 -4t/>0)4、用配方法解下列方程:(1) x2 +15 = 10x(2)3/ -12a +1 = 0(3)4x2-12V2 x -1=0(4)2x2-7x-2 = 0, 3x2 + 2x-3=0(6) 2x2 4x + 5 = 02、你能用配方法求：當(dāng)x為何值時，代數(shù)式-3/+6x-5有最大值?公式法一、考點、熱點回顧1

12、、把方程4-x2= 3x化為ax2+bx+c=0(a=0)形式為b2-4ac=.2、方程x2+x-l=0的根是 o3、方程3x，2=4x的判別式b2-4ac=，所以方程的根的情況是4、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情況是()A.有兩個不等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C .沒有實數(shù)根D .不能確定總結(jié)：一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的情況可由來判斷:當(dāng) b"-4ac >0 時,當(dāng) bMac=0 時,當(dāng) b2-4ac <0 時,二、典型例J例1：解下列方程:/ +3x + 2 = 0;(2)2x2-7x = 4變式：1、解方程：(1)2x(X+1) =

13、 3;(2)廠 + 1 = x(2j5 + x).例2:解下列方程：(l)x2 + x 1 = 0；(2)x2 - 2瓜 + 3 = 0;(3)2 2x +1 = 0.例3:不解方程，判別下列方程根的情況.(1) 2x2+3x+4=0；(3) 4x(x-l)-3=0;(4)、2+5=2石x.題變：1、試說明關(guān)于X的方程x2+(2k+l)x+k-l=0必定有兩個不相等的實數(shù)根.推薦例4:當(dāng)k為何值時，關(guān)于X的方程kf (2k+l) x + k + 3 = o有兩個不相等的實數(shù)根？題變：1、已知一元二次方程(m-2>x2+(2m+1)x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，求 的取值范圍.三、隨堂練

14、習(xí)1 .把方程(2x-l)(x+3)f2+1 化為 ax2 + bx + c = 0 的形式，b<4ac=,方程 的根是.2 .方程(x-1)(x-3)=2 的根是()A. x1=1,x2=3B.x=2± 2 V3 C.x=2± VJ D.x=-2± 2a/33 .關(guān)于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一個根是用-2,則m=,方程的另 一個根是.4 .若最簡二次根式廂二7和次F是同類二次根式，則的值為()A.9 或-1B.-lCl0.95 .用公式法解下列方程:(1) x2-2x-8=0;(2) x2+2x-4=0;(3) 2x2-3x-2=0;(4) 3

15、x(3x-2)+l=0.6 .方程(2x+l)(9x+8)=l的根的情況是()A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.不能確定7 .關(guān)于x的方程弋+2 &x+l=O有兩個不相等的實數(shù)根，則k()A.k>-1C.k>l D.k>08 .要使關(guān)于x的方程kx?-4x+3=0有實數(shù)根，則k應(yīng)滿足的條件是()A. k<4/3B.k>4/3C.k<4/3D.k>4/39 .已知方程xtmx+n=O有兩個相等的實數(shù)根，那么符合條件的一組m, n的值可 以是 m=,n=.10 .不解方程，判斷下列方程根的情況：(1) 3?-x+l =3

16、x(2) 5 (F+l) = 7x (3) 3a-4>/3x=-4IL解下列方程：(l)x2 + 6x = 0;(2)x2 +12x + 27 =0(3)2/-y-5 = 0;(4)x2 +6x-16 = 0四、課后練習(xí)1 .用公式法解方程后y+4VJx=2/淇中求的bMac的值是()A.16B. ±4C. V32D.643用公式法解方程3x-4=12x,.12±a/144 -122 .用公式法解方程x2=-8x-15,其中b2-4ac=,方程的根是.<>下列代入公式正確的是()c -12 ±V144-12B.2二八 _ 12 ±V14

17、4+12C工12=4.三角形兩邊長分別是3和5,r 12± J144-48DXik6第三邊的長是方程3x2-10x-8=0的根，則此三角形是 三角形.5 .如果分式匚金的值為零，那么x二 X16 .用公式法解下列方程： 3-丫-2 = 0(2)2Y+1 =3x(3)4x2-3x-1=x-2(4)3x(x-3)= 2(x-l)(x+l)7 .下列方程中，沒有實數(shù)根的方程式()A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+l)=lD.2y2+6y+7=08 .方程ax2+bx+c=()(aD)有實數(shù)根，那么總成立的式子是()A.b-4ac >0B. b2-4ac<0c.

18、b2-4ac<0D. b2-4ac > 09 .如果方程9x2-(k+6)x+k+l=0有兩個相等的實數(shù)根，那么k=(4) -因式分解法一、考點、熱點回顧應(yīng)用回顧：下列哪些方法能用因式分解法解(l)x2 +2x = 0(2)(x-3)2-(x-3) = 0(3)x + l-2(x + l)2 =11(4)x2-9 = 0小結(jié)：因式分解法解一元二次方程的一般步驟：1 .將方程的右邊化為02 .將方程左邊因式分解.3 .把原來的一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.4 .分別解兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根.二、典型例題例1：用因式分解法解方程：(l)x2 = -4x(2) x + 3 - x(x + 3) =0例2:解方程(2工一1)2-=0三、隨堂練習(xí)1 .如果方程x-3x+c=0有一個根為1,那么c=，該方程的另一根為該方程可化為(x-1)(X ) =02 .方程的根為()A.x=0B. x1=0,x2=l3 .用因式分解法解下列方程：(1) (x+2) 2=3x+6；(3) 5 (2x-l) =(l-2x)(x+3)；4 .用適當(dāng)方法解下列方程：(1) (3X-1)