基數(shù)及其比較

1、3 3 基數(shù)及其比較基數(shù)及其比較 在抽象地研究集合時(shí)，最根本的是考慮集合的在抽象地研究集合時(shí)，最根本的是考慮集合的“大小大小”，而集合中元素的性質(zhì)是可以不加考慮的。，而集合中元素的性質(zhì)是可以不加考慮的。 對(duì)給定的集合和，它們的對(duì)給定的集合和，它們的“大小大小”是否相同？是否相同？哪一個(gè)集合元素哪一個(gè)集合元素“較多較多”？ 對(duì)于對(duì)于有限集合有限集合來(lái)說(shuō)，集合的來(lái)說(shuō)，集合的“大小大小”就是集合中就是集合中元素的個(gè)數(shù)元素的個(gè)數(shù)，稱為集合的基數(shù)。，稱為集合的基數(shù)。 基數(shù)越大的集合所含元素的個(gè)數(shù)越多，也就是說(shuō)這基數(shù)越大的集合所含元素的個(gè)數(shù)越多，也就是說(shuō)這個(gè)集合越大。個(gè)集合越大。 但對(duì)于但對(duì)于無(wú)窮集合來(lái)說(shuō)

2、無(wú)窮集合來(lái)說(shuō)，元素的，元素的“個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)”這個(gè)概念這個(gè)概念是沒(méi)有意義的。因?yàn)榘赐ǔ５睦斫馐菦](méi)有意義的。因?yàn)榘赐ǔ５睦斫馑侵敢粋€(gè)有限數(shù)，它是指一個(gè)有限數(shù)，而不是無(wú)限數(shù)而不是無(wú)限數(shù)。 至于一個(gè)至于一個(gè)無(wú)限數(shù)比另一個(gè)無(wú)限數(shù)大無(wú)限數(shù)比另一個(gè)無(wú)限數(shù)大，更是不可思，更是不可思意的了。意的了。 但憑著我們的但憑著我們的直覺(jué)與前面的定理可知直覺(jué)與前面的定理可知，這種說(shuō)法，這種說(shuō)法是符合我們的看法的，只不過(guò)是現(xiàn)在說(shuō)不清楚，之所是符合我們的看法的，只不過(guò)是現(xiàn)在說(shuō)不清楚，之所以說(shuō)不清楚，是因?yàn)檫@里面有幾個(gè)概念未加定義。以說(shuō)不清楚，是因?yàn)檫@里面有幾個(gè)概念未加定義。 于是，我們下面就要把于是，我們下面就要把有限集合個(gè)數(shù)

3、的概念推廣有限集合個(gè)數(shù)的概念推廣，使它對(duì)使它對(duì)無(wú)窮集合也有精確的定義無(wú)窮集合也有精確的定義，這就是無(wú)窮集合基這就是無(wú)窮集合基數(shù)的概念數(shù)的概念；然后；然后確定比較兩個(gè)集合基數(shù)大小的方法。確定比較兩個(gè)集合基數(shù)大小的方法。3.13.1基數(shù)的本質(zhì)基數(shù)的本質(zhì) 由于我們已經(jīng)定義了有限集合的由于我們已經(jīng)定義了有限集合的基數(shù)的概念基數(shù)的概念，即，即集合中所含元素的個(gè)數(shù)，現(xiàn)在便集合中所含元素的個(gè)數(shù)，現(xiàn)在便從此進(jìn)行分析和推廣從此進(jìn)行分析和推廣。 有限集合的基數(shù)是一個(gè)具體的數(shù)，可是這個(gè)數(shù)又有限集合的基數(shù)是一個(gè)具體的數(shù)，可是這個(gè)數(shù)又是什么呢？實(shí)際上，是什么呢？實(shí)際上，數(shù)只是一個(gè)抽象的概念數(shù)只是一個(gè)抽象的概念，給一個(gè)，

4、給一個(gè)具體的數(shù)只不過(guò)是具體的數(shù)只不過(guò)是對(duì)這個(gè)概念的一種符號(hào)表示對(duì)這個(gè)概念的一種符號(hào)表示。 例如：例如：對(duì)于對(duì)于“5”5”這個(gè)數(shù)。這個(gè)數(shù)。 世界上有世界上有“5”5”這個(gè)事物嗎？沒(méi)有。這個(gè)事物嗎？沒(méi)有。 有的只是具體的有的只是具體的5 5個(gè)事物，如個(gè)事物，如5 5個(gè)人，個(gè)人，5 5只筆，只筆，5 5張張桌子等等，而這個(gè)桌子等等，而這個(gè)“5”5”無(wú)非就是一個(gè)無(wú)非就是一個(gè)符號(hào)符號(hào)，它表明，它表明具有具有5 5個(gè)事物所形成的集合的個(gè)事物所形成的集合的共性共性。 它們的它們的共性共性就是它們相互就是它們相互對(duì)等對(duì)等，即它們的元素之，即它們的元素之間可以建立起間可以建立起一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)。 于是，于是，

5、“ “5”5”這個(gè)符號(hào)就是賦給每個(gè)含有五個(gè)元這個(gè)符號(hào)就是賦給每個(gè)含有五個(gè)元素的集合的一個(gè)記號(hào)，即若與含有五個(gè)元素的集對(duì)等，素的集合的一個(gè)記號(hào)，即若與含有五個(gè)元素的集對(duì)等，則都賦以則都賦以相同的記號(hào)相同的記號(hào)“5”5”。 實(shí)際上，這就是實(shí)際上，這就是“5”5”的本質(zhì)。的本質(zhì)。3.2 3.2 無(wú)窮集合的基數(shù)無(wú)窮集合的基數(shù)定義定義1 1 集合的基數(shù)是一個(gè)符號(hào)，凡與集合對(duì)等的集合的基數(shù)是一個(gè)符號(hào)，凡與集合對(duì)等的每個(gè)集，對(duì)應(yīng)著同一個(gè)符號(hào)。每個(gè)集，對(duì)應(yīng)著同一個(gè)符號(hào)。定義定義2(2(等價(jià)定義等價(jià)定義) ) 所有與集合對(duì)等的集形成的集族所有與集合對(duì)等的集形成的集族（的共性）稱為集合的基數(shù)，記為（的共性）稱為集

6、合的基數(shù)，記為|A|A|。說(shuō)明說(shuō)明: : (1) (1) 現(xiàn)在已經(jīng)把有限集合元素個(gè)數(shù)的概念推廣到無(wú)窮現(xiàn)在已經(jīng)把有限集合元素個(gè)數(shù)的概念推廣到無(wú)窮集合上了，于是，無(wú)窮集合元素個(gè)數(shù)的概念也有了明集合上了，于是，無(wú)窮集合元素個(gè)數(shù)的概念也有了明確的定義，這就是基數(shù)的概念。確的定義，這就是基數(shù)的概念。(2) (2) 這兩個(gè)定義實(shí)質(zhì)上等價(jià)的。從定義這兩個(gè)定義實(shí)質(zhì)上等價(jià)的。從定義1 1可知，凡與可知，凡與對(duì)等的各個(gè)集合基數(shù)也都是對(duì)等的各個(gè)集合基數(shù)也都是|A|A|，于是有，于是有: :定義定義3 3 集合與集合的基數(shù)相等集合與集合的基數(shù)相等。3.33.3無(wú)窮集合基數(shù)的比較無(wú)窮集合基數(shù)的比較例：教室里人多還是椅子

7、多？例：教室里人多還是椅子多？定義定義1 1 設(shè)設(shè)A A、B B為任意兩個(gè)集合，則為任意兩個(gè)集合，則(1) (1) 若存在從到的單射，則稱的基數(shù)小于或等于若存在從到的單射，則稱的基數(shù)小于或等于的基數(shù)，記為的基數(shù)，記為|A|A|B|B|；(2) (2) 若存在從到的單射，但不存在一一對(duì)應(yīng)，則稱若存在從到的單射，但不存在一一對(duì)應(yīng)，則稱的基數(shù)小于的基數(shù)，記為的基數(shù)小于的基數(shù)，記為|A|B|A|B|, |A|B|, |A|B|,三者中恰有一個(gè)成立。三者中恰有一個(gè)成立。定理定理3 3 (Bernstein) (Bernstein) 設(shè)設(shè)A,BA,B是任意兩個(gè)集合，若是任意兩個(gè)集合，若|A|A|B|B|且

8、且|B|B|A|A|，則，則|A|=|B|A|=|B|。說(shuō)明：說(shuō)明：(1) (1) 這個(gè)定理提供了證明兩個(gè)基數(shù)相等的有效這個(gè)定理提供了證明兩個(gè)基數(shù)相等的有效方法，而且也比較簡(jiǎn)單。方法，而且也比較簡(jiǎn)單。 若能構(gòu)造一個(gè)若能構(gòu)造一個(gè)單射單射f:ABf:AB，用來(lái)證明，用來(lái)證明|A|A|B|B|，再構(gòu)造另一個(gè)再構(gòu)造另一個(gè)單射單射g:BAg:BA，用來(lái)證明，用來(lái)證明|B|B|A|A|，則由，則由定理可知定理可知|A|=|B|A|=|B|。(2)(2)在這里，在這里，f f與與g g不必是滿射，更不一定是一一對(duì)應(yīng)。不必是滿射，更不一定是一一對(duì)應(yīng)。于是，定理于是，定理3 3等價(jià)于等價(jià)于“若存在從到和從到的單

9、若存在從到和從到的單射，則存在從到的雙射射，則存在從到的雙射”(3)(3)構(gòu)造這樣的兩個(gè)單射是比構(gòu)造雙射要容易得多。構(gòu)造這樣的兩個(gè)單射是比構(gòu)造雙射要容易得多。例例1 1 證明證明: |: |(0,1)|=|0,1|(0,1)|=|0,1|。(4) (4) 若用若用a a表示可數(shù)集合的基數(shù)，用表示可數(shù)集合的基數(shù)，用c c表示連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)，表示連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)，則有限集則有限集A A，可數(shù)集和連續(xù)集基數(shù)之間有如下關(guān)系：設(shè)，可數(shù)集和連續(xù)集基數(shù)之間有如下關(guān)系：設(shè)A A是任意的有限集合，則是任意的有限集合，則|A|ac|A|ac。例例2 2 證明證明: |A|ac: |A|ac。3.43.4最大集合是否存在

10、？最大集合是否存在？ 前面討論了無(wú)窮集合中最小集合前面討論了無(wú)窮集合中最小集合可數(shù)集，然后又可數(shù)集，然后又討論了連續(xù)統(tǒng)集的存在并且討論了連續(xù)統(tǒng)集的存在并且acac?，F(xiàn)在要問(wèn)：?，F(xiàn)在要問(wèn)： 1.1.是否存在最大的集合？是否存在最大的集合？ 2.2.是否有比是否有比c c還大的集合？還大的集合？ 3.3.是否存在一個(gè)基數(shù)是否存在一個(gè)基數(shù)b b，使得，使得abcabc。定理定理4 4(Cantor)(Cantor)設(shè)設(shè)A A是任意一個(gè)集合，則是任意一個(gè)集合，則|A|2|A|2A A| |。說(shuō)明：說(shuō)明：(1) (1) CantorCantor定理告訴我們：對(duì)任意的集合定理告訴我們：對(duì)任意的集合A A，

11、總存在，總存在比基數(shù)比基數(shù)|A|A|更大的集合更大的集合, ,也就是說(shuō)也就是說(shuō): :不存在最大的集合不存在最大的集合。 例：例：構(gòu)造構(gòu)造可數(shù)個(gè)可數(shù)個(gè)無(wú)窮基數(shù)的集合：無(wú)窮基數(shù)的集合：N,2N,2N N,2,22 2N N且且|N|2|N|2N N|2|22 2N N| 。其中左面的不等式表示。其中左面的不等式表示 |N|=a2|N|=a2N N，以后每一個(gè)都大于前面的一個(gè)，因此，沒(méi)，以后每一個(gè)都大于前面的一個(gè)，因此，沒(méi)有最大集合。有最大集合。(2)(2)當(dāng)為可數(shù)集時(shí)，當(dāng)為可數(shù)集時(shí)，|2|2A A| | |2|2N N|=c|=c。(3)(3)確實(shí)有比確實(shí)有比c c還大的基數(shù)。因?yàn)檫€大的基數(shù)。因?yàn)?/p>

12、|N|=a2|N|=a2a a222a2a ，把，把大于大于c c的這樣的集合都稱為無(wú)窮的這樣的集合都稱為無(wú)窮不可數(shù)集合不可數(shù)集合而而不去研不去研究究它。它。 (4)(4) 這個(gè)定理說(shuō)明：自然數(shù)有多少個(gè)子集？就是這個(gè)定理說(shuō)明：自然數(shù)有多少個(gè)子集？就是0,10,1上有多少個(gè)實(shí)數(shù)，也就是實(shí)數(shù)一共有多少個(gè)，或上有多少個(gè)實(shí)數(shù)，也就是實(shí)數(shù)一共有多少個(gè)，或者直線上一共有多少個(gè)實(shí)數(shù)，或平面上有多少個(gè)實(shí)數(shù)。者直線上一共有多少個(gè)實(shí)數(shù)，或平面上有多少個(gè)實(shí)數(shù)。3.53.5連續(xù)統(tǒng)假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 由于由于acac，a a是是“最小最小”無(wú)窮集合可數(shù)集合的基數(shù)，無(wú)窮集合可數(shù)集合的基數(shù)，現(xiàn)在要問(wèn)：現(xiàn)在要問(wèn)：?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}：在在

13、a a和和c c之間有沒(méi)有其它的基數(shù)呢？之間有沒(méi)有其它的基數(shù)呢？有沒(méi)有這樣的基數(shù)有沒(méi)有這樣的基數(shù)b b，使得，使得abcabc？換句話說(shuō)就是：？換句話說(shuō)就是： 是否存一個(gè)集合是否存一個(gè)集合S S，S S不是可數(shù)集，但有一個(gè)可數(shù)不是可數(shù)集，但有一個(gè)可數(shù)真子集，并且不與真子集，并且不與0,10,1對(duì)等卻能與對(duì)等卻能與0,10,1的一個(gè)不的一個(gè)不可數(shù)真子集對(duì)等？可數(shù)真子集對(duì)等？連續(xù)統(tǒng)假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè): : 集合論的創(chuàng)始人康托在一百多年前就認(rèn)為集合論的創(chuàng)始人康托在一百多年前就認(rèn)為沒(méi)有這樣的無(wú)窮集合沒(méi)有這樣的無(wú)窮集合。這就是著名的康托的。這就是著名的康托的“連續(xù)統(tǒng)假連續(xù)統(tǒng)假設(shè)設(shè)”。 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)家們

14、做了多年的努力，企圖證對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)家們做了多年的努力，企圖證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立，或證明它不成立?，F(xiàn)在，這個(gè)問(wèn)題明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立，或證明它不成立。現(xiàn)在，這個(gè)問(wèn)題已解決到這樣的程度：已解決到這樣的程度： 19381938年哥德?tīng)枺旮绲聽(tīng)枺?906-19781906-1978）證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與）證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與集合論的公理集合論的公理是是無(wú)矛盾的無(wú)矛盾的，即承認(rèn)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，絕不會(huì)，即承認(rèn)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，絕不會(huì)引出矛盾。就是說(shuō)，在集合論的公理下，根本不會(huì)證明引出矛盾。就是說(shuō)，在集合論的公理下，根本不會(huì)證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是錯(cuò)的。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是錯(cuò)的。 但這并不等于證明了它是正確的。但這并不等于證明了它是正

15、確的。 19631963年柯亨（年柯亨（1934-1934-）證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)對(duì)集合論）證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)對(duì)集合論中的中的常用公理是獨(dú)立的常用公理是獨(dú)立的。這又表明，從集合論的常用。這又表明，從集合論的常用公理出發(fā)，根本不可能證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是正確的。因公理出發(fā)，根本不可能證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是正確的。因此，此，19661966年柯亨獲得菲爾茲獎(jiǎng)。于是，年柯亨獲得菲爾茲獎(jiǎng)。于是，a a與間是否有與間是否有基數(shù)存在的問(wèn)題，回答是：基數(shù)存在的問(wèn)題，回答是：不知道不知道。 不過(guò)，大多數(shù)數(shù)學(xué)家承認(rèn)這個(gè)假設(shè)，即認(rèn)為不過(guò)，大多數(shù)數(shù)學(xué)家承認(rèn)這個(gè)假設(shè)，即認(rèn)為a a與與之間沒(méi)有其它基數(shù)。之間沒(méi)有其它基數(shù)。 無(wú)限數(shù)有無(wú)窮多

16、個(gè)，沒(méi)有最大的。這些工作都?xì)w無(wú)限數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，沒(méi)有最大的。這些工作都?xì)w功于集合論的創(chuàng)始人康托。在康托之前，不同的無(wú)窮功于集合論的創(chuàng)始人康托。在康托之前，不同的無(wú)窮集合所含的元素的個(gè)數(shù)多少?zèng)]有明確區(qū)別，均含有無(wú)集合所含的元素的個(gè)數(shù)多少?zèng)]有明確區(qū)別，均含有無(wú)窮多個(gè)?，F(xiàn)在就能區(qū)分它們之間哪一個(gè)含有更多或是窮多個(gè)。現(xiàn)在就能區(qū)分它們之間哪一個(gè)含有更多或是否含有同樣多的元素。否含有同樣多的元素。5 5 集合的悖論集合的悖論5.15.1什么是悖論什么是悖論 “ “這句話是錯(cuò)的這句話是錯(cuò)的”就是一個(gè)就是一個(gè)悖論悖論。 上面所介紹的內(nèi)容是屬于上面所介紹的內(nèi)容是屬于CantorCantor開創(chuàng)的樸素集合論。開創(chuàng)的

17、樸素集合論。早在上世紀(jì)末已有一些數(shù)學(xué)家反對(duì)早在上世紀(jì)末已有一些數(shù)學(xué)家反對(duì)CantorCantor集合論中所集合論中所研究的無(wú)窮集，懷疑其中的推理過(guò)程，但是又找不出研究的無(wú)窮集，懷疑其中的推理過(guò)程，但是又找不出什么毛病。什么毛病。18951895年年ContorContor本人也已經(jīng)覺(jué)察到了這一點(diǎn)，本人也已經(jīng)覺(jué)察到了這一點(diǎn)，他和其它的一些數(shù)學(xué)家一起舉出了不少例子說(shuō)明樸素他和其它的一些數(shù)學(xué)家一起舉出了不少例子說(shuō)明樸素集合論將導(dǎo)致矛盾集合論將導(dǎo)致矛盾, ,這種矛盾被稱為這種矛盾被稱為悖論悖論。 所謂悖論是指一個(gè)命題，若為真可推出為假，所謂悖論是指一個(gè)命題，若為真可推出為假，又從為假推出為真，則說(shuō)命題

18、是一個(gè)悖論又從為假推出為真，則說(shuō)命題是一個(gè)悖論; ;顯然，顯然，若從命題引出一個(gè)命題，而是一個(gè)悖論若從命題引出一個(gè)命題，而是一個(gè)悖論, ,則也則也是一個(gè)悖論。是一個(gè)悖論。 下面介紹最有名的兩個(gè)悖論，即下面介紹最有名的兩個(gè)悖論，即羅素悖論羅素悖論和和CantorCantor悖論悖論。 Russell(1872-1970)Russell(1872-1970)是英國(guó)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，于是英國(guó)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，于19011901年提出有名的年提出有名的RussellRussell悖論悖論。在未給出。在未給出RussellRussell悖論之前，先介紹兩個(gè)通俗兩有趣的悖論：悖論之前，先介紹兩個(gè)通俗兩有趣的悖

19、論：說(shuō)謊悖說(shuō)謊悖論和理發(fā)師悖論。論和理發(fā)師悖論。 雖然它們和集合論沒(méi)有明顯的聯(lián)系，但能夠幫助雖然它們和集合論沒(méi)有明顯的聯(lián)系，但能夠幫助我們理解羅素悖論。我們理解羅素悖論。例例1 1 說(shuō)謊悖論說(shuō)謊悖論是古代的一個(gè)通俗的悖論，有一個(gè)人在是古代的一個(gè)通俗的悖論，有一個(gè)人在斷言斷言“我正在說(shuō)謊我正在說(shuō)謊”。要問(wèn)，這個(gè)人是在說(shuō)謊還是在。要問(wèn)，這個(gè)人是在說(shuō)謊還是在講真話？講真話？ 若他在說(shuō)謊，這表明他的斷言若他在說(shuō)謊，這表明他的斷言“我正在說(shuō)謊我正在說(shuō)謊”是謊是謊話，也就是說(shuō)他在講真話，所以我們得出這樣一個(gè)結(jié)話，也就是說(shuō)他在講真話，所以我們得出這樣一個(gè)結(jié)論，論，若他是說(shuō)謊，那么他是講真話（即沒(méi)有說(shuō)謊）。若

20、他是說(shuō)謊，那么他是講真話（即沒(méi)有說(shuō)謊）。 另一方面，若他講真話，這表明他的斷言另一方面，若他講真話，這表明他的斷言“我正在我正在說(shuō)謊說(shuō)謊”是真話，也就是說(shuō)他在說(shuō)謊，所以我們又得出是真話，也就是說(shuō)他在說(shuō)謊，所以我們又得出結(jié)論：結(jié)論：若他是講真話，那么他在說(shuō)謊（即沒(méi)有講真若他是講真話，那么他在說(shuō)謊（即沒(méi)有講真話）。話）。 通過(guò)以上分析使我們看到，以命題出現(xiàn)的斷言通過(guò)以上分析使我們看到，以命題出現(xiàn)的斷言“我我正在說(shuō)謊正在說(shuō)謊”就是一個(gè)悖論，我們無(wú)法斷言它的真假。就是一個(gè)悖論，我們無(wú)法斷言它的真假。例例2 2 理發(fā)師悖論理發(fā)師悖論是是RussellRussell在在19181918年給出的，一個(gè)鄉(xiāng)年給

21、出的，一個(gè)鄉(xiāng)村理發(fā)師公開宣布他不給村子中所有自己替自己理發(fā)村理發(fā)師公開宣布他不給村子中所有自己替自己理發(fā)的人理發(fā)，但卻給所有自己不替自己理發(fā)的人理發(fā)。的人理發(fā)，但卻給所有自己不替自己理發(fā)的人理發(fā)。一天他發(fā)生了疑問(wèn)，他是否應(yīng)當(dāng)給自己理發(fā)。一天他發(fā)生了疑問(wèn)，他是否應(yīng)當(dāng)給自己理發(fā)。 如果他自己替自己理發(fā)，那么按他聲言的前半部如果他自己替自己理發(fā)，那么按他聲言的前半部分，他就不應(yīng)當(dāng)給自己理發(fā)；分，他就不應(yīng)當(dāng)給自己理發(fā)； 如果他的頭由另外的人給他理，那么按照他的規(guī)如果他的頭由另外的人給他理，那么按照他的規(guī)定，他又必須給自己理發(fā)。定，他又必須給自己理發(fā)。 理發(fā)師的頭應(yīng)由誰(shuí)來(lái)理呢？這個(gè)理發(fā)師陷入了邏理發(fā)師的

22、頭應(yīng)由誰(shuí)來(lái)理呢？這個(gè)理發(fā)師陷入了邏輯的窘境。輯的窘境。RussellRussell悖論悖論是相當(dāng)簡(jiǎn)單的是相當(dāng)簡(jiǎn)單的, ,一點(diǎn)也用不到集合論的專一點(diǎn)也用不到集合論的專門知識(shí)。門知識(shí)。 例例3 Russell仔細(xì)地分析了仔細(xì)地分析了Contor給集合下定義：給集合下定義： “把一些確定的，可以區(qū)別的事物把一些確定的，可以區(qū)別的事物可以是直觀的對(duì)象，可以是直觀的對(duì)象，也可以是思維的對(duì)象也可以是思維的對(duì)象放在一起，組成一個(gè)整體，稱為集放在一起，組成一個(gè)整體，稱為集”，他發(fā)現(xiàn)集合可以分成兩種他發(fā)現(xiàn)集合可以分成兩種: 第一種是集合本身不是的一個(gè)元素，即第一種是集合本身不是的一個(gè)元素，即A A A A； 第

23、二種是集合本身是的一個(gè)元素，即第二種是集合本身是的一個(gè)元素，即A AA A。 于是，可以看出：對(duì)任意的一個(gè)集于是，可以看出：對(duì)任意的一個(gè)集A A，不是第一種，不是第一種就是第二種，兩種集彼此可以明確識(shí)別，所以由就是第二種，兩種集彼此可以明確識(shí)別，所以由CantorCantor的定義，令的定義，令S=A|AS=A|A A,A, 也就是說(shuō)是由滿足條件也就是說(shuō)是由滿足條件“A A A”A”的那些組成的的那些組成的一個(gè)新的集合，現(xiàn)在我們要問(wèn)：一個(gè)新的集合，現(xiàn)在我們要問(wèn)：集集S S是第一種集還是第二種集？即是第一種集還是第二種集？即A A A A ，還是，還是AAAA 。 若若S S是第一種集是第一種集

24、，即，即S S S S； 因?yàn)槭怯伤袧M足條件的因?yàn)槭怯伤袧M足條件的A A A A組成的，而組成的，而S S S S，知知S S當(dāng)然就在當(dāng)然就在S S中，也就是說(shuō)中，也就是說(shuō)SSSS。而而SSSS，表明，表明S S是第二種集是第二種集，從而產(chǎn)生矛盾。，從而產(chǎn)生矛盾。若是第二種集若是第二種集，即，即SSSS；因?yàn)閷?duì)；因?yàn)閷?duì)S S中任一元素中任一元素A A，都，都有有A A A A，而，而SSSS，知，知S S是是S S中的元素，也就是中的元素，也就是S S S S。而而S S S S，表明是第一種集，表明是第一種集，從面產(chǎn)生矛盾。，從面產(chǎn)生矛盾。 這樣，既不是第一種集也不是第二種集，即這樣，既

25、不是第一種集也不是第二種集，即既不是既不是S S S S，也不是，也不是SSSS。 這個(gè)矛盾就是這個(gè)矛盾就是RussellRussell所發(fā)現(xiàn)的所發(fā)現(xiàn)的“集合論是自相集合論是自相矛盾的矛盾的”，即，即 著名的著名的RussellRussell悖論悖論。例例4 4 CantorCantor最大基數(shù)悖論最大基數(shù)悖論 CantorCantor在在18991899年給出的悖論，現(xiàn)敘述如下：年給出的悖論，現(xiàn)敘述如下： 集合是具有某些性質(zhì)的元素組成，因此也可以假集合是具有某些性質(zhì)的元素組成，因此也可以假設(shè)設(shè)集合是由所有集合所組成的集合集合是由所有集合所組成的集合。現(xiàn)在要問(wèn)：?，F(xiàn)在要問(wèn)： S S與與2 2S

26、 S的基數(shù)哪一個(gè)基數(shù)更大。的基數(shù)哪一個(gè)基數(shù)更大。 這個(gè)悖論稱為這個(gè)悖論稱為ContorContor最大基數(shù)悖論。最大基數(shù)悖論。 一方面，由一方面，由CantorCantor定理可知，定理可知，|S|2|S|2S S| |。 但另一方面，因?yàn)榈硪环矫?，因?yàn)镾 S是所有集合所組成的集合，而是所有集合所組成的集合，而2 2S S中每個(gè)元素都是中每個(gè)元素都是S S的一個(gè)子集，從而的一個(gè)子集，從而2 2S S是集合，所以是集合，所以2 2S SS S，即，即|2|2S S|S|S|。于是產(chǎn)生了矛盾。于是產(chǎn)生了矛盾。 但是，但是，CantorCantor的最大基數(shù)悖論并未引起人們多大的最大基數(shù)悖論并未引

27、起人們多大的注意，因?yàn)樗婕暗牡淖⒁?，因?yàn)樗婕暗母拍钶^多概念較多： 集，子集，基數(shù)，基數(shù)之間的大小比較集，子集，基數(shù)，基數(shù)之間的大小比較等。等。 人們認(rèn)為可能是由于某些中間環(huán)節(jié)技術(shù)處理得不人們認(rèn)為可能是由于某些中間環(huán)節(jié)技術(shù)處理得不恰當(dāng)所引起的。當(dāng)時(shí)恰當(dāng)所引起的。當(dāng)時(shí)CantorCantor想對(duì)集合加以區(qū)分，借以想對(duì)集合加以區(qū)分，借以排除他的悖論，但他的悖論尚未排除，排除他的悖論，但他的悖論尚未排除， RussellRussell悖論悖論又出現(xiàn)了，而又出現(xiàn)了，而RussellRussell悖論是從集合論的基本概念著悖論是從集合論的基本概念著手的，它是那樣的那初等，那樣清晰明白不容辯駁，手的，它

28、是那樣的那初等，那樣清晰明白不容辯駁，人們不得不承認(rèn)，集合論自相矛盾。人們不得不承認(rèn)，集合論自相矛盾。5.25.2悖論的所在悖論的所在 現(xiàn)在我們要問(wèn)問(wèn)題的毛病出在哪里呢？現(xiàn)在我們要問(wèn)問(wèn)題的毛病出在哪里呢？ 由由RussellRussell悖論可以得出，問(wèn)題就出在悖論可以得出，問(wèn)題就出在CantorCantor對(duì)對(duì)集合概念的定義上。這個(gè)定義蘊(yùn)含著矛盾，蘊(yùn)含著集合概念的定義上。這個(gè)定義蘊(yùn)含著矛盾，蘊(yùn)含著循環(huán)定義。循環(huán)定義。 集合是由元素組成的，在集合還未形成時(shí)怎能以集合是由元素組成的，在集合還未形成時(shí)怎能以一個(gè)實(shí)體出現(xiàn)充當(dāng)自己元素呢？這不正是含有循環(huán)一個(gè)實(shí)體出現(xiàn)充當(dāng)自己元素呢？這不正是含有循環(huán)定義

29、嗎？定義嗎？ 因此，在對(duì)集合概念描述時(shí)，曾強(qiáng)調(diào)不能說(shuō)因此，在對(duì)集合概念描述時(shí)，曾強(qiáng)調(diào)不能說(shuō) “所有集合的集合所有集合的集合”這樣一類話的原因。這樣一類話的原因。5.35.3解決方法解決方法 為了解決集合論的悖論，為了解決集合論中自為了解決集合論的悖論，為了解決集合論中自身的問(wèn)題，一些著名數(shù)學(xué)家在本世紀(jì)初開始了身的問(wèn)題，一些著名數(shù)學(xué)家在本世紀(jì)初開始了集合論集合論公理化公理化方面的研究，產(chǎn)生了方面的研究，產(chǎn)生了各種不同的學(xué)派和各種不各種不同的學(xué)派和各種不同的公理系統(tǒng)同的公理系統(tǒng)，解決了悖論問(wèn)題，大大推進(jìn)了集合論，解決了悖論問(wèn)題，大大推進(jìn)了集合論的發(fā)展，有關(guān)集合論公理化方面的內(nèi)容，本書作為自的發(fā)展，有關(guān)集合論公理化方面的內(nèi)容，本書作為自學(xué)介紹，有興趣讀者請(qǐng)參看有關(guān)文獻(xiàn)。學(xué)介紹，有興趣讀者請(qǐng)參看有關(guān)文獻(xiàn)。 本書是以樸素的觀點(diǎn)來(lái)介紹集合論的，因此未給本書是以樸素的觀點(diǎn)來(lái)介紹集合論的，因此未給出公理系統(tǒng)，但對(duì)于計(jì)算機(jī)科學(xué)