材料力學第七章應力和應變分析,強度理論

1、r應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念r二向和三向應力狀態(tài)的實例二向和三向應力狀態(tài)的實例rr二向應力狀態(tài)分析二向應力狀態(tài)分析- -解析法解析法rr二向應力狀態(tài)分析二向應力狀態(tài)分析-n-n圖解法圖解法rr三向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)r廣義胡克定律廣義胡克定律r四種常用強度理論四種常用強度理論第七章第七章 應力和應變分析應力和應變分析強度理論強度理論27. 1 7. 1 應力狀態(tài)概述應力狀態(tài)概述1 1 問題的提出問題的提出l 低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗u 低碳鋼的拉伸實驗u 鑄鐵的拉伸實驗問題問題：為什么低碳鋼拉伸時會出現：為什么低碳鋼拉伸時會出現 4545 滑移線？滑移線？3l 低碳鋼和鑄鐵的扭轉實驗u 低碳鋼

2、的扭轉實驗u 鑄鐵的扭轉實驗問題：為什么鑄鐵扭轉時會沿 45 螺旋面斷開？所以，不僅要研究橫截面上的應力，而且也要研究斜截面斜截面上的應力。 橫截面上正應力分析和切應橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即的應力各不相同，此即應力的點的應力的點的概念概念。QFMzNF橫力彎曲橫力彎曲2 2 應力的三個重要概念應力的三個重要概念 直桿拉伸應力分析結果表直桿拉伸應力分析結果表明：即使同一點不同方向面上的應力明：即使同一點不同方向面上的應力也是各不相同的，此即也是各不相同的，此即應力的面的應力的面的概念概念。 FFkkpFkk2co

3、scospsincos sinsin22p直桿拉伸直桿拉伸l 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念過一點的不同方向面上的應力的集合，稱為這一點的應力狀態(tài)。3 3 一點應力狀態(tài)的描述一點應力狀態(tài)的描述l 單元體單元體u 單元體的邊長 dx, dy, dz 均為無窮小量；l 單元體的單元體的特點特點u 單元體的每一個面上，應力均勻分布；u 單元體中相互平行的兩個面上，應力相同。4 4 主應力及應力狀態(tài)的分類主應力及應力狀態(tài)的分類 3 32 21 1 Fl/2l/2Fl/2l/2S213aFzyzyFSyxzAFWT34St2 zzxWM 1 1 t1WT t3WT zyFSzyzzxWM 3 3 pDyz

4、p 42DpF DA 442pDDDpAF l7. 2 7. 2 二向和三向二向和三向應力狀態(tài)的實例應力狀態(tài)的實例1 1 二向應力狀態(tài)的實例二向應力狀態(tài)的實例p yFNFNd 0 0 yF20lplD 2 2pD plDDpl dsin20tpD2 可以看出：軸向應力 是環(huán)向應力的一半。對于薄壁圓筒，有：20Dt ,4tpDp10 ,5p所以，可以忽略內表面受到的內壓p和外表面受到的大氣壓強，近似作為二向應力狀態(tài)處理。2 2 三向應力狀態(tài)的實例三向應力狀態(tài)的實例l 滾珠軸承滾珠軸承例 3 (書例7.1)已知：蒸汽鍋爐，t=10mm, D=1m, p=3MPa 。解：求：三個主應力。前面已得到t

5、pD2 tpD4MPa,75MPa150 1MPa,1502MPa,750320例 4 (書例7.2)已知：球形容器，t , D, p 。解：求：容器壁內的應力。tpD442DpPDt,2103取研究對象如圖。與薄壁圓筒的情況類似，有：0YP42Dp所以：7. 3 7. 3 二向二向應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析 解析法解析法 一、應力狀態(tài)分析一、應力狀態(tài)分析在已知過一點的某些截面上的應在已知過一點的某些截面上的應力時，求出過該點的任一截面上力時，求出過該點的任一截面上的應力，從而求出主應力和主平的應力，從而求出主應力和主平面。面。l 二向應力狀態(tài)的表示二向應力狀態(tài)的表示yxu 切應力的下標切應力的

6、下標作用面的法線作用面的法線切應力的方向切應力的方向u 正負號規(guī)定正負號規(guī)定_ 正應力正應力xx拉為正拉為正壓為負壓為負xx23_ 切應力切應力使單元體順時針方向轉動使單元體順時針方向轉動為正；反之為負。為正；反之為負。x y yx xy_ 截面的截面的方向角方向角由由x x正向正向逆時針逆時針轉到截面的轉到截面的外法線外法線n n的正向的的正向的 角為正角為正; ;反之為負。反之為負。nyxxyzxyaeaeaea0sin)sind(cos)sind( cos)cosd( sin)cosd(d0 AAAAAFyyxxxyn0cos)sind(sin)sind( sin)cosd(cos)co

7、sd(d0 AAAAAFyyxxxyt利用三角函數公式利用三角函數公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化簡得化簡得xyyx2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxl 正應力的不變量正應力的不變量2sin2cos22xyyxyx截面上的正應力為: +90 截面上的正應力為:)2sin()2cos(2290 xyyxyx2sin2cos22xyyxyx90yx任意兩個互相垂直的任意兩個互相垂直的截面上的截面上的正應力之和正應力之和為為常數常數. .2sin2cos)(21)(21xyyxyx確定正

8、應力極值確定正應力極值2cos22sin)(xyyxdd設設0 0 時，上式值為零，即時，上式值為零，即02cos22sin)(00 xyyx0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 時，切應力為零時，切應力為零yxxy22tan0 由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力和最小正應力（主應力）所在平面。為最大正應力和最小正應力（主應力）所在平面。 所以，最大和最小正應力分別為：所以，最大和最小正應力分別為：22max4212xyyxyx22mi

9、n4212xyyxyx主應力按代數值排序：主應力按代數值排序：1 1 2 2 3 3 2 22 22 22 22 22 22 2cossinsincosxyyxxyyxyx 02sin2cos2 2dd xyyxxyyx 2 22 21 1 tan 90901 11 1 2 22 22 2cossinxyyx 2 22 22 2xyyx )(minmaxxyyx 2 22 21 1 tanyxxy 2 22 20 0tan1 10 02 21 12 2 tantan 4,2220101 試求試求（1 1） 斜面上的應力；斜面上的應力； （2 2）主應力、主平面；）主應力、主平面； （3 3）繪

10、出主應力單元體。）繪出主應力單元體。例題例題5 5：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。 y x xy 。30，MPa60 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知解：解：（1 1） 斜面上的應力斜面上的應力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58y x xy （2 2）主應力、主平面）主應力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3 .682yxxyyx22)2(minMPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .

11、68321y x xy 主平面的方位：主平面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表達式可知表達式可知主應力主應力 方向：方向：15 .150主應力主應力 方向：方向：35 .1050（3 3）主應力單元體：）主應力單元體：y x xy 5 .151338例 6 (書例7.4)已知： 圓軸受扭轉。解：求：應力狀態(tài)及分析鑄鐵件受扭時的破壞現象。u 最大切應力u 取單元體ABCDtWT純切應力狀態(tài), 0 x, 0yxyu 主應力22minmax22xyyxyxu 主方向yxxy22tan0450或135040u 主應力mi

12、nmaxu 主方向yxxy22tan0450或1350u 主應力排序max1, 02min3u 鑄鐵件破壞現象例 7 (書例7.5)已知: A點應力 = -70MPa, = 50MPa。解：求：A點主應力和主平面，及其它點的應力狀態(tài)。u A點單元體u 取x軸向上為正, 0 xMPa,70yMPa50 xy22minmax22xyyxyxMPa,26max22)50(2)70(02)70(0MPa96minu 主應力MPa,26maxMPa96minMPa,261MPa963, 02u 主方向yxxy22tan05 .270或5 .1170)70(0)50(2429. 144單向拉伸u 其它幾點

13、的應力狀態(tài)單向壓縮純剪切主拉應力1跡線u 主應力跡線主壓應力3跡線 cossin sincos 2 22 22 22 22 22 22 2xyyxxyyxyx 2 22 22 22 22 22 2xyyxyx )()(),(0 02 2yxC 2 22 22 2xyyxR )( xyD xyO xy xA y yxD2 22 22 2xyyxR )(D xyO xA y yxD2 22 21 12 21 1yxOBOAOBOAOBOC )()(2 22 22 22 22 2xyyxADCACD )(2 2yx 應力圓上的點與單元體面上的應力的對應關系(1) (1) 點面對應點面對應應力圓上某一

14、點的坐標值對應著單元體某一方向面上的正應力和切應力;(2) (2) 基準相當基準相當D點和x面是基準;(3) (3) 轉向一致轉向一致半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；(4) (4) 角度成雙角度成雙半徑轉過的角度是方向面法線旋轉角度的兩倍。D xyO xA y yxDFxya )22cos(0 CEOCCFOCOF 2 22 22 22 20 00 0sinsincoscosCDCDOC 2 22 22 22 2sincosxyyxyx 2 22 22 22 22 22 20 00 0sincoscossin)sin(CDCDCEFEo 2 22 22 2cossinxyyxAB A1

15、12 22 21 11 12 22 2 max)(xyyxyxCAOCOA2 22 22 21 11 12 22 2 min)(xyyxyxCBOCOB 2D xyO xA y yxDFB1A1D xyO xA y yxD 2A1B1yxxyCADA 2 22 20 0)(tanyxxy 2 22 20 0tan()022arctanxyxy D xyO xA y yxD 2A1B1G1G2max)( 2 22 21 12 2xyyxCGmin)( 2 22 22 22 2xyyxCG2 22 21 1 minmaxxxADodacxyy45xbeBEl 單向應力狀態(tài)的應力圓245245BEx

16、yodacbe245245xxBEoa (0, )d(0,- )ADbec245245BEl 純切應力狀態(tài)的應力圓例 8 (書例7.6)已知：x =80MPa, y =-40MPa, xy = -60MPa,yx = 60MPa 。解：求：用應力圓求主應力和主方向作應力圓:60,80 xyx由D點60,40yxy由D點畫出應力圓622yxOCu 圓心坐標2)40(8020u 半徑222xyyxR22)60(2)40(8085.848511OAROC3u 主平面從D點(x軸)逆時針轉45至A1點，4520ROCMPa105MPa65E由幾何關系OCOECE208060 xxyED605 .220

17、 ACB(-1,-0.2)DD(-0.4,0.2)ADC BD12015152709z250kN1.6m2mABC+200kN50kN+80kNm250KN1.6m2mABCzIMy 4633mm1088 1227011112300120 zImm135 aydISFzz*S 3 32560002560005 57 71501501515120120mm).(* zaS12015152709zMPa5 .122 azCayIM MPa.*S6 66464 dISFzzaa a CAB(122.5 , 64.6)D(0 , - 64.6)A1 A2MPa27MPa1502311OAOA4520

18、5 .220 MPa MPa227270 01501503 31 1 5 522220 0. a12015152709zMPa5 .136 bzCbyIM 0 b mm150 byb 0,MPa5 .136321 b(136.5 , 0)D(0 , 0) 1 3 1 2 2 2 1 1 2 3 3 2 1 A 1O 2BC 3 1 2 1 2 3 A 1O 2BC 31 1 max A 1O 2BC 3)(2131max MPa20 z 40MPaxyz20MPa20MPa20MPaMPaMPaMPa MPa2020202020204040 yxyxyx A1A2 O C 1 3MPamax3

19、636 817. 6 位移與應變分量l 任一方向的應變比較比較7. 7 平面應變狀態(tài)分析2sin22cos22xyyxyx2cos22sin22xyyx2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx82l 主要結論主要結論u 主應變方向與主應力方向相同u 主應變 1、2、3與主應力 1、2、3一一對應u 與應力圓類似，存在應變圓，與應力圓有相同的特點，不同點是 的坐標有系 數 1/21. 1. 基本變形時的胡克定律基本變形時的胡克定律xxE Exxy xy yx x1 1）軸向拉壓胡克定律）軸向拉壓胡克定律橫向變形橫向變形2 2）純剪切胡克定律）純剪切胡克定律 G 7-8 7-8

20、廣義胡克定律廣義胡克定律Exx2 2、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法疊加法yzxzyxxE1xyzx= =+ + +可看作是三組單向應力狀態(tài)和三組純剪切的組合。)(Ex)(Ey)(Ez用疊加原理的條件：(1) 各向同性材料；(2) 小變形；(3) 變形在線彈性范圍內。)(1zyxxE )(1xzyyE )(1xyzzE Gyzyz Gxyxy Gzxzx zyx,zxyzxy,Gyzyz Gxyxy Gzxzx )(1zyxxE )(1xzyyE )(1xyzzE Gxyxy )(1yxxE )(1xyyE )(xyzE xyz xy x y yx x y xy

21、yx)(13211E )(11322E )(12133E )(1211E )(1122E )(123E , , , ,)()1()21)(1 (3211E)()1()21)(1 (1322E)()1()21)(1 (2133E從前三式中可解出三個主應力1231233213213211 dddddd)1(ddd dddddd)1(d)1(d)1(d zyxzyxzyxzyxzyxzyxVVV )(21321E )(13211E )(11322E )(12133E xy 3102 0 3321m mmmm321)(21 EE m m mm321E m m m 1 2 3dxdydz mmmm321

22、211EE )(21321E )(21zyxE 例 12 已知: 受扭圓軸，d, E, , 測得 45 。解：求：外加扭矩的值。在測點取單元體u 純切應力狀態(tài)tWT,1切應力為要求出45方向的應變，需先求出 45方向的應力。, 02345方向為主應力方向316dT由廣義胡克定律145)(1321EE145E13161dTE)1 (16345dET 測扭矩的方法例13 (書例7.9)已知: 孔: d1=50.01mm柱: d2=50mm, P=300kN, 鋼塊不變形。E=200GPa, =0.3。解：求：圓柱的主應力。u 柱受到的壓應力MPaAP153325.00150.00025223131

23、1ppEE 徑向的應變由廣義胡克定律可得MPaEp43. 8123圓柱的主應力為：MPaMPap153,43. 8321222221EEv ()1 1223312v ()222123122331122v EdVvvv(a) 1 2 3(b) m m m=( 1+ 2+ 3)/3()()()()()222222bbmmmmmm2m21231223 122126Vvv EEE ()()()aadaVvvv()()bbVvv()()abVVvv)(21321E ()222123122331122v E ()()()2ab123126VVvvE ()()() d22212233116VvvvE (a)

24、 1 2 3例 14 (書例7.10)已知: 純剪切應力狀態(tài)。解：求：導出E, G, 之間的關系。第3章已求出純剪切時u 用本節(jié)公式求純剪時的應變能Gu22,1, 023純剪切時133221232221221Eu133221232221221Eu)(002)(02122E222221E21EEG121)1 (2EGmax,maxAFN（拉壓）（拉壓）maxmax WM（彎曲）（彎曲）（正應力強度條件）（正應力強度條件）*maxzzsbISF（彎曲）（彎曲）（扭轉）（扭轉）maxpWT（切應力強度條件）（切應力強度條件）max max 桿件基本變形下的強度條件桿件基本變形下的強度條件7-10 7

25、-10 四種常用強度理論四種常用強度理論max max 滿足滿足maxmax 是否強度就沒有問題了？是否強度就沒有問題了？構件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式構件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式 (1) (1) 脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應力的截面上，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關于關于屈服的強度理論：屈服的強度理論：最大切應力理論和形狀改變比能理論最大切應力理論和形狀改變比能理論 (2) (2) 塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯

26、著的塑性塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應力面變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關于關于斷裂的強度理論：斷裂的強度理論：最大拉應力理論和最大伸長線應變理論最大拉應力理論和最大伸長線應變理論1. 1. 最大拉應力理論最大拉應力理論（第一強度理論）（第一強度理論）01 構件危險點的最大拉應力構件危險點的最大拉應力1 極限拉應力，由單拉實驗測得極限拉應力，由單拉實驗測得b 00 無論材料處于什么應力狀態(tài)無論材料處于什么應力狀態(tài), ,只要發(fā)生脆性斷裂只要發(fā)生脆性斷裂, ,都是由

27、于微元內的最大拉應力達到簡單拉伸時的破都是由于微元內的最大拉應力達到簡單拉伸時的破壞拉應力數值。壞拉應力數值。 b1 斷裂條件斷裂條件 nb1強度條件強度條件最大拉應力理論（第一強度理論）最大拉應力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉鑄鐵扭轉2. 2. 最大伸長拉應變理論最大伸長拉應變理論（第二強度理論）（第二強度理論） 無論材料處于什么應力狀態(tài)無論材料處于什么應力狀態(tài), ,只要發(fā)生脆性斷裂只要發(fā)生脆性斷裂, ,都是由于微元內的最大拉應變（線變形）達到簡單都是由于微元內的最大拉應變（線變形）達到簡單拉伸時的破壞伸長應變數值。拉伸時的破壞伸長應變數值。 01 構件危險點的最大伸長線應變構

28、件危險點的最大伸長線應變1 極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得0E/)(3211Eb/0實驗表明：實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態(tài)的脆此理論對于一拉一壓的二向應力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。更接近實際情況。強度條件強度條件)(321nb最大伸長拉應變理論（第二強度理論）最大伸長拉應變理論（第二強度理論）斷裂條件斷裂條件EEb)(1321b)(321即即 無論材料處于什么應力狀態(tài)無論材料處于什么應力狀態(tài), ,只要發(fā)生屈服只要發(fā)生屈服, ,都都是由于微元內的最大切應力

29、達到了某一極限值。是由于微元內的最大切應力達到了某一極限值。0max3. 3. 最大切應力理論最大切應力理論（第三強度理論）（第三強度理論） 構件危險點的最大切應力構件危險點的最大切應力max 極限切應力，由單向拉伸實驗測得極限切應力，由單向拉伸實驗測得02/0s2/ )(31maxs31屈服條件屈服條件強度條件強度條件最大切應力理論（第三強度理論）最大切應力理論（第三強度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉低碳鋼扭轉 ss31n實驗表明：實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實。塑性變形或斷裂的事實。)0(max局限性：局限性： 2 2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現象。、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現象。1 1、未考慮、未考慮 的影響，試驗證實最大影響達的影響，試驗證實最大影響達15%15%。2最大切應力理論（第三強度理論）最大切應力理論（第三強度理論） 無論材料處于什么應力狀態(tài)無論材料處于什么應力狀態(tài), ,只