連續(xù)信號的采樣與恢復(fù)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、實(shí)驗(yàn)六、 連續(xù)信號的采樣與恢復(fù)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1. 加深理解采樣對信號的時(shí)域和頻域特性的影響； 2. 加深對采樣定理的理解和掌握，以及對信號恢復(fù)的必要性； 3. 掌握對連續(xù)信號在時(shí)域的采樣與重構(gòu)的方法。 二、實(shí)驗(yàn)原理 (1) 信號的采樣 信號的采樣原理圖如下圖所示，其數(shù)學(xué)模型表示為： =其中的f(t)為原始信號，為理想的開關(guān)信號（沖激采樣信號）Ts(t) =，fs(t)為采樣后得到的信號稱為采樣信號。由此可見，采樣信號在時(shí)域的表示為無窮多沖激函數(shù)的線性組合，其權(quán)值為原始信號在對應(yīng)采樣時(shí)刻的定義值。 令原始信號f(t)的傅立葉變換為F(jw)=FT(f(t)，則采樣信號fs(t) 的傅立葉變換Fs

2、(jw)=FT(fs(t)=。由此可見，采樣信號fs(t)的頻譜就是將原始信號f(t)的頻譜在頻率軸上以采樣角頻率ws為周期進(jìn)行周期延拓后的結(jié)果（幅度為原頻譜的1/Ts）。如果原始信號為有限帶寬的信號，即當(dāng)|w|>|wm|時(shí)，有F(jw)=0，則有：如果取樣頻率ws2wm時(shí)，頻譜不發(fā)生混疊；否則會出現(xiàn)頻譜混疊。 (2) 信號的重構(gòu) 設(shè)信號f(t)被采樣后形成的采樣信號為fs(t)，信號的重構(gòu)是指由fs(t)經(jīng)過內(nèi)插處理后，恢復(fù)出原來的信號f(t)的過程。因此又稱為信號恢復(fù)。 由前面的介紹可知，在采樣頻率ws2wm的條件下，采樣信號的頻譜Fs(jw)是以ws為周期的譜線。選擇一個(gè)理想低通濾

3、波器，使其頻率特性H(jw)滿足： H(jw)=式中的wc稱為濾波器的截止頻率，滿足wmwcws/2。將采樣信號通過該理想低通濾波器，輸出信號的頻譜將與原信號的頻譜相同。因此，經(jīng)過理想濾波器還原得到的信號即為原信號本身。信號重構(gòu)的原理圖見下圖。 通過以上分析，得到如下的時(shí)域采樣定理：一個(gè)帶寬為wm的帶限信號f(t)，可唯一地由它的均勻取樣信號fs(nTs)確定，其中，取樣間隔Ts</wm, 該取樣間隔又稱為奈奎斯特（Nyquist）間隔。 根據(jù)時(shí)域卷積定理，求出信號重構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 式中的抽樣函數(shù)Sa(wct)起著內(nèi)插函數(shù)的作用，信號的恢復(fù)可以視為將抽樣函數(shù)進(jìn)行不同時(shí)刻移位后加權(quán)求和

4、的結(jié)果，其加權(quán)的權(quán)值為采樣信號在相應(yīng)時(shí)刻的定義值。利用MATLAB中的抽樣函數(shù)來表示Sa(t)，有，于是，信號重構(gòu)的內(nèi)插公式也可表示為： (3) 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì) 在任何濾波器的設(shè)計(jì)中，第一步是確定濾波器階數(shù)N及適當(dāng)?shù)慕刂诡l率c。對于巴特沃斯濾波器，可使用MATLAB命令buttord來確定這些參數(shù)，設(shè)計(jì)濾波器的函數(shù)為butter。其調(diào)用形式為 N, wn=buttord(wp, ws, rp, rs, 's')b, a=butterN, wn, 's'其中，wp、ws、rp、rs為待設(shè)計(jì)濾波器的技術(shù)指標(biāo)，分別代表通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶最大衰減和阻

5、帶最小衰減；'s'表示設(shè)計(jì)濾波器的類型為模擬濾波器；N、wn為設(shè)計(jì)得到的濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率，b、a為濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)矢量，假定系統(tǒng)函數(shù)的有理分式表示為： 三、程序示例 示例1：選取門信號f(t)= g2(t)為被采樣信號。利用MATLAB實(shí)現(xiàn)對信號f(t)的采樣，顯示原信號與采樣信號的時(shí)域和頻域波形。 因?yàn)殚T信號并非嚴(yán)格意義上的有限帶寬信號，但是，由于其頻率f>1/的分量所具有的能量占有很少的比重，所以一般定義fm=1/為門信號的截止頻率。其中的為門信號在時(shí)域的寬度。在本例中選取fm=0.5，臨界采樣頻率為fs=1，過采樣頻率為fs>

6、1（為了保證精度，可以將其值提高到該值的50倍），欠采樣頻率為fs<1。 % 顯示原信號及其Fourier變換示例 R=0.01;%采樣周期 t=-4:R:4;f=rectpuls(t, 2);w1=2*pi*10; % 顯示從-20*pi到20*pi頻率范圍內(nèi)的頻譜 N=1000; % 計(jì)算出2*1000+1個(gè)頻率點(diǎn)的值 k=0:N;wk=k*w1/N;F=f*exp(-j*t'*wk)*R;% 利用數(shù)值計(jì)算求連續(xù)信號的Fourier變換，詳細(xì)原理見附錄 Fudu=abs(F); % 計(jì)算頻譜的幅度 wk=-fliplr(wk),wk(2:1001);Fudu =fliplr(

7、Fudu),Fudu(2:1001); % 計(jì)算對應(yīng)負(fù)頻率的頻譜 figure;subplot(2,1,1); plot(t, f);xlabel('t'); ylabel('f(t)');title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)');subplot(2,1,2); plot(wk, Fudu);xlabel('w'); ylabel('F(jw)');title('f(t)的Fourier變換');程序運(yùn)行后的結(jié)果見下圖。 %顯示采樣信號及其Fourier變換示例 R=0.25; % 可

8、視為過采樣 t=-4:R:4;f=rectpuls(t,2);w1=2*pi*10;N=1000;k=0:N;wk=k*w1/N;F=f*exp(-j*t'*wk); % 利用數(shù)值計(jì)算求采樣信號的Fourier變換 Fudu =abs(F);wk=-fliplr(wk),wk(2:1001); % 將正頻率擴(kuò)展到對稱的負(fù)頻率 Fudu=fliplr(Fudu), Fudu(2:1001); %計(jì)算對應(yīng)負(fù)頻率的頻譜 figure; subplot(2,1,1)stem(t/R, f); % 采樣信號的離散時(shí)間顯示 xlabel('n'); ylabel('f(n)

9、'); title('f(n)');subplot(2,1,2)plot(wk, Fudu); % 顯示采樣信號的連續(xù)的幅度譜 xlabel('w'); ylabel('F(jw)'); title('f(n)的Fourier變換');程序運(yùn)行后的結(jié)果如下圖。 示例2：利用MATLAB實(shí)現(xiàn)對示例1中采樣信號的重構(gòu)，并顯示重構(gòu)信號的波形。 示例3：通過頻率濾波的方法，利用MATLAB實(shí)現(xiàn)對示例1中采樣信號的重構(gòu)，并顯示重構(gòu)信號的波形。 四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟 1. 修改示例中的門信號寬度、采樣周期等參數(shù)，重新運(yùn)行程序，觀察得到的

10、采樣信號時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信號與誤差信號的變化。 2. 將原始信號分別修改為抽樣函數(shù)Sa(t)、正弦信號sin(20*pi*t)+cos(40*pi*t)、指數(shù)信號e-2tu(t)時(shí)，在不同采樣頻率的條件下，觀察對應(yīng)采樣信號的時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信號與誤差信號的變化。 3. 利用頻域?yàn)V波的方法（將采樣信號通過一個(gè)（butterworth）低通濾波器），修改實(shí)驗(yàn)中的部分程序，完成對采樣信號的重構(gòu)？ 五、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求 整理并給出“實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟”（1）、（2）、（3）中的程序代碼與產(chǎn)生的圖形，并回答下面的問題： 1. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟(1)，說明信號在時(shí)域?qū)挾鹊淖兓瘜ζ漕l率特性的影響，

11、總結(jié)信號在時(shí)域的寬度與在頻域的寬度的關(guān)系； 2. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟(2)和(3)，運(yùn)用采樣定理的知識，說明采樣周期的變化對重構(gòu)信號質(zhì)量的影響； 根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟(3)，比較與步驟(2)重構(gòu)信號的波形，看看重構(gòu)信號相對于原信號在時(shí)域是否有延時(shí)？為什么？如何設(shè)計(jì)一段程序修正信號的延時(shí)，使得重構(gòu)信號與原始信號基本對齊？5.2 抽樣定理抽樣的分類：(1)根據(jù)信號是低通型的還是帶通型的，抽樣定理分低通抽樣定理和帶通抽樣定理。(2)用來抽樣的脈沖序列是等間隔的還是非等同隔的，又分均勻抽樣定理和非均勻抽樣。(3)抽樣的脈沖序列是沖擊序列還是非沖擊序列，又可分理想抽樣和實(shí)際抽樣。 低通型連續(xù)信號抽樣定理抽樣定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模擬信號數(shù)字化的理論基礎(chǔ)。 一、低通型連續(xù)信號的抽樣定理: 一個(gè)頻帶限制在赫內(nèi)的時(shí)間連續(xù)信號,若以的間隔對它進(jìn)行等間隔抽樣，則將被所得到的抽樣值完全確定。圖5-2-1 抽樣說明：抽樣過程中滿足抽樣定理時(shí)，PCM系統(tǒng)應(yīng)無失真。這一點(diǎn)與量化過程有本質(zhì)區(qū)別