概率論課件：1-2隨機(jī)事件的概率

1、1.2 1.2 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率1.1.事件的頻率事件的頻率2.2.事件的概率事件的概率3.3.古典概型古典概型4.4.幾何概型幾何概型, , .,( ).AAnnnAnAnAnfA在相同的條件下 進(jìn)行了 次試驗(yàn) 在這次試驗(yàn)中 事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)比值稱為事件發(fā)生的頻率 并記成1. 1. 事件的頻率事件的頻率實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者德德 摩根摩根蒲蒲 豐豐nHn皮爾遜皮爾遜 K皮爾遜皮爾遜 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005()nfH 1lim2nnfH 在概率論的發(fā)展初的時(shí)候，有人對(duì)概率用這種

2、在概率論的發(fā)展初的時(shí)候，有人對(duì)概率用這種頻率的極限來加以定義，這個(gè)定義方法，我們?cè)诟蓬l率的極限來加以定義，這個(gè)定義方法，我們?cè)诟怕收摾锇阉凶雎收摾锇阉凶龈怕实慕y(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義。這個(gè)統(tǒng)計(jì)定義在。這個(gè)統(tǒng)計(jì)定義在理論上有他的意義，它反映了頻率的穩(wěn)定性理論上有他的意義，它反映了頻率的穩(wěn)定性 用頻率的極限作為概率的定義它在實(shí)際上的用頻率的極限作為概率的定義它在實(shí)際上的價(jià)值并不大，價(jià)值并不大，同時(shí)，由于理論研究的需要，受頻同時(shí)，由于理論研究的需要，受頻率率的極限的極限的啟發(fā)，于是的啟發(fā)，于是 1933年年 ，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)了概率論的公理

3、化結(jié)構(gòu) ，給出了概率的嚴(yán)格，給出了概率的嚴(yán)格定義定義 ，使概率論有了迅速的發(fā)展，使概率論有了迅速的發(fā)展.Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,RussiaDied: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia柯爾莫哥洛夫資料Andrey NikolaevichKolmogorov,.,( ) ,( ):EEAP AAP設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)是它的樣本空間對(duì)于的每一事件賦予一個(gè)實(shí)數(shù) 記為稱為事件的概率 如果集合函數(shù)滿足下列條件; 0)(,: (1)APA 有有對(duì)于每一個(gè)事件對(duì)于每一個(gè)事件非負(fù)性非負(fù)性則則有有即即對(duì)對(duì)于于事事件件是是兩兩

4、兩兩互互不不相相容容的的設(shè)設(shè), 2, 1,: (3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性. 事件的事件的概率（概率的公理化定義）概率（概率的公理化定義）(2) 規(guī)范性規(guī)范性: P( )=1;概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)(1)0P ()( )( )( ).PPPP 證明證明概率的有限可加性概率的有限可加性證明證明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容

5、的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).(1)(,)(APA PAA 則則的對(duì)立事件的對(duì)立事件是是設(shè)設(shè),( )1,AAAAP 因?yàn)?.(1)(APAP 證明證明1( )()PP AA 所以. )()(APAP ).()()(),()(,)(APBPABPBPAPBABA 則則且且為兩個(gè)事件為兩個(gè)事件設(shè)設(shè)證明證明BA,BA 因?yàn)橐驗(yàn)?.(ABAB 所以所以,)( AAB又又. )()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于是于是(1)P(AB)(2)P(AB) 有用結(jié)論：有用結(jié)

6、論：ABABP(A)P(AB); P(AB)P(B) ).()()()(,)()(ABPBPAPBAPBA 有有對(duì)于任意兩事件對(duì)于任意兩事件加法公式加法公式證明證明AB由圖可得由圖可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性質(zhì)又由性質(zhì)4 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 推廣推廣 三個(gè)事件和的情況三個(gè)事件和的情況)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 個(gè)事件和的情況個(gè)事件和的情況)(21nAAAP njijiniiA

7、APAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP )(, 6 . 0)(, 8 . 0)(,BCAPCBPAPCABA求設(shè)1例例 例：某市有甲例：某市有甲,乙乙,丙三種報(bào)紙丙三種報(bào)紙,訂購(gòu)丙報(bào)的占訂購(gòu)丙報(bào)的占30%, 同時(shí)定甲同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙有乙兩種報(bào)紙有10%. 同時(shí)訂甲丙或乙丙兩種同時(shí)訂甲丙或乙丙兩種報(bào)紙的各占報(bào)紙的各占8%，5%.三報(bào)都訂的三報(bào)都訂的3%求從該市任選一求從該市任選一人人, (1)他只訂甲乙兩報(bào)他只訂甲乙兩報(bào)(2)只訂丙報(bào)的概率各為多少只訂丙報(bào)的概率各為多少.( )0.3,()0.1,()0.08,()0.05,()0.03P CP ABP

8、 ACP BCP ABC 解解: :設(shè)設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲分別表示選到的人訂了甲, ,乙乙, ,丙報(bào)丙報(bào)只訂甲乙兩報(bào)只訂甲乙兩報(bào)()P F ()P ABC()()P ABP ABC0.07只訂丙報(bào)只訂丙報(bào)( )P G ()P CAB ( )()P CP C AB( )()P CP CACB ( )()()()P CP CAP CBP ABC0.3(0.080.050.03)0.23.3.古典概率模型古典概率模型( (等可能概型等可能概型) ) 定義定義 設(shè)設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), ,若它滿足以下若它滿足以下兩個(gè)條件：兩個(gè)條件：(1) 僅有僅有有限多個(gè)有限多個(gè)基本事件；基

9、本事件；則稱則稱E 為為古典概型試驗(yàn)古典概型試驗(yàn). .(2) 每個(gè)基本事件發(fā)生的每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等可能性相等. .例例1 拋一枚質(zhì)量分布均勻的硬幣，拋一枚質(zhì)量分布均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面觀察其出現(xiàn)正面H和反面和反面T的情況的情況. . 是一個(gè)古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)是一個(gè)古典概型的隨機(jī)試驗(yàn). . 因?yàn)樵撛囼?yàn)的基本事件只有兩個(gè)因?yàn)樵撛囼?yàn)的基本事件只有兩個(gè)： w w1 1出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面H, , w w2 2出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面T. . 而且基本事件而且基本事件 w w1 1 、 w w2 2 發(fā)生的發(fā)生的可能性相等可能性相等. .古典概型的例子古典概型的例子 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn) E 的樣本空間由的樣

10、本空間由n 個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn)( (基本事基本事件件) )構(gòu)成構(gòu)成，A為為E 的任意一個(gè)事件的任意一個(gè)事件，且包含且包含 k個(gè)樣個(gè)樣本點(diǎn)本點(diǎn)(基本事件基本事件)，則事件，則事件A 出現(xiàn)的概率記為出現(xiàn)的概率記為: （2） 古典概型中事件概率的計(jì)算公式古典概型中事件概率的計(jì)算公式.)(基本事件總數(shù)所包含基本事件的個(gè)數(shù)AnkAP稱此為概率的古典定義稱此為概率的古典定義. 解解,.則HH HT TH TT 1,.AHT TH 而 11()2得 P A 2(2),.AHH HT TH 1122.(1),(). (2),().AP AAP A將一枚硬幣拋擲兩次設(shè)事件為“恰有一次出現(xiàn)正面”求設(shè)事件為 “至少有

11、一次出現(xiàn)正面”求., )1(為出現(xiàn)反面為出現(xiàn)反面為出現(xiàn)正面為出現(xiàn)正面設(shè)設(shè)TH例例 23().4因此 P A（3 ）古典概型的基本模型古典概型的基本模型:基本計(jì)數(shù)原理基本計(jì)數(shù)原理 這里我們先簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率這里我們先簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率所用到的所用到的1. 加法原理加法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m種方式，種方式，第一種方式有第一種方式有n1種方法，種方法，第二種方式有第二種方式有n2種方法種方法,； 第第m種方式有種方式有nm種方法種方法,無論通過哪種方法都可以無論通過哪種方法都可以完成這件事，完成這件事，則完成這件事總共則完成這件事總共有有n1 + n2 + + nm 種方法

12、種方法 .基本計(jì)數(shù)原理基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有則完成這件事共有種不同的方法種不同的方法 .12mnnn2. 乘法原理乘法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有第一個(gè)步驟有n1種方法，種方法，第二個(gè)步驟有第二個(gè)步驟有n2種方法種方法,； 第第m個(gè)步驟有個(gè)步驟有nm種方法種方法,必須通過每一步驟必須通過每一步驟,才算完成這件事，才算完成這件事，排列排列：從含有從含有n n個(gè)元素的總體中取出個(gè)元素的總體中取出r r個(gè)來進(jìn)行排列。這時(shí)個(gè)來進(jìn)行排列。這時(shí) 既要考慮到取出的元素也要顧及其取出順序。既要考慮到取出的元素也要顧及其取出順序。( (無放回選取無放回選取) )不可重復(fù)排

13、列數(shù)：不可重復(fù)排列數(shù)：!()!rnnPnr （有放回選取（有放回選取) )可重復(fù)排列數(shù)：可重復(fù)排列數(shù)：rn組合組合：從含有從含有n n個(gè)元素的總體中依次取出個(gè)元素的總體中依次取出r r個(gè)而不考慮其取出個(gè)而不考慮其取出順序。順序。!()!rrnnPnCrrnr 解解 (1) 在在100件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取15件的所有可能取件的所有可能取法共有法共有15100,C種1005152,設(shè)有件產(chǎn)品 其中有件次品 從中任取件 求其中恰有件次品的概率例1在在 100件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取15件件,其中恰有其中恰有2 件次品的取法件次品的取法共有共有213595,C C 種于是所求的概率為于是所求的概率

14、為21315595100PC CC 1 1 .1 1、抽球模型、抽球模型一般地，設(shè)合中有一般地，設(shè)合中有N個(gè)球，其中有個(gè)球，其中有M個(gè)白個(gè)白球，現(xiàn)從中任球，現(xiàn)從中任抽抽n個(gè)個(gè)球，則這球，則這n個(gè)個(gè)球中恰有球中恰有k個(gè)白球的概率是個(gè)白球的概率是nNknMNkMCCCp 2、分球入盒問題、分球入盒問題例例2 2 將將3 3個(gè)球隨機(jī)的放入編號(hào)為個(gè)球隨機(jī)的放入編號(hào)為1-51-5的五個(gè)盒子中去的五個(gè)盒子中去，球入每個(gè)盒子是等可能的，每個(gè)盒子可以容納，球入每個(gè)盒子是等可能的，每個(gè)盒子可以容納3 3個(gè)球，求下列事件的概率個(gè)球，求下列事件的概率: :A=“第一個(gè)盒子空第一個(gè)盒子空”；B=“每個(gè)盒子最多一球每個(gè)

15、盒子最多一球”；C=“3球全在一個(gè)盒子球全在一個(gè)盒子” 解解 3 3個(gè)個(gè)球的每一種放法是一個(gè)基本事件。由于每一球的每一種放法是一個(gè)基本事件。由于每一個(gè)球可放入個(gè)球可放入 5個(gè)盒子中的任意一個(gè)，因此有個(gè)盒子中的任意一個(gè)，因此有5種不同的種不同的放法，所以放法，所以3個(gè)球的放入方法共有個(gè)球的放入方法共有53 種，即種，即中的基本中的基本事件總數(shù)為事件總數(shù)為 53 種。種。 (1) (1)第一個(gè)盒子為空，第一個(gè)盒子為空，3 3個(gè)球可以放入剩下的個(gè)球可以放入剩下的4 4的盒的盒子中的任一個(gè)，所以子中的任一個(gè)，所以A A事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)為事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)為34故故P(A)=P(A)=3345 (2)

16、 (2)事件事件B=“B=“每盒最多一球每盒最多一球”， 為第一個(gè)球有五種選擇，第二個(gè)球有為第一個(gè)球有五種選擇，第二個(gè)球有4 4種選擇，第種選擇，第三個(gè)球三個(gè)球3 3種選擇。種選擇。 所以事件所以事件B B的樣本點(diǎn)數(shù)為的樣本點(diǎn)數(shù)為5 54 43 33543( )0.485P B 故 (3) (3)事件事件C=“3C=“3個(gè)球都在一個(gè)盒子個(gè)球都在一個(gè)盒子”， 選盒子有選盒子有5 5種選擇。種選擇。 所以事件所以事件B B的樣本點(diǎn)數(shù)為的樣本點(diǎn)數(shù)為5 535( )0.045P C 故某班級(jí)有某班級(jí)有n 個(gè)人個(gè)人(n 365)，問至少有兩個(gè)人的生日在同一天問至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大？的概

17、率有多大？課堂思考課堂思考生日問題生日問題 (1) n個(gè)人個(gè)人生日生日各不相同的概率；各不相同的概率；.)2(日相同的概率個(gè)人中至少有兩個(gè)人生n).365) 1365(3643651nnp 答案).365) 1365(364365365365nnnnPp 答案人數(shù)人數(shù)至少有兩人生日相同的至少有兩人生日相同的 概率概率100.11694817771107765187200.41143838358057998762300.70631624271926865996400.89123180981794898965500.97037357957798839992600.99412266086534794

18、247700.99915957596515709135800.99991433194931349469900.999993848356123603551000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.999999999999962103951500.99999999999999975491600.99999999999999999900利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算. 許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于許多表面上提法不同的

19、問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：同一類型： 有有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為率為1/365. 求這求這n (n 365)個(gè)人的生日互不相個(gè)人的生日互不相同的概率同的概率.人人任一天任一天 有有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 間房的每一間中，求指定的間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率間房中各有一人的概率.人人房房 許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：同一類型： 有有n個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)N個(gè)車個(gè)車站，設(shè)每站，設(shè)每個(gè)人在每站下車的概率為個(gè)

20、人在每站下車的概率為1/ N(N n) ，求指，求指定的定的n個(gè)站各有一人下車的概率個(gè)站各有一人下車的概率.旅客旅客車站車站 許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：同一類型： 某城市每周發(fā)生某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同車禍的概率相同. 求每天恰好發(fā)生一次車禍求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率的概率.車禍車禍天天你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí)你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí). 許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：同一類型： 例例:橋牌比賽中，四人從橋牌比賽中，四人從52張牌

21、中各分得張牌中各分得13張，張，求求(1) 每每人手上都有一張人手上都有一張A的概率；的概率；(2) 4張張A集中在一集中在一個(gè)個(gè)人手中人手中的概率。的概率。1313131352392613nC C C C 121212124836241213131313523926134!()CCCCP ACCCC 191313134483926131313131352392613()C CCCCP BCCCC 12121212483624124 !AnCCCC 3.3.分組問題分組問題解解: 設(shè)設(shè)A表示表示“每每人手上有一張人手上有一張A”， B表示表示“4張張A集中在一集中在一人手中人手中”191313

22nC C C C C 4.4.配對(duì)模型配對(duì)模型 例例:從從5副不同的手套中任取副不同的手套中任取4只手套，求其中至只手套，求其中至少有兩只手套配成一幅的概率少有兩只手套配成一幅的概率。 例例:p224 4 幾何概型幾何概型 幾何概型考慮的是有幾何概型考慮的是有無窮多個(gè)等可能結(jié)果無窮多個(gè)等可能結(jié)果的的隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)。首先看下面的例子。首先看下面的例子。 例例 ( (會(huì)面問題）會(huì)面問題）甲、乙二人約定在甲、乙二人約定在 12 12 點(diǎn)點(diǎn)到到 5 5 點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去，設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等即離去，設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響。求二人能會(huì)面的概率?？赡艿模叶嘶ゲ挥绊?。求二人能會(huì)面的概率。解：解： 以以 X ,