全等三角形壓軸題及分類解析

1、8年級三角形綜合題歸類雙等邊三角形模型1 . (1)如圖7,點O是線段AD的中點，分別以 AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三 角形OAB和等邊三角形 OCD,連結AC和BD,相交于點E,連結BC.求/ AEB的大??；(2)如圖8, A OAB固定不動，保持A OCD的形狀和大小不變，將A OCD繞著點。旋轉 (A OAB和A OCD不能重疊)，求/ AEB的大小.圖7圖82 .已知：點C為線段AB上一點， ACM, CBN都是等邊三角形，且 AN、BM相交于O.求證：AN=BM求/ AOB的度數。 若AN、MC相交于點 P, BM、NC交于點 Q,求證：PQ/ AB。(湘潭中考題)同類變式

2、：如圖a, ABC和CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C,連接AF和BE.(1)線段AF和BE有怎樣的大小關系？請證明你的結論；(2)將圖a中的4CEF繞點C旋轉一定的角度，得到圖b, (1)中的結論還成立嗎？作出判 斷并說明理由；(3)若將圖a中的 ABC繞點C旋轉一定的角度，請你畫出一個變換后的圖形c(草圖即可)，(1)中的結論還成立嗎？作出判斷不必說明理由.CD BE , AMN是等邊三角形.(1)當把 ADE繞A點旋轉到圖10的位置時，CD BE是否仍然成立？若成立，請證明;若不成立，請說明理由；(2)當a ADE繞A點旋轉到圖11的位置時， AMN是否還是等邊三角形？

3、若是，請 給出證明，若不是，請說明理由.同類變式：已知，如圖所示，在ABC和 ADE中，AB AC , AD AE ,BAC DAE ,且點B, A, D在一條直線上，連接BE, CD, M, N分別為BE, CD 的中點.(1)求證： BE CD ; AM AN .(2)在圖的基礎上，將 4ADE繞點A按順時針方向旋轉180,其他條件不變，得到 圖所示的圖形.請直接寫出(1)中的兩個結論是否仍然成立 .圖圖4 .如圖，四邊形 ABCB口四邊形 AEFG勻為正方形，連接 BG與DE相交于點H(1)證明： ABG 0 AADE;(2)試猜想 BHD勺度數，并說明理由；(3)將圖中正方形 ABCD

4、g點A逆時針旋轉(0。v BAEV180。)，設 ABE勺面積 為Si, 4ADG勺面積為S2,判斷S與S2的大小關系，并給予證明.CB5 .已知：如圖， ABC是等邊三角形，過 AB邊上的點D作DG / BC ,交AC于點G , 在GD的延長線上取點 E ,使DE DB ,連接AE, CD .(1)求證：AGEzXDAC；(2)過點E作EF / DC ,交BC于點F ,請你連接 AF ,并判斷zAEF是怎樣的三角形，試證明你的結論.二、垂直模型(該模型在基礎題和綜合題中均為重點考察內容)考點1：利用垂直證明角相等1.如圖，4ABC中，/ACB = 90, AC = BC, AE是BC邊上的中

5、線，過 C作CFLAE,垂 足為F,過B作BDLBC交CF的延長線于 D.求證：(1) AE=CD;(2)若 AC= 12 cm,求 BD 的長.2.（西安中考）如圖（1）, 已知 ABC中,/BAC=90, AB=AC, AE是過A的一條直線,且B、C在 A E的異側,BD LAE于D, CE LAE于E 。圖圖(2)圖（1）試說明：BD=DE+CE.（2）若直線AE繞A點旋轉到圖（2）位置時（BDCE）,其余條彳不變，問BD與DE、CE的關系如何？寫出結論，可不說明理由。3.直線 CD經過 BCA的頂點 C, CA=CB. E、F分別是直線 CD上兩點，且BEC CFA（1）若直線CD經過

6、 BCA的內部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖 1,若 BCA 90o,90,則 EF BE AF （填“”或“ ”號）；如圖2,若0o BCA 1800,若使中的結論仍然成立，則 與 BCA應滿足的關系 是；BCA,請?zhí)骄縀F、與BE、AF三條（2）如圖3,若直線CD經過 BCA的外部, 線段的數量關系，并給予證明.考點2:利用角相等證明垂直1 .已知BE, CF是 ABC的高，且BP=AC CQ=AB試確定 AP與AQ的數量關系和位置關系E 圖92 .如圖，在等腰 RABC中，ZACE=90 , D為BC的中點，DEL AB垂足為 E,過點B作BF/ AC交DE的延長線于點

7、 F,連接CF.(1)求證：CD=BF(2)求證：AD CF;連接AF,試判斷4ACF的形狀.拓展鞏固：如圖9所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90 , AD是BC邊上的中線, 過C作AD的垂線，交 AB于點E,交AD于點F,求證：/ ADC= / BDE.有什么區(qū)別和(提示：對比此題的條件和上面那題的條件，對比此題的圖形和上題的圖像, 聯系？)3 .如圖1,已知正方形 ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE , GC .(1)試猜想AE與GC有怎樣的位置關系，并證明你的結論;(2)將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉，使E點落在BC邊上，如圖2,連接AE和GC.你

8、認為(1)中的結論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由4.如圖1, ABC的邊BC在直線l上，ACBC,且 AC BC, EFP 的邊 FP 也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF FP(1) 在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系；(2) 將 EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q,連接AP, BQ .猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系，請證明你的猜想；(3)將 EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交 AC的延長線于點Q,連結AP, BQ ,你認為(2)中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系和位

9、置 關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由(2)等腰三角形(中考重難點之一)考點1:等腰三角形性質的應用1.如圖， ABC 中，AB AC,E, FD與AC交于F .求證:BAC 90 , d 是 BC 中點，ED FD , ED 與 AB 交于BE AF , AE CF .00 .2 .兩個全等的含30 , 60角的二角板ADE和二角板ABC ,如圖所不放置，E,A,C二點在 一條直線上，連結 BD,取BD的中點M ,連結ME,MC .試判斷 EMC的形狀，并說 明理由.壓軸題拓展：（三線合一性質的應用）已知Rt ABC中，AC BC , C 90 , D為AB邊的中點，EDF

10、 90 , EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交 AC、CB （或它們的延長線）于 E、F .當 EDF繞D點旋轉到DE AC于E時（如圖1）,易證S DEF S CEF 1sABC.當 EDF繞2D點旋轉到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立， 請給予證明；若不成立，SDEF , SCEF , SABC又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.提示：此題為上面題目的綜合應用，思路與第一題相似。3 .已知：如圖， ABC 中，/ ABC=45 , CD) AB 于 D, BE平分/ ABC,且 BEX AC于 E,與CD相交于點F, H是BC邊的中點，連結 D

11、H與BE相交于點G。（1） BF=AC （2） CE=1 BF2CE與BC的大小關系如何。考點2:等腰直角三角形（45度的聯想）1 .如圖1,四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊 經過點D,且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A, B重合），另一條直角邊與/ CBM 的平分線BF相交于點F.如圖14-1 ,當點E在AB邊的中點位置時： 通過測量DE, EF的長度，猜想DE與EF滿足的數量關系是； 連接點E與AD邊的中點N,猜想NE與BF滿足的數量關系是； 請證明你的上述兩猜想. 如圖142 ,當點E在AB邊上的任意位置時，請你在 AD邊上找到一點 N, 使得N

12、E=BF ,進而猜想此時 DE與EF有怎樣的數量關系并證明2 .在 RtABC中，AC= BC, Z ACB= 90, D 是 AC的中點，DG, AC交 AB于點 G.（1）如圖1, E為線段DC上任意一點，點 F在線段DG上，且DE=DF連結EF與CF,過 點F作FHI FC,交直線 AB于點H.求證：DG=DC判斷FH與FC的數量關系并加以證明.（2）若E為線段DC的延長線上任意一點，點 F在射線DG上，（1）中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在（1）中得出的結論是否發(fā)生改變.（本小題直接寫出結論，不必證明）同類變式：（期末考試原題哦）圖（2）

13、圖（1）已知： ABC為等邊三角形，M是BC延長線上一點，直角三角尺的一條直角邊經過點 A,且60o角的頂點E在BC上滑動，（點E不與點B、C重合），斜邊與/ ACM的平分線CF交于點F（1）如圖（1）當點E在BC邊得中點位置時1）猜想AE與EF滿足的數量關系是連結點E與AB邊得中點N,猜想BE和CF滿足的數量關系是請證明你的上述猜想;（2）如圖（2）當點E在B C邊得任意位置時，AE和 EF有怎樣的數量關系，并說明你的理由？四、角平分線問題1 .如圖：E在線段 CD上,EA EB分別平分/ DA*口/ CBA, / AEB=90，設AA X,BC= y ,且 x, y 滿足 x2 y2 6x

14、 8y 25 0(1)求AD和BC的長；(2)你認為AD和BC還有什么關系？并驗證你的結論；(3)你能求出AB的長度嗎？若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由C2 .如圖，OP是/ MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：(1)如圖，在 ABC 中，/ ACB 是直角，/ B=60 , AD、CE 分別是/ BAC / BCA 的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出 FE與FD之間的數量關系；(2)如圖，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你3 .(北京市中考模擬題)如圖，

15、在四邊形 ABCD中，AC平分 BAD,過C作CE AB于E,1并且AE -(AB AD),貝U ABC ADC等于多少?4.如圖， ABC中，AD平分/ BAGDGL BC且平分 BC, DEI AB于 E, DF AC于 F.(1)說明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC=b ,求AE、BE的長.五、中點問題1.在ABC中，D為BC的中點， 過D點的直線GF交AC于F ,交AC的平行線BG于點G 。 DEGF ,并交AB于點E .連結EG .(1)求證：BG CF ;（2）請猜想BECF與EF的大小關系，并加以證明2.AB如右下圖, 2DE .在 ABC中，若 B 2 C , A

16、DBC , E為BC邊的中點.求證:3.已知 ABC中，AB AC , BD為AB的延長線，且 BD AB, CE為 ABC的AB邊上 的中線.求證CD 2CE （提示：倍長中線試試）線段 AM與DE的數量關90）后,如圖所示，問附加思考題：（此題有很好地思維訓練價值， 值得深入思考探究） 以ABC的兩邊AB、AC 為腰分別向外作等腰 Rt ABD和等腰Rt ACE , BAD CAE 90 .連接DE, M、N分 別是BC、DE的中點.探究： AM與DE的位置關系及數量關系.如圖 當ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是;點耳將圖中的等腰Rt ABD繞點A沿逆時針方向旋轉（0中得到的兩

17、個結論是否發(fā)生改變？并說明理由.1.判斷與說理（1）如圖 11-1, 4ADE 中，AE=AD 且/AED=/ ADE, / EAD=90 , EC DB 分別平分 / AED /ADE,交AD、AE于點C B,連接BC.請你判斷AB AC是否相等，并說明理由；（2） 4ADE的位置保持不變，將 ABC繞點A逆時針旋轉至圖112的位置，AD、BE相交于O,請你判斷線段 BE與CD的關系，并說明理由.2 .某課外學習小組在一次學習研討中，得到如下兩個命題：如圖12-1,在正三角形 ABC中，M、N分別是 AC、AB上 的點，BM與CN相交于點 O,若/BON = 60,則BM = CN.如圖12

18、-2,在正方形 ABCD中，M、N分別是 CD、AD上 的點，BM與CN相交于點 O,若/BON = 90,則BM = CN.學習小組成員根據上述兩個命題運用類比.的思想又提出了如 下的命題：如圖12-3,在正五邊形 ABCDE中，M、N分別是 CD DE 上的點，BM與CN相交于點 O,若/BON = 108,則BM = CN.（友情提示：正多邊形的各邊相等且各內角也相等）（1）請你從、三個命題中選擇一個 說明理由；（2）請你繼續(xù)完成下面的探索：圖12 -3圖 12 4 如圖12-4,在正n邊形（n。中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交 于點O,問當/BON等于多少度時，結論 B

19、M = CN成立？（不要求證明）如圖12-5,在正五邊形 ABCDE中，M、N分別是 DE、AE上的點，BM與CN相交 于點O,當/ BON = 108時，請問結論 BM = CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不 成立，請說明理由.解：（1）我選.（僅填寫、中的一個）理由如下:3 .如圖9所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90 , AD是BC邊上的中線，過 C作AD 的垂線，交AB于點E,交AD于點F。請你猜想/ ADC/ BDE關系，并證明你的猜想。DE圖94.如下幾個圖形是五角星和它的變形.(1)圖 中是一個五角星形狀，求/A+Z B+Z C+Z D+/ E=;(2)圖中的

20、點 A向下移到BE上時（如圖）五個角的和（即/CAD+Z B+Z C+Z D+ / E)有無變化？說明你的結論的正確性;(即/ CAD+Z B+Z ACE+Z（3）把圖中的點 C向上移動到BD上時（如圖），五個角的和D+/E）有無變化？說明你的結論的正確性.（4）如圖，在 ABC中，CD BE分另1J是A AC邊上的中線，延長 C*U F,使FD=CDF、A G三點是否在一條直線上？說說你延長BE至ij G,使EG=BE那么AF與AG是否相等?的理由.5、操作實驗:圖（1）圖（3）如圖，把等腰三角形沿頂角平分線對折并展開，發(fā)現被折痕分成的兩個三角形成軸對稱.所以 AB4 ACD,所以/ B=Z

21、 C.歸納結論：如果一個三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等.圖根據上述內容，回答下列問題: 思考驗證：如圖（4）,在4ABC中，AB=AC.試說明/B=/C的理由.探究應用：如圖(5), CB，AB,垂足為 A, DA AB,垂足為 B. E為AB的中點，AB=BC,CE! BD.(1) BE與AD是否相等？為什么？(2)小明認為 AC是線段DE的垂直平分線，你認為對嗎？說說你的理由。(3) / DBC與/ DCB相等嗎？試說明理由.圖(5)6.如圖13-1,在邊長為 5的正方形ABCD中，點E、F分別是BC、DC邊上的點，且AE EF , BE 2.(1)求EC ： CF的值；(

22、2)延長EF交正方形外角平分線 CP于點P (如圖13-2),試判斷AE與EP的大小關系, 并說明理由；(3)在圖13-2的AB邊上是否存在一點 M ,使得四邊形 DMEP是平行四邊形？若存在, 請給予證明；若不存在，請說明理由.7 .團體購買某 素質拓展訓練營”的門票，票價如表(a為正整數)團體購票人數15051 100100以上每人門票價a元(a 3)元(a 6)元某中學高一（1）、高一（2）班同學準備參加 素質拓展訓練營”活動，其中高一（1） 班人數不超過50,高一（2）的人數超過50但不超過80。當a=48時，若兩班分別購 票，兩班總計應彳門票費 4914元；若合在一起作為一個團體購票

23、，總計支付門票費4452元。問這兩個班級各有多少人？某校學生會現有資金 4429元用于購票，打算組織本校初三年級團員參加該項活動。 為了讓更多的人能參加活動，學生會統(tǒng)一組織購票，購票資金恰好全部用完，且參加 人數超過了 100人，問共有多少人參加了這一活動？并求出此時a的值。8 .如下圖，在 ABC中，AD平分/ BAC AB+BD=AC則/ B： /C的值為.9 .如左下圖，AB/ CD, AD/ BC, OE=OF則圖中全等三角形的組數是A. 3B. 4C. 5D. 610 .兩個全等的含300, 600角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E,A,C三點在一條直線上，連結 BD,取

24、BD的中點 M,連結ME, MC.試判斷4EMC的形狀, 并說明理由.11、（1）不用量角器，只利用刻度尺就能畫出一個角的平分線，下面是小明的畫法，你認為他的畫法對嗎？ 請你按照小明的畫法，畫出圖形，說明理由 。利用刻度尺在/ AOB的兩邊上分別取OC= OD連結CD利用刻度尺畫出 CD的中點ED畫射線OE射線OE即為/ AOB 的角平分線。（2）請你探索只利用你的三角尺（可以量長度、畫直角）畫出一個角的平分線的畫法。（要求：畫出圖形；簡要說明畫法；說明理由。）12 . （1）如圖（1）,正方形 ABCD中，E為邊CD上一點，連結 AE,過點 A 作AFAE交CB的延長線于F,猜想AE與AF的

25、數量關系，并說明理由；（2）如圖（2）,在（1）的條件下，連結 AC,過點A作AMXAC交CB的延長線于 M,觀察并猜想CE與MF的數量關系(不必說明理由)；(3)解決問題：王師傅有一塊如圖所示的板材余料，其中/A = /C=90 , AB=AD.王師傅想切一刀后把它拼成正方形.請你幫王師傅在圖(3)中畫出剪拼的示意圖；王師傅現有兩塊同樣大小的該余料，能否在每塊上各切一刀，然后拼成一個大的正方形呢？若能，請你畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由.AB圖1C圖413 .下圖是按一定規(guī)律排列的方程組集合和它解的集合的對應關系圖，若方程組集合中的方程組自左至右依次記作方程組1、方程組2、方程組3、

26、方程組n.(1)將方程組1的解填入圖中；(2)請依據方程組和它的解變化的規(guī)律，將方程組n和它的解直接填入集合圖中;x ny 1(3)若方程組的解是x my 16(2)中x 10 ,求m、n的值，并判斷該方程組是否符合y 9的規(guī)律?14 .某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種無蓋的長方體紙盒.（長方形的寬與正方形的邊長相等）（1）現有正方形紙板50張，長方形紙板l 00張，若要做豎式紙盒 x個，橫式紙盒y個.正方形流楨重）工圖甲長方形紙板（張）若紙板全部用完，求 x、y的值；（2）若有正方形紙板 80張，長方形紙板 a張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好全部用完.已

27、知162n j-i. e -1-B： .D :;r r UI1 p i p_ j._i_lC_L_.l_L.1 * 1 1 1 1 1角形，說明全等的理由.請選取一對非直角全等三22,已知/ AOB=90,在/ AOB勺平分線。心有一點C,將一個三角板白直角頂點與 C重合, 它的兩條直角邊分別與 OA OB（或它們的反向延長線）相交于點D E.當三角板繞點 C旋轉到CD與OA垂直時（如圖1）,易證：CD=CE當三角板繞點 C旋轉到CD與OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明.23 .如圖，ADAC和 EBC均是等邊三角

28、形， AE、BD分別與 CD CE交于點 M、N,有如下結論：4 AC/ DCB; CM=CN; EM= BN.其中，正 確結論的個數是()A. 3個B. 2個 C. 1個 D. 0個24 .銳角為45的直角三角形的兩直角邊長也相等，這樣的三角形稱為等腰直角三角形.我 們常用的三角板中有一塊就是這樣的三角形，也可稱它為等腰直角三角板.把兩塊全等的等腰直角三角板按如圖 1放置，其中邊 BG FP均在直線l上，邊EF與邊AC重合.(1)將4 EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q,連結AP, BQ.猜想并寫 出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系，請證明你的猜想；(2)將4EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點 Q,連結 AP, BQ.你認為(1)中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立， 給出證明；若不成立，請說明理由.Q25 .如圖， ABC和 ADC都是每邊長相等的等邊三角形，點 E、a FDF同時分別從點B、A出發(fā)，各自沿BA、AD方向運動到點A、 /V 7D停止，運動的速度相同，連接 EC、FC./(1)在點E、F運動過程中/ ECF的大小是否隨之變化？請說明 外