第三篇-數(shù)學(xué)分支中的相關(guān)數(shù)學(xué)模型

1、第三篇第三篇 數(shù)學(xué)分支中的相關(guān)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)分支中的相關(guān)數(shù)學(xué)模型1 1 高等數(shù)學(xué)相關(guān)模型高等數(shù)學(xué)相關(guān)模型 1.11.1衛(wèi)星軌道長(zhǎng)度衛(wèi)星軌道長(zhǎng)度 1.21.2射擊命中概率射擊命中概率 1.31.3人口增長(zhǎng)率人口增長(zhǎng)率 2 2 線性代數(shù)相關(guān)模型線性代數(shù)相關(guān)模型 2.12.1投入產(chǎn)出綜合平衡分析投入產(chǎn)出綜合平衡分析 2.22.2輸電網(wǎng)絡(luò)輸電網(wǎng)絡(luò)3 3 概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)模型概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)模型 3.13.1合金強(qiáng)度與碳含量合金強(qiáng)度與碳含量 3.23.2年齡與運(yùn)動(dòng)能力年齡與運(yùn)動(dòng)能力 3.33.3商品銷售量與價(jià)格商品銷售量與價(jià)格 1 1 高等數(shù)學(xué)相關(guān)模型高等數(shù)學(xué)相關(guān)模型問題問題1.1 1.1 衛(wèi)星軌道長(zhǎng)度衛(wèi)星軌道長(zhǎng)

2、度人造地球衛(wèi)星軌道可視為平面上的橢圓人造地球衛(wèi)星軌道可視為平面上的橢圓.我國第我國第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距地球表面一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距地球表面439km, ,遠(yuǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)距地球表面地點(diǎn)距地球表面2384km, ,地球半徑為地球半徑為6371km,求求該衛(wèi)星的軌道長(zhǎng)度該衛(wèi)星的軌道長(zhǎng)度. . 分析分析衛(wèi)星軌道橢圓的參數(shù)方程衛(wèi)星軌道橢圓的參數(shù)方程 )20(sin,costtbytax橢圓長(zhǎng)度橢圓長(zhǎng)度 分別是長(zhǎng)、短半軸分別是長(zhǎng)、短半軸 ba,122222204(sincos)Ldlatbtdt橢圓積分橢圓積分無法解析計(jì)算無法解析計(jì)算 輸出輸出MATLAB程序程序 function y=x5(t)a

3、= 8 7 5 5 ; b = 6 8 1 0 ; y=sqrt(a2*sin(t).2+b2*cos(t).2); t=0:pi/10:pi/2y1=x5(t);L1=4*trapz(t,y1) L2=4*quad(x5,0,pi/2,le-6) L1=4.9276e+004 L2=4.9460e+004 輸出輸出求解求解梯形公式梯形公式 辛普森公式辛普森公式 68104396371,875523846371ba評(píng)注評(píng)注問題問題1.2 1.2 射擊命中概率射擊命中概率炮彈射擊目標(biāo)為一正橢圓形區(qū)域炮彈射擊目標(biāo)為一正橢圓形區(qū)域, ,當(dāng)瞄準(zhǔn)目標(biāo)中心發(fā)射當(dāng)瞄準(zhǔn)目標(biāo)中心發(fā)射時(shí)時(shí), ,在眾多因素影響下在

4、眾多因素影響下, ,彈著點(diǎn)與目標(biāo)中心有隨機(jī)偏差彈著點(diǎn)與目標(biāo)中心有隨機(jī)偏差. 分析分析設(shè)目標(biāo)中心設(shè)目標(biāo)中心x=0,=0,y=0, =0, )(21222221),(yxyxyxeyxp無法解析計(jì)算無法解析計(jì)算 設(shè)彈著點(diǎn)圍繞中心成二維正態(tài)分布設(shè)彈著點(diǎn)圍繞中心成二維正態(tài)分布, ,且偏差在且偏差在X方向和方向和Y方向相互獨(dú)立方向相互獨(dú)立.若橢圓在若橢圓在X方向半軸長(zhǎng)方向半軸長(zhǎng)120m,Y方向半軸方向半軸長(zhǎng)長(zhǎng)80,設(shè)彈著點(diǎn)偏差的均方差在設(shè)彈著點(diǎn)偏差的均方差在X和和Y方向均為方向均為100m.求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率. 則彈著點(diǎn)則彈著點(diǎn)( (x, ,y) )概率密度函數(shù)概率

5、密度函數(shù) myx1001:,),(2222byaxdxdyyxpP炮彈命中橢圓形區(qū)域的概率炮彈命中橢圓形區(qū)域的概率 80,120ba求解求解: :蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法這是一種隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的方法這是一種隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的方法,用它來計(jì)算定積分的原理用它來計(jì)算定積分的原理可以從下面的直觀例子得出。如圖所示可以從下面的直觀例子得出。如圖所示: 投石算面積投石算面積隨機(jī)投點(diǎn)法隨機(jī)投點(diǎn)法從概率論的觀點(diǎn)看上例從概率論的觀點(diǎn)看上例,記投點(diǎn)的坐標(biāo)為記投點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( ,),1,iix yin 每個(gè)坐標(biāo)視為相互獨(dú)立的、（每個(gè)坐標(biāo)視為相互獨(dú)立的、（0,1）取間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量）取間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量,簡(jiǎn)稱（簡(jiǎn)稱（0

6、,1）隨機(jī)數(shù)。）隨機(jī)數(shù)。根據(jù)大數(shù)定律根據(jù)大數(shù)定律,事件事件“ 落在四分之一單位圓面積內(nèi)落在四分之一單位圓面積內(nèi)”發(fā)生發(fā)生的頻率的頻率 （依概率）收斂于（依概率）收斂于（ ）該事件發(fā)生的概率）該事件發(fā)生的概率P,不妨寫作不妨寫作 ,而而 P可以用積分表示為可以用積分表示為( ,)iix yknn kPn1( )12000( )( ) ( )1f xPP yf xdydxf x dxf xx 于是當(dāng)于是當(dāng) ,可以用隨機(jī)投點(diǎn)法作近似計(jì)算可以用隨機(jī)投點(diǎn)法作近似計(jì)算0( )1f x10( )kf x dxn這里這里n是二維（是二維（0,1）隨機(jī)數(shù)）隨機(jī)數(shù) 的總數(shù)的總數(shù),k是其中是其中滿足滿足 的數(shù)目。（

7、的數(shù)目。（0,1）隨機(jī)數(shù)可以用計(jì)算機(jī)）隨機(jī)數(shù)可以用計(jì)算機(jī)方便的產(chǎn)生。方便的產(chǎn)生。( ,)iix y( )iiyf xrand(1,n) 產(chǎn)生產(chǎn)生n個(gè)（個(gè)（0,1）隨機(jī)數(shù)）隨機(jī)數(shù),用于蒙特卡羅用于蒙特卡羅方法。方法。重積分的計(jì)算重積分的計(jì)算:12( , ) : 01,0( )( )1f x y dxdyxg xygx設(shè)設(shè) ( ,),1,iix yin是相互獨(dú)立的（是相互獨(dú)立的（0,1）隨機(jī)數(shù)）隨機(jī)數(shù),判斷每個(gè)點(diǎn)判斷每個(gè)點(diǎn) ( ,)iix y是否落在是否落在 域內(nèi)域內(nèi),將落在將落在 域內(nèi)的域內(nèi)的m個(gè)點(diǎn)記作個(gè)點(diǎn)記作 (,),1,kkxykm,則則 11( , )(,)mkkkf x y dxdyf

8、xyn求解求解: :蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法作變換作變換 ,bvyaux以以100(m)100(m)為為1 1單位單位, ,則則 8 . 0, 2 . 1, 1bayxdudvvupabP),(1:,21),(22)(212222vuevupvbuaMATLAB程序程序 輸出輸出a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;n=100000;for i=1:n x=rand(1,2);y=0;if x(1)2+x(2)2=1 y=exp(- 0.5*(a2*P=0.3752, m=78.552 x(1)2+b2*x(2)2);z=z+y, m=m+1endendp=4*a*b*z/2/pi/n,m

9、評(píng)注評(píng)注問題問題1 11.3 1.3 人口增長(zhǎng)率人口增長(zhǎng)率20世紀(jì)美國人口數(shù)據(jù)世紀(jì)美國人口數(shù)據(jù)(10(106 6 ), ), 年份年份 1900 1910 1920 1930 人口人口 76.0 92.0 106.5 123.2 1940 1950 1960 1970 1980 1990 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 計(jì)算各年份人口增長(zhǎng)率計(jì)算各年份人口增長(zhǎng)率. 記時(shí)刻記時(shí)刻t t人口為人口為x( (t t),),則人口相對(duì)增長(zhǎng)率為則人口相對(duì)增長(zhǎng)率為分析分析)(/)(txdtdxtr記記19001900年為年為k=0 =0 求解求解: :數(shù)值微分三點(diǎn)公式

10、數(shù)值微分三點(diǎn)公式 8 , 2 , 1,2011kxxxrkkkk99879021002034,2043xxxxrxxxxr 年增長(zhǎng)率年增長(zhǎng)率 2.20 1.66 1.46 1.02 1.04 1.58 1.49 1.16 1.05 1.04 評(píng)注評(píng)注問題問題2 2已知某地區(qū)已知某地區(qū)20世紀(jì)世紀(jì)70年代的人口增長(zhǎng)率年代的人口增長(zhǎng)率, ,且且19701970年人口為年人口為210210（百萬）（百萬）, , 年份年份 1970 1972 1974 年增長(zhǎng)率（年增長(zhǎng)率（%） 0.87 0.85 0.89 1976 1978 1980 0.91 0.95 1.10 試估計(jì)試估計(jì)1980年的人口年的人

11、口. 記時(shí)刻記時(shí)刻t t人口為人口為x( (t t),),則人口增長(zhǎng)滿足微分方程則人口增長(zhǎng)滿足微分方程 分析分析)()(txtrdtdx記記19701970年為年為k=0 =0 求解求解tduurextx0)(0)(評(píng)注評(píng)注0)0(xx1980年該地區(qū)人口為年該地區(qū)人口為230.2（百萬）（百萬） 數(shù)值積分梯形公式數(shù)值積分梯形公式 為算出瑞士的國土面積為算出瑞士的國土面積, ,首先對(duì)瑞士地圖作如下測(cè)量首先對(duì)瑞士地圖作如下測(cè)量: :以由西向東方向?yàn)橐杂晌飨驏|方向?yàn)閤軸軸, ,由南到北方向?yàn)橛赡系奖狈较驗(yàn)閥軸軸, ,選擇方便的選擇方便的原點(diǎn)原點(diǎn), ,并將從最西邊界點(diǎn)到最東邊界點(diǎn)在并將從最西邊界點(diǎn)到

12、最東邊界點(diǎn)在x軸上的區(qū)間適軸上的區(qū)間適當(dāng)?shù)貏澐譃槿舾啥萎?dāng)?shù)貏澐譃槿舾啥? ,在每個(gè)分點(diǎn)的在每個(gè)分點(diǎn)的y方向測(cè)出南邊界點(diǎn)和方向測(cè)出南邊界點(diǎn)和北邊界點(diǎn)的坐標(biāo)北邊界點(diǎn)的坐標(biāo), ,得到表中數(shù)據(jù)（單位得到表中數(shù)據(jù)（單位mm）. 習(xí)題習(xí)題: : 國土面積問題國土面積問題 根據(jù)地圖比例根據(jù)地圖比例, ,18mm相當(dāng)于相當(dāng)于40km, ,試由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)試由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算瑞士國土的近似面積算瑞士國土的近似面積, ,與它的精確值與它的精確值41288km比較比較. 2 2 線性代數(shù)相關(guān)模型線性代數(shù)相關(guān)模型背景背景2.1 2.1 投入產(chǎn)出綜合平衡分析投入產(chǎn)出綜合平衡分析國民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門之間存在著相互依存的關(guān)系國民經(jīng)濟(jì)

13、各個(gè)部門之間存在著相互依存的關(guān)系, ,每個(gè)部門在運(yùn)轉(zhuǎn)中將其他部門的產(chǎn)品或半成品經(jīng)每個(gè)部門在運(yùn)轉(zhuǎn)中將其他部門的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過加工（投入）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出）過加工（投入）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出）. .投入產(chǎn)出綜合平衡模型投入產(chǎn)出綜合平衡模型: :根據(jù)各部門間的投入根據(jù)各部門間的投入產(chǎn)出關(guān)產(chǎn)出關(guān)系系, ,確定各部門的產(chǎn)出水平確定各部門的產(chǎn)出水平, ,以滿足社會(huì)的需求以滿足社會(huì)的需求 . .設(shè)國民經(jīng)濟(jì)僅由農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、和服務(wù)業(yè)三個(gè)設(shè)國民經(jīng)濟(jì)僅由農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、和服務(wù)業(yè)三個(gè)部門構(gòu)成部門構(gòu)成, ,已知某年它們之間的投入產(chǎn)出關(guān)系、已知某年它們之間的投入產(chǎn)出關(guān)系、外部需求、初始投入等如表（產(chǎn)值單位為億元）外

14、部需求、初始投入等如表（產(chǎn)值單位為億元） 簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化問題問題 產(chǎn)出產(chǎn)出投入投入農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)制造業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)服務(wù)業(yè)外部外部需求需求總產(chǎn)出總產(chǎn)出農(nóng)業(yè)農(nóng)造業(yè)制造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)服務(wù)業(yè)2060/70150外部外部 需求需求3511075總投入總投入100200150說明說明假定每個(gè)部門的產(chǎn)出與投入是成正比的假定每個(gè)部門的產(chǎn)出與投入是成正比的, ,由上表由上表能夠確定這三個(gè)部門的投入產(chǎn)出表能夠確定這三個(gè)部門的投入產(chǎn)出表 投入投入農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)制造業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)服務(wù)業(yè)農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)0.150.100.20制造業(yè)制造業(yè)0.300.050.30服務(wù)業(yè)服務(wù)業(yè)0.200.300說明說明表

15、中數(shù)字稱為表中數(shù)字稱為投入系數(shù)投入系數(shù)或或消耗系數(shù)消耗系數(shù) 假設(shè)系數(shù)是常數(shù)假設(shè)系數(shù)是常數(shù)產(chǎn)出產(chǎn)出 設(shè)有設(shè)有n個(gè)部門個(gè)部門, ,已知投入系數(shù)已知投入系數(shù), ,給定外部需求給定外部需求, ,建建 立求解各部門總產(chǎn)出的模型立求解各部門總產(chǎn)出的模型. . 如果今年對(duì)農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)的外部需求分如果今年對(duì)農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)的外部需求分別為別為50,15050,150, ,100100億元億元, ,三個(gè)部門總產(chǎn)出三個(gè)部門總產(chǎn)出? ? 模型可行模型可行: :對(duì)于任意給定的、非負(fù)的外部需求對(duì)于任意給定的、非負(fù)的外部需求, ,都都能得到非負(fù)的總產(chǎn)出能得到非負(fù)的總產(chǎn)出. .為使模型可行為使模型可行, ,投入

16、系數(shù)滿足投入系數(shù)滿足? ? 如果三個(gè)部門的外部需求分別增加如果三個(gè)部門的外部需求分別增加1 1個(gè)單位個(gè)單位, ,他們他們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少? ? 分析分析投入產(chǎn)出綜合平衡分析投入產(chǎn)出綜合平衡分析 若有若有n個(gè)部門個(gè)部門,記一定時(shí)期內(nèi)第記一定時(shí)期內(nèi)第i個(gè)部門的總產(chǎn)出為個(gè)部門的總產(chǎn)出為xi,其中對(duì)第其中對(duì)第j個(gè)部門的投入為個(gè)部門的投入為xij,滿足的外部需求為滿足的外部需求為di,則則nidxxinjiji, 2 , 1,1投入產(chǎn)出表每一行都滿足投入產(chǎn)出表每一行都滿足 記第記第j個(gè)部門的單位產(chǎn)出需要第個(gè)部門的單位產(chǎn)出需要第i個(gè)部門的投入為個(gè)部門的投入為aij ,在在每個(gè)部

17、門的產(chǎn)出與投入成正比的假定下每個(gè)部門的產(chǎn)出與投入成正比的假定下,有有njixxajijij, 2 , 1,nidxaxinjjiji, 2 , 1,1記記投入系數(shù)矩陣投入系數(shù)矩陣nnijaA)(產(chǎn)出向量產(chǎn)出向量 Tnxxx),(1需求向量需求向量 Tnddd),(1dAxxdxAI)(則則 或或 若若I-A可逆可逆, ,則則 dAIx1)( 各部門總產(chǎn)出各部門總產(chǎn)出 MATLAB程序程序 a=0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0;a=0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0; d=50 150 100;d=50 150 100;

18、b=eye(3)-a;b=eye(3)-a; x=bdx=bd , c=inv(b)c=inv(b) 三部門總產(chǎn)出三部門總產(chǎn)出:139.2801,267.6056,208.1377:139.2801,267.6056,208.1377億元億元 外部需求分別增加外部需求分別增加1 1個(gè)單位時(shí)個(gè)單位時(shí), ,總產(chǎn)出分別增加總產(chǎn)出分別增加C=1.3459 0.2504 0.3443C=1.3459 0.2504 0.3443 0.5634 1.2676 0.4930 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167 0.4382 0.4304 1.2167 部門關(guān)聯(lián)系

19、數(shù)部門關(guān)聯(lián)系數(shù) 當(dāng)對(duì)農(nóng)業(yè)的需求增加當(dāng)對(duì)農(nóng)業(yè)的需求增加1 1個(gè)單位時(shí)個(gè)單位時(shí), ,農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、和服農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、和服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出分別增加務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出分別增加1.3459,0.56341.3459,0.5634, ,0.43820.4382單位單位 dAIx1)( 模型可行模型可行njaniij, 2 , 1, 11若若問題問題2.2 2.2 輸電網(wǎng)絡(luò)輸電網(wǎng)絡(luò)一種大型輸電網(wǎng)絡(luò)可簡(jiǎn)化為電路一種大型輸電網(wǎng)絡(luò)可簡(jiǎn)化為電路 負(fù)載電阻負(fù)載電阻 nRRR,21線路內(nèi)阻線路內(nèi)阻 nrrr,21電源電壓電源電壓V TnIII),(1負(fù)載電流負(fù)載電流 列出各負(fù)載上電流的方程列出各負(fù)載上電流的方程 設(shè)設(shè) 討論情況討

20、論情況 18, 6, 1,11VRrrrrRRRnnn=10,=10,求求 nIII,21及總電流及總電流 0InV1I2InI1r2rnr1R2RnR0I分析分析記記 nrr,1上的電流為上的電流為 niii,21根據(jù)電路中電流、電壓關(guān)系根據(jù)電路中電流、電壓關(guān)系, ,列出列出 111122221111nnnnnnIRIRirIRIRirVIRi rnnnnniIiiIiiIiiI112321210)(0)()(11222211121111nnnnnnnIrRIRIrIrRIRVIrIrIrR消消 niii,21和和 求電流方程求電流方程 ERI 求電流方程求電流方程 其中其中 1111112

21、2221000nnnRrrrrRRrrrRRRr12,0,0TTnII IIEVMATLAB計(jì)算電流計(jì)算電流程序程序 r=1;R=6;v=18;n=10; b1=sparse(1,1,v,n,1);b=full(b1);a1=triu(r*ones(n,n);a2=diag(R*ones(1,n);a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+ tril(R*ones(n,n),-2);a=a1+a2+a3; I=ab;I0=sum(I) k0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 910105.99705.99706.00006.00002.00052.00052.000

22、02.00001.33441.33441.33331.33330.89070.89070.88890.88890.59550.59550.59260.59260.39950.39950.39510.39510.27020.27020.26340.26340.18580.18580.17560.17560.13240.13240.11710.11710.1010.1011 10.0780.0780 00.0860.0867 70.0520.0520 0k11111212131314141515161617171818191920200.03470.03470.02310.02310.01540.

23、01540.01030.01030.00690.00690.00470.00470.00320.00320.00230.00230.0010.0018 80.0010.0015 5)20()10(nInIkk)20( nIk說明說明從從n=10=10到到n=20,=20,I0幾乎不變幾乎不變, ,I1- -I5變化也很小變化也很小 Ik+1差不多是差不多是Ik的的2/32/3倍倍如果如果n增加到增加到50,100?50,100? 可以得到類似的結(jié)論可以得到類似的結(jié)論 證明證明Ik+1是是Ik的的2/32/3倍倍 習(xí)題習(xí)題:種群的繁殖與穩(wěn)定收獲種群的繁殖與穩(wěn)定收獲 種群的數(shù)量因繁殖而增加,因自然

24、死亡而減少,對(duì)于人工飼養(yǎng)的種群（比如家畜）而言,為了保證穩(wěn)定的收獲,各個(gè)年齡的種群數(shù)量應(yīng)維持不變.種群因雌性個(gè)體的繁殖而改變,為方便起見以下種群數(shù)量均指其中的雌性. 種群年齡記作 當(dāng)年年齡 的種群數(shù)量記作 ,繁殖率記作 （每個(gè)雌性個(gè)體一年繁殖的數(shù)量）,自然存活率記作 為一年的死亡率）,收獲量記作 ,則來年年齡 的種群數(shù)量 應(yīng)為, 2 , 1nkkkxkbkkkdds,1(khkkx11111,(1,2,1)nk kkk kkkxb xh xs xhkn （1）若 已知,給定收獲量 ,建立求各年齡的穩(wěn)定種群數(shù)量 的模型（用矩陣、向量表示）。 （2）設(shè) 如要求 為500,400,200,100,1

25、00, 求 。 （3）使 均為500,如何達(dá)到?kksb ,khkx, 6 . 0, 4 . 0, 3, 5, 0, 5324143521ssssbbbbbn51 hh51 xx51 hh解解:（1） 111211211 nkkknnnnxb xhxs xhxsxh111121222121111000 000 000nnnnnnnnnxxhbbbbxxhssxxhsxxh111121222121111000 ,000 , ,000nnnnnnnnnxxhbbbbxxhsxAsxhxxhsxxhxAxh為了保證穩(wěn)定的收獲為了保證穩(wěn)定的收獲,各個(gè)年齡的種群數(shù)量應(yīng)維持不變。因此各個(gè)年齡的種群數(shù)量應(yīng)維

26、持不變。因此 xxxAxh 則則,1()xAIh即即3 3 概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)模型概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)模型問題問題3.13.1合金強(qiáng)度與碳含量合金強(qiáng)度與碳含量合金的強(qiáng)度合金的強(qiáng)度y( (kg/mmkg/mm) )與其中的碳含量與其中的碳含量x( ( %)%)有比有比較密切的關(guān)系較密切的關(guān)系, ,從生產(chǎn)中收集一批數(shù)據(jù)從生產(chǎn)中收集一批數(shù)據(jù). .求擬合函數(shù)求擬合函數(shù)y(x) , ,再用回歸分析進(jìn)行檢驗(yàn)再用回歸分析進(jìn)行檢驗(yàn). .x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16

27、 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23 y42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.560.5分析分析0.10.120.140.160.180.20.220.24404550556065描點(diǎn)作圖描點(diǎn)作圖 y與與x近似近似為線性為線性, ,擬合擬合y=ax+b.y=ax+b.MATLAB程序程序 x=0.1:0.01:0.23;x=0.1:0.01:0.23;x=x(1:9),x(11:12),x(14

28、);x=x(1:9),x(11:12),x(14);y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5;49,55,50,55,55.5,60.5;pp=pp=polyfitpolyfit(x,y,1);(x,y,1);xx=0.08:0.01:0.25;xx=0.08:0.01:0.25;yy=polyval(pp,xx);yy=polyval(pp,xx);plot(x,y,rplot(x,y,r* *,xx,yy),xx,yy) 0.080.10.120.140.160.180.20.220.

29、240.2635404550556065擬合擬合 y=ax+ba=140.6194,b=27.0269 評(píng)注評(píng)注是否線性顯著是否線性顯著 有無異常點(diǎn)有無異常點(diǎn)預(yù)測(cè)預(yù)測(cè) 程序程序hejinpolyMATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱統(tǒng)計(jì)工具箱 多元線性回歸多元線性回歸 b=regress(Y,X) b=regress(Y,X) b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha) b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha) Y,X為按列排列的數(shù)據(jù)為按列排列的數(shù)據(jù)說明說明b,bintb,bint為回歸系數(shù)估計(jì)值和他們的置信區(qū)間為回歸系數(shù)估計(jì)值和他們的置信

30、區(qū)間 m10,alphaalpha為顯著性水平（缺省時(shí)設(shè)定為為顯著性水平（缺省時(shí)設(shè)定為0.050.05）statsstats包括包括R R2 2,F,F, ,P P值值r,rintr,rint為殘差及置信區(qū)間為殘差及置信區(qū)間, ,可用可用rcoplot(r,rint)rcoplot(r,rint)畫圖畫圖 合金強(qiáng)度與碳含量問題合金強(qiáng)度與碳含量問題回歸模型回歸模型 xy10 回歸模型與統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)回歸模型與統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) MATLAB程序程序 x1=0.1:0.01:0.18;x1=0.1:0.01:0.18;x=x1 0.2 0.21 0.23x=x1 0.2 0.21 0.23; ;y=y=42 41

31、.5 45 45.5 45 47.5 49 55 50 55 55.5 60.542 41.5 45 45.5 45 47.5 49 55 50 55 55.5 60.5 ; ;x=ones(12,1) x;x=ones(12,1) x;b,bint,r,rint,stats=b,bint,r,rint,stats=regressregress(y,x);(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)b,bint,stats,rcoplot(r,rint) b= 27.0269 140.6194b= 27.0269 140.6194bint=22.3226 31.7313

32、bint=22.3226 31.7313 111.7842 169.4546 111.7842 169.4546stats=0.9219 118.0670 0.0000stats=0.9219 118.0670 0.0000 6194.140,0269.2710 y=27.0269+140.6194x線性顯著線性顯著模型成立模型成立 有無異常點(diǎn)有無異常點(diǎn)畫殘差分布圖畫殘差分布圖24681012-6-4-20246Residual Case Order PlotResidualsCase Number除第除第8個(gè)數(shù)據(jù)外其余殘差個(gè)數(shù)據(jù)外其余殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)第第8個(gè)點(diǎn)應(yīng)視

33、為異常點(diǎn)個(gè)點(diǎn)應(yīng)視為異常點(diǎn), ,剔除后重新計(jì)算剔除后重新計(jì)算, ,可得可得 b= 26.8968 139.9043 bint=24.1330 29.6606 122.7939 157.0148stats=0.9744 342.1259 0.0000 程序程序hejinre問題問題3.2 3.2 年齡與運(yùn)動(dòng)能力年齡與運(yùn)動(dòng)能力 將將1717至至2929歲的運(yùn)動(dòng)員每?jī)蓺q一組分為歲的運(yùn)動(dòng)員每?jī)蓺q一組分為7 7組組, ,求年齡對(duì)這種運(yùn)動(dòng)能力的影響關(guān)系求年齡對(duì)這種運(yùn)動(dòng)能力的影響關(guān)系. .多項(xiàng)式回歸多項(xiàng)式回歸 年齡年齡 17 19 21 23 25 27 29 17 19 21 23 25 27 29第一人第

34、一人 20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.3520.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35第二人第二人 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.324.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3分析分析MATLAB散點(diǎn)圖程序散點(diǎn)圖程序 每組兩人測(cè)量其旋轉(zhuǎn)定向能力每組兩人測(cè)量其旋轉(zhuǎn)定向能力. .x=17:2:29;x=17:2:29;y1=20.48,25.13,26.15,30.0,y1=20.48,25.13,26.15,30.0,26.1,20.3,19.35;26

35、.1,20.3,19.35;y2=24.35,28.11,26.3,31.4,y2=24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3;26.92,25.7,21.3;plot(x,y1,+,x,y2,+)plot(x,y1,+,x,y2,+)axis(15 30 15 35)axis(15 30 15 35) 152025301520253035應(yīng)擬合一條二次曲線應(yīng)擬合一條二次曲線 可利用可利用ployfit ployfit 一元多項(xiàng)式回歸一元多項(xiàng)式回歸年齡與運(yùn)動(dòng)能力的二次模型年齡與運(yùn)動(dòng)能力的二次模型 axaxay221MATLAB程序程序 x1=17:2:29;x=

36、x1,x1;x1=17:2:29;x=x1,x1;y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.3524.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3;24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3;p,S=polyfit(x,y,2); pp,S=polyfit(x,y,2); p p=-0.2003 8.9782 -72.2150 p=-0.2003 8.9782 -72.2150 a1=-0.2003 a2=8.9782 a3=

37、-72.2150 a1=-0.2003 a2=8.9782 a3=-72.2150 S S是一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) Y,delta=polyconf(p,x,S);Y Y,delta=polyconf(p,x,S);Y 得到得到x與與y的擬合效果的擬合效果求解求解程序程序duo11618202224262830161820222426283032統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)y1=mean(y); rsquare=sum(Y-y1).2)./sum(y-y1).2), s=sqrt(sum(y-Y).2)./12), r s q u a r e = 0 . 6 9 8 0 s=2.0831 衡量擬合優(yōu)劣

38、的指標(biāo)衡量擬合優(yōu)劣的指標(biāo) 問題問題3.3 3.3 商品銷售量與價(jià)商品銷售量與價(jià)格格 某廠生產(chǎn)電器的銷售量某廠生產(chǎn)電器的銷售量y與競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的價(jià)格與競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的價(jià)格x1 1和本廠的價(jià)格和本廠的價(jià)格x2 2有關(guān)有關(guān). .在在1010個(gè)城市的銷售記錄個(gè)城市的銷售記錄 建立建立y與與x1 1和和x2 2的關(guān)系式的關(guān)系式 x1 1元元120 140 190 130 155 175 125 145 180 150120 140 190 130 155 175 125 145 180 150 x2 2元元100 110 90 150 210 150 250 270 300 250100 110 90 150 210 150 250 270 300 250y個(gè)個(gè)102 100 120 77 46 93 26 69 65 85102 100 120 77 46 93 26 69 65 85分析分析 對(duì)模型和系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)對(duì)模型和系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn) 若本廠售價(jià)若本廠售價(jià)160160元元, ,對(duì)手售價(jià)對(duì)手售價(jià)170170元元,