小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法01240

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主講：唐荷意主講：唐荷意小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 米山國藏米山國藏 日本著名數(shù)學(xué)教育家日本著名數(shù)學(xué)教育家, ,學(xué)者學(xué)者小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建議閱讀書目 1.數(shù)學(xué)史教程 李文林 2.數(shù)學(xué)的美與理 張順燕 3.數(shù)學(xué)文化 張庭楚 4. 古今數(shù)學(xué)思想 克萊因 5. 數(shù)學(xué)的精神、思想和方法 米山國藏 6. 數(shù)學(xué)與猜想 波利亞小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一、問題的提出一、問題的提出二、什么是數(shù)學(xué)思想方法二、什么是數(shù)學(xué)思想方法三、小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與三、小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與教學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)新課標(biāo)的總體目標(biāo)數(shù)學(xué)新課標(biāo)的總體目標(biāo) 通過義務(wù)教育階段

2、的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能： 1. 1. 獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。 2. 2. 體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。 3. 3. 了解數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)了解數(shù)學(xué)的價值，提高

3、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學(xué)態(tài)度。創(chuàng)新意識和科學(xué)態(tài)度。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)1978年年2月，月，全日制十年制學(xué)校小學(xué)數(shù)全日制十年制學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱學(xué)教學(xué)大綱(試行草案試行草案)在在“教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)內(nèi)容的確定確定”中首次提出：中首次提出：“適當(dāng)滲透一些現(xiàn)適當(dāng)滲透一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想代數(shù)學(xué)的思想”，并指出，并指出，“在小學(xué)，在小學(xué)，通過直觀，使學(xué)生盡早接觸集合、函數(shù)、通過直觀，使學(xué)生盡早接觸集合、函數(shù)、統(tǒng)計等一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想統(tǒng)計等一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想 。1986年年12月，月，全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

4、大全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱綱在在“教學(xué)內(nèi)容的確定教學(xué)內(nèi)容的確定”中明確要求：中明確要求：“結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，適當(dāng)滲透一些數(shù)學(xué)思結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，適當(dāng)滲透一些數(shù)學(xué)思想和方法想和方法” 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)1992年年6月頒發(fā)的月頒發(fā)的九年義務(wù)教育全日制九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用試用)，要求，要求“結(jié)合結(jié)合有關(guān)知識的教學(xué)，適當(dāng)滲透集合、函數(shù)有關(guān)知識的教學(xué)，適當(dāng)滲透集合、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想和方法，以加深對基礎(chǔ)知識等數(shù)學(xué)思想和方法，以加深對基礎(chǔ)知識的理解的理解”。 新課標(biāo)頒布之前，大綱要求在加強(qiáng)新課標(biāo)頒布之前，大綱要求在加強(qiáng)“雙雙基基”的教學(xué)中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，的教學(xué)中適當(dāng)滲透

5、數(shù)學(xué)思想方法，主要是滲透集合、函數(shù)和統(tǒng)計的思想方主要是滲透集合、函數(shù)和統(tǒng)計的思想方法，其落腳點是為了有利于學(xué)生加深對法，其落腳點是為了有利于學(xué)生加深對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)2001年年7月，月，標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿實驗稿)在課程在課程“總體目總體目標(biāo)標(biāo)”中要求通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)中要求通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠生能夠“獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識所必需的重要數(shù)學(xué)知識(包括數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)包括數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗活動經(jīng)驗)以及以及基本的數(shù)學(xué)思想方法基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的和必要的

6、應(yīng)用技能應(yīng)用技能”，第一次將，第一次將“基本的數(shù)學(xué)思想方法基本的數(shù)學(xué)思想方法”作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一。作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一。在在“課程實施建議課程實施建議”中多次提出，要根據(jù)小學(xué)中多次提出，要根據(jù)小學(xué)生已有經(jīng)驗、心理發(fā)展規(guī)律以及所學(xué)內(nèi)容的特生已有經(jīng)驗、心理發(fā)展規(guī)律以及所學(xué)內(nèi)容的特點，采用逐步滲透、螺旋上升的方式，引導(dǎo)學(xué)點，采用逐步滲透、螺旋上升的方式，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法。生感悟數(shù)學(xué)思想方法。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)絕大多數(shù)師范生對數(shù)學(xué)思想方法只有非常淺顯絕大多數(shù)師范生對數(shù)學(xué)思想方法只有非常淺顯的了解，的了解，70%的調(diào)查對象不知道平行四邊形面的調(diào)查對象不知道平行四邊形面積公式

7、推導(dǎo)用的是轉(zhuǎn)化思想！只有積公式推導(dǎo)用的是轉(zhuǎn)化思想！只有13.3%的調(diào)的調(diào)查對象能寫出四種以上數(shù)學(xué)思想方法的名稱；查對象能寫出四種以上數(shù)學(xué)思想方法的名稱；近近90%的師范生在教學(xué)設(shè)計中即使考慮到數(shù)學(xué)的師范生在教學(xué)設(shè)計中即使考慮到數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)也不知如何實施、只是偶爾考思想方法的教學(xué)也不知如何實施、只是偶爾考慮或不考慮。慮或不考慮。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)調(diào)查目的：了解小學(xué)數(shù)學(xué)教師對函數(shù)的理解、調(diào)查目的：了解小學(xué)數(shù)學(xué)教師對函數(shù)的理解、對函數(shù)思想的認(rèn)識以及對函數(shù)思想在課堂教學(xué)對函數(shù)思想的認(rèn)識以及對函數(shù)思想在課堂教學(xué)中滲透的情況。中滲透的情況。結(jié)果顯示：結(jié)果顯示：94.1%的教師不能用準(zhǔn)確的語言

8、描的教師不能用準(zhǔn)確的語言描述函數(shù)的定義；教師對于函數(shù)的本質(zhì)有一定的述函數(shù)的定義；教師對于函數(shù)的本質(zhì)有一定的認(rèn)識，部分教師還存在模棱兩可的認(rèn)識；認(rèn)識，部分教師還存在模棱兩可的認(rèn)識；94%的教師認(rèn)為能寫出表達(dá)式的才叫函數(shù)，而圖、的教師認(rèn)為能寫出表達(dá)式的才叫函數(shù)，而圖、表、文字等呈現(xiàn)方式他們認(rèn)為不是函數(shù)。表、文字等呈現(xiàn)方式他們認(rèn)為不是函數(shù)。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)方法是指在解決數(shù)學(xué)問一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)方法是指在解決數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)地解決問題的過程中所采用的題和數(shù)學(xué)地解決問題的過程中所采用的途徑、程序和手段。途徑、程序和手段。數(shù)學(xué)思想是指數(shù)量關(guān)系和空間形式反映數(shù)學(xué)思想

9、是指數(shù)量關(guān)系和空間形式反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)認(rèn)識，果，是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段，而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，它指的手段，而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，它指導(dǎo)方法的運用導(dǎo)方法的運用”；“數(shù)學(xué)思想具有概括性和普遍性，而數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)思想具有概括性和普遍性，而數(shù)學(xué)方法則具有操作性和具體性；數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法則具有操作性和具體性；數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻、更抽象地反映

10、數(shù)學(xué)對象間的內(nèi)在關(guān)系，更深刻、更抽象地反映數(shù)學(xué)對象間的內(nèi)在關(guān)系，是數(shù)學(xué)方法進(jìn)一步的概括與升華是數(shù)學(xué)方法進(jìn)一步的概括與升華”。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第一層次：抽象、推理、模型。其中抽象是最第一層次：抽象、推理、模型。其中抽象是最核心的。核心的?！?（相當(dāng)于數(shù)學(xué)的思維方式。史寧中（相當(dāng)于數(shù)學(xué)的思維方式。史寧中認(rèn)為這是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的本質(zhì)思想）認(rèn)為這是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的本質(zhì)思想）第二層次：數(shù)學(xué)不同內(nèi)容所共有的思想，如數(shù)第二層次：數(shù)學(xué)不同內(nèi)容所共有的思想，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、分類思想、方程思想、形結(jié)合思想、化歸思想、分類思想、方程思想、函數(shù)思想等。函數(shù)思想等。第三層次：具體某內(nèi)容所蘊(yùn)含的思想或

11、方法，第三層次：具體某內(nèi)容所蘊(yùn)含的思想或方法，如圖形變換思想、數(shù)據(jù)分析思想等。如圖形變換思想、數(shù)據(jù)分析思想等。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的兩條主線數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的兩條主線 明線：基礎(chǔ)知識和基本技能明線：基礎(chǔ)知識和基本技能暗線：數(shù)學(xué)思想方法暗線：數(shù)學(xué)思想方法 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)抽象的含義抽象的含義 抽象是指在認(rèn)識事物的過程中，舍棄抽象是指在認(rèn)識事物的過程中，舍棄那些個別的、偶然的非本質(zhì)屬性，抽取那些個別的、偶然的非本質(zhì)屬性，抽取普遍的、必然的本質(zhì)屬性，形成科學(xué)概普遍的、必然的本質(zhì)屬性，形成科學(xué)概念，從而把握事物的本質(zhì)和規(guī)律。念，從而把握事物的本質(zhì)和規(guī)律。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

12、1.自然數(shù)的抽象。自然數(shù)的抽象。2.算式算式2+3=5的抽象的抽象3.幾何圖形的抽象過程：實物幾何圖形的抽象過程：實物模型模型空間直觀圖空間直觀圖 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)20132013年年9 9月月小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)1.數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性。數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性。2.數(shù)學(xué)抽象具有層次性。數(shù)學(xué)抽象具有層次性。 數(shù)學(xué)抽象是經(jīng)歷了一系列階段而產(chǎn)生數(shù)學(xué)抽象是經(jīng)歷了一系列階段而產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)的抽象所能達(dá)到的抽象程度遠(yuǎn)的。數(shù)學(xué)的抽象所能達(dá)到的抽象程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了自然科學(xué)中的一般抽象。遠(yuǎn)超過了自然科學(xué)中的一般抽象。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)3.數(shù)學(xué)本身幾乎

13、完全處于抽象概念和它們數(shù)學(xué)本身幾乎完全處于抽象概念和它們之間的相互關(guān)系之中。之間的相互關(guān)系之中。4.由于高度的抽象性，使數(shù)學(xué)成為應(yīng)用非由于高度的抽象性，使數(shù)學(xué)成為應(yīng)用非常廣泛的學(xué)科。常廣泛的學(xué)科。5.數(shù)學(xué)抽象不僅有概念抽象，而且還有方數(shù)學(xué)抽象不僅有概念抽象，而且還有方法抽象。（如用行列式解方程）法抽象。（如用行列式解方程）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 1. 符號化思想的概念符號化思想的概念 用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律和空間形用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律和空間形式，并使用符號進(jìn)行一般性的運算和推理的一種思想。式，并使用符號進(jìn)行一般性的運算和推理的一種思想。 數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)

14、學(xué)世界是一個符號化的數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)世界是一個符號化的世界，數(shù)學(xué)作為人們表示、計算、推理和解決問題的世界，數(shù)學(xué)作為人們表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用；因為數(shù)學(xué)有了符工具，符號起到了非常重要的作用；因為數(shù)學(xué)有了符號，才使得數(shù)學(xué)具有簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點，號，才使得數(shù)學(xué)具有簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點，同時也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展。同時也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 一古典問題：一古典問題： 九章算術(shù)九章算術(shù)盈不足第盈不足第1 問問 “今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物

15、價各幾何。數(shù)、物價各幾何。 答曰：七人，物價五十三。答曰：七人，物價五十三。 盈不足術(shù)曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出盈不足術(shù)曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，并以為實。并盈、不足為法。實如法而一。率，并以為實。并盈、不足為法。實如法而一。 有分者，通之。盈、不足相與同其買物者，置所出率，以有分者，通之。盈、不足相與同其買物者，置所出率，以少減多，余，以約法、實。實為物價，法為人數(shù)。少減多，余，以約法、實。實為物價，法為人數(shù)。 其一術(shù)曰：并盈、不足為實。以所出率以少減多，余為法。其一術(shù)曰：并盈、不足為實。以所出率以少減多，余為法。實如法得一人。以所出率乘之，減盈、增不足即

16、物價。實如法得一人。以所出率乘之，減盈、增不足即物價。盈不足術(shù)盈不足術(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 置所出率：置所出率： a1 a2 盈、不足各居其下：盈、不足各居其下： b1 b2 令維乘所出率：令維乘所出率： a1b2 a2b1 并以為實：并以為實： a1b2 + a2b1 并盈、不足為法：并盈、不足為法： b1 + b2 實如法而一：實如法而一： (a1b2 + a2b1) / (b1 + b2) 置所出率，以少減多：置所出率，以少減多： a1 - a2 余，以約法、實余，以約法、實 ， 實為物價實為物價 ： (a1b2 + a2b1) / (a1 - a2) 法為人數(shù)：法為人數(shù)： (b1

17、+ b2) / (a1 - a2) 并盈、不足為實：并盈、不足為實： b1 + b2 以所出率以少減多，余為法：以所出率以少減多，余為法： a1 - a2 實如法得一人：實如法得一人： (b1 + b2) / (a1 - a2) 以所出率乘之：以所出率乘之： (b1 + b2) / (a1 - a2)a1 (或或a2) 減盈、增不足即物價：減盈、增不足即物價： (b1 + b2) / (a1 - a2)a1- b1 (b1 + b2) / (a1 - a2)a2+b2 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變

18、化規(guī)律，并用符號表示。這是一個從具體到抽象、規(guī)律，并用符號表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。從特殊到一般的探索和歸納的過程。 第二，理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。第二，理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關(guān)系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量包括用關(guān)系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量間的關(guān)系。間的關(guān)系。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第三，會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換。例如時間第三，會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換。例如時間路程速度之間的關(guān)系，既可以用算式，路程速度之間的關(guān)系，既可以用算式，也可以列表，也可以

19、畫圖。也可以列表，也可以畫圖。第四，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用第四，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。這是指完成符號化符號所表示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是進(jìn)行數(shù)學(xué)的運算后的下一步工作，就是進(jìn)行數(shù)學(xué)的運算和推理。和推理。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)1.在具體情境中，體會數(shù)學(xué)符號的作用。在具體情境中，體會數(shù)學(xué)符號的作用。2.在解決問題中，經(jīng)歷符號產(chǎn)生、規(guī)范、統(tǒng)一在解決問題中，經(jīng)歷符號產(chǎn)生、規(guī)范、統(tǒng)一的過程。如二分之一的表示；乘法的符號；數(shù)的過程。如二分之一的表示；乘法的符號；數(shù)對的表示。對的表示。3.在用字母表示數(shù)中，提升學(xué)生對符號的認(rèn)識。在用字母表示數(shù)中，提升學(xué)生對

20、符號的認(rèn)識。4.在鼓勵創(chuàng)新中，實現(xiàn)學(xué)生思維上的飛躍。在鼓勵創(chuàng)新中，實現(xiàn)學(xué)生思維上的飛躍。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)什么是模型思想？什么是模型思想？ 模型思想是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)模型思想是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。都是數(shù)學(xué)模型。 （例（例:水管進(jìn)出水問題）水管進(jìn)出水問題）數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號、表

21、達(dá)式數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號、表達(dá)式和圖表，因此它與符號化思想有很多相通之處。和圖表，因此它與符號化思想有很多相通之處。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)符號化思想更注重數(shù)學(xué)抽象和符號表達(dá)，符號化思想更注重數(shù)學(xué)抽象和符號表達(dá)，模型思想更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用。模型思想更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用?？梢院唵蔚睦斫鉃椋簲?shù)學(xué)模型就是用數(shù)可以簡單的理解為：數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)的方法解決實際問題。學(xué)的方法解決實際問題。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課程內(nèi)容部分明確提出：課程內(nèi)容部分明確提出：“初步形成模初步形成模型思想型思想”，并具體解釋為，并具體解釋為“模型思想的模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部建立是幫助學(xué)生體會和理

22、解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識趣和應(yīng)用意識”。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)教材編寫建議中提出了教材編寫建議中提出了“教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課

23、程內(nèi)教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計運用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動。這樣容，設(shè)計運用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動。這樣的活動應(yīng)體現(xiàn)的活動應(yīng)體現(xiàn)問題情境問題情境建立模型建立模型求解驗求解驗證證的過程，這個過程要有利于理解和掌握相的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動經(jīng)驗；關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動經(jīng)驗；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識解決問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大概有兩種情況：第一種小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大概

24、有兩種情況：第一種是基本模型的學(xué)習(xí)，即學(xué)習(xí)教材中以例題為代是基本模型的學(xué)習(xí)，即學(xué)習(xí)教材中以例題為代表的新知識，這個學(xué)習(xí)過程可能是一個探索的表的新知識，這個學(xué)習(xí)過程可能是一個探索的過程，也可能是一個接受學(xué)習(xí)的理解過程；第過程，也可能是一個接受學(xué)習(xí)的理解過程；第二種是利用基本模型去解決各種問題，即利用二種是利用基本模型去解決各種問題，即利用學(xué)習(xí)的基本知識解決教材中豐富多彩的習(xí)題以學(xué)習(xí)的基本知識解決教材中豐富多彩的習(xí)題以及各種課外問題。及各種課外問題。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)建模是一個比較復(fù)雜和富有挑戰(zhàn)性的過程，數(shù)學(xué)建模是一個比較復(fù)雜和富有挑戰(zhàn)性的過程，這個過程大致有以下幾個步驟：這個過程大致有

25、以下幾個步驟：(1) 理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統(tǒng)。屬于什么模型系統(tǒng)。(2) 把復(fù)雜的情境經(jīng)過分析和簡化，確定必要的把復(fù)雜的情境經(jīng)過分析和簡化，確定必要的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)。(3) 建立模型，可以是數(shù)量關(guān)系式，也可以是圖建立模型，可以是數(shù)量關(guān)系式，也可以是圖表形式。表形式。(4) 解答問題。解答問題。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實例實例 古古 題題枯木周四尺、高九尺；枯木周四尺、高九尺；葛藤經(jīng)三周而達(dá)其頂；葛藤經(jīng)三周而達(dá)其頂；藤長幾何也藤長幾何也? ?小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 要解決這道古題，讓我們先從一道現(xiàn)代簡單問要解決這道古題，讓我

26、們先從一道現(xiàn)代簡單問題入手，尋找思路，探索求解方法：題入手，尋找思路，探索求解方法：一只圓柱形油罐的底圓周為長一只圓柱形油罐的底圓周為長4 4米，高米，高3 3米；一只米；一只蛐蛐沿罐壁螺旋爬行一周到達(dá)罐的頂部，求蛐蛐蛐蛐沿罐壁螺旋爬行一周到達(dá)罐的頂部，求蛐蛐的爬行距離。的爬行距離。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)C=4mh=3m4m3mL= 42 + 32 1/2 = 5(m)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)高高9尺尺 周周4尺尺高高3尺L = 3 * 42 +32 1/2=15周周4尺尺小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 活動內(nèi)容活動內(nèi)容:澳洲人割草問題。澳洲人割草問題。 活動對象活動對象:小學(xué)小學(xué)5年級學(xué)生，全班

27、年級學(xué)生，全班30人，人，先前沒有任何建模經(jīng)驗。先前沒有任何建模經(jīng)驗。 活動方法活動方法:小組合作。小組合作。 活動時間活動時間:兩次，每次兩次，每次80分鐘。分鐘。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 背景信息背景信息:James Sullivan的綠指花園公司即將開業(yè)，的綠指花園公司即將開業(yè)，為消費者提供割草服務(wù)。先前一個當(dāng)?shù)鼐坝^美化服務(wù)為消費者提供割草服務(wù)。先前一個當(dāng)?shù)鼐坝^美化服務(wù)公司已經(jīng)關(guān)閉，公司已經(jīng)關(guān)閉，James想雇傭該公司想雇傭該公司4位前任雇員并接位前任雇員并接受這些雇員已擁有的客戶。雇員的職責(zé)是割草以及銷受這些雇員已擁有的客戶。雇員的職責(zé)是割草以及銷售一些肥料、除草劑和殺蟲噴霧劑等產(chǎn)品。

28、售一些肥料、除草劑和殺蟲噴霧劑等產(chǎn)品。James有公有公司這些前任雇員在去年司這些前任雇員在去年12月，今年月，今年1月和月和2月的工作信月的工作信息，包括每位雇員每月的工作時間、割草量、銷售其息，包括每位雇員每月的工作時間、割草量、銷售其它產(chǎn)品的銷售額以及每月駕駛割草機(jī)的公里數(shù)。草坪它產(chǎn)品的銷售額以及每月駕駛割草機(jī)的公里數(shù)。草坪有大、中、小三種。大草坪比起中草坪和小草坪來說，有大、中、小三種。大草坪比起中草坪和小草坪來說，顯然需做更多工作顯然需做更多工作;然而有些草坪雖然很小，但對割草然而有些草坪雖然很小，但對割草人來說工作時需要繞過許多障礙，要割很多不同的邊，人來說工作時需要繞過許多障礙，

29、要割很多不同的邊，以及做一些清理焊接等工作，這些都決定了其工作量以及做一些清理焊接等工作，這些都決定了其工作量的大小。的大小。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 問題問題:從表中已有業(yè)績看，從表中已有業(yè)績看，James應(yīng)該選應(yīng)該選擇哪擇哪4位雇員位雇員?請你利用這些信息幫助他請你利用這些信息幫助他做一個決定，并給他寫信解釋你的理由，做一個決定，并給他寫信解釋你的理由，使他以后每年夏天都用這個方法來雇傭使他以后每年夏天都用這個方法來雇傭新雇員。新雇員。20132013年年9 9月月小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段階段1:關(guān)注子信息，如得分最高、具有專長關(guān)注子信息，如得分最高、具有專長階

30、段階段2：運用數(shù)學(xué)運算，計算各個量的平均值：運用數(shù)學(xué)運算，計算各個量的平均值或比率。或比率。階段階段3：確定趨勢和關(guān)系，如：確定趨勢和關(guān)系，如*割草量多而工割草量多而工作時間少。作時間少。 案例顯示，當(dāng)一個具有現(xiàn)實生活的情境呈現(xiàn)在案例顯示，當(dāng)一個具有現(xiàn)實生活的情境呈現(xiàn)在10歲孩子面前時，孩子們是如何將實際問題轉(zhuǎn)歲孩子面前時，孩子們是如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后建立和發(fā)展數(shù)學(xué)模型，從化為數(shù)學(xué)問題，然后建立和發(fā)展數(shù)學(xué)模型，從而成功地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模活動的。而成功地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模活動的。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)推理思想的概念：推理思想的概念： 推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一推理是從一個或幾個已

31、有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。 推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 歸納是通過特例的分析引出普遍的結(jié)歸納是通過特例的分析引出普遍的結(jié)論。在研究一般性問題時，先研究幾個論。在研究一般性問題時，先研究幾個簡單、個別的、特殊的情況，從中概括簡單、個別的、特殊的情況，從中概括出一般的規(guī)律和性質(zhì)，這種由部分到整出一般的規(guī)律和性

32、質(zhì)，這種由部分到整體、由特殊到一般的推理被稱為歸納。體、由特殊到一般的推理被稱為歸納。（如（如:加法結(jié)合律、整數(shù)除以幾分之一）加法結(jié)合律、整數(shù)除以幾分之一） 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有鵝有鵝4只，是鴨的三分之一，問鴨幾只？只，是鴨的三分之一，問鴨幾只？ 3只鴨子，只鴨子，1只鵝只鵝 1 =3 6只鴨子，只鴨子，2只鵝只鵝 2 =6 9只鴨子，只鴨子，3只鵝只鵝 3 =9 12只鴨子，只鴨子，4只鵝只鵝 4 =12 31313131小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 演繹與歸納相反，是從普遍性結(jié)論或一般演繹與歸納相反，是從普遍性結(jié)論或一般性的前提推出個別或特殊的結(jié)論。在研究個別性的

33、前提推出個別或特殊的結(jié)論。在研究個別問題時，以一般性的邏輯假設(shè)為基礎(chǔ)，推出特問題時，以一般性的邏輯假設(shè)為基礎(chǔ)，推出特定結(jié)論，這種從一般到特殊的推理被稱為演繹。定結(jié)論，這種從一般到特殊的推理被稱為演繹。（如：由（如：由“三角形的內(nèi)角和是三角形的內(nèi)角和是180度度” 推出直推出直角三角形兩個銳角的和是角三角形兩個銳角的和是90度，乘法分配律的度，乘法分配律的應(yīng)用應(yīng)用 ） 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)歸納與演繹的關(guān)系：歸納思想需要通過歸納與演繹的關(guān)系：歸納思想需要通過演繹來證明是不是對的，歸納思想可以演繹來證明是不是對的，歸納思想可以用于發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果。用于發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果。 例如：十位相同，個位相加等于十的

34、兩例如：十位相同，個位相加等于十的兩位數(shù)相乘的計算技巧；小數(shù)的性質(zhì)；谷位數(shù)相乘的計算技巧；小數(shù)的性質(zhì)；谷神星的發(fā)現(xiàn)神星的發(fā)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)高斯預(yù)測在高斯預(yù)測在2.8處必有一顆行星處必有一顆行星 歸納推理與演繹推理相結(jié)合，否則可歸納推理與演繹推理相結(jié)合，否則可能會出現(xiàn)錯誤的結(jié)論，如費爾馬關(guān)于質(zhì)能會出現(xiàn)錯誤的結(jié)論，如費爾馬關(guān)于質(zhì)數(shù)的判斷數(shù)的判斷小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 類比是由特殊到特殊的推理，具有類比是由特殊到特殊的推理，具有假設(shè)、猜想的成分。同歸納一樣，類比假設(shè)、猜想的成分。同歸納一樣，類比是常用的一種合情推理。類比是立足在是常用的一種合情推理。類比是立足在已有知識的基礎(chǔ)上，通過兩個

35、已有知識的基礎(chǔ)上，通過兩個(或兩類或兩類)及及以上對象之間某些相同或相似的性質(zhì)，以上對象之間某些相同或相似的性質(zhì)，由已經(jīng)獲得的知識引出新的猜測，推斷由已經(jīng)獲得的知識引出新的猜測，推斷它們在其他性質(zhì)上的相同或相似。它們在其他性質(zhì)上的相同或相似。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)12345678910111213141516案例：圓面積公式的推導(dǎo)一、將圓分成若干等分。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)二、用等分后的小塊組成不同的形狀近似平行四邊形近似三角形近似梯形小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)圓柱體體積的計算圓柱體體積的計算小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 1

36、、拼成的長方體的體積與原來的、拼成的長方體的體積與原來的 圓柱體有什么關(guān)系？圓柱體有什么關(guān)系？2、它的底面積變了嗎？、它的底面積變了嗎？3、它的高變了嗎？、它的高變了嗎？討論題討論題長方體的體積長方體的體積 = 底面積底面積 高高圓柱體的體積圓柱體的體積底面積底面積高高= V = s底底h小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿指出課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿指出“推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進(jìn)的過程。義務(wù)教育階段要注重學(xué)生思循序漸進(jìn)的過程。義務(wù)教育階段要注重學(xué)生思考的條理性，不要過分強(qiáng)調(diào)推理的形式?？嫉臈l理

37、性，不要過分強(qiáng)調(diào)推理的形式。教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過實例使學(xué)生逐步意識到，展合情推理能力；通過實例使學(xué)生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，可以根據(jù)結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求”。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第一，推理是重要的思想方法之一，是第一，推理是重要的思想方法之一，是

38、數(shù)學(xué)的基本思維方式，要貫穿于數(shù)學(xué)教數(shù)學(xué)的基本思維方式，要貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。學(xué)的始終。 低年級：找規(guī)律、總結(jié)計算法則等低年級：找規(guī)律、總結(jié)計算法則等 高年級：面積、體積公式的推導(dǎo)等高年級：面積、體積公式的推導(dǎo)等 推理思想盈從一年級就要開始滲透和應(yīng)推理思想盈從一年級就要開始滲透和應(yīng)用，是一個長期的培養(yǎng)過程。用，是一個長期的培養(yǎng)過程。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。 合情推理：多用于根據(jù)特殊的事實去發(fā)現(xiàn)和總合情推理：多用于根據(jù)特殊的事實去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一般性的結(jié)論。結(jié)一般性的結(jié)論。 演繹推理：用于根據(jù)已有的一般性的結(jié)論去證演繹推理：

39、用于根據(jù)已有的一般性的結(jié)論去證明和推導(dǎo)新的結(jié)論。明和推導(dǎo)新的結(jié)論。 第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內(nèi)容領(lǐng)域的教學(xué)第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內(nèi)容領(lǐng)域的教學(xué)要有機(jī)地結(jié)合，教學(xué)過程中要給學(xué)生提供各個要有機(jī)地結(jié)合，教學(xué)過程中要給學(xué)生提供各個領(lǐng)域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實驗、猜想、領(lǐng)域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實驗、猜想、驗證等活動，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)推理能力。驗證等活動，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)推理能力。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第四，把握好推理思想教學(xué)的層次性和第四，把握好推理思想教學(xué)的層次性和差異性。推理能力的培養(yǎng)要結(jié)合具體知差異性。推理能力的培養(yǎng)要結(jié)合具體知識的學(xué)習(xí)，同時要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平識的學(xué)習(xí)，同時要考

40、慮學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力。綜合現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)及其修和接受能力。綜合現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)及其修改稿關(guān)于改稿關(guān)于 “數(shù)學(xué)思考數(shù)學(xué)思考”分階段的目標(biāo)要分階段的目標(biāo)要求，推理能力在小學(xué)階段的要求可參考求，推理能力在小學(xué)階段的要求可參考下表。下表。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 分類討論思想的概念分類討論思想的概念 人們面對比較復(fù)雜的問題，有時無法通過統(tǒng)一研究人們面對比較復(fù)雜的問題，有時無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究解決，需要把研究的對象按照一定的標(biāo)或者整體研究解決，需要把研究的對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決，這種解決問題的

41、思想方法就是分類使問題得到解決，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。討論的思想方法。 分類是以比較為基礎(chǔ)，按照數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性分類是以比較為基礎(chǔ)，按照數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異，將數(shù)學(xué)對象分為不同的種類。的相同點和差異，將數(shù)學(xué)對象分為不同的種類。 （如（如兩條直線的關(guān)系分類，四邊形分類、數(shù)的分類）兩條直線的關(guān)系分類，四邊形分類、數(shù)的分類）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在總目標(biāo)中要求學(xué)生能夠有條理地思課程標(biāo)準(zhǔn)在總目標(biāo)中要求學(xué)生能夠有條理地思考，這種有條理性的思考就是一種有順序的、考，這種有條理性的思考就是一種有順序的、有層次的、全面的、有邏輯性的思考，分類討有層次的、全面

42、的、有邏輯性的思考，分類討論就是具有這些特性的思考方法。論就是具有這些特性的思考方法。從知識的角度而言，把知識從宏觀到微觀不斷從知識的角度而言，把知識從宏觀到微觀不斷地分類學(xué)習(xí)，既可以把握全局、又能夠由表及地分類學(xué)習(xí)，既可以把握全局、又能夠由表及里、細(xì)致入微，有利于形成比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知里、細(xì)致入微，有利于形成比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。識結(jié)構(gòu)和構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)四邊形不規(guī)則四邊形梯形平行四邊形長方形正方形規(guī)則四邊形四邊形不規(guī)則四邊形規(guī)則四邊形梯形平行四邊形縱向聯(lián)系邊的特征發(fā)生了變化“角”變化“邊”變化平均分成若干等份（扇形）拼組長方形正方形圓橫向聯(lián)系

43、：角、邊的特征發(fā)生了變化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（1）根據(jù)研究的需要確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)；）根據(jù)研究的需要確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)；（2）恰當(dāng)?shù)貙ρ芯繉ο筮M(jìn)行分類，分類后的）恰當(dāng)?shù)貙ρ芯繉ο筮M(jìn)行分類，分類后的所有子項之間既不能所有子項之間既不能“交叉交叉”也不能也不能“從屬從屬”，而且所有子項的外延之和必須與被分類的對象而且所有子項的外延之和必須與被分類的對象的外延相等，通俗地說就是要做到的外延相等，通俗地說就是要做到“既不重復(fù)既不重復(fù)又不遺漏又不遺漏”；（3）逐類逐級進(jìn)行討論；）逐類逐級進(jìn)行討論；（4）綜合概括、歸納得出最后結(jié)論。）綜合概括、歸納得出最后結(jié)論。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)

44、學(xué)教學(xué)第一，在分類單元的教學(xué)中，注意滲透分類思第一，在分類單元的教學(xué)中，注意滲透分類思想和集合思想，一方面是一般物體的分類，如想和集合思想，一方面是一般物體的分類，如柜臺上的商品、文具等；另一方面要注意從數(shù)柜臺上的商品、文具等；另一方面要注意從數(shù)學(xué)的角度分類，如立體圖形、平面圖形、數(shù)的學(xué)的角度分類，如立體圖形、平面圖形、數(shù)的認(rèn)識和運算等。同時注意滲透集合的思想，就認(rèn)識和運算等。同時注意滲透集合的思想，就是說當(dāng)把某些屬性相同的物體放在一起，作為是說當(dāng)把某些屬性相同的物體放在一起，作為一個整體，就可以看作一個集合。一個整體，就可以看作一個集合。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第二，在三大領(lǐng)域知識的教學(xué)中注

45、意經(jīng)第二，在三大領(lǐng)域知識的教學(xué)中注意經(jīng)常性地滲透分類思想和集合思想，如平常性地滲透分類思想和集合思想，如平面圖形和立體圖形的分類、數(shù)的分類。面圖形和立體圖形的分類、數(shù)的分類。第三，注意從數(shù)學(xué)思維和解決問題的方第三，注意從數(shù)學(xué)思維和解決問題的方法上滲透分類思想，如排列組合、概率法上滲透分類思想，如排列組合、概率的計算、抽屜原理等問題經(jīng)常運用分類的計算、抽屜原理等問題經(jīng)常運用分類討論思想解決。討論思想解決。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第四，在統(tǒng)計與概率知識的教學(xué)中，滲透分類第四，在統(tǒng)計與概率知識的教學(xué)中，滲透分類的思想?，F(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)豐富多彩，很多時的思想。現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)豐富多彩，很多時候需要把收

46、集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類整理和描述，候需要把收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類整理和描述，從而有利于分析數(shù)據(jù)和綜合地做出推斷。從而有利于分析數(shù)據(jù)和綜合地做出推斷。第五，注意讓學(xué)生體會分類的目的和作用，不第五，注意讓學(xué)生體會分類的目的和作用，不要為了分類而分類。如對商品和物品的分類是要為了分類而分類。如對商品和物品的分類是為了便于管理和選購，對數(shù)學(xué)知識和方法進(jìn)行為了便于管理和選購，對數(shù)學(xué)知識和方法進(jìn)行分類，是為了更深入地研究問題、理解知識、分類，是為了更深入地研究問題、理解知識、優(yōu)化解決問題的方法。優(yōu)化解決問題的方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第六，注意有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律在一般條件下的適用第六，注意有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律在一般條件下

47、的適用性和特殊條件下的不適用性。也就是說，有些性和特殊條件下的不適用性。也就是說，有些數(shù)學(xué)規(guī)律在一般情況下成立，在特殊情況下不數(shù)學(xué)規(guī)律在一般情況下成立，在特殊情況下不一定成立；而這種特殊性在小學(xué)數(shù)學(xué)里往往被一定成立；而這種特殊性在小學(xué)數(shù)學(xué)里往往被忽略，長此以往，容易造成學(xué)生思維的片面性。忽略，長此以往，容易造成學(xué)生思維的片面性。如在小學(xué)里經(jīng)常有爭議的判斷題：如果如在小學(xué)里經(jīng)常有爭議的判斷題：如果5a2b，那么那么a：b2：5；有人認(rèn)為是對的，有人認(rèn)為；有人認(rèn)為是對的，有人認(rèn)為是錯的。是錯的。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 案例案例1：數(shù)線段、角、長方形的個數(shù)。：數(shù)線段、角、長方形的個數(shù)。案例案例2

48、：任意給出：任意給出4個兩兩不等的整數(shù)，個兩兩不等的整數(shù)，請說明：其中必有兩個數(shù)的差是請說明：其中必有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。的倍數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)化歸思想化歸思想 數(shù)學(xué)知識是一個整體，它的各部分之間相互數(shù)學(xué)知識是一個整體，它的各部分之間相互聯(lián)系，有時也可以相互轉(zhuǎn)化。聯(lián)系，有時也可以相互轉(zhuǎn)化?；瘹w思想：人們面對數(shù)學(xué)問題，如果直化歸思想：人們面對數(shù)學(xué)問題，如果直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決該問題接應(yīng)用已有知識不能或不易解決該問題時，往往需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，時，往往需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到

49、解決，這種思問題，最終使原問題得到解決，這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（1）熟悉化原則，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化）熟悉化原則，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。為熟悉的問題。 （2）簡單化原則，即把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化）簡單化原則，即把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。為簡單的問題。 （3）直觀化原則，即把抽象的問題轉(zhuǎn)化）直觀化原則，即把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題。為具體的問題。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（1）化抽象問題為直觀問題。）化抽象問題為直觀問題。 例如，用線段圖、圖表、圖像等直觀表示數(shù)量例如，用線段圖、圖表、圖像等直觀表示數(shù)量之間的關(guān)系之間的關(guān)系（2）化繁為簡的策略）化繁為簡的策略 案例案例1：把：把186拆分成兩個自然數(shù)的和，怎么拆拆分成兩個自然數(shù)的和，怎么拆分才能使拆分的兩個自然數(shù)乘積最大？分才能使拆分的兩個自然數(shù)乘積最大？187呢？呢？ 案例案例2：你能快速口算：你能快速口算85=，9595=，105105=嗎嗎 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（3）化實際問題為特殊的數(shù)學(xué)問題）化實際問題為特殊的數(shù)學(xué)問題 案例案例3：李阿姨買了：李阿姨買了2千克蘋果和千克蘋果和3千克香千克香蕉用了蕉用了11元，王阿姨買了同樣價格的元，王阿姨買