成都理工大學(xué)高數(shù)下重修2階線性微分方程ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高階線性微分方程 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n 階線性微分方程的一般形式為階線性微分方程的一般形式為(二階線性微分方程)( )( )( )yP x yQ x yf x)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時(shí), 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時(shí), 稱為齊次方程.0)(xf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(11yCxP )(11yCxQ0證畢一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個(gè)解,也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊,

2、得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy那么為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義:)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間 I 上

3、的 n 個(gè)函數(shù),21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān).例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都線性相關(guān);又如，,12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān).若存在不全為 0 的常數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:)(),(21xyxy線性相關(guān)存在不全為 0 的21, kk使0)()

4、(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)考慮考慮:)(),(21xyxy若中有一個(gè)恒為 0, 那么)(),(21xyxy必線性相關(guān)相關(guān)0)()()()(2121xyxyxyxy(證明略)21, yy可微函數(shù)線性無關(guān)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解, )()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xCxCysincos21推論推論. nyyy,21若是

5、 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個(gè)線性無關(guān)解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC那么目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個(gè)特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 那么是非齊次方程的通解 .證證: 將將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfx

6、f)*( )(yYxQ目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(*)(xyxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對(duì)應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因而 也是通解 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 4.),2, 1()(mkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程),2, 1()()()(mkxfyxQyxPyk mkkyy1則)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 目錄 上頁 下頁

7、 返回 結(jié)束 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程的特解, 則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 已知微分方程已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x個(gè)解,e,e,2321xxyyxy求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy與是對(duì)應(yīng)齊次方程的解, 且xxyyyyxx213

8、12ee常數(shù)因而線性無關(guān), 故原方程通解為)(e)(e221xCxCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解為有三 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常系數(shù) 第七節(jié)齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrye和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程,1. 當(dāng)042 qp時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根,21r ,r方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:,e11xry ,e22xry

9、因此方程的通解為xrxrCCy21ee21( r 為待定常數(shù) ),xrre,函數(shù)為常數(shù)時(shí)因?yàn)樗粤畹慕鉃?則微分其根稱為特征根.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr2. 當(dāng)042 qp時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根21rr 則微分方程有一個(gè)特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,e12xrxy 因此原方程的通解為xrxCCy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru目錄 上

10、頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr3. 當(dāng)042qp時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根i,i21rr這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解為)sincos(e21xCxCyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 實(shí)根 221prrxrxCCy1e)(21i21,

11、r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若特征方程含 k 重復(fù)根,ir若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng))(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC推廣推廣: :目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr

12、因此原方程的通解為xxCCy321ee例例2. 求解初值問題求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為ttCCse)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為ttse)24(22C目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程特征方程, 052234rrr特征根:i21, 04,321rrr因此原方程通解為xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程特征方程:, 045rr特征根 :1, 054

13、321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5(不難看出, 原方程有特解)e, 132xxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 02)(22222rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根為),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解 :xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.02)4( yyy解方程解解: 特征方程特征方程:01224rr0)1(22r即特征根為i,2,1ri4,3r則方程通解 :xxCCycos)(31xxC

14、Csin)(42目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例題例題,2cos,e2,e321xyxyyxx求一個(gè)以xy2sin34為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解 .解解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :, 121 rri24, 3r因此特征方程為2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程為其通解為xCxCxCCyx2sin2cose)(4321目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常系數(shù)非齊次線性微分方程 第八節(jié)型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、目錄 上頁 下頁 返回

15、結(jié)束 )(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx一、一、 型)(e)(xPxfmx 為實(shí)數(shù) ,)(xPm設(shè)特解為, )(e*xQyx其中 為待定多項(xiàng)式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程 , 得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQq

16、p)(xPm為 m 次多項(xiàng)式 .)(xfyqypy (1) 假設(shè) 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xQm從而得到特解形式為. )(e*xQymxQ (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 假設(shè) 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為m 次多項(xiàng)式, 故特解形式為xmxQxye)(*(3) 假設(shè) 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為xmxQxye)(*2小結(jié)小結(jié) 對(duì)方程,)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)

17、()(2xQqp即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時(shí),可設(shè)特解目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.1332 xyyy求方程的一個(gè)特解.解解: 此題此題而特征方程為,0322 rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. xxyyy2e65 求方程的通解. 解解: 此題此題特征方程為,0652 rr其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xxCCY3221ee設(shè)非齊次方程特解為xbxbxy210e)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1

18、,2110bb因此特解為.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求解定解問題求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 此題此題特征方程為, 02323rrr其根為設(shè)非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為1CY xCe2xC23e原方程通解為x211Cy xCe2xC23e由初始條件得0432CC,0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是所求解為xyxx2

19、1e41e432解得)ee423(412xxx41 143321CCC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步第二步 求出如下兩個(gè)方程的特解求出如下兩個(gè)方程的特解xmxPyqypy)i(e)( yqypy分析思路:第一步將第一步將 f (x) 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點(diǎn)分析原方程特解的特點(diǎn)xmxP)i(e)(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一步第一步利用歐拉公式將 f (x) 變形xxfe)(i2)(2)

20、(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(則令,maxlnm )(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二步第二步 求如下兩方程的特解求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), xmkxQxy)i(1e)()(次多項(xiàng)式為mxQm故xmxPyqypy)i(111e)()()( 等式兩邊取共軛 :xmxPyqypy)i(111e)(1y這說明為方程 的特解 .xmxPyqypy)i(e)( xmxPyqypy)i(e)( 設(shè)那

21、么 有特解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkxexmxmQQiiee原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosxRmsinmmRR,其中均為 m 次多項(xiàng)式 .xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四步第四步 分析分析的特點(diǎn)yxRxRxyyymmxksincose11因11yy*yy所以mmRR,因此均為 m 次實(shí)多項(xiàng)式 .11yyy本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) ,1

22、1yy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小小 結(jié)結(jié):xxPxxPnlxsin)(cos)(e對(duì)非齊次方程yqypy ),(為常數(shù)qpxRxRxymmxksincose*則可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. xxyy2cos 求方程的一個(gè)特解 .解解: 此題此題 特征方程, 2, 0故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比較系數(shù)

23、 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個(gè)特解13 a043cb03 c043ad0 cb目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根i,r所以設(shè)非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根i, 04, 32, 1rrxxyyxsin3e)2()4( 利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為)(*2baxxyxce)sincos(xkx